Bài tập đại số sơ cấp

CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 3.1. Phương pháp đạo hàm Đề Bài Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau đây; với là một hằng số dương; ; với a dương và n nguyên dương; với a dương và n nguyên dương; với p và q lớn hơn 1. Bài 2: Chứng minh các bất đẳng thức sau: với mọi a và b không âm; với mọi x>0 và hãy mở rộng kết quả này. Bài 3: Với x, y dương, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức . Bài 4: Hãy sưu tầm hoặc ra 20 đề toán thuộc loại này. Bài làm Bài 1: với là một hằng số dương. Đặt Khi đó Xét hàm số Ta có: Nếu thì Nếu thì b) Đặt Xét hàm Ta có: Vậy: max y min y = 6 với a dương và n nguyên dương Xét hàm số Ta có Ta có: Vậy max y = 2 . √(2na2) min y = √(2na) . d) y với a dương và n nguyên dương Xét hàm số = x(12n)+ (a x)(12n) , ∀ x ∈ 0 ,a Ta có f (x)=12n . x(_2n1) 1 + 12n (a x )(_2n1) 1 =12n x(_2n1) 1 + (a x)(_2n1) 1 >0 ∀ x ∈ 0,a Hàm số đồng biến ∀ x ∈ 0,a f(0)0. Đặt a =tb(t ≥0) ta được: 3t3 b3 18tb3 +17b3≥0 3t3 18t +17 ≥0 Xét hàm số f(t)= 3t3 18t +17 , t ∈⟦0,+ ┤) f (t)=9t2 –1 f (t)=0 9t2 –18 =0 t = √2 Bảng biến thiên của hàm số f(t) t 0 √2 + f (t) ∥ 0 + f(t) 17 17 2√2 f(t)>0 với ∀ t∈⟦0,+ ┤) Vậy BĐT được chứng minh. Dấu “ =” xảy ra a =b =0 . b) Chứng minh: ex>∑_(k=0)n▒xkk với mọi x > 0 Xét hàm số f_n (x)= ex 1 x x22 … xnn Ta sẽ chứng minh f_n (x)>0 () với mọi x >0, n ∈N. Với n =1,f_1 (x)= ex 1 x f_1 (x)= ex –1>0 Hàm số f_1 (x) đồng biến với x ∈ (0 ,∞) f_1 (x)>f_1 (0) =0. Vậy () đúng với n =1 . Giả sử () đúng với n=k, ta cần chứng minh () đúng với n=k +1 hay f_(k +1) (x)=ex 1 x … xkk x(k +1)(k +1)>0 Thật vậy: 〖f〗_(k +1) (x)= ex 1 x … xkk= f_(k ) (x)>0 (Theo giả thuyết quy nạp) Hàm số f_(k +1) (x) đồng biến với mọi x ∈ (0,+ ∞) f_(k +1) (x)>f_(k +1) (0)=0 Suy ra () đúng với n =k +1. Vậy: f_n (x)>0 với ∀ x∈(0 ,+ ∞) Hay ex>∑_(k=0)n▒xkk (đpcm). Bài 2: (Mở rộng) Cho n là số tự nhiên lẻ lớn hơn 3. Chứng minh rằng với mọi ta có: Đặt Ta cần chứng minh: Ta có: Vì n là số lẻ lớn hơn 3 nên cùng dấu với Do đó ta có bảng biến thiên: x 0 f’(x) 0 f(x) 1 Từ bảng biến thiên ta có: (đpcm) Bài 3: Với x, y dương, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Đặt Khi đó Xét hàm số: Lập bảng biến thiên ta được x f’(t) 0 f(t) khi Vậy khi Bài 4: Hãy sưu tầm hoặc ra 20 đề toán thuộc loại này. 4.1. Cho là số thực thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Bài làm Ta có: Ta có : , vì thế sau khi đặt thì: Ta có . Xét hàm số với . Ta có . Ta có bảng biến thiên như sau t 2 1 2 P’(t) + 0 P(t) 7 1 Vậy khi 4.2. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: Bài làm TXĐ: 3; 3 Đạo hàm : Ta có: Nên ; 4.3. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn . Giải. Ta có . Lại có , . Suy ra , . 4.4. Tìm GTLN, GTNN của hàm số . Giải. . Ta có ( ). Với mọi , ta có . Vậy , đạt được ; , đạt được . 4.5. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn . Giải. Ta có . Với mọi ta có . Vậy , đạt được ; , đạt được 4.6. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn . Giải. Ta có . Với mọi ta có hoặc hoặc ( ). Vậy , đạt được . , đạt được . 4.7. Tìm GTNN của hàm số . Giải. , suy ra . Ta có . hoặc . Thử lại, ta thấy chỉ có là nghiệm của . , , , đạt được . 4.8. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: Giải: .Đặt .Do nên . Bài toán trở thành tìm GTLN,GTNN của hàm số trên đoạn . .So sánh các giá trị này ta được GTLN là 2 tại t=0 hoặc t=1 tức là x=0 hoặc x= GTNN là tại t = tức là x = . 4.9. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: trên đoạn . Giải: D=R . Đặt ; .Do nên Hàm số trở thành , . .So sánh các giá trị này ta được GTLN là tại t= GTNN là tại t =0 . 4.10. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: trên đoạn . Giải: Ta có Đặt ; .Khi đó .Thay vào hàm số ta được : .So sánh các giá trị này ta được GTLN là 1 tại t=1 tức là ;GTNN là 1 tại t =1 tức là 4.11. Tìm GTLN và GTNNcủa hàm số: y= trên đoạn Giải: TXĐ: R ( Ta chỉ xét trên đoạn ) Đạo hàm: . Tại điểm x = 2, x = 3 hàm số không có đạo hàm y’=0 . Nên có 3 điểm tới hạn thuộc (5; 5) là x =2; ; x=3 Tính f(2)= f(3)=0; f ; f(5)=56; f(5)=6 Suy ra: ; 4.12. Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của . Giải. Đặt , suy ra . Ta có . Xét hàm , với . Ta có đồng biến trên . Do đó , đạt được khi và chỉ khi hoặc . , đạt được khi và chỉ khi . Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của . Giải. Đặt . Ta có , . Suy ra . Lại có . Ta có với mọi , , . Do đó , đạt được . , đạt được hoặc . Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của . Giải. Đặt , ta có , . Suy ra . Lại có . Ta có biến đổi sau đây . Xét hàm với . Ta có , . Suy ra nghịch biến trên . Do đó . . +) , dấu bằng xảy ra . Vậy , đạt được . +) , dấu bằng xảy ra hoặc . Vậy , đạt được hoặc . Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của . Giải. Đặt . Ta có . Xét hàm , . Ta có , đồng biến trên . Do đó . Dấu “ ” xảy ra , Đạt được . . Dấu “ ” xảy ra hoặc . , Đạt được hoặc . Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của . Giải. Từ giả thiết suy ra . Do đó, nếu đặt thì , hay . Ta có , suy ra . Xét hàm với . Ta có , có nghiệm duy nhất . Ta có , . Do đó , đạt được chẳng hạn khi . , đạt được khi và chỉ khi hoặc . Cho , thỏa mãn . Tìm GTNN của . Giải. Áp dụng bất đẳng thức với , ta được . Từ giả thiết, áp dụng bất đẳng thức , ta có (do , ). Đặt . Xét hàm , . Ta có đồng biến trên . Như vậy , dấu “ ” xảy ra khi và chỉ khi hoặc . Vậy , đạt được hoặc . 4.18. Cho các số thực , , thỏa mãn các điều kiện và . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Giải. Từ suy ra , thay vào đẳng thức thứ hai của giả thiết, ta được Do đó, nếu đặt thì ta có , . Biến đổi . Xét hàm , với . Ta có có hai nghiệm là . Ta có , , , . Vậy , đạt được chẳng hạn khi , . Cho x, y, z >0 thỏa mãn . Tìm GTNN của biểu thức . Giải. Đặt . Ta có và . Suy ra . Lại có , . Xét hàm với . Ta có , suy ra nghịch biến trên . Vậy , đạt được khi và chỉ khi . Cho là ba số thực thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : Giải : Theo giả thiết ta có và . Thay vào biểu thức P ta được : Xét hàm số : với và coi c là tham số c>0 Ta có : Ta có bảng biến thiên 0 + 0 Từ bảng biến thiên ta có : . Ta có : Bảng biến thiên : 0 + 0 Từ bảng biến thiên suy ra : . Vậy với thì . CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 3.1. Phương pháp đạo hàm Đề Bài Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau đây; với là một hằng số dương; ; với a dương và n nguyên dương; với a dương và n nguyên dương; với p và q lớn hơn 1. Bài 2: Chứng minh các bất đẳng thức sau: với mọi a và b không âm; với mọi x>0 và hãy mở rộng kết quả này. Bài 3: Với x, y dương, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức . Bài 4: Hãy sưu tầm hoặc ra 20 đề toán thuộc loại này. Bài làm Bài 1: với là một hằng số dương. Đặt Khi đó Xét hàm số Ta có: Nếu thì Nếu thì b) Đặt Xét hàm Ta có: Vậy: max y min y = 6 với a dương và n nguyên dương Xét hàm số Ta có Ta có: Vậy max y = 2 . √(2na2) min y = √(2na) . d) y với a dương và n nguyên dương Xét hàm số = x(12n)+ (a x)(12n) , ∀ x ∈ 0 ,a Ta có f (x)=12n . x(_2n1) 1 + 12n (a x )(_2n1) 1 =12n x(_2n1) 1 + (a x)(_2n1) 1 >0 ∀ x ∈ 0,a Hàm số đồng biến ∀ x ∈ 0,a f(0)0. Đặt a =tb(t ≥0) ta được: 3t3 b3 18tb3 +17b3≥0 3t3 18t +17 ≥0 Xét hàm số f(t)= 3t3 18t +17 , t ∈⟦0,+ ┤) f (t)=9t2 –1 f (t)=0 9t2 –18 =0 t = √2 Bảng biến thiên của hàm số f(t) t 0 √2 + f (t) ∥ 0 + f(t) 17 17 2√2 f(t)>0 với ∀ t∈⟦0,+ ┤) Vậy BĐT được chứng minh. Dấu “ =” xảy ra a =b =0 . b) Chứng minh: ex>∑_(k=0)n▒xkk với mọi x > 0 Xét hàm số f_n (x)= ex 1 x x22 … xnn Ta sẽ chứng minh f_n (x)>0 () với mọi x >0, n ∈N. Với n =1,f_1 (x)= ex 1 x f_1 (x)= ex –1>0 Hàm số f_1 (x) đồng biến với x ∈ (0 ,∞) f_1 (x)>f_1 (0) =0. Vậy () đúng với n =1 . Giả sử () đúng với n=k, ta cần chứng minh () đúng với n=k +1 hay f_(k +1) (x)=ex 1 x … xkk x(k +1)(k +1)>0 Thật vậy: 〖f〗_(k +1) (x)= ex 1 x … xkk= f_(k ) (x)>0 (Theo giả thuyết quy nạp) Hàm số f_(k +1) (x) đồng biến với mọi x ∈ (0,+ ∞) f_(k +1) (x)>f_(k +1) (0)=0 Suy ra () đúng với n =k +1. Vậy: f_n (x)>0 với ∀ x∈(0 ,+ ∞) Hay ex>∑_(k=0)n▒xkk (đpcm). Bài 2: (Mở rộng) Cho n là số tự nhiên lẻ lớn hơn 3. Chứng minh rằng với mọi ta có: Đặt Ta cần chứng minh: Ta có: Vì n là số lẻ lớn hơn 3 nên cùng dấu với Do đó ta có bảng biến thiên: x 0 f’(x) 0 f(x) 1 Từ bảng biến thiên ta có: (đpcm) Bài 3: Với x, y dương, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Đặt Khi đó Xét hàm số: Lập bảng biến thiên ta được x f’(t) 0 f(t) khi Vậy khi Bài 4: Hãy sưu tầm hoặc ra 20 đề toán thuộc loại này. 4.1. Cho là số thực thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Bài làm Ta có: Ta có : , vì thế sau khi đặt thì: Ta có . Xét hàm số với . Ta có . Ta có bảng biến thiên như sau t 2 1 2 P’(t) + 0 P(t) 7 1 Vậy khi 4.2. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: Bài làm TXĐ: 3; 3 Đạo hàm : Ta có: Nên ; 4.3. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn . Giải. Ta có . Lại có , . Suy ra , . 4.4. Tìm GTLN, GTNN của hàm số . Giải. . Ta có ( ). Với mọi , ta có . Vậy , đạt được ; , đạt được . 4.5. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn . Giải. Ta có . Với mọi ta có . Vậy , đạt được ; , đạt được 4.6. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn . Giải. Ta có . Với mọi ta có hoặc hoặc ( ). Vậy , đạt được . , đạt được . 4.7. Tìm GTNN của hàm số . Giải. , suy ra . Ta có . hoặc . Thử lại, ta thấy chỉ có là nghiệm của . , , , đạt được . 4.8. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: Giải: .