SKKN hướng dẫn học sinh giải phương trình, bất phương trình bậc hai chứa tham số và thỏa mãn điều kiện phụ image marked

20 5 0
  • Loading ...
1/20 trang

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 02/08/2019, 19:46

MỤC LỤC A MỞ ĐẦU I Lí chọn đề tài II Mục đích nghiên cứu III Đối tượng nghiên cứu IV Phương pháp nghiên cứu B NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM .3 I Cơ sở lí luận II Thực trạng vấn đề trước áp dụng SKKN .4 III Các thí dụ minh họa IV Hiệu bước đầu SKKN .18 C KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 19 TÀI LIỆU THAM KHẢO 20 HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CHỨA THAM SỐ VÀ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN PHỤ A MỞ ĐẦU I Lí chọn đề tài Bài toán giải biện luận phương trình, bất phương trình bậc hai chứa tham số tốn thường gặp chương trình Tốn THPT Để giải số phương trình, bất phương trình ta thường quy phương trình bậc hai chứa tham số thỏa mãn điều kiện phụ Bài toán trước giải sử dụng định lí đảo dấu tam thức bậc hai, đưa toán so sánh số với nghiệm tam thức bậc hai Tuy nhiên, chương trình mơn Tốn THPT từ năm 2006 đến khơng có nội dung định lí đảo dấu tam thức bậc hai, điều dẫn đến khó khăn cho học sinh giải toán cần sử dụng đến nội dung kiến thức Cũng có số tài liệu tham khảo mơn tốn đưa số ví dụ dạng tốn khơng hệ thống thành chun đề, mà giới thiệu lẻ tẻ Bởi vậy, học sinh giáo viên khó khăn tiếp cận dạng tốn này, tìm tài liệu học tập, giảng dạy Để giúp học sinh hiểu, giải toán đưa toán so sánh số với nghiệm tam thức bậc hai, đồng thời trao đổi kinh nghiệm giảng dạy với bạn đồng nghiệp, lựa chọn đề tài SKKN: “Hướng dẫn học sinh giải phương trình, bất phương trình bậc hai chứa tham số thỏa mãn điều kiện phụ” II Mục đích nghiên cứu Mục tiêu nghiên cứu đề tài giúp em học sinh lớp 10 tiếp cận giải phương trình, bất phương trình chứa tham số đưa dạng toán so sánh số với nghiệm phương trình bậc hai khơng sử dụng định lí đảo dấu tam thức bậc hai Đồng thời, thơng qua tốn để phát triển lực tư phát giải vấn đề; tư sáng tạo cho học sinh III Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài phương trình, bất phương trình chứa tham số đưa phương trình bất phương trình bậc hai chứa điều kiện phụ, đưa lời giải cụ thể cho tốn Qua đó, đề tài tổng kết dạng toán hay gặp cách giải cho dạng tốn IV Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu tài liệu phương trình, bất phương trình chương trình tốn Trung học phổ thông Nghiên cứu thực tiễn: Khảo sát lực học sinh vấn đề tiếp cận giải phương trình, bất phương trình bậc hai chứa tham số thỏa mãn điều kiện phụ Thực nghiệm sư phạm: Tiến hành thực nghiệm đối tượng học sinh cụ thể nhằm đánh giá hiệu đề tài B NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM I Cơ sở lí luận Định lí Vi-et cho phương trình bậc hai ứng dụng Cho phương trình ax  bx  c   a   có hai nghiệm (phân biệt b   S  x1  x2   a không) x1 , x2 , ta có:  P  x x  c  a Điều kiện để phương trình ax  bx  c   a   có nghiệm x1 , x2 thỏa mãn: i) x1   x2  P  c 0 a    ii)  x1  x2   P  S      iii) x1  x2    P  S   Định lí dấu tam thức bậc hai Cho tam thức bậc hai f  x   ax  bx  c  a   có   b  4ac i) Nếu   f  x  dấu với hệ số a với x   ii) Nếu   f  x  dấu với hệ số a với x   b 2a iii) Nếu   f  x  có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 Khi f  x  dấu với hệ số a với x   ; x1    x2 ;   ; f  x  trái dấu với hệ số a với x   x1; x2  Trong định lí trên, ta thay   '  b '2  ac (với b '  b ) ta có kết luận tương tự Chiều biến thiên hàm số bậc hai Xét hàm số bậc hai: f  x   ax  bx  c  a   b   i) Nếu a  f  x  nghịch biến khoảng  ;   đồng biến 2a    b  khoảng   ;    2a  b   ii) Nếu a  f  x  đồng biến khoảng  ;   nghịch biến 2a    b  khoảng   ;    2a  II Thực trạng vấn đề trước áp dụng SKKN Trong thực tế giảng dạy, nhận thấy u cầu học sinh giải tốn: Tìm tất giá trị tham số a cho phương trình sau có nghiệm: x   a   x  5a  10   x  , học sinh biến đổi đến toán:  x  Tìm a để hệ  có nghiệm Đến học sinh lúng túng  x   a  1 x  5a   giải tiếp, tốn: Tìm a để phương trình x   a  1 x  5a   có nghiệm x  , toán mà trước thường sử dụng định lí đảo dấu tam thức bậc hai để giải Chương trình mơn Tốn THPT lớp 10 khơng có nội dung Tất nhiên, tốn giải cách rút a theo hàm số biến x sử dụng đạo hàm, lập bảng biến thiên suy kết Nhưng, với em học sinh lớp 10 chưa thể giải cách này, nội dung ứng dụng đạo hàm xét chiều biến thiên hàm số đến lớp 12 học Thực tế học tập giảng dạy mơn tốn lớp 10, có nhiều tốn tương tự tốn nêu Có số tài liệu tốn có đưa số ví dụ phương trình, bất phương trình chứa tham số quy phương trình, bất phương trình bậc hai chứa điều kiện phụ giải khơng sử dụng định lí đảo dấu tam thức bậc hai Nội dung đưa chưa thành hệ thống, khó cho học sinh học tập, nữa, việc tìm tài liệu học tập liên quan đến vấn đề khu vực trường THPT Tống Duy Tân khó khăn Thực tế đòi hỏi phải có hệ thống ví dụ cụ thể cho dạng toán để học sinh giáo viên có điều kiện học tập giảng dạy chủ đề phương trình, bất phương trình chứa tham số lớp 10 tốt III Các thí dụ minh họa Thí dụ 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x  2m x   m   Phân tích: Đặt x   t , ta có phương trình: t  2mt  m   Ta thấy, với t  , ta tìm nghiệm x phương trình cho Do tốn trở thành: Tìm m để phương trình t  2mt  m   có nghiệm t  Ta có hai lời giải cho toán sau: Lời giải 1: Xét tốn ngược: Tìm m để phương trình t  2mt  m   1 khơng có nghiệm t  Trường hợp 1: Phương trình (1) vơ nghiệm  '   m  1   1  m  Trường hợp 2: Phương trình (1) có hai nghiệm t1 , t2 t1  t2  Điều kiện cho trường hợp là:  '   m  1  m   ; 1  1;     P   m       m  1    m   S  2m  m    Kết hợp hai trường hợp trên, ta có điều kiện để phương trình (1) khơng có nghiệm t  là:   m  Do đó, phương trình (1) có nghiệm t  m   m  Hay, điều kiện để phương trình cho có nghiệm là: m   m  Lời giải 2: Điều kiện để phương trình t  2mt  m   có nghiệm là:  '   m  1   m   ; 1  1;   Khi đó, (1) có hai nghiệm là: t1  m   m  1 ; t2  m   m  1 ; Rõ ràng t1  t2 , nên để phương trình (1) có nghiệm t  , điều kiện là: t2  m   m  1    m  1  m  I  m   II   2 m      m   I      II    m  m   2 m    m       m 1 m  m  m Như vậy, điều kiện để phương trình cho có nghiệm là: m   m  Thí dụ 2: Tìm tất giá trị tham số a cho phương trình sau có nghiệm: x   a   x  5a  10   x   2 Phân tích: Ta có:  2  x   a   x  5a  10  x   x   2 2 x   a   x  5a  10   x  3  x    x   a  1 x  5a    2.1 Đến đây, toán trở thành: Tìm a để phương trình (2.1) có nghiệm x  Ta có hai lời giải sau: Lời giải 1: Ta tìm a để phương trình (2.1) khơng có nghiệm x  Có hai trường hợp: Trường hợp 1: Phương trình (2.1) vơ nghiệm, điều xảy  '   a  1   5a  1   a  3a    a  Trường hợp 2: Phương trình (2.1) có hai nghiệm x1 , x2 x1  x2  Điều kiện là:  '   '     x1  3 x2  3    x1 x2   x1  x2       x1  3   x2  3   x1  x2   a  3a  a   ;0  3;       5a  1  3.2  a  1    a  a0  a   2  a  1   Kết hợp hai trường trên, ta có điều kiện để phương trình (2.1) khơng có nghiệm x  a  Do đó, điều kiện để phương trình (2.1) có nghiệm x  a  Bởi vậy, giá trị cần tìm a là: a  Lời giải 2: Điều kiện để phương trình (2.1) có nghiệm là:  '  a  3a   a   ;0  3;   Khi (2.1) có hai nghiệm: x1  a   a  3a ; x2  a   a  3a ; Nên phương trình (2.1) có nghiệm x  khi: x2  a   a  3a   a  3a   a  I  a  3a    a   2  a  II    2 a  3a    a  Ta có: a   ;0  3;    I      II    a  a3 a   a  a  Bởi vậy, giá trị cần tìm a là: a  Thí dụ 3: Tìm m để x   m   x  m   với x  Phân tích: Đặt f  x   x   m   x  m  1, ta chia trường hợp   0,     Trường hợp   f  x    x  x1 x  x2 , ta đưa tốn tìm m để f  x  có hai nghiệm x1  x2  Lời giải: Đặt f  x   x   m   x  m  Ta có:    m     m  1  3m  4m Xét trường hợp: m  Trường hợp 1:    3m  4m    Khi f  x   0, m   x  R nên f  x   với x  Do m  m  thỏa mãn m  Trường hợp 2:    3m  4m    Khi f  x   0, m   b m2 x    2a 2  Nếu m  0, f  x   0, x  Vậy f  x   với x  , suy m  thỏa mãn 5  Nếu m  , f  x   0, x  Do x   khơng nghiệm 3 f  x   , suy m  không thỏa mãn Trường hợp 3:    3m  4m    m  Khi f  x   có hai nghiệm x1  x2 Nên f  x    x  x1 x  x2 Đến đây, ta tìm điều kiện để f  x   có hai nghiệm x1  x2  Ta có:  x1  1   x2  1  x 1  x1  x2      x2    x1  1 x2  1  m   x  x     x1  x2  x1.x2  m    m  1  m    m   m  m   Vậy, giá trị cần tìm m là: m  m  Lưu ý: Trong trường hợp   0, f  x  có hai nghiệm m   3m  4m m   3m  4m x1  ; x2  Nên f  x    x  x1 2 x  x2 Bởi vậy, để f  x   với x  , ta cần điều kiện: m   3m  4m x2    3m  4m  m m  m      3m  4m   0  m   m    2 3m  4m   m 2 3m  4m   m   Thí dụ 4: Với giá trị tham số m bất phương trình sau có nghiệm: x  x  m  m  3m    4 Phân tích: Chia hai trường hợp x  m x  m để khử dấu giá trị tuyệt đối đưa tốn giải tương tự Thí dụ Lời giải: Ta có, bất phương trình (4) tương đương với I   x  x  m2  m    x  x  m  5m    II    x  m  x  m 10  Từ định lí dấu tam thức bậc hai, ta suy (I) có nghiệm f  x   x  x  m  m   có hai nghiệm x1  x2 m  x2 Do   m  m   1  m   (I) có nghiệm khi:  2 m  1  m  m  Tương tự, (II) có nghiệm g  x   x  x  m  5m   có hai nghiệm x1  x2 x1  m Do (II) có nghiệm khi:   m  5m   1  m    2 1  m  5m  m Vậy, bất phương trình có nghiệm 1  m   NHẬN XÉT: 1) Để tìm điều kiện tam thức bậc hai f  x   ax  bx  c  a   có nghiệm x   ta làm theo hai cách: Cách Ta giải tốn ngược lại là: Tìm điều kiện để tam thức f  x   ax  bx  c  a   khơng có nghiệm x   , sau kết tốn ban đầu phần bù kết toán ngược  Cách Ta đặt điều kiện để tam thức có hai nghiệm x1 , x2 x1  x2 , f  x  có nghiệm x   cần thêm điều kiện x2   2) Tương tự, để tìm điều kiện tam thức bậc hai f  x   ax  bx  c  a   có nghiệm x   ta làm theo hai cách: Cách Ta giải toán ngược lại là: Tìm điều kiện để tam thức f  x   ax  bx  c  a   khơng có nghiệm x   , sau kết tốn ban đầu phần bù kết toán ngược  Cách Ta đặt điều kiện để tam thức có hai nghiệm x1 , x2 x1  x2 , f  x  có nghiệm x   cần thêm điều kiện x1   Thí dụ 5: Tìm m để x   4;6 nghiệm bất phương trình:   x   x   x  x  m  5 11 Phân tích: Đặt t    x   x  , đưa bất phương trình (5) tốn biện luận bất phương trình bậc hai Ta sử dụng phương pháp hàm số để giải toán Lời giải: Đặt t    x   x  ; u   x  x  24 với x   4;6 , ta có bảng biến thiên sau: x 25 4 25 u 0 t 0 Bất phương trình (5) trở thành: t  t  24  m  (5a) Bất phương trình (5) với x   4;6 (5a) với t   0;5 Đặt f  t   t  t  24  m , ta có:   4m  97  Nếu    m   97 97 f  t   0, t  R nên m   không thỏa 4 mãn  Nếu    m   97 97 f  t   0, t   nên m   không thỏa 4 mãn 97 1  4m  97 f  t   có hai nghiệm t1  1  4m  97 t2  Nên f  t    t1  t  t2  Nếu    m   12 Bởi vậy, (5a) với t   0;5 khi:  1  t1   t  1   4m  97 0  4m  97   m6 4m  97  4m  97  11 5 Vậy, giá trị cần tìm m  Chú ý: Ta tìm m để (5a) với t   0;5 phương pháp hàm số sau: Xét hàm số f  t   t  t  24  m , ta có bảng biến thiên sau: t    f t  Từ bảng biến thiên suy (5a) với t   0;5 f  5    m   m  3 x  4mx   Thí dụ 6: Tìm m để hệ sau có nghiệm:   x  Lời giải:  f  x   x  4mx   Ta tìm điều kiện để hệ sau vơ nghiệm:  1  x  c    ) nên a hệ vô nghiệm hai nghiệm x1 , x2 f  x  thỏa mãn điều kiện Vì với m f  x  ln có hai nghiệm trái dấu (do x1  1   x2 2m  4m  12 2m  4m  12 Ta có: x1  ; x2  , đó: 2 13  2m   x1   x1  1   x2   2m    x2  4m  12  1 4m  12 1  4m  12  2m  1   m 4  4m  12  2m  Từ suy hệ cho có nghiệm m   Thí dụ 7: Tìm tất giá trị m để x  1 m  4 1    2m  3  x    4m   x x  với x  Lời giải: 1  t  t  , ta có: x   t  , nên bất phương trình trở x x thành: f  t   t   2m  3 t  4m   có   4m  4m  Đặt x  Bài tốn trở thành: Tìm m để f  t   với t   ; 2   2;    Nếu   4m  4m      m  f  t   với t   , suy 2 f  t   với t   ; 2   2;   Nên   m  thỏa mãn 2  Nếu   f  t   có hai nghiệm t1  2m   4m  4m  2m   4m  4m  t2  Khi đó: f  t    t  t1 t  t2 Do đó: f  t   với t   ; 2   2;   khi: 14  2m   4m  4m   2  t1    4m  4m   2m    2m   4m  4m    4m  4m    2m 2 t2  1  2m  0;2m     4m  4m   13  m    4m  4m    2m    4m  4m   1  2m  Tóm lại:  13  m  giá trị cần tìm Thí dụ 8: Tìm a để phương trình sau có nghiệm: x  x   x  x    5ax 8 Phân tích: Ta thấy x  khơng nghiệm phương trình, nên giả sử x  , chia hai vế phương trình (8) cho x đưa phương trình bậc hai với ẩn t  x  x Lời giải: Ta thấy x  không nghiệm (1), giả sử x  ta có: 1   x   Đặt t  x  4     x     5a x x    t  , ta có phương trình: x  t   t  3  5a  t  5t   5a  8a  Phương trình (1) có nghiệm phương trình (8a) có nghiệm thỏa mãn t  Đến đây, ta có hai cách giải: 15 Cách 1: Ta tìm điều kiện để (8a) khơng có nghiệm thỏa mãn t  Phương trình (8a) có   20a  1 (8a) vơ nghiệm, nên 20 khơng có nghiệm thỏa mãn t   Nếu   20a    a    Nếu   20a    a   t1  (8a) có hai nghiệm t1  t2 20  20a   20a  ; t2  2 Do đó, (8a) khơng có nghiệm thỏa mãn t  4  t1  t2  Hay:   20a   4  t1   20a   13   t   20a    20a     a    20    a  20 20a   Như vậy, với a  suy a  (8a) khơng có nghiệm thỏa mãn t  Do giá trị thỏa mãn đề Cách 2: Ta giải phương pháp hàm số Ta có:  8a   t  5t   5a 8b  Đặt f  t   t  5t  , ta có bảng biến thiên sau: 16 t  4   f t   42 Phương trình (8b) có nghiệm t  đường thẳng y  5a đồ thị f  t  có điểm chung miền t  Từ bảng biến thiên ta có 5a   a  NHẬN XÉT: 1) Điều kiện để tam thức f  x   ax  bx  c  a   có hai nghiệm    x2  x1   là:  b   b    ;   2a  2a 2) Điều kiện để tam thức f  x   ax  bx  c  a   có hai nghiệm    x1  x2   là:  b   b    ;   2a  2a 3) Điều kiện để tam thức f  x   ax  bx  c  a   có hai nghiệm      b     (với giả thiết x1  x2 )   x1  x2   là:  a   b      2a 17 Thí dụ 9: Với giá trị x biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất: A  x  16  x Phân tích: Để tìm giá trị nhỏ biểu thức A, ta giải toán: Tìm A để phương trình A  x  16  x có nghiệm x, sử dụng phương pháp tìm điều kiện để tam thức bậc hai có nghiệm x   Lời giải: Ta có: A  x  16  x  x  16  A  x  A  x   2 25  x  16    A  x  A  x    16 x  Ax  400  A2   Hệ có nghiệm f  x   16 x  Ax  400  A2  có nghiệm x1  x2 x2   A  '  25 A2  6400    A  25 A2  6400 A  A  16   x2  16  Ta thấy x  A  16 Vậy, giá trị nhỏ A 16 IV Hiệu bước đầu SKKN SKKN tác giả triển khai dạy cho học sinh lớp 10A năm học 2015 – 2016 trường THPT Tống Duy Tân tiết tự chọn Sau học nội dung này, tác giả nhận thấy em học sinh tiếp nhận tốt nội dung kiến thức đề cập Thông qua ví dụ trình bày, em giải tốn tương 18 tự tìm cách giải toán cụ thể chủ đề mà khơng cần phải sử dụng định lí đảo dấu tam thức bậc hai (để giải toán so sánh số với nghiệm tam thức bậc hai), chưa cần sử dụng đạo hàm xét chiều biến thiên hàm số SKKN thầy mơn tốn trường THPT Tống Duy Tân giảng dạy tiết dạy tự chọn toán lớp 10, dạy bồi dưỡng học sinh giỏi nhận phản hồi tốt SKKN thầy cô sử dụng làm tài liệu giảng dạy hữu ích C KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận Những phương pháp giải biện luận phương trình, bất phương trình bậc hai chứa tham số thỏa mãn điều kiện phụ mà SKKN đề cập phù hợp với em học sinh lớp 10, cách giải trình bày khơng sử dụng định lí đảo dấu tam thức bậc hai, phù hợp với yêu cầu giảm tải chương trình mơn tốn lớp 10 hành Nội dung SKKN tài liệu tham khảo tốt cho học sinh ôn thi THPT Quốc Gia, tài liệu tham khảo phục vụ cho công tác giảng dạy giáo viên Kiến nghị Xuất phát từ tâm nguyện giáo viên ngày giảng dạy cho học sinh, mong muốn đề tài đánh giá tốt cần phổ biến cách rộng rãi để tài liệu đến tay giáo viên học sinh u thích mơn tốn XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 10 tháng năm 2016 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác ĐỖ ĐƯỜNG HIẾU 19 TÀI LIỆU THAM KHẢO Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên): Đại số 10 nâng cao, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, 2012 (Tái lần thứ sáu) Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên): Đại số 10, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, 2008 (Tái lần thứ hai) Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên): Bài tập Đại số 10 nâng cao, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, 2006 Hàn Liên Hải (Chủ biên): Toán bồi dưỡng học sinh PTTH đại số 10, Nhà xuất Hà Nội, 2000 (In lần thứ 9) Phan Đức Chính (Chủ biên): Các giảng luyện thi mơn tốn, tập một, Nhà xuất giáo dục, 2001 (Tái lần thứ tám) Nguyễn Thái Hòe: Rèn luyện tư qua việc giải tập toán, Nhà xuất giáo dục, 1998 (Tái lần thứ 2) Bộ giáo dục đào tạo: Tuyển chọn theo chuyên đề Toán học tuổi trẻ, 1, Nhà xuất giáo dục, 2005 20 ...HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CHỨA THAM SỐ VÀ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN PHỤ A MỞ ĐẦU I Lí chọn đề tài Bài tốn giải biện luận phương trình, bất phương trình bậc hai chứa. .. Hướng dẫn học sinh giải phương trình, bất phương trình bậc hai chứa tham số thỏa mãn điều kiện phụ” II Mục đích nghiên cứu Mục tiêu nghiên cứu đề tài giúp em học sinh lớp 10 tiếp cận giải phương trình, . .. hai chứa tham số tốn thường gặp chương trình Tốn THPT Để giải số phương trình, bất phương trình ta thường quy phương trình bậc hai chứa tham số thỏa mãn điều kiện phụ Bài toán trước giải sử dụng
- Xem thêm -

Xem thêm: SKKN hướng dẫn học sinh giải phương trình, bất phương trình bậc hai chứa tham số và thỏa mãn điều kiện phụ image marked , SKKN hướng dẫn học sinh giải phương trình, bất phương trình bậc hai chứa tham số và thỏa mãn điều kiện phụ image marked

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn