SKKN thế biến – kỹ năng tạo niềm đam mê sáng tạo cho học sinh thông qua bài toán giải hệ phương trình image marked

20 7 0
  • Loading ...
1/20 trang

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 02/08/2019, 19:50

A MỞ ĐẦU I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong chương trình tốn học phơ thơng, Hệ phương trình phần nội dung quan trọng, thường xuyên gặp đề thi học sinh giỏi cấp đề thi đại học trước ma trận đề thi THPT quốc gia năm 2015 có nội dung Hệ phương trình sách giáo khoa (đặc biệt chương trình sách giáo khoa bản) đưa lượng tập ít, đơn giản so với yêu cầu phải giải toán đỏi hỏi cấp độ tư vận dụng cao đề thi học sinh giỏi cấp, đề thi đại học trước đến Với mong muốn cung cấp cho học sinh số kỹ thuật xử lý hệ phương trình cách nhìn nhận, quan sát dấu hiệu để quy “lạ” quen, đặc biệt tạo cho học sinh niềm đam mê – sáng tạo học tốn Vì tơi chọn đề tài “Thế biến – kỷ tạo niềm đam mê sáng tạo cho học sinh thơng qua tốn giải hệ phương trình” để nghiên cứu II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Tìm hiểu khó khăn thuận lợi học sinh tiếp cận toán hệ phương trình từ đề xuất biện pháp giúp em nhìn nhận định hướng, dấu hiệu tiếp cận cách giải toán Phát triển tư khái quát hóa, tương tự hóa, lật ngược vấn đề, quy lạ quen, tư sáng tạo học sinh… III ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU - Học sinh khối 10 THPT - Đội tuyển HSG khối 11 THPT - Học sinh khối 12 THPT ôn thi vào trường Đại học - Giáo viên giảng dạy môn Toán bậc THPT -1- IV KẾ HOẠCH NGHIÊN CỨU TT Thời gian 15/9/2015 Nội dung công việc đến Chọn đề tài, Viết đế cương 15/10/2015 nghiên cứu Sản phẩn Bản đề cương chi tiết - Khảo sát thực trạng, tổng - Số liệu khảo sát 15/10/2015 đến hợp số liệu thực tế xử lý - Nghiên cứu tài liệu - Tập hợp tài liệu 5/11/ 2015 - Trao đổi đồng nghiệp, đề xuất biện 5/11/2015 đến pháp, sáng kiến 15/3/2016 - Áp dụng thử nghiệm - Viết báo cáo 15/3/2016 15/5/ 2016 đến - Hoàn thiện báo cáo - Tập hợp ý kiến đóng góp đồng nghiệp - Kết thử nghiệm - Bản nháp báo cáo - Báo cáo thức V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Tìm kiếm tài liệu tham khảo từ nguồn khác liên quan đến hệ phương trình phương pháp dạy học mơn tốn sáng kiến kinh nghiệm giáo viên khác thuộc mơn Tốn THPT - Trao đổi với đồng nghiệp để đề xuất biện pháp thực - Giảng dạy tiết tập toán lớp 10B2 Ôn thi HSG cho đội tuyển Ôn thi kỳ thi THPT Quốc gia lớp 12A2 trường THPT làm việc để thu thập thông tin thực tế -2- B NỘI DUNG I THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI Trường THPT nơi công tác trường năm xã bãi ngang việc học tập phấn đấu em học sinh chưa thực quan tâm từ bậc học THPT kiến thức sở mơn Tốn em hầu hết tập trung mức độ trung bình Khi chưa áp dụng nghiên cứu đề tài để dạy học giải tập hệ phương trình, em thường thụ động việc tiếp cận toán phụ thuộc nhiều vào kiến thức giáo viên cung cấp chưa ý thức tìm tòi, sáng tạo tạo niềm vui, hưng phấn làm toán Điều đáng lo ngại em tham gia lớp ôn thi Đại học cao đẳng nhà trường chọn lựa từ em có học lực trung bình trở lên Trao đổi với em tác giả nhận thấy đa số em cố gắng nắm dạng hệ để phục vụ cho