Đặt .Do nên . Bài toán trở thành tìm GTLN,GTNN của hàm số trên đoạn . .So sánh các giá trị này ta được GTLN là 2 tại t=0 hoặc t=1 tức là x=0 hoặc x= GTNN là tại t = tức là x = . 4.9. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: trên đoạn . Giải: D=R . Đặt ; .Do nên Hàm số trở thành , . .So sánh các giá trị này ta được GTLN là tại t= GTNN là tại t =0 . 4.10. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: trên đoạn . Giải: Ta có Đặt ; .Khi đó .Thay vào hàm số ta được : .So sánh các giá trị này ta được GTLN là 1 tại t=1 tức là ;GTNN là 1 tại t =1 tức là 4.11. Tìm GTLN và GTNNcủa hàm số: y= trên đoạn Giải: TXĐ: R ( Ta chỉ xét trên đoạn ) Đạo hàm: . Tại điểm x = 2, x = 3 hàm số không có đạo hàm y’=0 . Nên có 3 điểm tới hạn thuộc (5; 5) là x =2; ; x=3 Tính f(2)= f(3)=0; f ; f(5)=56; f(5)=6 Suy ra: ; 4.12. Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của . Giải. Đặt , suy ra . Ta có . Xét hàm , với . Ta có đồng biến trên . Do đó , đạt được khi và chỉ khi hoặc . , đạt được khi và chỉ khi . Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của . Giải. Đặt . Ta có , . Suy ra . Lại có . Ta có với mọi , , . Do đó , đạt được . , đạt được hoặc . Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của . Giải. Đặt , ta có , . Suy ra . Lại có . Ta có biến đổi sau đây . Xét hàm với . Ta có , . Suy ra nghịch biến trên . Do đó . . +) , dấu bằng xảy ra . Vậy , đạt được . +) , dấu bằng xảy ra hoặc . Vậy , đạt được hoặc . Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của . Giải. Đặt . Ta có . Xét hàm , . Ta có , đồng biến trên . Do đó . Dấu “ ” xảy ra , Đạt được . . Dấu “ ” xảy ra hoặc . , Đạt được hoặc . Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của . Giải. Từ giả thiết suy ra . Do đó, nếu đặt thì , hay . Ta có , suy ra . Xét hàm với . Ta có , có nghiệm duy nhất . Ta có , . Do đó , đạt được chẳng hạn khi . , đạt được khi và chỉ khi hoặc . Cho , thỏa mãn . Tìm GTNN của . Giải. Áp dụng bất đẳng thức với , ta được . Từ giả thiết, áp dụng bất đẳng thức , ta có (do , ). Đặt . Xét hàm , . Ta có đồng biến trên . Như vậy , dấu “ ” xảy ra khi và chỉ khi hoặc . Vậy , đạt được hoặc . 4.18. Cho các số thực , , thỏa mãn các điều kiện và . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Giải. Từ suy ra , thay vào đẳng thức thứ hai của giả thiết, ta được Do đó, nếu đặt thì ta có , . Biến đổi . Xét hàm , với . Ta có có hai nghiệm là . Ta có , , , . Vậy , đạt được chẳng hạn khi , . Cho x, y, z >0 thỏa mãn . Tìm GTNN của biểu thức . Giải. Đặt . Ta có và . Suy ra . Lại có , . Xét hàm với . Ta có , suy ra nghịch biến trên . Vậy , đạt được khi và chỉ khi . Cho là ba số thực thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : Giải : Theo giả thiết ta có và . Thay vào biểu thức P ta được : Xét hàm số : với và coi c là tham số c>0 Ta có : Ta có bảng biến thiên 0 + 0 Từ bảng biến thiên ta có : . Ta có : Bảng biến thiên : 0 + 0 Từ bảng biến thiên suy ra : . Vậy với thì . CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 3.1. Phương pháp đạo hàm Đề Bài Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau đây; với là một hằng số dương; ; với a dương và n nguyên dương; với a dương và n nguyên dương; với p và q lớn hơn 1. Bài 2: Chứng minh các bất đẳng thức sau: với mọi a và b không âm; với mọi x>0 và hãy mở rộng kết quả này. Bài 3: Với x, y dương, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức . Bài 4: Hãy sưu tầm hoặc ra 20 đề toán thuộc loại này. Bài làm Bài 1: với là một hằng số dương. Đặt Khi đó Xét hàm số Ta có: Nếu thì Nếu thì b) Đặt Xét hàm Ta có: Vậy: max y min y = 6 với a dương và n nguyên dương Xét hàm số Ta có Ta có: Vậy max y = 2 . √(2na2) min y = √(2na) . d) y với a dương và n nguyên dương Xét hàm số = x(12n)+ (a x)(12n) , ∀ x ∈ 0 ,a Ta có f (x)=12n . x(_2n1) 1 + 12n (a x )(_2n1) 1 =12n x(_2n1) 1 + (a x)(_2n1) 1 >0 ∀ x ∈ 0,a Hàm số đồng biến ∀ x ∈ 0,a f(0)0. Đặt a =tb(t ≥0) ta được: 3t3 b3 18tb3 +17b3≥0 3t3 18t +17 ≥0 Xét hàm số f(t)= 3t3 18t +17 , t ∈⟦0,+ ┤) f (t)=9t2 –1 f (t)=0 9t2 –18 =0 t = √2 Bảng biến thiên của hàm số f(t) t 0 √2 + f (t) ∥ 0 + f(t) 17 17 2√2 f(t)>0 với ∀ t∈⟦0,+ ┤) Vậy BĐT được chứng minh. Dấu “ =” xảy ra a =b =0 . b) Chứng minh: ex>∑_(k=0)n▒xkk với mọi x > 0 Xét hàm số f_n (x)= ex 1 x x22 … xnn Ta sẽ chứng minh f_n (x)>0 () với mọi x >0, n ∈N. Với n =1,f_1 (x)= ex 1 x f_1 (x)= ex –1>0 Hàm số f_1 (x) đồng biến với x ∈ (0 ,∞) f_1 (x)>f_1 (0) =0. Vậy () đúng với n =1 . Giả sử () đúng với n=k, ta cần chứng minh () đúng với n=k +1 hay f_(k +1) (x)=ex 1 x … xkk x(k +1)(k +1)>0 Thật vậy: 〖f〗_(k +1) (x)= ex 1 x … xkk= f_(k ) (x)>0 (Theo giả thuyết quy nạp) Hàm số f_(k +1) (x) đồng biến với mọi x ∈ (0,+ ∞) f_(k +1) (x)>f_(k +1) (0)=0 Suy ra () đúng với n =k +1. Vậy: f_n (x)>0 với ∀ x∈(0 ,+ ∞) Hay ex>∑_(k=0)n▒xkk (đpcm). Bài 2: (Mở rộng) Cho n là số tự nhiên lẻ lớn hơn 3. Chứng minh rằng với mọi ta có: Đặt Ta cần chứng minh: Ta có: Vì n là số lẻ lớn hơn 3 nên cùng dấu với Do đó ta có bảng biến thiên: x 0 f’(x) 0 f(x) 1 Từ bảng biến thiên ta có: (đpcm) Bài 3: Với x, y dương, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Đặt Khi đó Xét hàm số: Lập bảng biến thiên ta được x f’(t) 0 f(t) khi Vậy khi Bài 4: Hãy sưu tầm hoặc ra 20 đề toán thuộc loại này. 4.1. Cho là số thực thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Bài làm Ta có: Ta có : , vì thế sau khi đặt thì: Ta có . Xét hàm số với . Ta có . Ta có bảng biến thiên như sau t 2 1 2 P’(t) + 0 P(t) 7 1 Vậy khi 4.2. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: Bài làm TXĐ: 3; 3 Đạo hàm : Ta có: Nên ; 4.3. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn . Giải. Ta có . Lại có , . Suy ra , . 4.4. Tìm GTLN, GTNN của hàm số . Giải. . Ta có ( ). Với mọi , ta có . Vậy , đạt được ; , đạt được . 4.5. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn . Giải. Ta có . Với mọi ta có . Vậy , đạt được ; , đạt được 4.6. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn . Giải. Ta có . Với mọi ta có hoặc hoặc ( ). Vậy , đạt được . , đạt được . 4.7. Tìm GTNN của hàm số . Giải. , suy ra . Ta có . hoặc . Thử lại, ta thấy chỉ có là nghiệm của . , , , đạt được . 4.8. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: Giải: .Đặt .Do nên . Bài toán trở thành tìm GTLN,GTNN của hàm số trên đoạn . .So sánh các giá trị này ta được GTLN là 2 tại t=0 hoặc t=1 tức là x=0 hoặc x= GTNN là tại t = tức là x = . 4.9. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: trên đoạn . Giải: D=R . Đặt ; .Do nên Hàm số trở thành , . .So sánh các giá trị này ta được GTLN là tại t= GTNN là tại t =0 . 4.10. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: trên đoạn . Giải: Ta có Đặt ; .Khi đó .Thay vào hàm số ta được : .So sánh các giá trị này ta được GTLN là 1 tại t=1 tức là ;GTNN là 1 tại t =1 tức là 4.11. Tìm GTLN và GTNNcủa hàm số: y= trên đoạn Giải: TXĐ: R ( Ta chỉ xét trên đoạn ) Đạo hàm: . Tại điểm x = 2, x = 3 hàm số không có đạo hàm y’=0 . Nên có 3 điểm tới hạn thuộc (5; 5) là x =2; ; x=3 Tính f(2)= f(3)=0; f ; f(5)=56; f(5)=6 Suy ra: ; 4.12. Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của . Giải. Đặt , suy ra . Ta có . Xét hàm , với . Ta có đồng biến trên . Do đó , đạt được khi và chỉ khi hoặc . , đạt được khi và chỉ khi . Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của . Giải. Đặt . Ta có , . Suy ra . Lại có . Ta có với mọi , , . Do đó , đạt được . , đạt được hoặc . Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của . Giải. Đặt , ta có , . Suy ra . Lại có . Ta có biến đổi sau đây . Xét hàm với . Ta có , . Suy ra nghịch biến trên . Do đó . . +) , dấu bằng xảy ra . Vậy , đạt được . +) , dấu bằng xảy ra hoặc . Vậy , đạt được hoặc . Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của . Giải. Đặt . Ta có . Xét hàm , . Ta có , đồng biến trên . Do đó . Dấu “ ” xảy ra , Đạt được . . Dấu “ ” xảy ra hoặc . , Đạt được hoặc . Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của . Giải. Từ giả thiết suy ra . Do đó, nếu đặt thì , hay . Ta có , suy ra . Xét hàm với . Ta có , có nghiệm duy nhất . Ta có , . Do đó , đạt được chẳng hạn khi . , đạt được khi và chỉ khi hoặc . Cho , thỏa mãn . Tìm GTNN của . Giải. Áp dụng bất đẳng thức với , ta được . Từ giả thiết, áp dụng bất đẳng thức , ta có (do , ). Đặt . Xét hàm , . Ta có đồng biến trên . Như vậy , dấu “ ” xảy ra khi và chỉ khi hoặc . Vậy , đạt được hoặc . 4.18. Cho các số thực , , thỏa mãn các điều kiện và . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Giải. Từ suy ra , thay vào đẳng thức thứ hai của giả thiết, ta được Do đó, nếu đặt thì ta có , . Biến đổi . Xét hàm , với . Ta có có hai nghiệm là . Ta có , , , . Vậy , đạt được chẳng hạn khi , . Cho x, y, z >0 thỏa mãn . Tìm GTNN của biểu thức . Giải. Đặt . Ta có và . Suy ra . Lại có , . Xét hàm với . Ta có , suy ra nghịch biến trên . Vậy , đạt được khi và chỉ khi . Cho là ba số thực thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : Giải : Theo giả thiết ta có và . Thay vào biểu thức P ta được : Xét hàm số : với và coi c là tham số c>0 Ta có : Ta có bảng biến thiên 0 + 0 Từ bảng biến thiên ta có : . Ta có : Bảng biến thiên : 0 + 0 Từ bảng biến thiên suy ra : . Vậy với thì . CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 3.1. Phương pháp đạo hàm Đề Bài Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau đây; với là một hằng số dương; ; với a dương và n nguyên dương; với a dương và n nguyên dương; với p và q lớn hơn 1. Bài 2: Chứng minh các bất đẳng thức sau: với mọi a và b không âm; với mọi x>0 và hãy mở rộng kết quả này. Bài 3: Với x, y dương, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức . Bài 4: Hãy sưu tầm hoặc ra 20 đề toán thuộc loại này. Bài làm Bài 1: với là một hằng số dương. Đặt Khi đó Xét hàm số Ta có: Nếu thì Nếu thì b) Đặt Xét hàm Ta có: Vậy: max y min y = 6 với a dương và n nguyên dương Xét hàm số Ta có Ta có: Vậy max y = 2 . √(2na2) min y = √(2na) . d) y với a dương và n nguyên dương Xét hàm số = x(12n)+ (a x)(12n) , ∀ x ∈ 0 ,a Ta có f (x)=12n . x(_2n1) 1 + 12n (a x )(_2n1) 1 =12n x(_2n1) 1 + (a x)(_2n1) 1 >0 ∀ x ∈ 0,a Hàm số đồng biến ∀ x ∈ 0,a f(0)0. Đặt a =tb(t ≥0) ta được: 3t3 b3 18tb3 +17b3≥0 3t3 18t +17 ≥0 Xét hàm số f(t)= 3t3 18t +17 , t ∈⟦0,+ ┤) f (t)=9t2 –1 f (t)=0 9t2 –18 =0 t = √2 Bảng biến thiên của hàm số f(t) t 0 √2 + f (t) ∥ 0 + f(t) 17 17 2√2 f(t)>0 với ∀ t∈⟦0,+ ┤) Vậy BĐT được chứng minh. Dấu “ =” xảy ra a =b =0 . b) Chứng minh: ex>∑_(k=0)n▒xkk với mọi x > 0 Xét hàm số f_n (x)= ex 1 x x22 … xnn Ta sẽ chứng minh f_n (x)>0 () với mọi x >0, n ∈N. Với n =1,f_1 (x)= ex 1 x f_1 (x)= ex –1>0 Hàm số f_1 (x) đồng biến với x ∈ (0 ,∞) f_1 (x)>f_1 (0) =0. Vậy () đúng với n =1 . Giả sử () đúng với n=k, ta cần chứng minh () đúng với n=k +1 hay f_(k +1) (x)=ex 1 x … xkk x(k +1)(k +1)>0 Thật vậy: 〖f〗_(k +1) (x)= ex 1 x … xkk= f_(k ) (x)>0 (Theo giả thuyết quy nạp) Hàm số f_(k +1) (x) đồng biến với mọi x ∈ (0,+ ∞) f_(k +1) (x)>f_(k +1) (0)=0 Suy ra () đúng với n =k +1. Vậy: f_n (x)>0 với ∀ x∈(0 ,+ ∞) Hay ex>∑_(k=0)n▒xkk (đpcm). Bài 2: (Mở rộng) Cho n là số tự nhiên lẻ lớn hơn 3. Chứng minh rằng với mọi ta có: Đặt Ta cần chứng minh: Ta có: Vì n là số lẻ lớn hơn 3 nên cùng dấu với Do đó ta có bảng biến thiên: x 0 f’(x) 0 f(x) 1 Từ bảng biến thiên ta có: (đpcm) Bài 3: Với x, y dương, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Đặt Khi đó Xét hàm số: Lập bảng biến thiên ta được x f’(t) 0 f(t) khi Vậy khi Bài 4: Hãy sưu tầm hoặc ra 20 đề toán thuộc loại này. 4.1. Cho là số thực thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Bài làm Ta có: Ta có : , vì thế sau khi đặt thì: Ta có . Xét hàm số với . Ta có . Ta có bảng biến thiên như sau t 2 1 2 P’(t) + 0 P(t) 7 1 Vậy khi 4.2. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: Bài làm TXĐ: 3; 3 Đạo hàm : Ta có: Nên ; 4.3. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn . Giải. Ta có . Lại có , . Suy ra , . 4.4. Tìm GTLN, GTNN của hàm số . Giải. . Ta có ( ). Với mọi , ta có . Vậy , đạt được ; , đạt được . 4.5. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn . Giải. Ta có . Với mọi ta có . Vậy , đạt được ; , đạt được 4.6. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn . Giải. Ta có . Với mọi ta có hoặc hoặc ( ). Vậy , đạt được . , đạt được . 4.7. Tìm GTNN của hàm số . Giải. , suy ra . Ta có . hoặc . Thử lại, ta thấy chỉ có là nghiệm của . , , , đạt được . 4.8. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: Giải: .Đặt .Do nên . Bài toán trở thành tìm GTLN,GTNN của hàm số trên đoạn . .So sánh các giá trị này ta được GTLN là 2 tại t=0 hoặc t=1 tức là x=0 hoặc x= GTNN là tại t = tức là x = . 4.9. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: trên đoạn . Giải: D=R . Đặt ; .Do nên Hàm số trở thành , . .So sánh các giá trị này ta được GTLN là tại t= GTNN là tại t =0 . 4.10. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: trên đoạn . Giải: Ta có Đặt ; .Khi đó .Thay vào hàm số ta được : .So sánh các giá trị này ta được GTLN là 1 tại t=1 tức là ;GTNN là 1 tại t =1 tức là 4.11. Tìm GTLN và GTNNcủa hàm số: y= trên đoạn Giải: TXĐ: R ( Ta chỉ xét trên đoạn ) Đạo hàm: . Tại điểm x = 2, x = 3 hàm số không có đạo hàm y’=0 . Nên có 3 điểm tới hạn thuộc (5; 5) là x =2; ; x=3 Tính f(2)= f(3)=0; f ; f(5)=56; f(5)=6 Suy ra: ; 4.12. Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của . Giải. Đặt , suy ra . Ta có . Xét hàm , với . Ta có đồng biến trên . Do đó , đạt được khi và chỉ khi hoặc . , đạt được khi và chỉ khi . Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của . Giải. Đặt . Ta có , . Suy ra . Lại có . Ta có với mọi , , . Do đó , đạt được . , đạt được hoặc . Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của . Giải. Đặt , ta có , . Suy ra . Lại có . Ta có biến đổi sau đây . Xét hàm với . Ta có , . Suy ra nghịch biến trên . Do đó . . +) , dấu bằng xảy ra . Vậy , đạt được . +) , dấu bằng xảy ra hoặc . Vậy , đạt được hoặc . Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của . Giải. Đặt . Ta có . Xét hàm , . Ta có , đồng biến trên . Do đó . Dấu “ ” xảy ra , Đạt được . . Dấu “ ” xảy ra hoặc . , Đạt được hoặc . Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của . Giải. Từ giả thiết suy ra . Do đó, nếu đặt thì , hay . Ta có , suy ra . Xét hàm với . Ta có , có nghiệm duy nhất . Ta có , . Do đó , đạt được chẳng hạn khi . , đạt được khi và chỉ khi hoặc . Cho , thỏa mãn . Tìm GTNN của . Giải. Áp dụng bất đẳng thức với , ta được . Từ giả thiết, áp dụng bất đẳng thức , ta có (do , ). Đặt . Xét hàm , . Ta có đồng biến trên . Như vậy , dấu “ ” xảy ra khi và chỉ khi hoặc . Vậy , đạt được hoặc . 4.18. Cho các số thực , , thỏa mãn các điều kiện và . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Giải. Từ suy ra , thay vào đẳng thức thứ hai của giả thiết, ta được Do đó, nếu đặt thì ta có , . Biến đổi . Xét hàm , với . Ta có có hai nghiệm là . Ta có , , , . Vậy , đạt được chẳng hạn khi , . Cho x, y, z >0 thỏa mãn . Tìm GTNN của biểu thức . Giải. Đặt . Ta có và . Suy ra . Lại có , . Xét hàm với . Ta có , suy ra nghịch biến trên . Vậy , đạt được khi và chỉ khi . Cho là ba số thực thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : Giải : Theo giả thiết ta có và . Thay vào biểu thức P ta được : Xét hàm số : với và coi c là tham số c>0 Ta có : Ta có bảng biến thiên 0 + 0 Từ bảng biến thiên ta có : . Ta có : Bảng biến thiên : 0 + 0 Từ bảng biến thiên suy ra : . Vậy với thì . CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 3.1. Phương pháp đạo hàm Đề Bài Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau đây; với là một hằng số dương; ; với a dương và n nguyên dương; với a dương và n nguyên dương; với p và q lớn hơn 1. Bài 2: Chứng minh các bất đẳng thức sau: với mọi a và b không âm; với mọi x>0 và hãy mở rộng kết quả này. Bài 3: Với x, y dương, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức . Bài 4: Hãy sưu tầm hoặc ra 20 đề toán thuộc loại này. Bài làm Bài 1: với là một hằng số dương. Đặt Khi đó Xét hàm số Ta có: Nếu thì Nếu thì b) Đặt Xét hàm Ta có: Vậy: max y min y = 6 với a dương và n nguyên dương Xét hàm số Ta có Ta có: Vậy max y = 2 . √(2na2) min y = √(2na) . d) y với a dương và n nguyên dương Xét hàm số = x(12n)+ (a x)(12n) , ∀ x ∈ 0 ,a Ta có f (x)=12n . x(_2n1) 1 + 12n (a x )(_2n1) 1 =12n x(_2n1) 1 + (a x)(_2n1) 1 >0 ∀ x ∈ 0,a Hàm số đồng biến ∀ x ∈ 0,a f(0)0. Đặt a =tb(t ≥0) ta được: 3t3 b3 18tb3 +17b3≥0 3t3 18t +17 ≥0 Xét hàm số f(t)= 3t3 18t +17 , t ∈⟦0,+ ┤) f (t)=9t2 –1 f (t)=0 9t2 –18 =0 t = √2 Bảng biến thiên của hàm số f(t) t 0 √2 + f (t) ∥ 0 + f(t) 17 17 2√2 f(t)>0 với ∀ t∈⟦0,+ ┤) Vậy BĐT được chứng minh. Dấu “ =” xảy ra a =b =0 . b) Chứng minh: ex>∑_(k=0)n▒xkk với mọi x > 0 Xét hàm số f_n (x)= ex 1 x x22 … xnn Ta sẽ chứng minh f_n (x)>0 () với mọi x >0, n ∈N. Với n =1,f_1 (x)= ex 1 x f_1 (x)= ex –1>0 Hàm số f_1 (x) đồng biến với x ∈ (0 ,∞) f_1 (x)>f_1 (0) =0. Vậy () đúng với n =1 . Giả sử () đúng với n=k, ta cần chứng minh () đúng với n=k +1 hay f_(k +1) (x)=ex 1 x … xkk x(k +1)(k +1)>0 Thật vậy: 〖f〗_(k +1) (x)= ex 1 x … xkk= f_(k ) (x)>0 (Theo giả thuyết quy nạp) Hàm số f_(k +1) (x) đồng biến với mọi x ∈ (0,+ ∞) f_(k +1) (x)>f_(k +1) (0)=0 Suy ra () đúng với n =k +1. Vậy: f_n (x)>0 với ∀ x∈(0 ,+ ∞) Hay ex>∑_(k=0)n▒xkk (đpcm). Bài 2: (Mở rộng) Cho n là số tự nhiên lẻ lớn hơn 3. Chứng minh rằng với mọi ta có: Đặt Ta cần chứng minh: Ta có: Vì n là số lẻ lớn hơn 3 nên cùng dấu với Do đó ta có bảng biến thiên: x 0 f’(x) 0 f(x) 1 Từ bảng biến thiên ta có: (đpcm) Bài 3: Với x, y dương, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Đặt Khi đó Xét hàm số: Lập bảng biến thiên ta được x f’(t) 0 f(t) khi Vậy khi Bài 4: Hãy sưu tầm hoặc ra 20 đề toán thuộc loại này. 4.1. Cho là số thực thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Bài làm Ta có: Ta có : , vì thế sau khi đặt thì: Ta có . Xét hàm số với . Ta có . Ta có bảng biến thiên như sau t 2 1 2 P’(t) + 0 P(t) 7 1 Vậy khi 4.2. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: Bài làm TXĐ: 3; 3 Đạo hàm : Ta có: Nên ; 4.3. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn . Giải. Ta có . Lại có , . Suy ra , . 4.4. Tìm GTLN, GTNN của hàm số . Giải. . Ta có ( ). Với mọi , ta có . Vậy , đạt được ; , đạt được . 4.5. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn . Giải. Ta có . Với mọi ta có . Vậy , đạt được ; , đạt được 4.6. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn . Giải. Ta có . Với mọi ta có hoặc hoặc ( ). Vậy , đạt được . , đạt được . 4.7. Tìm GTNN của hàm số . Giải. , suy ra . Ta có . hoặc . Thử lại, ta thấy chỉ có là nghiệm của . , , , đạt được . 4.8. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: Giải: .Đặt .Do nên . Bài toán trở thành tìm GTLN,GTNN của hàm số trên đoạn . .So sánh các giá trị này ta được GTLN là 2 tại t=0 hoặc t=1 tức là x=0 hoặc x= GTNN là tại t = tức là x = . 4.9. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: trên đoạn . Giải: D=R . Đặt ; .Do nên Hàm số trở thành , . .So sánh các giá trị này ta được GTLN là tại t= GTNN là tại t =0 . 4.10. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: trên đoạn . Giải: Ta có Đặt ; .Khi đó .Thay vào hàm số ta được : .So sánh các giá trị này ta được GTLN là 1 tại t=1 tức là ;GTNN là 1 tại t =1 tức là 4.11. Tìm GTLN và GTNNcủa hàm số: y= trên đoạn Giải: TXĐ: R ( Ta chỉ xét trên đoạn ) Đạo hàm: . Tại điểm x = 2, x = 3 hàm số không có đạo hàm y’=0 . Nên có 3 điểm tới hạn thuộc (5; 5) là x =2; ; x=3 Tính f(2)= f(3)=0; f ; f(5)=56; f(5)=6 Suy ra: ; 4.12. Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của . Giải. Đặt , suy ra . Ta có . Xét hàm , với . Ta có đồng biến trên . Do đó , đạt được khi và chỉ khi hoặc . , đạt được khi và chỉ khi . Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của . Giải. Đặt . Ta có , . Suy ra . Lại có . Ta có với mọi , , . Do đó , đạt được . , đạt được hoặc . Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của . Giải. Đặt , ta có , . Suy ra . Lại có . Ta có biến đổi sau đây . Xét hàm với . Ta có , . Suy ra nghịch biến trên . Do đó . . +) , dấu bằng xảy ra . Vậy , đạt được . +) , dấu bằng xảy ra hoặc . Vậy , đạt được hoặc . Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của . Giải. Đặt . Ta có . Xét hàm , . Ta có , đồng biến trên . Do đó . Dấu “ ” xảy ra , Đạt được . . Dấu “ ” xảy ra hoặc . , Đạt được hoặc . Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của . Giải. Từ giả thiết suy ra . Do đó, nếu đặt thì , hay . Ta có , suy ra . Xét hàm với . Ta có , có nghiệm duy nhất . Ta có , . Do đó , đạt được chẳng hạn khi . , đạt được khi và chỉ khi hoặc . Cho , thỏa mãn . Tìm GTNN của . Giải. Áp dụng bất đẳng thức với , ta được . Từ giả thiết, áp dụng bất đẳng thức , ta có (do , ). Đặt . Xét hàm , . Ta có đồng biến trên . Như vậy , dấu “ ” xảy ra khi và chỉ khi hoặc . Vậy , đạt được hoặc . 4.18. Cho các số thực , , thỏa mãn các điều kiện và . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Giải. Từ suy ra , thay vào đẳng thức thứ hai của giả thiết, ta được Do đó, nếu đặt thì ta có , . Biến đổi . Xét hàm , với . Ta có có hai nghiệm là . Ta có , , , . Vậy , đạt được chẳng hạn khi , . Cho x, y, z >0 thỏa mãn . Tìm GTNN của biểu thức . Giải. Đặt . Ta có và . Suy ra . Lại có , . Xét hàm với . Ta có , suy ra nghịch biến trên . Vậy , đạt được khi và chỉ khi . Cho là ba số thực thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : Giải : Theo giả thiết ta có và . Thay vào biểu thức P ta được : Xét hàm số : với và coi c là tham số c>0 Ta có : Ta có bảng biến thiên 0 + 0 Từ bảng biến thiên ta có : . Ta có : Bảng biến thiên : 0 + 0 Từ bảng biến thiên suy ra : . Vậy với thì . CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 3.1. Phương pháp đạo hàm Đề Bài Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau đây; với là một hằng số dương; ; với a dương và n nguyên dương; với a dương và n nguyên dương; với p và q lớn hơn 1. Bài 2: Chứng minh các bất đẳng thức sau: với mọi a và b không âm; với mọi x>0 và hãy mở rộng kết quả này. Bài 3: Với x, y dương, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức . Bài 4: Hãy sưu tầm hoặc ra 20 đề toán thuộc loại này. Bài làm Bài 1: với là một hằng số dương. Đặt Khi đó Xét hàm số Ta có: Nếu thì Nếu thì b) Đặt Xét hàm Ta có: Vậy: max y min y = 6 với a dương và n nguyên dương Xét hàm số Ta có Ta có: Vậy max y = 2 . √(2na2) min y = √(2na) . d) y với a dương và n nguyên dương Xét hàm số = x(12n)+ (a x)(12n) , ∀ x ∈ 0 ,a Ta có f (x)=12n . x(_2n1) 1 + 12n (a x )(_2n1) 1 =12n x(_2n1) 1 + (a x)(_2n1) 1 >0 ∀ x ∈ 0,a Hàm số đồng biến ∀ x ∈ 0,a f(0)0. Đặt a =tb(t ≥0) ta được: 3t3 b3 18tb3 +17b3≥0 3t3 18t +17 ≥0 Xét hàm số f(t)= 3t3 18t +17 , t ∈⟦0,+ ┤) f (t)=9t2 –1 f (t)=0 9t2 –18 =0 t = √2 Bảng biến thiên của hàm số f(t) t 0 √2 + f (t) ∥ 0 + f(t) 17 17 2√2 f(t)>0 với ∀ t∈⟦0,+ ┤) Vậy BĐT được chứng minh. Dấu “ =” xảy ra a =b =0 . b) Chứng minh: ex>∑_(k=0)n▒xkk với mọi x > 0 Xét hàm số f_n (x)= ex 1 x x22 … xnn Ta sẽ chứng minh f_n (x)>0 () với mọi x >0, n ∈N. Với n =1,f_1 (x)= ex 1 x f_1 (x)= ex –1>0 Hàm số f_1 (x) đồng biến với x ∈ (0 ,∞) f_1 (x)>f_1 (0) =0. Vậy () đúng với n =1 . Giả sử () đúng với n=k, ta cần chứng minh () đúng với n=k +1 hay f_(k +1) (x)=ex 1 x … xkk x(k +1)(k +1)>0 Thật vậy: 〖f〗_(k +1) (x)= ex 1 x … xkk= f_(k ) (x)>0 (Theo giả thuyết quy nạp) Hàm số f_(k +1) (x) đồng biến với mọi x ∈ (0,+ ∞) f_(k +1) (x)>f_(k +1) (0)=0 Suy ra () đúng với n =k +1. Vậy: f_n (x)>0 với ∀ x∈(0 ,+ ∞) Hay ex>∑_(k=0)n▒xkk (đpcm). Bài 2: (Mở rộng) Cho n là số tự nhiên lẻ lớn hơn 3. Chứng minh rằng với mọi ta có: Đặt Ta cần chứng minh: Ta có: Vì n là số lẻ lớn hơn 3 nên cùng dấu với Do đó ta có bảng biến thiên: x 0 f’(x) 0 f(x) 1 Từ bảng biến thiên ta có: (đpcm) Bài 3: Với x, y dương, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Đặt Khi đó Xét hàm số: Lập bảng biến thiên ta được x f’(t) 0 f(t) khi Vậy khi Bài 4: Hãy sưu tầm hoặc ra 20 đề toán thuộc loại này. 4.1. Cho là số thực thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Bài làm Ta có: Ta có : , vì thế sau khi đặt thì: Ta có . Xét hàm số với . Ta có . Ta có bảng biến thiên như sau t 2 1 2 P’(t) + 0 P(t) 7 1 Vậy khi 4.2. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: Bài làm TXĐ: 3; 3 Đạo hàm : Ta có: Nên ; 4.3. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn . Giải. Ta có . Lại có , . Suy ra , . 4.4. Tìm GTLN, GTNN của hàm số . Giải. . Ta có ( ). Với mọi , ta có . Vậy , đạt được ; , đạt được . 4.5. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn . Giải. Ta có . Với mọi ta có . Vậy , đạt được ; , đạt được 4.6. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn . Giải. Ta có . Với mọi ta có hoặc hoặc ( ). Vậy , đạt được . , đạt được . 4.7. Tìm GTNN của hàm số . Giải. , suy ra . Ta có . hoặc . Thử lại, ta thấy chỉ có là nghiệm của . , , , đạt được . 4.8. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: Giải: .Đặt .Do nên . Bài toán trở thành tìm GTLN,GTNN của hàm số trên đoạn . .So sánh các giá trị này ta được GTLN là 2 tại t=0 hoặc t=1 tức là x=0 hoặc x= GTNN là tại t = tức là x = . 4.9. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: trên đoạn . Giải: D=R . Đặt ; .Do nên Hàm số trở thành , . .So sánh các giá trị này ta được GTLN là tại t= GTNN là tại t =0 . 4.10. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: trên đoạn . Giải: Ta có Đặt ; .Khi đó .Thay vào hàm số ta được : .So sánh các giá trị này ta được GTLN là 1 tại t=1 tức là ;GTNN là 1 tại t =1 tức là 4.11. Tìm GTLN và GTNNcủa hàm số: y= trên đoạn Giải: TXĐ: R ( Ta chỉ xét trên đoạn ) Đạo hàm: . Tại điểm x = 2, x = 3 hàm số không có đạo hàm y’=0 . Nên có 3 điểm tới hạn thuộc (5; 5) là x =2; ; x=3 Tính f(2)= f(3)=0; f ; f(5)=56; f(5)=6 Suy ra: ; 4.12. Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của . Giải. Đặt , suy ra . Ta có . Xét hàm , với . Ta có đồng biến trên . Do đó , đạt được khi và chỉ khi hoặc . , đạt được khi và chỉ khi . Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của . Giải. Đặt . Ta có , . Suy ra . Lại có . Ta có với mọi , , . Do đó , đạt được . , đạt được hoặc . Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của . Giải. Đặt , ta có , . Suy ra . Lại có . Ta có biến đổi sau đây . Xét hàm với . Ta có , . Suy ra nghịch biến trên . Do đó . . +) , dấu bằng xảy ra . Vậy , đạt được . +) , dấu bằng xảy ra hoặc . Vậy , đạt được hoặc . Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của . Giải. Đặt . Ta có . Xét hàm , . Ta có , đồng biến trên . Do đó . Dấu “ ” xảy ra , Đạt được . . Dấu “ ” xảy ra hoặc . , Đạt được hoặc . Cho , thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của . Giải. Từ giả thiết suy ra . Do đó, nếu đặt thì , hay . Ta có , suy ra . Xét hàm với . Ta có , có nghiệm duy nhất . Ta có , . Do đó , đạt được chẳng hạn khi . , đạt được khi và chỉ khi hoặc . Cho , thỏa mãn . Tìm GTNN của . Giải. Áp dụng bất đẳng thức với , ta được . Từ giả thiết, áp dụng bất đẳng thức , ta có (do , ). Đặt . Xét hàm , . Ta có đồng biến trên . Như vậy , dấu “ ” xảy ra khi và chỉ khi hoặc . Vậy , đạt được hoặc . 4.18. Cho các số thực , , thỏa mãn các điều kiện và . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Giải. Từ suy ra , thay vào đẳng thức thứ hai của giả thiết, ta được Do đó, nếu đặt thì ta có , . Biến đổi . Xét hàm , với . Ta có có hai nghiệm là . Ta có , , , . Vậy , đạt được chẳng hạn khi , . Cho x, y, z >0 thỏa mãn . Tìm GTNN của biểu thức . Giải. Đặt . Ta có và . Suy ra . Lại có , . Xét hàm với . Ta có , suy ra nghịch biến trên . Vậy , đạt được khi và chỉ khi . Cho là ba số thực thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : Giải : Theo giả thiết ta có và . Thay vào biểu thức P ta được : Xét hàm số : với và coi c là tham số c>0 Ta có : Ta có bảng biến thiên 0 + 0 Từ bảng biến thiên ta có : . Ta có : Bảng biến thiên : 0 + 0 Từ bảng biến thiên suy ra : . Vậy với thì . CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 3.1. Phương pháp đạo hàm Đề Bài Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau đây; với là một hằng số dương; ; với a dương và n nguyên dương; với a dương và n nguyên dương; với p và q lớn hơn 1. Bài 2: Chứng minh các bất đẳng thức sau: với mọi a và b không âm; với mọi x>0 và hãy mở rộng kết quả này. Bài 3: Với x, y dương, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức . Bài 4: Hãy sưu tầm hoặc ra 20 đề toán thuộc loại này. Bài làm Bài 1: với là một hằng số dương. Đặt Khi đó Xét hàm số Ta có: Nếu thì Nếu thì b) Đặt Xét hàm Ta có: