SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO BÌNH PHƯỚC TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MƠN TỐN ĐỀ TÀI:HƯỚNG DẪN HỌC SINH HỌC TỐT PHẦN PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC A/ PHẦN MỞ ĐẦU I/ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI : Lượng giác phận chương trình Tốn phổ thơng, cơng thức lượng giác tương đối nhiều khó nhớ, học thuộc lòng cơng thức học sinh dễ nhầm lẫn.Mặt khác tất đề thi Đại học, cao đẳng có câu giải phương trình lượng giác câu học sinh dễ lấy điểm em biết cách học cách nhớ Theo dạy phần lượng giác giáo viên cần thực công việc sau: 1/ Giúp học sinh hiểu, thuộc chứng minh công thức lượng giác 2/ Giúp học sinh số nhận xét để chứng minh đẳng thức lượng giác hay rút gọn biểu thức lượng giác 3/ Giúp học sinh số nhận xét nhìn phương trình cho biết sử dụng cơng thức để đưa phương trình dạng phương trình biết cách giải 4/ Giúp học sinh nhận loại nghiệm phương trình lượng giác có điều kiện Nội dung đề tài gợi ý vài cách nhớ công thức lượng giác số phương pháp giải phương trình lượng giác vi nhận thấy công thức lượng giác học sinh thường không nhớ đa số học sinh e ngại phương trình lượng giác có điều kiện Vì để giúp em học sinh đạt điểm tối đa phần lượng giác kỳ thi mạnh dạn viết đề tài Tơi mong nhận ý kiến đóng góp chân thành q thầy cô đồng nghiệp để viết tổng quát hôn, hay hôn II/ NỘI DUNG : Bài viết gồm phần sau: 1/ Cách học ghi nhớ công thức lượng giác 2/ Bài tốn tìm cung biết cung tìm cung biết cung 3/ Một số phương pháp biến đổi phương trình lượng giác 4/ Cách nhận loại nghiệm phương trình lượng giác có điều kiện B/ PHẦN NỘI DUNG I/ CÁCH HỌC VÀ GHI NHỚ CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC 1/HỆ THỨC CƠ BẢN :( phần ta ghi nhớ từ định nghĩa giá trị lượng giác ) sin x 1/ sin2x + cos2x = 2/ tanx = cos x cos x 3/ cotx = 4/ tanx cotx = sin x 1 5/ + tan2x = 6/ + cot2x = cos x sin x B x M A' K  H O B' A y Khi dạy định nghĩa giá trị lượng giác góc  , giáo viên lưu ý tọa độ điểm cung M (x;y) sin  = y, x y cos  = x, tan  = ( x  0) , cot  = ( y  0) y x Từ giáo viên cho học sinh tìm toạ độ điểm cung M vài vị trí đặc biệt, ví dụ :  = 1500 ;  = -3900,  =  ,… Sau giáo viên hướng dẫn học sinh tìm hiểu cơng thức 1,2,3 từ định nghĩa , công thức 4,5,6 học sinh phải chứng minh được, xem ví dụ để giáo viên đến dạng toán chứng minh đẳng thức lượng giác /CUNG LIÊN KẾT : ( để học thuộc công thức trước hết em phải thuộc định nghĩa cung đối , bù ,phụ , …Sau thuộc phần cách nhớ áp dụng vào tập) Hai cung đối x – x Hai cung bù x vaø  - x cos (  - x) = - cosx cos( - x) = cosx sin (  - x) = sinx sin ( - x) = - sinx tan(- x) = - tanx tan (  - x) = - tanx cot (- x) = - cotx cot (  - x) = - cotx  Hai cung phụ x –x Hai cung  x  + x  cos( - x) = sinx cos (  + x) = - cosx  sin ( - x) = cosx sin (  + x) = - sinx  tan( - x) = co tx tan (  + x) = tanx cot (  + x) = cotx cot (  - x) = tanx Hai cung  cos(  + x) = - sinx sin (  + x) = cosx 2 laø x vaø  + x CÁCH NHỚ : Giáo viên đóng khung trường hợp đặc biệt ghi nhớ trường hợp đặc biệt , trường hợp khơng nhắc đến thêm dấu trừ vào cos đối , sin bù , phụ chéo Hơn  ta có tang cotang  Hơn , chéo , sin  + x) = - co tx  cot( + x) = - tanx 3/CÔNG THỨC CỘNG :(phần em học thuộc cách ghi nhớ , lưu ý ta viết cung a trước , cung b sau theo thứ tự ) cos(a – b ) = cosa.cosb + sina.sinb CÁCH NHỚ : cos(a + b ) = cosa.cosb - sina.sinb cos cos cos , sin sin sin ( a + b) = sina.cosb +sinb cosa Sin sin cos , cos sin cuøng sin ( a – b) = sina.cosb – sinb cosa Cos đổi , sin không tan a  tan b tan ( a – b) =  tan a tan b tan a  tan b tan ( a + b) =  tan a tan b cot b cot a  cot ( a + b) = ( công thức tan ( a  b) cot( a  b) học sinh tự chứng minh) cot b  cot a cot b cot a  cot ( a – b) = cot b  cot a 4/CÔNG THỨC NHÂN: ( phần em tự chứng minh , xem tập) cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – = – 2sin2a cos3a = cos3a – 3cosa sin 2a = sina.cosa sin 3a = 3sina – 4sin3a tan a  tan a tan a tan 2a = tan3a =  tan a  tan a 5/CÔNG THỨC HẠ BẬC NÂNG CUNG  cos 2a  cos 2a  cos 2a cos2 a = sin2a = tan2a = 2  cos 2a a 6/CÔNG THỨC TÍNH sina , cosa , tana THEO t = tan 2 1 t 2t 2t sina = , cosa = , tan a = 2 1 t 1 t 1 t2 7/CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI : ( phần em học thuộc cách nhớ cho công thức biến tổng thành tích , sau suy ngược lại cơng thức biến tích thành tổng ) tan( BIẾN TÍCH THÀNH TOÅNG : cosa.cosb = cosa  b   cosa  b  sina.sinb =  cosa  b   cosa  b  sina.cosb = sin a  b   sin a  b  BIẾN TỔNG THÀNH TÍCH ab ab cos cosa + cosb = cos 2 ab ab sin cosa - cosb = - sin 2 ab ab cos sina + sinb = sin 2 ab ab sin sina - sinb = cos 2 sin( a  b) tan a + tanb = cos a cos b sin( a  b) tan a - tanb = cos a cos b CAÙCH NHƠ : Ù 1/ Cos cộng cos hai cos cos Cos trừ cos trừ hai sin sin Sin cộng sin hai sin cos Sin trừ sin hai cos sin 2/ cos nhân cos cos cộng cos Sin nhân sin trừ cos trừ cos Sin nhân cos sin cộng sin CÁCH NHỚ : tang cộng với tang ta Bằng sin hai đứa chia cos ta cos II/ BÀI TỐN TÌM NGỌN CUNG KHI BIẾT CUNG Ví dụ :Tìm số cung cung x : 1/ x = 2/ x = 3/ x =     k ( k  Z )  k ( k  Z )  k (k  Z ) Giải: Phương pháp: Vì k  Z nên ta chọn giá trị k = 0,1,2, sau biểu diễn cung đường tròn lượng giác đến cung vừa biểu diễn trùng với cung ta dừng laị , đếm số cung biểu diễn đường tròn lượng giác kết luận y 1/ Khi k = x =  Khi k == x =  cung x nằm M (   )  2  cung x quay lại M (  M(  ) O ) Kết luận : x =   2k (k  Z ) có cung nằm M ( 2/ Khi k = x = Khi k = x =    cung x nằm M (  Kết luận : x =  Khi k = x = x y M(     cung x nằm N      2  cung x quay lại M (   cung x nằm M (   ) O   x ) N ) P  cung x nằm P    cung x nằm N (N điểm đối xứng M qua O)  3 Khi k = x =   cung x nằm Q (Q điểm đối xứng N qua O) Khi k = x = )  k (k  Z ) có cung nằm M N 3/ Khi k = x = Khi k = x = ) (N điểm đối xứng M qua O) Khi k == x =   2  cung x quay lại M ( M(  ) O x N Q  ) 6  k (k  Z ) có cung nằm đỉnh hình vng MNPQ nội tiếp đường tròn Kết luận : x =  lượng giác Tổng quát: Nếu x =   2k ( k,n  Z) x có n cung nằm đỉnh đa giác n cạnh nội tiếp n đường tròn lượng giác III/ BÀI TỐN TÌM CUNG KHI BIẾT NGỌN CUNG Phương pháp: Để viết cung x ta càn nhớ phần tổng quát tốn tìm cung biết cung , ta nhóm cung tạo thành đa giác nội tiếp đường tròn lượng giác lại viết thành cung, cung khác khơng gom lại ta viết riêng Ví dụ : Cho cung x có ngon cung nằm đường tròn lượng giác hình vẽ Hãy tìm cung x ? y Hình M( N O A/ P  A Q ) x Bốn đỉnh M,N,P,Q tạo thành hình vng nội tiếp đường tròn luợng giác nên ta gom chung, hai đỉnh A, A/ đối xứng qua O nên ta viết chung thành cung  k  x   Vậy cung x hình  (k , h  Z )   x  h Hình y B M( N  ) x A/ A O Bốn đỉnh A,B,A/,B/ tạo thành hình vng nội tiếp đường tròn luợng giác nên ta gom chung, Hai đỉnh M,N hợp với đỉnh B/ tạo thành tam giác nội tiếp đường tròn luợng giác nên ta viết chung thành cung được.Vậy k  x  (k , h  Z ) cung x hình   x    h  B/ PHƯƠNG PHÁP THU GỌN NGHIỆM :  x    k 2 1/ Nếu  với      ta ghi x =   l ( k , h , l  Z )  x    h 2 2  (1) x    k m 2/ Nếu  với m cung (1) hợp với n cung (2) lập thành đa giác  x    h 2 (2) n  l 2 có m + n cạnh ta ghi x =   (k , h , l,n , m  Z ) nm 2  (1) x    k m 3/ Nếu  với m cung (1) tập hợp n cung (2)  x    h 2 (2) n  ta ghi x =   h 2 m (k , h,n , m  Z ) IV/ MỘT VÀI PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Phương pháp 1: Biến đổi phương trình cho dạng tích số : 1/ Khi hai vế phương trình có thừa số giống có chứa x ta phải chuyển vế đưa phương trình tích Ví dụ 1: Giải phương trình : sinx ( cosx +1 ) = cos2x.sinx Giải : sinx ( cosx -1 ) = cos2x.sinx  sinx ( cos2x – 2cosx – ) = sin x   cos x  2cos x   sin x   x  k cos x    x  2h  x  k   Vậy phương trình cho có nghiệm : x  k ( k  Z )  2/ Nếu góc phương trình có dạng u , 2u , ta thường dùng công thức nhân đôi công thức hạ bậc nâng cung để đưa phương trình theo góc Ví dụ2 : Giải phương trình : sin 2x = cos2x Giải : sin 2x = cos2x  sinx cosx - cos2x =  2cosx ( sinx – cosx ) = cos x  cos x    sin( x   )  sin x  cos x      x   k   x    h     x   k Vậy phương trình cho có nghiệm :  ( k,h  Z )  x    h  sin 2x = cos x  sin2x = + cos2x  sin2x – cos2x = Ví dụ2 : Giải phương trình : cos4x - sin4x + cos4x = Giải : cos4x - sin4x + cos4x =  (cos2x + sin2x)( cos2x – sin2x) + cos4x =  cos2x + cos4x =  2cos3x.cosx =  k  x   cos3 x    (k , h  Z )  cos x   x    h  3/ Nếu phương trình có chứa cos2x , sin2 x ta dùng công thức hạ bậc nâng cung Ví dụ 3: Giải phương trình : sin2 x + sin2 2x = sin2 3x + sin24x  cos x  cos x  cos x  cos8 x    2 2  cos2x + cos4x = cos6x + cos8x Giải : sin2 x + sin2 2x = sin2 3x + sin24x   cos3x cosx = cos7x cosx  cosx ( cos7x – cos3x) =   x   k   cos x    7 x  x  2h cos x  cos3 x 7 x  3 x  2h      x   k h   x   h  x    h x      x  h   x  Vậy phương trình cho có nghiệm :  x   h h ( k,h  Z ) 4/ Nếu phương trình có dạng tổng ta biến thành tích ngược lại Ví dụ 4: Giải phương trình : sinx + sin 2x + sin 3x = Giải : sinx + sin 2x + sin 3x =  ( sin3x + sinx) + sin2x =  2sin2x cosx + sin2x =  sin2x ( cosx + 1) = k  sin x  x    cos x    x   2  h   k  x  Vậy phương trình cho có nghiệm :  ( k,h  Z )  x   2  h  Ví dụ 5: Giải phương trình : Cosx cos7x = cos 3x cos 5x Giải : Cosx cos7x = cos 3x cos 5x  1 (cos8 x  cos x)  (cos8 x  cos x) 2  x  x  k  cos6x = cos2x   6 x  2 x  2k k  x  k x   x  k  k Vậy phương trình cho có nghiệm : x  ( k Z ) Bài tập : Giải phương trình sau : 1) sin 4x  sin 3x  sin 2x  sin x 2) sin x(1  cosx) =  cosx + cos x cos x  cosx  1 4)  1  s inx  3) sin 3x  cos 4x  sin 5x  cos 6x sinx + cosx cos2x  sin x  sin 2x 5) cot x   6) cos 3x.cos2x  cos x   tan x 7)  cos x  1 2sin x  cosx   sin 2x  s inx 8/ sin3 x + cos3 x = sinx – cos x  tan x 11/ sin2 x – sinx cosx + cos2 x = - sin x  sin x  cos x  sin x 13/  cos x 9/ – 13 cosx = - 15/ ( cosx + sinx )(1 – sinx ) = cos 2x 17/ cosx - cos 2x = sin 3x 10/ 3( sinx – cos x) + sin 2x = 12 / cos 3x – cos 2x = sin 3x 14/ sin 5x – sinx = sin x 16/ cos4 x – cos 2x + sin6 x = 18/ cos2 2x + 2cos2 x = Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ để đưa phương trình cho dạng phương trình đại số 2t 1 t2 x , cos x  1/ Có thể đặt aån phuï t = tan  sin x  1 t2 1 t2 2t 1 t2 , cos x  ( t = tanx  sin x  ) 1 t2 1 t2 Ví dụ 1: Giải phương trình : 6tan2 x – 2cos2 x = cos 2x   k ( k  Z ) 6tan2 x – 2cos2 x = cos 2x  6tan2 x = 2cos2x + 1 t2 nên ta đặt ẩn phụ t = tan x  cos x  1 t2 1 t2 Khi phương trình (1) trở thành : 6t = ( ) +  6t4 + 7t2 – = 1 t2 Giải: Điều kiện : x  10 2 t   (loai )    tan2x = t      tan x   tan      tan x    tan         x   h  ( h Z )   x     h  Vậy phương trình cho có nghiệm x =    h ( h Z ) 2/ Biến đổi phương trình cho dạng có biêu thức đồng dạng để từ ta đặt ẩn phụ Ví dụ 2: Giải phương trình: tanx + tan2x + tan3x + cot2x + cot3x = (1) k ( k Z ) (1)  ( tanx + cotx ) + ( tan2x+ cot2x ) +( tan3x+ cot3x ) = Giải: Điều kiện : x  Đặt t = tanx + cotx = t  2 , sin x  nên t    sin 2x t  2  tan2x+ cot2x = t2 – , tan3x+ cot3x = t3 – 3t t  Khi phương trình (1) trở thành: t3 +t2 – 2t – =   t  3t   (vn)  =  sn2x =  x =  h ( h  Z ) ( thỏa đk)  sin 2x Vậy phương trình cho có nghiệm : x =   h ( h  Z ) m n 3/ Phương trình có chứa đồng thời  sin x  cos x  ,  sin x.cos x  ta đặt t = sinx  cosx Ví dụ3 :Giải phương trình: sin3x + cos3x = ( sinx + cosx) – (1) Giải: Đặt t = sinx + cosx = sin ( x   ) Điều kiện : t  [ 2; 2] 11  sin3x + cos3x = ( sinx + cosx)3 – 3sinxcosx( sinx + cosx) = t3 – 3t ( Khi phương trình (1) trở thành: t3 – 3t ( t 1 ) t 1 ) = 2t –  2t3 – 3t( t2 – 1) = 4t – 2 t   t3 + t – =   t  t   (VN )    sin  sin ( x  ) = 4  x  k   x     k   x  k Vậy phương trình cho có nghiệm :  ( k Z )  x     k  4/ Phương trình có dạng : a (tan2x + cot2x ) + b( tanx – cotx) + c = Ta đặt t = tanx – cotx  tan2x + cot2x = t2 + Ví dụ 4:Giải phương trình: (tan2x + cot2x ) + ( - 1) ( tanx – cotx) – - = (1) Giải: k Điều kiện : x  ( k Z ) Đặt t = tanx – cotx  tan2x + cot2x = t2 + Khi phương trình (1) trở thành: ( t2 + 2) + ( - 1)t – - =  t2 + ( t  2  t   * t = -2  tanx – cotx = -2 *t= - 1)t – =  tan x  1   tan   tan2x + 2tanx – =    tan x  1   tan   x    h ( k, h  Z )( thỏa đk)   x    h  cos x sin x  cos x 2 2 = =  tanx – cotx =   sin x cos x 3 3 sin x  = cot ( - )  cot2x = 3 12  2x = -  +l   x=-  l ( l  Z )( thỏa đk)   x    h  l