phần toán khác, toán mức độ tư vận dụng hay vận dụng cao em lúng túng, khơng có định hướng giải từ em gần chấp nhận buông xuôi loại hệ II CƠ SỞ LÝ THUYẾT Phương trình bậc bốn a) Phương trình bậc bốn dạng trùng phương: ax  bx  c  0; (a  0) Phương pháp giải: Đặt t  x  PT : at  bt  c  b) Phương trình bậc bốn dạng:  x  a    x  b   c Phương pháp giải: Đặt t  x  trình trùng phương ẩn t -3- ab , đưa phương trình dạng phương c) Phương trình bậc bốn dạng hồi quy: ax  bx3  cx  dx  e  ; (a  0) e d  với a, b, c, d, e hệ số thỏa mãn điều kiện:    a b Phương pháp giải: Kiểm tra riêng với trường hợp x  e   d   Xét x  , phương trình tương đương: a  x    b  x    c  ax   bx   d  d  d  2ad     a x    b x    c    Đặt t   x   bx  bx  bx  b    d) Phương trình bậc bốn giải đưa phương trình trùng phương: Phương pháp giải: Xét phương trình: f ( x)  ax  bx3  cx  dx  e  với  f '( x)  điều kiện hệ  có nghiệm x    f '''( x)  Đặt x  t   phương trình đưa phương trình bậc trùng phương dạng: at   6a  3b  c  t  f ( )  e) Phương pháp giải phương trình bậc dạng tổng quát: ax  bx3  cx  dx  e  Định hướng 1: Nhẩm nghiệm phân tích thành nhân tử Định hướng 2: Kiểm tra điều kiện phương trình hồi quy Định hướng 3: Kiểm tra điều kiện đưa phương trình trùng phương Định hướng 4: Thêm bớt nhóm dạng hiệu hai bình phương Định hướng 5: Sử dụng phương pháp hệ số bất định: -4- Phân tích: ax  bx3  cx  dx  e    Ax  Bx  C  Dx  Ex  F   Bằng phương pháp hệ số bất định, nhẩm nghiệm nguyên hệ để tìm A, B, C, D, E, F Phương trình bậc cao Xét phương trình : an x n  a x n1   a x  a  n1 1 với n N,n  Nếu ta nhẩm nghiệm phương trình x0 Thì ta phân tích:  x  x0  P  x   với P  x  đa thức: Để tính hệ số đa thức P  x  ta lập bảng sau: x0 an an1 a1 a0 an bn1 b1 Ta có : bn1  an x0  an1 bn2  bn1 x0  an2 b1  b2 x0  a1 b1 x0  a0  Khi ta có 1   x  x0   an x n1  bn1 x n2   b2 x  b1   Chú ý: Một số cách nhẩm nghiệm Nếu an  an1   a1  a0  phương trình có nghiệm x  -5- Nếu an  an1    1 ank    1 k n 1 a1   1 a0  phương trình có n nghiệm x  1 Nghiệm nguyên phương trình có ước a0 ; Nghiệm hữu tỉ x p phương trình có p ước hệ số a0 q ước hệ số an q Các hệ phương trình a) Hệ phương trình có phương trình phương trình bậc ax  by  c  Hệ có dạng :   F ( x; y )  (1)  Phương pháp giải : Rút ẩn (2) từ phương trình (1) vào phương trình (2) b) Hệ phương trình đối xứng kiểu  F ( x; y )  Hệ có dạng :  với F ( x; y ); G ( x; y ) biểu thức đối xứng với G ( x; y )  hai ẩn x, y S  x  y với điều kiện S  P , giải tìm S, P  Phương pháp giải : Đặt   P  xy x, y hai nghiệm phương trình bậc hai : X  SX  P   F ( x; y )  c) Hệ đối xứng kiểu 2: Hệ có dạng :  với F ( x; y )  G ( y; x) G ( x; y )   Phương pháp giải : Trừ vế theo vế phương trình hệ ta phương trình có nhân tử chung  x  y  đánh giá x  y d) Hệ phương trình có yếu tố đẳng cấp + Hệ phương trình có phương trình đẳng cấp -6-  F ( x; y )  Hệ có dạng :  với F ( x; y )  phương trình đẳng cấp  G ( x; y )  Phương pháp giải : Giải phương trình đẳng cấp tìm x theo y vào phương trình lại + Hệ phương trình đẳng cấp tổng quát :  A  x; y   B  x; y  Hệ có dạng :  với A  x; y  ; B  x; y  ; F  x; y  ; G  x; y   F  x; y   