Đang tải... (xem toàn văn)
Về kiểu đa thức dãy và chỉ số khả quy của môđun trên vành giao hoán.Về kiểu đa thức dãy và chỉ số khả quy của môđun trên vành giao hoán.Về kiểu đa thức dãy và chỉ số khả quy của môđun trên vành giao hoán.Về kiểu đa thức dãy và chỉ số khả quy của môđun trên vành giao hoán.Về kiểu đa thức dãy và chỉ số khả quy của môđun trên vành giao hoán.Về kiểu đa thức dãy và chỉ số khả quy của môđun trên vành giao hoán.Về kiểu đa thức dãy và chỉ số khả quy của môđun trên vành giao hoán.Về kiểu đa thức dãy và chỉ số khả quy của môđun trên vành giao hoán.Về kiểu đa thức dãy và chỉ số khả quy của môđun trên vành giao hoán.Về kiểu đa thức dãy và chỉ số khả quy của môđun trên vành giao hoán.Về kiểu đa thức dãy và chỉ số khả quy của môđun trên vành giao hoán.Về kiểu đa thức dãy và chỉ số khả quy của môđun trên vành giao hoán.Về kiểu đa thức dãy và chỉ số khả quy của môđun trên vành giao hoán.Về kiểu đa thức dãy và chỉ số khả quy của môđun trên vành giao hoán.Về kiểu đa thức dãy và chỉ số khả quy của môđun trên vành giao hoán.
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN ĐỨC DŨNG VỀ KIỂU ĐA THỨC DÃY VÀ CHỈ SỐ KHẢ QUY CỦA MƠĐUN TRÊN VÀNH GIAO HỐN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN ĐỨC DŨNG VỀ KIỂU ĐA THỨC DÃY VÀ CHỈ SỐ KHẢ QUY CỦA MƠĐUN TRÊN VÀNH GIAO HỐN Chun ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 46 01 04 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Tập thể hướng dẫn: GS.TSKH Nguyễn Tự Cường GS.TS Lê Thị Thanh Nhàn Thái Nguyên - 2019 i Tóm tắt Cho (R, m) vành giao hoán, Noether địa phương Cho M R-môđun hữu hạn sinh chiều d A R-môđun Artin Luận án tập trung nghiên cứu hai vấn đề Thứ nhất, giới thiệu khái niệm kiểu đa thức dãy M , kí hiệu sp(M ), để đo tính khơng Cohen-Macaulay dãy M Chúng tơi chứng minh sp(M ) chiều quỹ tích khơng Cohen-Macaulay dãy M R thương vành Cohen-Macaulay địa phương Chúng nghiên cứu thay đổi kiểu đa thức dãy M qua đầy đủ hóa, qua địa phương hóa tính khơng tăng sp(M/xM ) x phần tử tham số Chúng tơi tính tốn sp(M ) thơng qua mơđun khuyết thiếu M Vấn đề nghiên cứu thứ hai số khả quy môđun Noether môđun Artin Trước hết, đưa chặn cho số khả quy iđêan tham số tốt kiểu đa thức dãy môđun Noether M nhỏ Sau đó, chúng tơi so sánh số khả quy môđun M số khả quy đối ngẫu Matlis môđun thương tương ứng M Luận án chia thành ba chương Chương dành để nhắc lại số kiến thức sở môđun đối đồng điều địa phương, biểu diễn thứ cấp môđun Artin, kiểu đa thức, môđun Cohen-Macaulay, môđun Cohen-Macaulay suy rộng, môđun Cohen-Macaulay dãy môđun Cohen- ii Macaulay suy rộng dãy Trong Chương 2, giới thiệu khái niệm kiểu đa thức dãy M , kí hiệu sp(M ), thơng qua kiểu đa thức môđun thương lọc chiều Chúng nghiên cứu kiểu đa thức dãy tác động địa phương hóa đầy đủ m-adic Tiếp theo, chúng tơi nghiên cứu mối quan hệ sp(M ) sp(M/xM ) với x phần tử tham số M Khi R thương vành Gorenstein địa phương, chúng tơi tính tốn kiểu đa thức dãy M thông qua chiều kiểu đa thức môđun khuyết thiếu M Trong Chương 3, nghiên cứu số vấn đề số khả quy môđun Trước hết, đưa công thức chặn cho số khả quy iđêan tham số tốt q M với sp(M ) ≤ Phần cuối Chương dành để nghiên cứu số khả quy môđun Artin đưa so sánh số khả quy môđun M với số khả quy Đối ngẫu Matlis môđun thương tương ứng M iii Lời cam đoan Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi Các kết viết chung với tác giả khác trí đồng tác giả trước đưa vào luận án Các kết nêu luận án trung thực chưa công bố cơng trình khác Tác giả Trần Đức Dũng iv Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến Thầy tơi: GS TSKH Nguyễn Tự Cường Thầy dìu dắt tơi từ bước chập chững đường nghiên cứu khoa học, hướng dẫn từ làm luận văn thạc sĩ luận án tiến sĩ Phương pháp đọc sách, cách phát giải vấn đề, ý tưởng toán học mà Thầy bảo giúp trưởng thành nghiên cứu hồn thành luận án Trong cơng việc, Thầy ln nghiêm khắc với học trò, sống thầy ln dành cho học trò tình cảm ấm áp yêu thương Bên cạnh kiến thức tốn học, Thầy người cha dạy cho tơi biết cách làm người tử tế sống nhân hậu Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn đến Cơ tơi: GS.TS Lê Thị Thanh Nhàn Cô gương nỗ lực gian khó người truyền cảm hứng cho tơi Tốn học nói chung Đại số giao hốn nói riêng tơi ngồi giảng đường Đại học Cơ bỏ nhiều công sức kiên nhẫn để không dẫn dắt, giảng dạy cho kiến thức, kinh nghiệm tư người làm Tốn, mà ln tạo điều kiện, giúp đỡ cho công việc, sống Sự tận tâm với nghề, với học trò đích để tơi noi theo phấn đấu Luận án hồn thành hướng dẫn tận tình hai người Thầy: GS TSKH Nguyễn Tự Cường GS.TS Lê Thị Thanh v Nhàn Một lần nữa, xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy Cơ cố gắng để xứng đáng với công lao Thầy Cô Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Ban chủ nhiệm Khoa Toán - Tin, Phòng Sau Đại học, trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi nhất, phù hợp để tơi vừa hồn thành việc học tập, vừa đảm bảo cơng việc giảng dạy Trường Tôi xin cảm ơn PGS.TS Phạm Hùng Quý, TS Đoàn Trung Cường, TS Trần Nguyên An, TS Trần Đỗ Minh Châu dành cho tơi tình cảm thân thiết giải đáp nhiều thắc mắc chuyên môn cho suốt chặng đường dài làm NCS Xin cảm ơn anh chị nhóm Đại số giao hoán Thái Nguyên trao đổi quý báu q trình làm luận án Cuối cùng, tơi xin bày tỏ biết ơn vô hạn tới Bố, Mẹ Đặc biệt Vợ Phạm Thùy Linh công chúa nhỏ Trần Phạm Ngân Khánh, người hy sinh nhiều, lo lắng, mong mỏi tiến ngày, tháng Luận án xin dành tặng cho người mà yêu thương Tác giả Trần Đức Dũng Mục lục Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 11 1.1 Môđun đối đồng điều địa phương 11 1.2 Môđun Cohen-Macaulay kiểu đa thức 16 1.3 Môđun Cohen-Macaulay dãy môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy Chương Kiểu đa thức dãy môđun 19 23 2.1 Lọc chiều dãy lọc quy chặt 24 2.2 Kiểu đa thức dãy qua địa phương hóa đầy đủ hóa 31 2.3 Mối quan hệ sp(M ) sp(M/xM ) với x phần tử 2.4 tham số 46 Tính chất đồng điều kiểu đa thức dãy 54 Chương Chỉ số khả quy môđun 58 3.1 Chỉ số khả quy môđun Noether 59 3.2 Chỉ số khả quy với kiểu đa thức dãy nhỏ 62 3.3 Chỉ số khả quy môđun Artin đối ngẫu Matlis 76 Kết luận 85 Tài liệu tham khảo 89 Mở đầu Cho (R, m) vành giao hoán, Noether địa phương với iđêan cực đại m M R-môđun hữu hạn sinh chiều d Ta có depth M ≤ dim M Khi depth M = dim M mơđun M gọi mơđun Cohen-Macaulay Lớp mơđun Cohen-Macaulay đóng vai trò trung tâm Đại số giao hoán xuất nhiều lĩnh vực nghiên cứu khác Tốn học Hình học đại số, Lý thuyết Tổ hợp, Lý thuyết bất biến Chú ý M Cohen-Macaulay (M/xM ) = e(x; M ) với (và với mọi) hệ tham số x M Một mở rộng quan trọng lớp môđun Cohen-Macaulay l lp mụun Buchsbaum J Stă uckrad v W Vogel [49] giới thiệu, lớp mơđun M thỏa mãn giả thuyết đặt D.A Buchsbaum: (M/xM ) − e(x; M ) số không phụ thuộc hệ tham số x Sau đó, N.T Cường, P Schenzel N.V Trung [48] giới thiệu lớp môđun M thỏa mãn supx ( (M/xM )−e(x; M )) < ∞, gọi môđun Cohen-Macaulay suy rộng Năm 1991, N.T Cường [5] giới thiệu khái niệm kiểu đa thức M , kí hiệu p(M ), để đo tính khơng Cohen-Macaulay M , từ phân loại nghiên cứu cấu trúc môđun hữu hạn sinh vành địa phương Nếu ta quy ước bậc đa thức khơng −1, M Cohen-Macaulay p(M ) = −1 M Cohen-Macaulay suy rộng p(M ) ≤ Một mở rộng quan trọng khác lớp môđun Cohen-Macaulay lớp Cohen-Macaulay dãy, R.P Stanley [41] giới thiệu cho trường hợp phân bậc P Schenzel [39], N.T Cường, L.T Nhàn [11] nghiên cứu cho trường hợp địa phương: M Cohen-Macaulay dãy thương Di /Di+1 Cohen-Macaulay, D0 = M Di+1 môđun lớn M có chiều nhỏ dim Di với i ≥ Tiếp theo, N.T Cường L.T Nhàn [11] nghiên cứu lớp môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy cách thay điều kiện môđun thương Di /Di+1 Cohen-Macaulay điều kiện Di /Di+1 Cohen-Macaulay suy rộng Mục đích luận án giới thiệu khái niệm kiểu đa thức dãy M , kí hiệu sp(M ), để đo tính khơng Cohen-Macaulay dãy M Chúng sp(M ) chiều quỹ tích khơng Cohen-Macaulay dãy M R thương vành Cohen-Macaulay địa phương Chúng nghiên cứu thay đổi kiểu đa thức dãy M qua địa phương hoá, qua đầy đủ hóa tính khơng tăng sp(M/xM ) x phần tử tham số Chúng tính tốn sp(M ) thơng qua chiều kiểu đa thức môđun khuyết thiếu M Chú ý báo [8], N.T Cường, Đ.T Cường H.L Trường nghiên cứu bất biến M thông qua số bội, vành sở thương vành Cohen-Macaulay địa phương bất biến kiểu đa thức dãy M Gần đây, S Goto L.T Nhàn [21] đưa đặc trưng tham số kiểu đa thức dãy Mục tiêu thứ hai luận án nghiên cứu số toán số khả quy môđun hữu hạn sinh vành địa phương Một môđun N M bất khả quy N = M N viết thành giao hai mơđun thực chứa Khi đó, định lý thứ hai E Noether [29] nói mơđun N M phân 79 môđun bất khả tổng Bằng cách bỏ tất thành phần thừa đánh số lại thành phần lại, tồn ≤ t ≤ k cho A/B = t i=1 (Ai + B)/B biểu diễn bất khả tổng không thừa A/B Do vậy, irR (A/B) = t ≤ k = irR (A) Bổ đề sau số khả quy đối ngẫu Matlis môđun thương M/N không phụ thuộc vào vành sở Bổ đề 3.3.5 irR DR (M/N ) = irR DR (M/N ) = irR DR (M /N ) Chứng minh Do DR (M/N ) E(R/m) R-môđun Artin, theo Chú ý 3.1.3 ta có đẳng cấu R-môđun DR (M/N ) ∼ = R ⊗R D(M/N ) E(R/m) ∼ = E(R/mR) Ngoài ra, ánh xạ R → R phẳng nên DR (M/N ) ∼ = R⊗R DR (M/N ) ∼ = HomR ((M/N )⊗R R, E⊗R R) ∼ = DR (M /N ) Do từ Bổ đề 3.3.3 ta có irR DR (M/N ) = irR DR (M/N ) = irR DR (M /N ) Nhắc lại hệ sinh cực tiểu M hệ sinh mà không thực chứa hệ sinh khác M Kết sau cho ta mối quan hệ hệ sinh cực tiểu M với sở k-không gian vectơ M/mM Bổ đề 3.3.6 S hệ sinh tối tiểu M ảnh S ∗ S M ∗ = M/mM sở k-không gian vectơ M ∗ Ngoài ra, hệ sinh cực tiểu môđun hữu hạn sinh vành địa phương có số phần tử Bổ đề cho ta cơng thức tính số khả quy mơđun Artin có độ dài hữu hạn 80 Bổ đề 3.3.7 Cho M R-môđun hữu hạn sinh A Rmơđun Artin Khi phát biểu sau (i) dimk Soc(M ) = dimk (DR (M )/m DR (M )) (ii) Nếu B môđun A cho R (A/B) < ∞ B + mA = A B = A (iii) Nếu A có độ dài hữu hạn irR (A) = dimk (A/mA) Chứng minh (i) Rõ ràng DR (Soc(M )) ∼ = HomR (HomR (R/m, M ), E) Vì R/m R-mơđun hữu hạn sinh E R-môđun nội xạ, áp dụng [40, Bổ đề 2.2] ta có HomR (HomR (R/m, M ), E) ∼ = R/m⊗R HomR (M, E) ∼ = DR (M )/mDR (M ) Do DR (Soc(M )) ∼ = DR (M )/mDR (M ) Vì Soc(M ) k-khơng gian vectơ, ta thu đẳng cấu k-không gian vectơ DR (Soc(M )) = HomR (Soc(M ), E(k)) = Homk (Soc(M ), k) Do dimk Soc(M ) < ∞, ta thu dimk Soc(M ) = dimk (Homk (Soc(M ), k)) = dimk DR (Soc(M )) = dimk (DR (M )/mDR (M )) (ii) Giả sử A = B Cho a ∈ A \ B Từ A/B có độ dài hữu hạn A ⊆ B, tồn số nguyên k ≥ cho mk−1 A ⊆ B mk A ⊆ B Vì A = B + mA, ta có mk−1 A = mk−1 (B + mA) ⊆ mk−1 B + mk A ⊆ B, điều mâu thuẫn (iii) Giả sử dimk (A/mA) = n Cho {e1 , , en } sở k-khơng gian vectơ A/mA, ei = ei + mA với i = 1, , n 81 Đặt Bi = Rei Khi (B1 + + Bn + mA)/mA = A/mA Suy A = (B1 + + Bn ) + mA Từ R (A) < ∞, theo phát biểu (ii) ta có A = B1 + + Bn Biểu diễn biểu diễn bất khả tổng không thừa A Thật vậy, R (A) < ∞, theo Bổ đề 3.3.6 ta suy {e1 , , en } hệ sinh tối tiểu A Do Bi khơng thừa Cho i ∈ {1, , n} Nếu Bi không bất khả tổng Bi = C + D, C, D môđun thực Bi Suy ei = x + y, x ∈ C, y ∈ D Lại {ei } {x, y} hai hệ sinh Bi , áp dụng Bổ đề 3.3.6 ta có {x, y} khơng hệ sinh tối tiểu Bi Do Bi = Rx or Bi = Ry, tức Bi = C Bi = D, điều mâu thuẫn Bổ đề hoàn toàn chứng minh Hai bổ đề sau kết bổ trợ cho việc chứng minh kết tiết Giả sử A R-môđun Artin Nếu B môđun A, tồn cấu tắc p : A → A/B cảm sinh đơn cấu D(A/B) → D(A), phần tử f ∈ D(A/B) đồng với phần tử f p ∈ D(A) Do đó, ta xét D(A/B) môđun D(A) Bổ đề 3.3.8 Cho A R-môđun Artin Giả sử B, C mơđun A Khi phát biểu sau đúng: (i) Nếu D(A/B) ∩ D(A/C) = A = B + C; (ii) Nếu A = B + C D(A/B) ∩ D(A/C) = Chứng minh (i) Giả sử A = B + C Khi D(A/(B + C)) = Do A/(B + C) thương A/B, ta xét D(A/(B + C)) môđun D(A/B) Tương tự, D(A/(B + C)) môđun D(A/C) Theo nhận xét trên, ta xét D(A/B) D(A/C) mơđun D(A) Khi D(A/(B + C)) môđun khác 82 D(A/B) ∩ D(A/C), điều mâu thuẫn (ii) Do A = B + C, ta có dãy khớp → A/B ∩ C → A/B ⊕ A/C → Do đó, ta suy D(A/B) ⊕ D(A/C) ∼ = D(A/B ∩ C) p Cho f ∈ D(A/B)∩D(A/C) Khi ta viết f = f1 p1 : A/(B ∩ C) →1 f p f A/B →1 E(R/m) f = f2 p2 : A/(B ∩ C) →2 A/C →2 E(R/m), ánh xạ p1 : A/(B ∩ C) → A/B p2 : A/(B ∩ C) → A/C toàn cấu tự nhiên Với a ∈ A, A = B + C, ta biểu diễn a = b + c với b ∈ B c ∈ C Khi f (a + B ∩ C) = f (b + c + B ∩ C) = f1 (c + B) = f2 (b + C) Do f1 (c+B) = f (c+B∩C) f2 (b+C) = f (b+B∩C) nên f (c+B∩C) = f (b + B ∩ C) Suy f (b − c + B ∩ C) = Do f2 (b − c + C) = Mà c ∈ C nên f2 (b + C) = Do f (a + B ∩ C) = Vậy f = bổ đề chứng minh Bổ đề 3.3.9 Giả sử R = R Cho A R-môđun Artin Các phát biểu sau (i) Nếu N môđun bất khả quy M D(M/N ) Rmơđun bất khả tổng (ii) Nếu A bất khả tổng, mơđun bất khả quy D(A) Chứng minh (i) Không tính tổng qt, ta giả sử N = Ta cần chứng minh D(M ) bất khả tổng Giả sử phản chứng D(M ) không bất khả tổng Khi D(M ) = B + C, B, C mơđun thực D(M ) Do đó, theo Bổ đề 3.3.8(ii) ta có D(D(M )/B)) ∩ D(D(M )/C)) = 83 Vì D(M )/B mơđun thương D(M ), nên D(D(M )/B) môđun D(D(M )) Tương tự D(D(M )/C) môđun D(D(M )) Do R = R, ta có D(D(M )) ∼ = M Chú ý D(M )/B = D(M )/C = Do D(D(M )/B)) D(D(M )/C)) môđun khác M , điều mâu thuẫn (ii) Giả sử phản chứng không môđun bất khả quy D(A) Khi = N1 ∩ N2 , N1 , N2 môđun khác D(A) Chú ý A ∼ = D(D(A)) Do đó, D(N1 ) D(N2 ) môđun thương A Đặt D(N1 ) = A/B D(N2 ) = A/C, B C mơđun A Vì N1 , N2 = 0, ta có A = B A = C Do R = R, ta suy N1 ∼ = D(D(N1 )) = D(A/B) N2 ∼ = D(D(N2 )) = D(A/C) Do D(A/B) ∩ D(A/C) = Do vậy, theo Bổ đề 3.3.8(i), ta có A = B + C Điều mâu thuẫn Định lý sau kết tiết này, đưa so sánh số khả quy môđun N M số khả quy đối ngẫu Matlis D(M/N ) Định lý 3.3.10 Cho R = R N môđun M Khi irR (D(M/N )) ≤ irM (N ) t Chứng minh Đặt irM (N ) = t Cho N = ∩ Ni phân tích bất khả i=1 quy khơng thừa N Khi ta có đơn cấu ϕ : M/N → M/N1 ⊕ ⊕ M/Nt cho ϕ(a + N ) = (a + N1 , , a + Nt ) Do ta thu tồn cấu tắc ⊕ti=1 D(M/Ni ) → D(M/N ) 84 Do Ni bất khả quy nên D(M/Ni ) bất khả tổng theo Bổ đề 3.3.9(i) Do theo Bổ đề 3.3.4(ii) ta có irR (D(M/N )) ≤ ir ⊕ti=1 D(M/Ni ) = t Định lý hoàn toàn chứng minh Nhận xét sau cho ta điều kiện để bất đẳng thức định lý xảy dấu Nhận xét 3.3.11 Nếu R (M/N ) < ∞ irM (N ) = irM N = irR D(M /N ) = irR D(M/N ) Chứng minh Do R (M/N ) < ∞ nên irM (N ) = dimk Soc(M/N ) = dimk (D(M/N )/mD(M/N )) = irR D(M/N ) theo Bổ đề 3.3.7(i) Kết luận chương Trong chương thu kết sau - Đưa công thức chặn cho số khả quy iđêan tham số tốt M trường hợp sp(M ) ≤ 1; - Chứng minh số khả quy môđun Artin A bảo tồn qua đầy đủ m-adic; - Đưa cơng thức tính số khả quy mơđun Artin A trường hợp R (A) < ∞ - Chứng minh irR (D(M/N )) ≤ irM (N ) irM (N ) số khả quy môđun N M irR (D(M/N )) số khả quy đối ngẫu Matlis M/N Chỉ dấu xảy R (M/N ) < ∞ 85 KẾT LUẬN CỦA LUẬN ÁN Trong luận án này, thu kết sau Giới thiệu khái niệm kiểu đa thức dãy M , kí hiệu sp(M ) để đo tính khơng Cohen-Macaulay dãy M Chỉ sp(M ) chiều quỹ tích khơng Cohen-Macaulay dãy M R thương vành Cohen-Macaulay địa phương; Mô tả thay đổi kiểu đa thức dãy tác động địa phương hóa đầy đủ m-adic; Chỉ mối quan hệ sp(M ) sp(M/xM ), x phần tử lọc quy chặt; Tính tốn kiểu đa thức dãy M thông qua chiều kiểu đa thức môđun khuyết thiếu M với giả thiết R thương vành Gorenstein địa phương; Đưa công thức chặn cho số khả quy iđêan tham số tốt q M với sp(M ) ≤ 1; 86 Chứng minh số tính chất cho số khả quy phạm trù môđun Artin mối quan hệ số khả quy môđun M với số khả quy Đối ngẫu Matlis môđun thương tương ứng M 87 Danh sách cơng trình tác giả liên quan đến đề tài [1] L.T Nhan, T.D Dung and T.D.M Chau, "A measure of nonsequential Cohen-Macaulayness of finitely generated modules", J Algebra, 468 (2016), 275-295 [2] T.D Dung and L.T Nhan, "A uniform bound of reducibility index of good parameter ideals for certain class of modules", J Pure Appl Algebra, 223 (2019), 3964-3979 [3] Trần Đức Dũng, "On the invariant of the index of reducibility for parameter ideals of Cohen-Macaulay modules", Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Đại học Thái Nguyên, 147(02) (2015), 199–202 [4] N.T Cuong, T.D Dung and L.T Nhan, "Reducibility index of finitely generated modules and Matlis duality", (2019), Preprint 88 Các kết luận án báo cáo thảo luận - Seminar Đại số Lý thuyết số, Đại học Thái Nguyên - Hội nghị Đại số - Hình học - Tơpơ, Bn Ma Thuột, 10/2016 - Hội thảo liên kết Việt-Nhật, Thái Nguyên, 1/2017 - Hội nghị Tốn học Tồn quốc lần thứ 9, Nha Trang, 8/2018 - Hội nghị Đại số Giao hoán Việt-Nhật, Huế, 9/2018 89 Tài liệu tham khảo Tiếng Anh [1] W Bruns and J Herzog, Cohen-Macaulay rings, Cambridge University Press, 1998 [2] M Brodmann and L.T Nhan, "A canonical Cohen-Macaulay modules", J Algebra, 371 (2012), 480-491 [3] M Brodmann and C Rotthaus, "Local domains with bad sets of formal prime divisors", J Algebra, 75 (1982), 386-394 [4] M Brodmann and R.Y Sharp, Local cohomology: an algebraic introduction with geometric applications, Cambridge University Press, 1998 [5] N.T Cuong, "On the least degree of polynomials bounding above the differences between lengths and multiplicities of certain systems of parameters in local rings", Nagoya Math J., 125 (1992), 105-114 [6] N.T Cuong and D.T Cuong, "On sequentially Cohen-Macaulay modules", Kodai Math J., 30 (2007), 409-428 [7] N.T Cuong and D.T Cuong, "Local cohomology and annihilators and Macaulayfication", Acta Mathematica Vietnamica, 42(1) (2017), 37-60 [8] N.T Cuong, D.T Cuong and H.L Truong, "On a new invariant of finitely generated modules over local rings", Journal of Algebra and Its Applications, (2010), 959-976 [9] N.T Cuong, T.D Dung and L.T Nhan, "Reducibility index of finitely generated modules and Matlis duality", (2019), Preprint 90 [10] N.T Cuong, M Morales and L.T Nhan, "The finiteness of certain sets of attached prime and the length of generalized fractions", J Pure Appl Algebra, 189(1-3) (2004), 109-121 [11] N.T Cuong and L.T Nhan, "Pseudo Cohen-Macaulay and pseudo generalized cohen-Macaulay modules", J Algebra, 267 (2003), 156177 [12] N.T Cuong, L.T Nhan and N.T.K Nga, "On pseudo supports and non Cohen-Macaulay locus of a finitely generated module", J Algebra, 323 (2010), 3029-3038 [13] N.T Cuong and P.H Quy, "A splitting theorem for local cohomology and its applications", J Algebra, 331 (2011), 512-522 [14] N.T Cuong, P.H Quy and H.L Truong, "On the index of reducibility in Noetherian modules", J.Pure and Appl Algebra, 219 (2015), 4510-4520 [15] N.T Cuong and H.L Truong, "Asymptotic behavior of parameter ideals in generalized Cohen-Macaulay module", J Algebra, 320 (2008), 158-168 [16] Trần Đức Dũng, "On the invariant of the index of reducibility for parameter ideals of Cohen-Macaulay modules", Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Đại học Thái Nguyên, 147(02) (2015), 199–202 [17] T.D Dung and L.T Nhan, " A uniform bound of reducibility index of good parameter ideals for certain class of modules", J Pure Appl Algebra, 223 (2019), 3964-3979 [18] S Endo and M Narita, "The number of irreducible components of an ideal and the semi-regularity of a local ring", Proc Japan Acad, 40 (1964), 627-630 [19] D Ferrand and M Raynauld, "Fibres formelles d’un anneau local Noetherian", Ann Sci E’cole Norm Sup., (4)3 (1970), 295-311 [20] A Grothendieck, "Local homology", Lect Notes in Math., Springer-Verlag Berlin-Heidelberg-New York, 20 (1967), 303-311 [21] S Goto and L.T Nhan, "On the sequential polynomial type of modules", J Math Soc Japan, 70 (2018), 363-383 [22] S Goto and H Sakurai, "The equality I = QI in Buchsbaum rings", Rend Sem Univ Padova., 110 (2003), 25-56 91 [23] S Goto and N Suzuki, "Index of reducibility of parameter ideals in a local ring", J.Algebra, 87 (1984), 53-88 [24] J Herzog and E Sbarra, "Sequentially Cohen-Macaulay modules and local cohomology", in: Algebra, Arithmetic and Geometry, Parts I, II, Mumbai, (2000), in: Tata Inst Fund Res Stud Math., 16, Tata Inst Fund Res., Bombay (2002), 327-340 [25] I.G Macdonald, "Secondary representation of modules over a commutative ring", Symp Math., 11 (1973), 23-43 [26] H Matsumura, Commutative Ring Theory, Cambridge University Press, 1986 [27] I.G Macdonal and R.Y Sharp, "An elementary proof of the nonvanishing of certain local cohomology modules", Quart J Math Oxford, 2(23) (1972), 197-204 [28] D.G Northcott, "On irreducible ideals in local rings", J London Math Soc, 32 (1957), 82-88 [29] E Noether, "Idealtheorie in Ringbereichen", Math.Ann, 83 (1921), 24-66 [30] M Nagata, Local Rings, Interscience, New York, 1962 [31] L.T Nhan, "On generalized regular sequences and the finiteness for associated primes of local cohomology modules", Comm Algebra, 33 (2005), 793-806 [32] L.T Nhan and T.N An, "On the unmixedness and the universal catenaricity of local rings and local cohomology modules", J Algebra, 321 (2009), 303-311 [33] L.T Nhan, T.D Dung and T.D.M Chau, "A measure of nonsequential Cohen-Macaulayness of finitely generated modules", J Algebra, 468 (2016), 275-295 [34] L.T Nhan and P.H Quy, "Attached primes of local cohomology modules under localization and completion", J Algebra, 420 (2014), 475-485 [35] L.T Nhan, N.T.K Nga and P.H Khanh, "Non Cohen-Macaulay locus and non generalized Cohen-Macaulay locus", Comm Algebra, 42 (2014), 4412-4425 92 [36] P.H Quy, "Asymptotic behaviour of good systems of parameters of sequentially generalized Cohen-Macaulay modules", Kodai Math J., 35 (2012), 576-588 [37] P.H Quy, "On the uniform bound of the index of reducibility of parameter ideals of a module whose polynomial type is at most one", Arch Math.(Basel), 101 (2013), 469-478 [38] J.D Sally, Numbers of generators of ideals in local rings, Marcel Dekker, Inc., New York-Basel, 1978 [39] P Schenzel, On the dimension filtration and Cohen-Macaulay filtered modules, in: Proc of the Ferrara Meeting in Honour of Mario Fiorentini, University of Antwerp Wilrijk, Belgium (1998), 245-264 [40] R.Y Sharp, "Some results on the vanishing of local cohomology modules", Proc London Math Soc, 30 (1975), 177-195 [41] R.P Stanley, Combinatorics and Commutative Algebra, Second edition, Birkhauser, Boston, 1996 [42] J Stuckrad and W Vogel, Buchsbaum rings and applications, Springer-Verlag, 1986 [43] H.L Truong, "Index of reducibility of distinguished parameter ideals and sequentially Cohen-Macaulay modules", Proc Amer Math Soc., 141 (2013), 1971-1978 [44] N.V Trung, "Toward a theory of generalized Cohen-Macaulay modules", Nagoya Math J., 102 (1986), 1-49 [45] M Tousi and S Yassemi (2005), "Sequentially Cohen-Macaulay modules under base change",Comm Algebra, 33(11) (2005), 39773987 [46] Y Yao, Finite F - representation type and primary decomposition, PhD Thesis, 2002 [47] Y Yao, "Primary decomposition: Compatibility, independence and linear growth", Proc Amer Math Soc, 130 (2002), 1629-1637 Tiếng Đức [48] N.T Cuong, P Schenzel and N.V Trung, "Verallgemeinerte Cohen-Macaulay moduln", Math Nachr, 85 (1978), 57-75 93 [49] J Stă uckrad and W Vogel (1973), "Eine Verallgemeinerung der Multiplicitats theorie", J Math Kyoto Univ., 13 (1973), 513-528 ... dãy 54 Chương Chỉ số khả quy môđun 58 3.1 Chỉ số khả quy môđun Noether 59 3.2 Chỉ số khả quy với kiểu đa thức dãy nhỏ 62 3.3 Chỉ số khả quy môđun Artin đối ngẫu Matlis... ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN ĐỨC DŨNG VỀ KIỂU ĐA THỨC DÃY VÀ CHỈ SỐ KHẢ QUY CỦA MƠĐUN TRÊN VÀNH GIAO HỐN Chun ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 46 01 04 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Tập thể hướng dẫn: GS.TSKH... đặc trưng tham số kiểu đa thức dãy Mục tiêu thứ hai luận án nghiên cứu số toán số khả quy môđun hữu hạn sinh vành địa phương Một môđun N M bất khả quy N = M N viết thành giao hai môđun thực chứa