Vậy phương trình cho có nghiệm :  x = -  ( k, h, l  Z )  x    h Bài tập:A/ Giải phương trình sau: 6 1/ 3cos x  4sin x  3cos x  4sin x  3/ 2(tan x  s inx) + 3(cotx  cosx) + = 5/ cos3x + cos2x – cosx – = x  7/ cot x  sin x 1  tan x tan   2  x 9/ + cosx = 2tan 11/ + tanx = 2 sinx 2/ s inx  cosx  4sin 2x  4/  s inx + cosx + sin2x + cos2x =     6/ cos x  sin x  cos  x   sin  3x     4 4   8/  cos x  sin x   sin x cos x  2sin x 0 10/ cotx = tanx + tan2x 12/ sin( 2x -  ) = sin( x -  ) + cos 3x 3 x  3x   ) = sin(  ) 14/ 2cos( x + ) = sin3x – cos3x 10 2 10 m 1   2m tan x  m   có ba nghiệm thuộc ( -  ; ) B/ Tìm m để phương trình : cos x 2 C/ Tìm m để phương trình : cos x + ( – m)cosx + 2m – = có nghiệm thuộc [0;  ] D/ Tìm m để phương trình : tan4x + ( 2m – 1)tan3x + ( m2 – 2m) tan2x – ( m2 – m + 1) tanx – m + = 13/ sin( có nghiệm thuộc khoảng ( -   ; ) 2 + cos2x ) + m ( - cosx) = (1) cos x cos x a/ Giải phương trình m = E/ Cho phương trình : 2( b/ Tìm m để phương trình (1) có nghiệm thuộc khoảng ( 0; 4m + = (1) cosx a/ Giải phương trình m = -  ) F/ Cho phương trình : 4tan2x + b/Tìm m để phương trình (1) có nghiệm thuộc khoảng ( -   ; ) 2 G/ Cho phương trình : sin3x – cos3x = m (1) a/ Giải phương trình m = b/ Tìm m để phương trình (1) có nghiệm thuộc đoạn [ :  ] H/ Cho phương trình : ( cosx – sinx ) + sin2x = m (1) a/ Giải phương trình m = - b/Tìm m để phương trình (1) vơ nghiệm 5/ Phương trình lượng giác có nhận loại nghiệm : 13 Khi giải phương trình lượng giác mà q trình giải cuối dẫn đến việc phải tìm giao hai tập hợp T1, T2, vấn đề đặt học sinh trung bình tìm T1  T2 dễ dàng Thơng thường ta có hai cách làm : C1: Dùng đường tròn lượng giác C2: Tìm nghiệm ngun phương trình vơ định a/ Việc chọn nghiệm nảy sinh từ việc giải phương trình lượng giác khơng mẫu mực: Ví dụ 5: Giải phương trình: cos3 x   cos x  2(1  sin 2 x) (1) Phân tích: Phương pháp bình phương hay đặt ẩn phụ khó khăn Ta giải phương trình (1) phương pháp đánh giá miền giá trị vế làm xuất bất đẳng thức đối lập Giải: VT (1)  12  12 cos x   cos x  Đẳng thức xảy cos3 x   cos x  cos3 x   2 2  cos x  cos x cos3 x    cos3 x  cos x  VT (1) = 2( + 2sin22x)  sin22x  Đẳng thức xảy + 2sin22x =  sin2x = Vậy (1) cos3 x   sin x  (*) Để giải hệ (*) ta có nhân xét: a Ta tìm nghiệm phương trình (*) Nếu nghiệm tìm đơn giản, ta tìm đường tròn lượng giác điểm cung thuộc tập nghiệm phương trình Chọn lấy điểm chung từ tìm nghiệm hệ nghiệm phương trình ban đầu Với ý tưởng ta dùng C1 y Ta có (*)  k 2   x    x  l  M( 2 ) B (cần lưu ý với học sinh tham số nguyên x phương trình khác nhau) A/  Trên đường tròn lương giác điểm cung thuộc tập nghiệm phương trình biểu thị dấu (.) chấm tròn (□) vng hình vẽ Chỉ có điểm chung A 14 A O N( 4 ) B/  Vậy nghiệm phương trình cho là: (k ) b Ta chọn giao hai nghiệm cách tìm nghiệm ngun phương trình vơ định k 2   x  Thật vậy:(*)    x  l  Hệ có nghiệm chung : k , l  Z : l Do l , k  Z  k 2 l  4k k  k  ( nên rút theo 3 hệ số với nhỏ hơn) k k  Z   m  Z  k  3m 3 Thay vào tập nghiệm hệ ta có nghiệm phương trình (1) Ví dụ 6: Giải phương