G  x; y  biểu thức đẳng cấp với hai ẩn x,y  Phương pháp giải : Nâng lũy thừa phương trình hệ với số mũ thích hợp tiến hành nhân vế theo vế nhân chéo vế phương trình để đưa hệ có phương trình đẳng cấp III NỘI DUNG ĐỀ TÀI Trong năm gần toán hệ phương trình thường xuyên xuất đề thi học sinh giỏi cấp, đề thi đại học ma trận đề thi THPT quốc gia năm 2015 Các toán yêu cầu mức độ tư vận dụng cấp độ cao không tốn hệ phương trình Điều làm cho học sinh gặp nhiều khó khăn cho học sinh, đặc biệt tinh thần học tập, tính tư – sáng tạo học sinh tốn giải hệ ngày có dấu hiệu xuống Xuất phát từ yêu cầu thực tiễn đó, phần tơi muốn nêu lên quan điểm dạy học sinh cách nghiên cứu, tìm tòi xu hướng phát triển tốn hệ phương trình từ hệ phương trình (đã nêu mục IV) để qua em nắm dấu hiệu, hình thành kỹ thuật giải hệ phương trình mức độ vận dụng cao tạo nên hứng thú học tập cho học sinh  x3  y  x  y   (1) Ví dụ: Giải hệ phương trình :  2  x  y  x  y   (2) -7- Giải : Lấy phương trình (1) cộng với phương trình (2) vế theo vế ta có : x3  x  x   y  y  y    x  1   x  1   y  1   y  1 3 Xét hàm số : f (t )  t  t Ta có f '(t )  3t   , t  R  f (t ) hàm đồng biến R, (*)  f ( x  1)  f ( y  1)  x   y   x  y  (3) Thay (3) vào (2) ta có :  y    y   y    y     13 y   3y2  y       13 y   Với y   13 4  13 , ta có x  3 Với y   13 4  13 , ta có x  3  4  13  4  13 x   x    3 Vậy hệ phương trình có (2) nghiệm :  ;  y   13  y   13   3 Chú ý : Với học sinh khối 10, khối 11 chưa học phương pháp hàm số ta giải phương trình (*) sau : (*)   x  1   y  1   x  y        x  y    x  1   x  1 y  1   y  1    x  y    x  y  2 (3) -8- (*) Trong lời giải toán điểm mấu chốt tốn phải thấy mối liên hệ hai phương trình hệ đặc biệt đại lượng phương trình có dấu hiệu đẳng thức  a  b   a  b  để cộng vế 3 theo vế phương trình, nhóm đẳng thức từ tìm lời giải Để giúp học sinh thấy điều ta có hướng khai thác sau : Tập cho học sinh làm quen với kỷ biến để sáng tạo tốn từ hệ phương trình giải Trong trình dạy học hệ phương trình, thường xuyên hướng dẫn học sinh cách tạo hệ phương trình từ hệ phương trình giải phương pháp biến Với cách làm nhận thấy tạo hứng thú cho học sinh, em thay sáng tạo tốn thách đố giải sơi Khơng thế, q trình giúp em rèn luyện cách nhìn nhận chất dấu hiệu phương pháp giải hệ phương trình đặc biệt phương pháp đặt ẩn phụ Quy trình xây dựng hệ phương trình kỷ biến : Bước : Chọn hệ phương trình giải (hệ bản) Bước : Chọn biến để thực phép biến (Lưu ý : Biến chọn để biến phải tạo hệ giải với nghiệm phương trình bước 1) Bước : Tiến hành biến đổi, thu gọn để tạo hệ phương trình  x  y x       Bài toán 1.1 : Giải hệ phương trình :   x2  y    Giải : -9- 5    x  y x    y    x2      y    x 4   Ta có :  x x  y    x  x    x  x  12     4    x     y         x    y     x   x    Vậy hệ có hai nghiệm :  ;   y    y    Nhận xét : Nếu với hệ phương trình cho học sinh thực phép biến x x  y biến y xy ta có hệ:  2 x  y  xy x  y         x  y 2  xy    Thực khai triển thu gọn phương trình hệ ta có hệ phương trình sau :  x  y  x y  x y  xy    Bài toán 1.2 : Giải hệ phương trình :   x  y  xy (1  x)    (Đề thi đại học khối A năm 2008) - 10 - Giải :   x  y  x y  x y  xy    Ta có :   x  y  xy (1  x)     2  x  y  xy  x  y  1     x  y 2  xy     u  v u       u  x  y Đặt  ta có hệ :  (đây toán 1.1) v  xy u  v      u     v        u    v    u   TH1 : Nếu  , ta có: v      x2  y   y   x2 x         xy   x   y   25   4  16  u    TH2 : Nếu  , ta có : v      x  y   x      xy       xy   2 x3  x    y     x   Vậy hệ phương trình có hai nghiệm :  3; y    - 11 -  x     y   25  16 Nhận xét :- Việc giải hệ điểm mấu chốt học sinh phải nhìn nhận đẳng thức  x  y  , điều định hướng cho học sinh nhìn nhận hai phương trình hệ có chung đại lượng x  y; xy , từ đưa lời giải - Khi học sinh làm quen nhiều với phép biến em hiểu chất dấu hiệu đẳng thức khai triển phép biến x ; x3 ; y ; y đại lượng cách tự nhiên em thử nhóm đẳng thức để xem tìm lại đại lượng từ hình thành “ phương pháp đặt ẩn phụ để giải hệ phương trình” x  y  Bài tốn 1.3 : Giải hệ phương trình :  x  y   Giải :   x  1  x  y   y  x y 1 Ta có :     x  x  y   x  x      y  2  x  1  x  ;  Vậy hệ có hai nghiệm :  y    y  2 y  Trong hệ phương trình ta thực phép biến x  x   x  y  x  x  y    y y  ta hệ phương trình :   x  y   y     x Thực khai triển quy đồng mẫu số ta có hệ phương trình sau - 12 -  x  xy  x  y  Bài toán 1.4 : Giải hệ phương trình :  2  x  x y  x  y  Giải : Cách :  x  y  xy  x   x  xy  x  y  Ta có :   2 2 2  x  x y  x  y   x  y   x y  x  (1) (2) Từ phương trình (1) ta có x  y  x   y  thay vào phương trình (2) ta có : x  x  y  3  x  y     x  y  y       y  5y   x  Với x  , kết hợp với (1) ta có  y   x  y  xy  x   x  Với y  y   kết hợp với (1) ta có    y  y   y 1 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm : (0; 0); (1; 1) Cách 2: x  Nhận xét, x  hệ có nghiệm  y  Với x  ta chia hai vế phương trình đầu cho x chia hai vế phương trình thứ hai cho x2 ta hệ sau : y x   x   y 30 x   y     x y    2 y  y  x2   x   y 50  3y     x x2 - 13 -  u  1  y  u  v  v  u  x  Đến ta đặt   x Khi hệ trở thành   u  u  v   v  y    v  2 u  1 Với  , ta có : v  y   x   1  x  x   (Vô nghiệm)  x  y    y   u  Với  , ta có : v  2 y   x2  x    x  x     x  y  y 1   y   2 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm : (0; 0); (1; 1) Nhận xét : Điểm mấu chốt lời giải trước tiến hành đặt ẩn phụ ta phải thực phép chia hai vế phương trình hệ với đại lượng “ đặc biệt” thích hợp Đối với học sinh làm quyen với phép biến dạng phân thức em nhận đại lượng “ đặc biệt” có thực phép biến quy đồng mẫu số hệ loại đại lượng “đặc biệt” thường dạng lập vế phương trình, dạng tích với đại lượng chung, xuất nhiều phương trình khai triển chuyển vế hoàn toàn Ta xét ví dụ sau :  x3  y  55   64 Bài toán 1.5 : Giải hệ phương trình :   xy  y  y  3  12  51x Nhận xét : Trong hệ phương trình này, theo phân tích nhận xét x hạng tử “đặc biệt” dạng tích với hạng tử lại tiến hành thử chia hai vế phương trình hệ Giải : Nhận xét : x  hệ vô nghiệm - 14 -  3     y  1  52  x3  y  55   64  Với x  , Ta có :    x   y    52  xy  y  y  3  12  51x   x  u  3v  52 u  Đặt  , hệ trở thành  x v  3u  52 v  y   u  v   u  uv  v  3  u  v u     u  3u  52  v  u  3v  52 4 u  x   4 Với  , ta có  x  v   y    y  x  Vậy hệ có