Toạ độ trong không gian GV : Phạm Hồng Tiến TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN BÀI 1 : VÉC TƠ 1- véc tơ trong không gian: - Các khái niệm , đn, các phép toán về véctơ…. Giống như trong mặt phẳng . 2- Véc tơ đồng phẳng : - Đlí 1 , Đlí 2, Đlí 3. ( SGK ). 3- Một số đẳng thức véctơ : - Qui tắc 3 điểm , hệ thức trung tuyến , hệ thức trọng tâm tam giác BÀI 2 : HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ – TOẠ ĐỘ VÉC TƠ – TOẠ ĐỘ MỘT ĐIỂM 1- Hệtrục toạ độ : 2- Toạ độ cuả véctơ : -Cho a r ta có : 1 2 3 1 2 3 ( ; ; )a a i a j a k a a a a= + + ⇔ = r r r r r - Tính chất : Cộng , trừ , k. a r , cùng phương . VD : Cho : (1; 2;3) (1; 1/ 2;0) : 2 a b Tinh a b = − = − + r r r r 4- Toạ độ cuả một điểm : ( ; ; )OM xi y j zk M x y z= + + ⇔ uuuur r r r . Đònh Lí : Toạ độ : ( ; ; ) B A B A B A AB x x y y z z= − − − uuur 5- Toạ độ một số điểm : - M chia AB theo tỉ số K - I trung điểm AB . - G trọng tâm tam giác ABC. - G trọng tâm tứ diện ABCD . VD : Cho M(1;3;-2) .Tìm toạ độ hình chiếu cuả điểm M trên : - mp toạ độ : xOy , yOz , xOz . - trên trục : 0x ,oy ,oz . BÀI 3 : TÍCH VÔ HƯỚNG – TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VÉCTƠ . 1- Tích vô hướng : ĐN : 1 1 2 2 3 3 . . . .a b a b a b a b= + + r r TC : • 2 2 2 1 2 3 a a a a= + + r • AB= 2 2 2 ( ) ( ) ( ) B A B A B A AB x x y y z z = − + − + − uuur • . cos( , ) . a b a b a b = r r urr r r • . 0a b a b= ⇔ ⊥ r r r r VD: Cho tgiác ABC có : A(2;1;-1); B(3;2;-1) và C( 3;1;0) Tính chu vi và góc A cuả tgiác ABC . 2- Tích có hướng : a-ĐN : b-TC :( bốn T/C ) VÍ DỤ: Choba vec tơ : (1;1; 1); (1; 2; 2); (2;5;7)a b c= − = = r r r CMR : Ba vectơ trên đồng phẳng c- Ứng dụng : UD1: Tính diện tích tam giác ABC. UD2: Tính thể tích tứ diện UD3: Tính thể tích hình hộp . Ví dụ :Cho bốnđiểm : A(1;0;0) ; B(0;1;0) ; C( 0;0;1)và D(-2;0;2) CMR : A,B,C,D là bốn đỉnh tứ diện . Tính thể tích và đường cao AH cuả tứ diện. BÀI TẬP : 1- Cho A(1;0;0) ;B( 0;0;1) C(2;1;1) a-Tìm chu vi và tính diện tích tgiác ABC b- Tìm toạ điểm D để ABCD là hình bình hành . c- Tính góc A cuả tgiác ABC . 2- Cho : A(1;2;1) ; B( 5;3;4) và C(8;-3;2) . a- CMR: Tam giác ABC vuông . b- Tính diện tích tgiác ABC . 1 Toạ độ trong không gian GV : Phạm Hồng Tiến c- Tính bán kính đường tròn ngoại , nội tiếp R , r của tgiác ABC . d- Tìm toạ độ chân đường phân giác trong BE cuả tam giác ABC . 3- Cho : A(0;1;0) ; B(2;3;1) ; C(-2;2;2) và D( 1;-1;2) . a-CMR : ABCD là một tứ diện có có 3 mặt vuộng tại A . b-Tính thể tích tứ diện ABCD. c-Gọi G là trọng tâm tam giác BCD .CMR: AG vuông góc mp( BCD ) . BÀI 4 : PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 1-vtpt – cặp vtcp cuả mp : *Vt 0n ≠ r r : Gọi là vtpt cuả mp( α ) ,nếu nó vuông gócvới mp( α ). * , 0 :a b ≠ r r uur gọi là cặp VTCP cuả mp( α )nếu chúng không cùng phương và ssong hoặc nằm trong mp( α ). *Nếu mp( α ) có cặp vtct , 0 :a b ≠ r r uur thìmp( α ) có vtpt là , .n a b   =   r urr 2-Pt tổng quát cuả mặt phẳng: *Đònh nghiã : Pt cuả mp có dạng : mp( α ) : Ax + By + CZ+D = 0 Với : VTpt ( ; ; )n A B C= r . ** Đònh lí :Mp( α ) đi qua M(x 0 ;y 0 ;z 0 )và có vtpt ( ; ; )n A B C= r là : mp( α ) A(x-x 0 )+ B(y-y 0 )+ C(z-z 0 )= 0 *** Chú ý: -mp( α ) qua gốc O: Ax+By+Cz = 0. - Mp(xOy) : z=0 - Mp(xOz) : y=0 - Mp(yOz) : x=0 -mp( α ) qua A(a;0;0) ; B(0;b;0) và C(0;0;c) : ( ) 1 x y z a b c α + + = -Hai mp ssong: Vtpt mp nầy là một vtpt cuả mp kia . - Hai mp vuông góc : VTpt mp nầy là một vtcp cuả mp kia . VÍ Dụ và Bài tập : Viếtpt mp( α ) trong cáctrường họp sau : 1- ( α ) qua A(1;-2;3) và có vtpt (2; 3; 1)n = − − r 2-( α ) có Cặp VTCP (0;1;2); (1; 2;3)a b= = − r r và qua M(1;-2;3) 3-( α ) qua 3điểm : A(1;0;3) ; B(-1;2;-2) và C(2;- 3;1) 4-( α ) qua A(-1;3;2) và vuông góc với trục 0z. 5-( α ) qua A(-3;2;-2) và chứa ox . 6- ( α ) qua hình chiếu cuả A(1;-2;3) lên các trục Ox,Oy,Oz . 7-Cho : A(2;-1;4) ; B(-1;0;2) , C(1;1;-1) ; D(0;3;-1) 2 Toạ độ trong không gian GV : Phạm Hồng Tiến a- Viết ptmp(ABC) . Suy ra ABCD tứ diện b- Viết ptmp( α ) qua D và vuông góc DC . BÀI 5 : VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI HAI MP – CHÙM MP 1- Vò trí tương đối hai mặt phẳng : Cho hai mp : ( α 1 ) A 1 x +B 1 y+C 1 =0 ( α 2) A 2 x +B 2 y+C 2 =0 * ( α 1 ) cắt( α 2) 1 1 1 2 2 2 A B C A B C ⇔ ≠ ≠ *( α 1 ) ssong ( α 2) 1 1 1 1 2 2 2 2 A B C D A B C D ⇔ = = ≠ * ( α 1 ) ≡ ( α 2) 1 1 1 1 2 2 2 2 A B C D A B C D ⇔ = = = 2- Chùm mặt phẳng : • Đònh Nghiã : • Đònh lí : • Ví dụ và bài tập : 1- Cho hai mp ( α 1 ) x+y+5z = 0 ( α 2 ) 2x+3y-z = 0 a- CMR : ( α 1 ) và ( α 2 ) cắt nhau theo giao tuyến (d ) . b-Viết pt mp ( α ) đi qua M(3;2;1) và chứa gtuyến (d ) .ĐS : 5x+14y-74z +31 = 0 . Bài tập : Viết ptmp( α ) qua gioa tuyế cuả haimp : 2x – z = 0 ; x+y-z + 5 = 0 và vuông góc mp : 7x –y +4z – 3 = 0 . BÀI 6 : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNGTHẲNG 1 – Pt tham số cuả đường thẳng : • Đònh lí : -Đường thẳng (d) đi qua điểm M ( x 0 ;y 0 ;z 0 ) và có vtcp 1 2 3 ( ; ; )a a a a= r thì ptts của (d) có dạng: (d) 0 1 0 2 0 3 x x a t y y a t t R z z a t = +   = + ∈   = +  2-Pt chính tắc cuả đưởng thẳng ( d ) : • Đònh lí : -Đường thẳng (d) đi qua điểm M ( x 0 ;y 0 ;z 0 ) và có vtcp 1 2 3 ( ; ; )a a a a= r thì ptctắc cuả (d) có dạng: (d) 0 0 0 1 2 3 x x y y z z a a a − − − = = ** Chú ý : -Hai mp ssong :VTcp 1 2 a a= ur uur -mp vuông góc với đthẳng: VTcp d a vtpt n α = uur uur VD : Viết ptts và ptct của đường thẳng AB : Với A(3;5;7) và B( 1;2;3) . 3- Ptrình tổng quát cuả đường thẳng : -Trong không gian hai mp ( α 1 ) và ( α 2 ) cắt nhau theo giao tuyến (d ) thì pt tổng quát cuả (d) có dạng . (d) 1 1 1 1 2 2 2 2 0 0 A x B y C z D A x B y C z D + + + =   + + + =  • Chú ý : - Tìm điểm M thuộc (d) ta cho 1 ẩn rồi giài hpt tìm hai ẩn còn lại : M(x;y;z) . - Véc tơ chỉ phương cuả ( d) : 1 2 1 2 3 ; ( ; ; ) d a n n a a a   = =   uur ur uur - pttq các trục toạ độ là : Ox 0 0 y z =   =  ; Oy 0 0 x z =   =  ; OZ 0 0 y z =   =  VD: Viết ptts và PTCT cuả ( D ) biết : 3 Toạ độ trong không gian GV : Phạm Hồng Tiến (D) 3 2 1 0 4 3 1 0 x y y z − + =   − + =  BÀI TẬP : ĐƯỜNG THẲNG 1-Viết pt : ts , ctắc , pttq của AB: Với A(-1;2;-2) và B( 2;-3;4 ) . 2-Viết PTTS và PTTQ cuả đường thẳng (d) biết : a- Qua A(-1;2;-3) và ssong trục Ox . b- Qua M( 2;-4;-2)và vuông góc với mp(Oxy). c- Qua M (2;3;5) và ssong với đường thẳng : (D) 3 2 7 0 3 2 3 0 x y z x y z − + − =   + − + =  d- Qua A(3;2;1) và vuông góc với đt: 3 ( ) 2 4 1 x y z + ∆ = = và cắt ( ∆ ) . 3-Cho mp( α ) P: x+y+z-1= 0 và đt(d 1 ) 1 1 x z =   = −  Viết ptđt (d 2 ) qua điểm M(1;1;-1) ,biết (d 2 ) nằm trong mp( α ) và d 2 vuông góc d 1 . 4-Viết ptđt(d ’ ) là hình chiếu vuông góc của đt (d) lên mp ( α ) : a- Cho (d) : 2 2 1 3 4 1 x y z− + − = = Và mp( α ) 2x + y + z – 8 = 0 b- Cho 2 0 ( ) 2 1 0 x y z d x z + − + =   − + =  Và ( α ) x-y +2z-1 = 0 . BÀI 7 : VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CUẢ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 1- Toạđộ giao điểm cuả đường thẳng vả mphẳng : TH1 : Cho (d) 0 1 0 2 0 3 x x a t y y a t t R z z a t = +   = + ∈   = +  Và mp( α ) : Ax+By+cz+D = 0 -Ta thế (d) vaò pt mp( α ) giải tìm t = ?. -Thế t = ? vào pt (d) tìm : x;y;z . TH2 :Cho (d) 1 1 1 1 2 2 2 2 0 0 A x B y C z D A x B y C z D + + + =   + + + =  Và mp( α ) : Ax+By+cz+D = 0 -Dùng máy tính,giải pt 3 ẩn tìm toạ độ giao điểm x;y;z . Ví dụ- Bài tập : 1- Tìm toạ độ giao điểm cuả (d) và mp( α ): a-Cho (d) 1 2 3 ; ( ) 2 2 0 3 x t y t x y z z t α = +   = − + − + − =   =  b-Cho: 3 5 7 16 0 ( ) ; ( ) 5 4 0 2 6 0 x y z d x z x y z α + + + =  − − =  − + − =  2- Cho đt (d) : 3 1 2 1 3 x y z− − = = − Và mp( α ) x+y+z = 0 . a-Tìm toạ giao điểm A cuả (d) và mp( α ) . b-Viếtptđt ( D ) qua A vuông góc (d) và nằm trong mp( α ) . 2-Vò tí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng Cách 1: -Gọi VTcp (d) là ( ) d a va vtpt mp n α α uur uur : • Nếu . 0 ( ) ( ) d a n d cat α α ≠ ⇔ uur uur • Nếu // : ; . 0 : ; d d M d M a n d M d M α α α α α ∈ ∉  = ⇔  ⊂ ∈ ∈  uur uur 4 Toạ độ trong không gian GV : Phạm Hồng Tiến Cách2: - Giải hpt giưã (d) và mp( α ) : + Hệ có nghiệm duy nhất : (d) cắt ( α ) . + Hệpt vô nghiệm : (d) // mp( α ) . + Hệpt vô số nghiệm : (d) ⊂ mp( α ). Ví dụ- Bài tập : 1-Xét vò trí tương đối (d) vàcác mp( α ) : Cho (d) 1 2 2 4 3 x t y t z t = +   = +   = +  và các mp( α ) là : ( α 1 ) x+y+z+2 = 0 ( α 2 ) 4x+8y+2z – 7 =0 ( α 3 ) 2x-2y+4z –10 = 0 ( α 4 ) x-y+2z+5 = 0 . 2-Cho (d) : (d) : 1 1 2 1 1 x y z− + = = − và mp( α ) : x+2y +z –1 = 0 . CMR : d cắt mp( α ) và tìm toạ độ giao điểm nầy. ĐS : I( 7/3;-1/3;-2/3) 3- Vòtrí tương đối đthẳng và đthẳng : * Cách 1 : -(d 1 ) qua M(x 0 ;y 0 ;z 0 ) , có vtcp 1 a ur . - (d 2 ) qua N(x 0 ;y 0 ;z 0 ) , có vtcp 2 a uur . • Tính : 1 2 , ,a a MN     ur uur uuuur . + [ ] 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 . . 0 . 0 : . . 0 d cat d a a MN a a d cheo d a a MN    ⇔ =    ≠ ⇒    ⇔ ≠    uur uur uuuur ur uur r uuruur uuuur + [ ] 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 . 0 // d d M d thi M d a a d d M d thi M d ≡ ⇔ ∈ ∈  = ⇒  ⇔ ⇔ ∈ ∉  ur uur r ** Cách 2 : -Giải hệ pt gồm hai đường thẳng d1 và d2 . Ví dụ1 : Cho (d 1 ) 3 5 1 0 2 3 8 3 0 x y z x y z + − + =   + − + =  (d 2 ) 1 1 2 3 x y z− = = − CMR: d 1 ⊥ d 2 và d 1 cắt d 2 . Ví dụ2 : Xét vòtrí tương đối của: (d) với d 1 , d 2 , d 3 và d 4 : 1 2 3 4 1 1 5 ( ) 2 3 1 4 1 3 : 6 9 3 3 2 6 : 4 6 2 3 2 6 : 4 3 5 1 2 1 : 3 2 2 x y z d x y z d x y z d x y z d x y z d − + − = = − − − = = − − − = = − − − = = − + + = = 5 Toạ độ trong không gian GV : Phạm Hồng Tiến BÀI 8 : KHOẢNG CÁCH 1-khoảng cách giưã hai điểm : AB = 2 2 2 ( ) ( ) ( ) B A B A B A AB x x y y z z = − + − + − uuur 2-Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng : d=(M; α ) = 0 0 0 2 2 2 Ax By Cz D A B C + + + + + 3-Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng : -Tính kcách từ : M(x 0 ;y 0 ;z 0 ) đến (d) . - Gọi : N(x 0 ;y 0 ;z 0 ) thuộc d ,vtcp d : 1 2 3 ( ; ; )a a a a= r thì : t= d(M,d) = ,a MN a     r uuuur r 4-Khoảng cách giưã hai đường thẳng chéo nhau - d 1 ) qua M(x 0 ;y 0 ;z 0 ) , có vtcp 1 a ur . -(d 2 ) qua N(x 0 ;y 0 ;z 0 ) , có vtcp 2 a uur . d= d(d 1 ;d 2 ) = 1 2 1 2 , . , a a MN a a         uuruur uuuur uuruur Ví dụ : Tính kcách từ điểm đến đthẳng : a- Cho M(1;2;1) và (d) 2 3 1 4 2 4 x y z− − + = = b- Cho M(2;3;1) và (d) 2 1 0 3 2 2 0 x y z x y z + − − =   + + + =  c- Vídụ : Tính kc hai đường : Cho (d1) 1 2 1 1 x t y t z = +   = − −   =  , (d2) 2 2 3 1 1 1 x y z− + − = = − ĐS : 6 2 . BÀI 9 : GÓC 1- Góc giữa hai đường thẳng : - d 1 ) qua M(x 0 ;y 0 ;z 0 ) , có vtcp 1 a ur . -(d 2 ) qua N(x 0 ;y 0 ;z 0 ) , có vtcp 2 a uur . Gọi : ( 1, 2)d d ϕ = thì : 1 2 1 2 . cos . a a a a ϕ = uuruur ur uur • d1 ⊥ d2 1 2 . 0a a⇔ = uur uur 2-Góc giữa hai mặt thẳng: - (P 1 ) qua M(x 0 ;y 0 ;z 0 ) , có vtcp 1 n ur . -(P 2 ) qua N(x 0 ;y 0 ;z 0 ) , có vtcp 2 n uur . Gọi : ( 1, 2)P p ϕ = thì : 1 2 1 2 . cos . n n n n ϕ = uuruur ur uur • P1 ⊥ P2 1 2 . 0n n⇔ = uuruur 3-Góc giữa đường thẳng và mặt thẳng: - (d) có vtcp a r . -(P) có vtpt n uur . Gọi : ( , )d p ϕ = thì : . . a n Sin a n α = uruur r uur (d) ⊥ (P) .a k n⇔ = r r Ví dụ : Tính góc giưã : a) (d1) 1 3 2 . 1 2 x z y va oz − − = + = − b) (d1 ) 1 0 ( ) 1 0 2 0 x y y z y α + − =  − + =  − =  c)(p) x - 2 1 0 ;( ) 2 2 0y z q x y z+ + = + − + = 6 Toạ độ trong không gian GV : Phạm Hồng Tiến BµI 10 : MẶT CẦU 1- Ph¬ng tr×nh mỈt cÇu : §Þnh lÝ 1 : pt mỈt cÇu t©m I(a;b;c) b¸n kÝnh R. ( S ) (x-a) 2 +(y-b) 2 +(z-c) 2 = R 2 - NÕu I trïng O : (S) x 2 +y 2 +z 2 = R 2 §Þnh lÝ 2: Trong kh«ng gian PT : ( S ) x 2 +y 2 +z 2 -2ax-2by-2cz +d = 0 víi : a 2 +b 2 +c 2 - d = 0 lµ pt mỈt cÇu ( S ) cã t©m I ( a;b;c) vµ cã b¸n kÝnh R= 2 2 2 a b c d+ + − . VÝdơ-BµI tËp : ViÕt pt ®êng ( S ) : a)– Cã t©m I ( 2;-1;1) vµ qua A(3;1;-1). b) – Cã ®êng kÝnh AB víi A(1;0;2) ; B(3;-2;2) . c) - Cho mỈt cÇu (S) x 2 +y 2 +z 2 -3x+4y-z –1= 0. T×m I ; R=? . 2- Giao cđa mỈt cÇu vµ mỈt ph¼ng : -Cho mp( α ) Ax+By+Cz + D = 0 vµ MỈt cÇu (s) x 2 +y 2 +z 2 -2ax-2by-2cz +d = o Gäi : - (S) cã t©m I vµ R vµ d = (I, α ) . d> R : mp( α ) vµ (S) kh«ng cã ®IĨm chung . d=R : mp( α ) tiÕp xóc (S) t¹i H .Khi ®ã ( α ) gäilµ tiÕp diƯn cđa (S) vµ H lµ tiÕp ®IĨm cđa (s) . d< R : MỈt ph¼ng ( α ) c¾t (S) theo mét ®êng trßn ( C ) . Chó ý : Ph¬ng tr×nh ®êng trßn : ( C ) 2 2 2 0 2 2 2 0 Ax By Cz D x y z ax by cz d + + + =   + + − − − + =  -(C ) cã t©m H lµ h×nh chiÕu cđa I lªn ( α ) . -( C ) cã b¸n kÝnh 2 2 r R d = − . VÝ dơ : Cho mp( α ) 2x-y-2z+6=0 Vµ mỈt cÇu (S) x 2 +y 2 +z 2 -2x-4y+6z-11=0 a- T×m I , R cđa (S) . b- CMR : Mp( α ) c¾t (S) . ViÕtpt ®êng trßn giao tun ,t×m t©m vµ b¸n kÝnh cđa ®êng trßn nÇy . ……………………………………………. BµI TËP : ¤N TËP 7 . Toạ độ trong không gian GV : Phạm Hồng Tiến TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN BÀI 1 : VÉC TƠ 1- véc tơ trong không gian: - Các khái niệm ,. Toạ độ trong không gian GV : Phạm Hồng Tiến c- Tính bán kính đường tròn ngoại , nội tiếp R , r của tgiác ABC . d- Tìm toạ độ chân đường phân giác trong BE