trình: sin x(cos x  2sin x)  cos x(1  sin x  2cos x)  (1) Giải: Ta có: (1)  (sin4x.cosx + sinx.cos4x) – 2( sin24x + cos24x) + cos4x =  sin5x + cos4x = (2) sin x  Do   VT (2) cos x  Vậy (2) y B sin x  (*)  cos x  N( 9 ) 10 M( Cách 1:  10 ) x  k   x  10  Ta có (*)    x  l  A/ A O P( 13 Q( 17 ) 10 ) 10 B/  Biểu diễn điểm cung thuộc tập nghiệm hai phương trình đường tròn lượng giác chúng có điểm chung B   m2 Nhận xét: Ta nghĩ tới C1 việc biểu diễn điểm cung thuộc tập nghiệm phương trình đường tròn lưỡng giác vị trí Trong trường hợp số điểm chúng có nhiều vị trí phức tạp ta nghĩ tới C2 Bây ta dùng C2 để chọn nghiệm thử Vậy nghiệm phương trình cho là: x  Cách 2: 15 Hệ có nghiệm chung : k , l  Z : Do l , k  Z   10  k 2 l l 1   4k  5l   k  l  l 1 l 1 Z   m  Z  l  4m  4 Từ thay vào tập nghiệm thứ nghiệm phương trình là: x  Ví dụ 7: Giải phương trình: sin4x.cos16x =   m2 (1) Phân tích: Có thể biến đổi tích thành tổng hay đánh giá miền giá trị vế Mỗi nhận xét cho ta cách giải riêng Tuy nhiên việc biến đổi tích thành tổng cho lời giải ngắn gọn Cách 1: Biến tích thành tổng Ta có: (1)  sin20x – sin12x =  (1  sin 20 x)  (1  sin12 x)   k  x   sin 20 x   40 10   sin12 x  1  x     l  24 Hệ có nghiệm chung : k , l  Z : k Do l , k  Z   40  k  l   10 24 5l  2(l  1)  1 3 l 1 l 1 Z   m  Z  l  3m  3 Thay vào tập nghiệm thứ hệ phương trình nghiệm phương trình (1) là: x  Cách 2: Đánh giá miền giá trị hai vế: Ta có: Từ (1)  sin x cos16 x  (1/ ) (1’)  sin x  Do   sin x cos16 x   cos16 x  sin x  1  sin x  Vậy (1’)     cos16 x  cos16 x  1 Mặt khác do: sin4x.cos16x = > nên sin4x cos16x dấu sin x  sin x  1 Do  (2)  cos16 x  cos16 x  1 Từ (1) (2) (2) thỏa (1) thỏa Vậy (1) 16 (2)   m sin x  a/  (a) (ta giải hệ (a) hai cách để thấy rõ ưu điểm cách) cos16 x  Cách 1: Biểu diễn nghiệm phương trình đường tròn lương giác  k   x   Ta có (a)    x  l  B N M( Biểu diễn điểm cung hai phương trình đường tròn lượng giác Có điểm cung trùng Vậy nghiệm hệ (a) là: x    m ) x A/ P M,N,P,Q  A O B/ Q Cách 2: Tìm nghiệm nguyên phương trình vơ định: Hệ có nghiệm chung : k , l  Z :   k l   l  4k  Thay vào tập nghiệm phương trình thứ hệ, nghiệm phương trình cho là: x  (4k  1)     k  k  x   sin x      b/  cos16 x  1  x    l  16 Hệ có nghiệm chung : k , l  Z :    k  l    2l  8k  Vô lí VT chẵn, VP lẻ 16 Hệ (b) vơ nghiệm Kết luận: Vậy nghiệm phương trình x    m b/ Việc chọn nghiệm phương trình nảy sinh giải phương trình lượng giác chứa tang, cotang có chứa ẩn số mẫu: Ví dụ 8: Giải phương trình: tan x.tan x.tan x  tan x  tan x  tan x (1) Phân tích: Nguyên tắc giải phương trình loại là: 17  Đặt điều kiện cho tốn có nghĩa  Sau đó, giải phương trình kiểm tra nghiệm tìm có thỏa điều kiện đặt hay khơng?  Kết luận nghiệm    x  (2l  1) cos x      Giải:Điều kiện: cos3 x    x  (2m  1) cos5 x       x  (2h  1) 10  Với điều kiện (1) tan x(1  tan x.tan x)  tan x  tan x (2) Nhận xét: + tan2x.tan3x  nếu: + tan2x.tan3x =  tan2x = tan3x (VT=0 VP=0)   tan 2 x  vô lý tan x  Vậy (2) tan x  tan x  tan( x)  tan x.tan x  x   x  k  x  k Ta kiểm tra nghiệm tìm có thỏa điều kiện hay không? a/ Điều kiện (a) bị vi phạm : k , l  Z : Vậy x = k  k   (2l  1)  2k  6l  (vơ lý thỏa điều kiện (a) b/ Điều kiện (b) bị vi phạm k , m  Z : k  = ( 2m + 1)  c/ Điều kiện (c) bị vi phạm n, h  Z : n   = ( 2h + 1)  k = 2m + số nguyên lẻ Vậy điều kiện (b) thỏa k = 2n , nghiệm pt x = n Vậy x = n )  10   10n = 6h + ( vơ lý n, h  Z) thỏa điều kiện (c) Kết luận nghiệm phương trình cho : x = n Ví dụ 9: Giải phương trình: tan x  tan x , với x   (1) Giải: 18   k   x  10  (a ) (k , h  Z ) Điều kiện :   h  x   (b)  Với điều kiện tan5x=tan3x  5x = 3x + l   x = Điều kiện (a) bị vi phạm k , l  Z cho  10  l k l l 1   k = 2l + 2 l 1 = m số nguyên  l = 2m + Suy điều kiện (a) không bị vi phạm l = 2n  nghiệm x = n   h Điều kiện (b) bị vi phạm h, n  Z cho n  =   6n = 2h + ( vô lý) Vậy nghiệm x thỏa điều kiện (a) (b) x = n  Do x     n  , Vì n  Z nên ta chọn n = Vì k,l số nguyên nên Vậy phương trình có nghiệm x =   cot Ví dụ 10: Giải phương trình: x  1 2cot x  cos x.cot x  cos x (1) Giải: cos x    Điều kiện : sin x   sin x   x  l sin x    cos Với điều kiện (1)  x  sin x  sin x  cos x sin x.2cos x cos x(1  cos x)  cos x  sin x  sin4x = cosx = sin ( a/ Nghiệm x    x)  k 2  x    10   k x      cos x  cos x sin x k  2k l l 1   vi phạm điều kiện k=l+ 10 10 l 1 Do k,l  Z nên = m  l = 4m +  k Vậy x   nghiệm Thay l vào k ta có k = 5m + 10 (1) với k  5m + 19 k  2k l k 1  vi phạm điều kiện :   + 4k = 3l  l = k + 6 3 k 1 Do k,l  Z nên = n  k = 3n –  k Vậy x   nghiệm (1) với k  3n –  k 2  (k  5m  1)  x  10  Kết luận: Nghiệm (1)  ( k,m,n  Z )  x    k 2 (k  3n  1)  b/ Nghiệm x    c/ Việc chọn nghiệm nảy sinh biến đổi phương trình ban đầu phương trình hệ Ví dụ 11: Giải phương trình: cosx.cos2x.cos4x.cos8x = (1) 16 Phân tích : vế trái (1) biểu thức có dạng tích cos mà góc sau gâp đơi góc trước nên ta thường nhân hai vế (1) cho sin góc nhỏ Giải: a/ Xét sinx =  x = l  không thỏa phương trình (1) b/ Xét sinx   x  l  Nhân hai vế (1) cho sinx : (1)  sinx cosx.cos2x.cos4x.cos8x = sinx 16 1 sinx  sin2x.cos2x.cos4x.cos8x = 16  1 sin4xcos4x.cos8x = sinx 16 k  x  1 15 sinx  sin16x = sinx   (2)  sin8xcos8x = 16  x    k  17 17 Ta phải loại bỏ nghiệm x = l  (2) phương trình hệ (1) k 15l l a/ Nghiệm x = = l  k = = 7l + 15 2 l Do k,l  Z nên = m  Z  l = 2m , suy k = 15m 2 k Vậy x = nghiệm phương trình (1) với k  15m 15  k l 1  b/ Nghiệm x = = l   k = 8l + 17 17 l 1 Do k,l  Z nên = n  Z  l = 2n + , suy k = 17n +  k  Vậy x = nghiệm phương trình (1) với k  17n + 17 17 20 k  (k  15m)  x  15 (k , m, n  Z ) Kết luận : Nghiệm phương trình (1) :   k  x   (k  17 n  8)  17 17 Ví dụ 12: Giải phương trình: cos2x + cos4x + cos6x + cos8x + cos10x = - (1) Phân tích : vế trái (1) biểu thức có dạng tổng cos mà góc tạo thành câp số cộng với d cơng sai d = 2x.Thường để rút gọn ta nhân hai vế cho sin Giải: a/ Xét sinx =  x = n  khơng thỏa phương trình (1) b/ Xét sinx   x  n  Nhân hai vế (1) cho sinx , ta có : (1)  sinxcos2x + sinxcos4x + sinxcos6x + sinxcos8x + sinxcos10x = - sinx 1  [(sin3x – sinx)+( sin5x – sin3x)+(sin7x – sin5x)+( sin9x – sin7x)+( sin11x – sin9x)] = - sinx 2 k  sin11x – sinx = -sinx  sin11x =  x = 11 k k Nghiệm x = vi phạm điều kiện  k,l  Z cho : = n   k = 11.n 11 11 k Vậy nghiệm phương trình (1) : x = với k  11.n ( k, n  Z) 11 21 MỘT SỐ ĐỀ THI ĐỂ HỌC SINH TỰ LUYỆN Giải phương trình : 1/ cos2x + cos x=2 ĐS : x = 8n  ĐHTM 97 2/ sin3x( cosx – 2sin3x) + cos3x(1 + sinx – 2cos3x) = 3/ sinx( cos ĐS : ptvn x x - 2sinx) + cosx( + sin - 2cosx) = 4 4/ sinx.sin2x.cos(3x +  )=1 ĐS : ptvn 6/ cos2x + cos4x + cos6x = cosx.cos2x.cos3x + 5/ sinx.cos4x.cos8x = 7/ sin2000x + cos2000x = ĐS : x =  + 8n  ĐS : x = k  ĐS : x =  + k2  TTĐTCBYT HCM 1999 1   8/ cos x sin x sin x    x   k ĐS :   x  5  2k  9/ tan2x.tan7x = ĐS : x =  18  k C/ TÀI LIỆU THAM KHẢO 22  k  5  9t  1/ Bộ đề thi Đại Học Bộ Giáo Dục 2/ Các đề thi Đại Học năm vừa qua 3/ Sách chuyên đề lượng giác Lê Hồng Đức, Phan Huy Khải 4/ Tạp chí Tốn học tuổi trẻ D/ PHẦN KẾT LUẬN Kết thực : Nội dung đề tài này,tôi áp dụng dạy cho học sinh lớp 10 , 11 thời gian 14 tiết, tiết đầu tơi dạy khắc sâu phần cơng thức lượng giác, sau huớng dẫn cho học sinh phương pháp để giải phương trình lượng giác , phần tơi dạy cho học sinh từ trung bình yếu trở lên, phần phương trình lượng giác có nhận loại nghiệm tơi dạy cho học sinh giỏi với thời gian tiết.Khi dạy cho học sinh vấn đề này, thấy em thích thú, gặp đề tương tự em vận dụng cách giải cách linh hoạt, có đề em lại giải nhiều cách khác Tơi hy vọng với nội dung đề tài giúp ích cho học sinh số kinh nghiệm học cơng thức phương pháp giải phương trình lượng giác để em hiểu sâu nắm bắt vấn đề, qua em u thích mơn Tốn hơn, tự tin phòng thi kết kỳ thi đạt cao Kết cá nhân đạt năm gần NAÊM HỌC MÔN TOÁN KHỐI 2006-2007 182 ĐIỂM TỪ – 10 ĐIỂM TỪ 8-10 SL % SL23 % 104 57,1 18 17,3 HỌC SINH GIỎI TOÁN KHEN THƯỞNG Bằng khenUBND TỈNH Kiến nghò : Nhiệm vụ hàng đầu người giáo viên dạy Toán cho học sinh yêu thích môn Toán, chăm nghe giảng dạy đạt kết cao kỳ thi Hiện có nhiều học sinh cảm thấy môn Toán trừu tượng, khó hiểu, khơng nhớ cơng thức, liên quan đến đời sống thực Do trực tiếp giảng dạy môn Toán cố gắng tìm phương pháp hay để em tiếp cận vấn đề Toán học dễ dàng Sáng kiến phần nhỏ suy nghó tôi, hy vọng q thầy cô tìm kiếm nhiều phương pháp hay, trực quan, dễ hiểu để học sinh ngày giỏi hơn, thi đậu nhiều Dù cố gắng nhiều việc phân tích ví dụ khó tránh khỏi sai sót.Rất mong nhận ý kiến đóng góp q thầy cô để viết hoàn hảo NHẬN XÉT _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 24 _ _ _ 25 ... bù x vaø  - x cos (  - x) = - cosx cos( - x) = cosx sin (  - x) = sinx sin ( - x) = - sinx tan (- x) = - tanx tan (  - x) = - tanx cot (- x) = - cotx cot (  - x) = - cotx  Hai cung phụ x... m để phương trình (1) có nghiệm thuộc đoạn [ :  ] H/ Cho phương trình : ( cosx – sinx ) + sin2x = m (1) a/ Giải phương trình m = - b/Tìm m để phương trình (1) vơ nghiệm 5/ Phương trình lượng. .. Giải phương trình m = -  ) F/ Cho phương trình : 4tan2x + b/Tìm m để phương trình (1) có nghiệm thuộc khoảng ( -   ; ) 2 G/ Cho phương trình : sin3x – cos3x = m (1) a/ Giải phương trình m =