nghiệm day  y  Như hệ phương trình giải phương pháp đặt ẩn phụ thường có nguồn gốc từ hệ phương trình kết hợp với phương pháp biến Do tùy theo biến để có dấu hiệu định hướng nhận dạng phương pháp đặt ẩn phụ Các dấu hiệu là: - Các dấu hiệu đẳng thức: Các dấu hiệu nguồn gốc phép biến chẳng hạn biến x f ( x) x biến thành f ( x) khai triển thu gọn sót lại dấu hiệu đẳng thức để nhóm lại đặt ẩn phụ - Hệ có chứa thức, phép đổi biến có chứa căn:  xem xét việc đặt ẩn phụ bẳng thức - Một số hệ trước tiến hành đặt ẩn phụ thường phải tiến hành chia vế phương trình hệ cho đại lượng phù hợp Nguyên nhân phép biến ban đầu sử dụng biến có chứa phân thức Thực phép biến kết hợp với phép biến đổi đại số - 15 - Ngoài việc thực phép biến, trình hướng dẫn học sinh sáng tạo hệ phương trình, ta hướng dẫn cac em kết hợp với phép biến đổi đại số khác phép cộng đại số, phép nhân… x  y  Chẳng hạn, từ hệ phương trình  , thực phép biến x x  y    y   x   y y  , quy đồng rút gọn ta hệ : x   x  xy  x  y   2  x  x y  x  y  (1) (2) Tiếp tục rút x phương trình (1) vào phương trình (2) ta có hệ phương trình sau : Bài tốn 2.1 : Giải hệ phương trình :  x  xy  x  y   2  x  x y  xy  y  15 x  y  (1) (2) Nhận xét : Để giải hệ phương trình này, trước hết học sinh phải nhìn nhận phương trình (1) phương trình (2) có phận chung xy  x  y để từ định hướng đại lượng tiến hành thực phép cộng đại số để triệt tiêu đại lượng phương trình (2) Giải :  x  xy  x  y  Ta có :  2  x  x y  xy  y  15 x  y   x  xy  x  y   2  x  x y  x  y  x  Nhận xét, x  hệ có nghiệm  y  Với x  ta chia hai vế phương trình đầu cho x chia hai vế phương trình thứ hai cho x2 ta hệ sau : - 16 - y x   x   y 30 x   y     x y    2 y   y  x2   y    x    y     x x  u  1  y  u  v  v  u  x  Đến ta đặt   x Khi hệ trở thành   u  u  v   v  y    v  2 y  u  1  x   1  x  x   Với  , ta có :  (Vơ nghiệm)  x v  y     y   y   x2  x    x  u  x   Với  , ta có :    x y  v  2 y 1  y   2  Vậy hệ phương trình cho có nghiệm : (0; 0); (1; 1)  x2 y2   (1)  2 Bài toán 2.2 : Giải hệ phương trình sau :   y    x  1 8 x  y  xy   (2)  Giải: Đk: x  1; y  * Với ĐK (*) ta có:  x   y    ( I )   y    x    4( x  1)( y  2)  xy 2  x 2  y 2    8 8  y    x     x y 4  y  x 1  - 17 - (I) Đặt x y  a; b y2 x 1 Ta có hệ phương trình trở thành:  a  b 2  16 a  b    ab  ab    a  b   a     ab   b     a  b  4  a  2    ab   b  2  x 8  2 x   x  y  a   y2  (tm)  * Với  ta có:   10 x  y   b  y   y   2   x   x  y   2  x  y  4 x  a  2   * Với  ta có:  (Loại) x  y   y   y   b  2   2  x   8 10  Vậy nghiệm hệ phương trình là:  ;   3  Nhận xét: Qua ví dụ ta làm cho học sinh thấy trình tạo hệ phương trình phương pháp thế, phương pháp cộng đại số, phương pháp nhân vế theo vế…Từ hình thành cho em thói quen quan sát mối liên hệ “đại lượng chung” hai phương trình để định hướng phương pháp kết hợp hai phương trình với để giải hệ từ hình thành kỹ thuật sử dụng “phương pháp thế”, kỹ thuật sử dụng “cộng, trừ, nhân theo vế phương trình hệ” - 18 - IV CÁC BIỆN PHÁP TỔ CHỨC THỰC HIỆN - Thực phạm vi số buổi chữa tập, buổi học thêm Thầy giáo đưa số ví dụ cách thức xây dựng toán từ tốn bản, sau hướng dẫn học sinh tìm tòi để phát dấu hiệu đặc trưng để tìm lời giải - Thực tương tự buổi ôn thi THPT quốc gia chuyên đề hệ phương trình - Thực chủ yếu buổi ôn thi học sinh giỏi chuyên đề hệ phương trình - Thực giao nhiệm vụ cho học sinh tự nghiên cứu toán mới, đúc rút kinh nghiệm dấu hiệu đặc trưng để định hướng giải hệ phương trình với hướng dẫn, kiểm tra Thầy giáo V KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU - Sau áp dụng biện pháp đề tài cho thấy biện pháp tạo được hứng thú cho học sinh, em thay sáng tạo toán thách đố giải sơi Có nhiều em xây dựng toán hay lạ Khơng thế, q trình giúp em rèn luyện cách nhìn nhận chất dấu hiệu phương pháp giải hệ phương trình - Qua khảo sát cho thấy, lớp 10 12: 80% học sinh định hướng phương pháp giải đứng trước hệ phương trình tương tự đề tài giáo viên đưa toán đề thi thử kỳ thi THPT quốc gia trường có khoảng 30% học sinh giải với thời gian hợp lý lớp Như đề tài “Thế biến – kỷ tạo niềm đam mê sáng tạo cho học sinh thơng qua tốn giải hệ phương trình” có tác dụng thực tiễn lớn giảng dạy giáo viên trình học tập học sinh - 19 - C KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ I KẾT LUẬN - Trong đề tài, cung cấp cách có hệ thống logic quy trình sáng tạo tốn hệ phương trình từ hệ phương trình Việc học sinh luyện tập quy quy trình bổ ích em nắm nguồn gốc để tạo hệ phương trình tổng qt, từ em tìm dấu hiệu chất hệ phương trình nhằm tìm định hướng, thực lời giải - Việc học sinh thực sáng tạo hệ phương trình làm tăng hứng thú cho em, kích thích em tự tin, rèn luyện tư sáng tạo, tư tổng quát hóa, đặc biệt hóa Góp phần nâng cao chất lượng dạy học tốn nói chung - Sáng kiến kinh nghiệm làm tài liệu tham khảo cho giáo viên dạy học mơn Tốn trường THPT; cho em học sinh học khối 10 THPT em học sinh khối 12 THPT ôn thi kỳ thi THPT quốc gia II KIẾN NGHỊ - Khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm giảng dạy, cần phải chắn học sinh nắm phương pháp giải dạng hệ - Đề tài phát triển thêm phần phương trình để trở thành tài liệu cho giáo viên giảng dạy mơn Tốn trường THPT Bản sáng kiến chuẩn bị nghiêm túc song khơng tránh khỏi sai sót Tác giả xin chân thành cảm ơn ý kiến đóng góp bổ sung quý giám khảo, quý thầy cô bạn đọc để đề tài ngày hoàn thiện - 20 - ... đưa toán đề thi thử kỳ thi THPT quốc gia trường có khoảng 30% học sinh giải với thời gian hợp lý lớp Như đề tài Thế biến – kỷ tạo niềm đam mê sáng tạo cho học sinh thơng qua tốn giải hệ phương. .. hướng dẫn học sinh cách tạo hệ phương trình từ hệ phương trình giải phương pháp biến Với cách làm nhận thấy tạo hứng thú cho học sinh, em thay sáng tạo toán thách đố giải sôi Không thế, trình... toán yêu cầu mức độ tư vận dụng cấp độ cao khơng tốn hệ phương trình Điều làm cho học sinh gặp nhiều khó khăn cho học sinh, đặc biệt tinh thần học tập, tính tư – sáng tạo học sinh toán giải hệ
- Xem thêm -

Xem thêm: SKKN thế biến – kỹ năng tạo niềm đam mê sáng tạo cho học sinh thông qua bài toán giải hệ phương trình image marked , SKKN thế biến – kỹ năng tạo niềm đam mê sáng tạo cho học sinh thông qua bài toán giải hệ phương trình image marked

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn