SỞ GD&ĐT BẮC NINH PHÒNG QUẢN LÝ CHẤT LƯỢNG ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG CUỐI NĂM Năm học 2018 - 2019 Mơn: Tốn - Lớp 11 Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian giao đề) Câu (2,5 điểm) Tính giới hạn sau: a) lim x 1 3x  7x  b) lim 2n  3n 2.3n  c) lim   n  6n  2n Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y  f (x )  x  3x  9x a) Giải bất phương trình f (x )  b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số cho điểm có hồnh độ x  Câu (1,5 điểm)    x  3x     Cho hàm số y  g (x )   x 1   mx     x  1 x  1 , với m tham số Tìm m để hàm số g (x ) liên tục  Câu (3,0 điểm) Cho tứ diện ABCD có AB, AC , AD đơi vng góc với Gọi H trực tâm tam giác BCD a) Chứng minh đường thẳng AD vng góc với mặt phẳng ABC  , đường thẳng AH vng góc với mặt phẳng (BCD ) b) Gọi  góc hai mặt phẳng (ABC ), (BCD ) Chứng minh cos   AH AD c) Biết tam giác ABC , ABD, ACD có diện tích 2, 3, (đơn vị diện tích) Tính diện tích tam giác BCD Câu (1,0 điểm) Chứng minh với số nguyên dương n ta có C 21n  3C 23n  5C 25n   (2n  1)C 22nn1  HẾT (2n  1)! (n  1)! SỞ GD&ĐT BẮC NINH PHỊNG QUẢN LÍ CHẤT LƯỢNG HƯỚNG DẪN CHẤM KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG CUỐI NĂM NĂM HỌC 2018 - 2019 Mơn: Tốn – Lớp 11 Câu 1.a Đáp án Tính giới hạn lim x 1 1,0 3x  3.1    7x  7.1  lim x 1 1.b 3x  7x  Tính giới hạn lim Điểm 1,0 2n  3n 2.3n  1,0         n lim 1.c Tính giới hạn lim lim 2.a 2n  3n  lim 2.3n     1      n  n  6n  2n    n  6n  2n  lim n    2    n   0,5 0,5 Giải bất phương trình f (x )  1,0 Ta có f (x )  3x  6x  9, x   0,5 x  Vậy f (x )   3x  6x     x    2.b 1,0 0,5 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số cho điểm có hồnh độ x  1,0 Tung độ tiếp điểm y  f (1)  11 Hệ số góc tiếp tuyến k  f (1)  12 0,5 Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số cho điểm có hồnh độ x  0,5 y  12(x  1)  11  y  12x  Tìm m để hàm số g(x ) liên tục  1,5  x  3x  liên tục khoảng (1; ) x 1 Hàm g(x )  mx  liên tục khoảng (; 1) Vì g(x ) liên tục  liên tục điểm x  1 0,5  x  3x  5  x    3x   lim  x  x  x  x 1 x 1    3(1  x )      lim     2   x     x   3x   (3x  5)  4 0,5 Hàm g(x )  Ta có lim  g(x )  lim  Và lim  g (x )  lim (mx  2)   m; g(1)   m x  x  Hàm số g(x ) liên tục điểm x  1 0,5 lim  g(x )  lim  g (x )  g(1)   m  x  x  g(x ) liên tục  Chứng minh AH  (BCD ) m 4 Vậy với m  4.a 1,0 D Vì AD  AB, AD  AC nên AD  (ABC ) AD  BC (1) H A 0,5 C K B Gọi K  HD  BC Vì H trực tâm tam giác ABC nên HD  BC (2) Từ (1) (2) suy BC  AH (3) Tương tự BD  AH (4) 0,5 Hai đường thẳng BC , BD cắt nằm mặt phẳng (BDC ) nên từ (3) (4) suy AH  (BCD ) 4.b AH AD Ta thấy AD  (ABC ), AH  (BCD ) nên góc hai mặt phẳng (ABC ), (BCD )  tam giác vng AHD góc hai đường thẳng AD, AH góc HAD Chứng minh cos      Do HAD Trong tam giác AHD , cos   4.c Tính diện tích tam giác BCD AH AD 1,0 1  Dễ thấy BC  AK Ta có S BCD    BC DK   BC AD  AK      1 1  BC AD  BC AK  AB  AC AD  BC AK 4 4 2 1  AB AD  AC AD  BC AK  S ABD   S ACD   S ABC  4     29 Vậy S BCD  29 (đơn vị diện tích) 2 Lưu ý: Học sinh trình bày sau 0,5 0,5  1,0 0,5 0,5   AB.AC   AB.AC  1  Ta có  AB.AD   AB.AD   AB.AC AD  Từ tìm AB  3,    AC AD    AC AD   AC  , AD  3 Tính BC  39 , BD  15,CD  3 Đặt p  (BC  BD  CD ) S BCD  p(p  BC )(p  BD )(p  CD )  29 (đơn vị diện tích) Chứng minh C 21n  3C 23n   (2n  1)C 22nn 1  (2n  1)! (n  1)! (1) 1,0 Xét khai triển (1  x )2n  C 20n  C 21n x  C 22n x  C 23n x   C 22nn 1x 2n 1  C 22nn x 2x (2) Lấy đạo hàm hai vế (2) ta 2n(1  x )2n1  C 21n  2C 22n x  3C 23n x   (2n  1)C 22nn 1x 2n 2  2nC 22nn x 2n1(3) Ở (3) thay x  1, x  1 ta thu C 21n  2C 22n  3C 23n   (2n  1)C 22nn 1  2nC 22nn  2n.22n 1  C 2n  2C 22n  3C 23n   (2n  1)C 22nn 1  2nC 22nn    C 21n  3C 23n   (2n  1)C 22nn 1  n.22n 1 (4) 0,5 Để ý 22n 1  (1  1)2n1  C 20n1  C 21n 1   C 2nn 1   C 22nn11  C 2nn 1   n.22n 1  (2n  1)! (n  1)! (5) Từ (4) (5) suy C 21n  3C 23n   (2n  1)C 22nn1  (2n  1)! n !.(n  1)! 0,5 (2n  1)! (n  1)! Chú ý: Hướng dẫn chấm trình bày sơ lược cách giải Bài làm học sinh tiết, lập luận chặt chẽ, tính tốn xác tính điểm tối đa Với cách giải khác đáp án, tổ chấm trao đổi thống điểm chi tiết không vượt số điểm dành cho phần Mọi vấn đề phát sinh trình chấm phải trao đổi tổ chấm cho điểm theo thống tổ Điểm toàn tổng số điểm phần chấm, không làm tròn điểm