Đang tải... (xem toàn văn)
CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN Dạng 1: Sử dụng tính chất: Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên: HD: => Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên: HD: Bài 3: Giải phương trình nghiệm nguyên: HD: Bài 4: Giải phương trình nghiệm nguyên: HD: Dạng 2: Đưa về tổng các số chính phương Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên: HD: Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên: HD: Nhân với 4 ta được: Bài 3: Giải phương trình nghiệm nguyên: HD: Bài 4: Giải phương trình nghiệm nguyên: HD: Bài 5: Giải phương trình nghiệm nguyên dương: HD: Bài 6: Giải phương trình nghiệm nguyên:
CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN a ( a + 1) = k Dạng 1: Sử dụng tính chất: x2 + x − y = Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên: HD: x = x +1 = x ( x + 1) = y => x + y + xy = x y Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên: HD: ( x + y ) = x y − xy = xy ( xy − 1) x2 − y − x + y = Bài 3: Giải phương trình nghiệm nguyên: HD: x − x = y − y + => ( y − 1) = x ( x − 1) x + xy + y = x y Bài 4: Giải phương trình nghiệm nguyên: HD: ( x + y ) = x y + xy = xy ( xy + 1) GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713 Dạng 2: Đưa tổng số phương x + y + xy + y − = Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên: HD: 2 ( x + y ) + ( y + 1) = = 02 + 32 x2 + y − x − y = Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên: HD: ( x − x + 1) + ( y − y + 1) = 34 Nhân với ta được: x − xy + y = 169 Bài 3: Giải phương trình nghiệm nguyên: HD: ( x − y ) + y = 169 x + y + y − xy − = Bài 4: Giải phương trình nghiệm nguyên: HD: 2 ( x − y ) + ( y + 1) = x + 13 y − xy = 100 Bài 5: Giải phương trình nghiệm nguyên dương: HD: ( x − y ) + y = 100 x + y − x3 y = 64 Bài 6: Giải phương trình nghiệm nguyên: HD: t + ( t − y ) = 64 x3 = t đặt x+ 1 + y+ =4 x y (x + 1) ( x + y ) = x y Bài 7: Giải phương trình nghiệm nguyên: HD: 2 x − + y − ÷ =4 ÷ x y÷ Bài 8: Giải phương trình nghiệm nguyên: HD: x + x y + x + y = x y => ( x − y ) + x ( y − 1) = 2 x + y − xy + y − x + = Bài : Giải phương trình nghiệm nguyên:: HD : GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713 (x − xy + y ) − x + y + x + = ( x − y) − ( x − y ) − 4x + x2 + = => ( x − y − 1) + ( x − 2) = => x2 + y − 2x − y + = Bài 10: Giải phương trình nghiệm nguyên: HD: ( x2 − x + 1) + ( y − y + 1) = x + y + z − xy − xz + yz − y − 10 z + 34 = Bài 11: Giải phương trình nghiệm nguyên: HD: ( x ) − x ( y + z ) + y + yz + z + y − y + z − 10 z + 34 = ( ( 2x − x − y ) ) ( ) ( ) + ( y − y + ) + ( z − 10 z + 25 ) = => x2 + y − x − y = Bài 12: Giải phương trình nghiệm nguyên: HD: 1 17 2 => ( x − 1) + ( y − 1) = 34 x − x + ÷+ y − y + ÷ = 4 4 m + n = 9m + 13n − 20 Bài 13: Giải phương trình nghiệm nguyên: HD: ( 4m2 − 36m + 81) + ( 4n2 − 52n + 169 ) = 170 Nhân x − xy + 13 y = 100 Bài 14: Giải phương trình nghiệm nguyên: HD: ( x − y ) = 4(25 − y ) y ≤ 25, y , mà số phương nên =>y x − xy + y − 16 = Bài 15: Tìm nghiệm nguyên phương trình: HD : x − xy + y − 16 = Ta có phương trình trở thành : x − xy + y + y = 16 => ( x − y ) + y = 16 ( x − 2y) ∈ Z => , Vì x,y số nguyên nên 2 ( x − y ) + y = 16 = + 16 = 16 + => x + y + x y + 60 = 37 xy Bài 16: Tìm số nguyên x,y thỏa mãn: HD: GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713 ( x − y) = − x y + 35 xy − 60 => ( x − y ) = ( xy − ) ( − xy ) ≥0 ( xy − 3) ( − xy ) ≥ => ≤ xy ≤ Giả sử có x,y nguyên thỏa mãn: VT => Do x,y nguyên nên xy=3 xy=4 ( x − y ) = => x = y Nếu xy=3 xy=3( vô lý) ( x − y ) = => x = y = Nếu xy=4 10 x + 20 y + 24 xy + x − 24 y + 51 < Bài 17: Tìm số nguyên x, y thỏa mãn bất phương trình: HD: 2 ( 3x + y ) + ( x + ) + ( y − ) − < 3x + y = 0, x + = 0, y − = Biến đổi: x + y − x + y = −18 Bài 18: Tìm nghiệm nguyên phương trình : HD: x5 + 29 x − 30 y = 10 Bài 19: CMR: phương trình sau khơng có nghiệm nguyên: HD: GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713 DẠNG : ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH x2 + 4x − y = Bài : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : ( x2 + 4x + 4) − y = x − y + xy = Bài :Giải phương trình nghiệm ngun : HD: Ta có: x ( + y ) − y = x ( + y ) − y − 11 = 2 x ( + y ) − ( y + 1) = 11 ( x − 1) ( y + 1) = 11 x + xy + y = 11 Bài : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : 2 y y2 y2 2x + y y − x + x + ÷− − y ÷ = 11 => ÷ − ÷ =2 ( 2x + y ) − ( y − 3) = ( x + y + y − 3) ( x + y − y + 3) = x − 25 = y ( y + ) Bài : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : x − ( y + y ) = 25 => x − ( y + y + ) = 16 ( x + y + 3)( x − y − 3) = 16 => x − y − + x + y + = 2x mà số chẵn nên số chẵn x ( x + 1) ( x + ) ( x + 3) = y Bài : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : ( x2 + 3x ) ( x + 3x + ) = y => ( a + + y ) ( a + − y ) = a = x2 + 3x với 2 x − y = 1999 Bài : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD: ( x − y ) ( x + y ) = 1999 x + y = xy Bài 7: Giải phương trình nghiệm nguyên : HD: y y2 y2 y x − x + ÷− + .2 + ÷ = −4 ( x − y − ) ( x + ) = −16 => x − y = − xy Bài 8: Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713 xy + x − y = x ( y + 1) − y − 11 = 2 x ( y + 1) − ( y + 1) = 11 ( x − 1) ( y + 1) = 11 x2 + y = 2x2 y Bài 9: Giải phương trình nghiệm nguyên : HD: x y − x − y = => x ( y − 1) − y + 1 = 2 x ( y − 1) − ( y − 1) = => ( x − 1) ( y − 1) = => xy = ( x + y ) Bài 10: Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : xy − x − y = x ( y − ) − y + 16 = 16 x ( y − ) − ( y − ) = 16 ( x − ) ( y − ) = 16 x ( x − 1) ( x − ) ( x − ) = y Bài 11: Giải phương trình nghiệm nguyên : HD: ( x − x ) ( x − x + ) = y a ( a + ) = y x ( x − ) = y − 116 Bài 12: Giải phương trình nghiệm nguyên : HD: x − x + 16 − y = −110 => ( x − ) − y = −110 xy + x − y = −3 Bài 13: Giải phương trình nghiệm nguyên : HD: x ( y + 3) − y − 15 = −18 => x ( y + 3) − ( y + 3) = −18 x y + x − 10 y = Bài 14: Giải phương trình nghiệm nguyên : HD: 3x ( y + 1) − 10 y − = x ( y + 1) − ( y + 1) = => x + y + xy + x + y + = Bài 15: Giải phương trình nghiệm nguyên : HD: 2 3x + ) ( 3x + ) ( y + 3x + ÷ = y + ( x + ) + + 2x − ÷ 4 => x + x − x − 12 x − + 12 x + y + =0 ÷ + ( y + 3x + ) − x = −4 => GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713 + =1 x y Bài 16: Giải phương trình nghiệm nguyên : HD: y + x = xy => x ( y − ) − x = 1 + = x y Bài 17 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : ⇔ ( x + y ) = xy ⇔ x ( y − 3) − y = xy − x − y = Bài 18 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : x ( y − 1) − y + = x ( y − 1) − ( y − 1) = ( x − 1) ( y − 1) = x + xy + y = Bài 19 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : x ( y + 1) + y + = 10 ( x + 1) ( y + 1) = 10 x − x − 11 = y Bài 20 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : ( x − x + 1) − y = 12 ( x − 1) − y = 12 ( x − − y ) ( x − + y ) = 12 x3 − y = xy + Bài 21 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : Ta có : ( x − y ) + 3xy ( x − y ) = xy + x − y = a a3 − 3 => ft a + ab = b + a − = − b a − => − b = ( ) 3a − xy = b Đặt : 27 ( a − ) M3a − => 27 a − − 215M 3a − => 3a − ∈ U ( 215 ) 1 1 + + = x y xy Bài 22 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : Ta có : ( x + y ) + = xy xy − x − y = x ( y − ) − y + 36 = 37 x ( y − ) − ( y − ) = 37 ( x − ) ( y − ) = 37 x − xy − x + y + 19 = Bài 23 : Giải phương trình nghiệm nguyên : GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713 HD : Ta có : x ( x − y ) − ( x − y ) − x + 19 = ( x − y ) ( x − 1) − x + = −17 ( x − y ) ( x − 1) − ( x − 1) = −17 ( x − 1) ( x − y − ) = −17 x + y + xy + y − = Bài 24 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : Ta có : x + yx + y + y − = ∆ ' = y2 − ( y + y − 2) = − y2 − y + Có , Để phương trình có nghiệm : 1 3 ∆ ' ≥ y + ÷ ≤ − ≤ y + ≤ −2 ≤ y ≤ 2 2 x2 + ( − y ) x + y − y + = Bài 25 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : ∆ ' = − 4y ∆ ' ≥ y ≤ Có y = => x = −1, x = −2 , để phương trình có nghiệm 3x + y + x + y − = Bài 26 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : ( x + x ) + ( y + y ) = x + y − xy + y − = Bài 27 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : 2 ( x − xy + y ) + ( y + y + 1) = ( x − y ) + ( y + 1) = x + y + xy + x + y + = Bài 28 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : ∆ y = x − => ∆ y ≥ ( x − ) ( x + ) ≥ => x = ± Xét : x − ( y + 5) x + y + = Bài 29 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : Theo vi- ét ta có : x1 + x2 = y + => ( x1 − ) ( x2 − ) = = 1.2 = ( −1) ( −2 ) x1.x2 = y + x − x − 11 = y Bài 30 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713 ( x − 1) − y = 12 ( x − + y ) ( x − − y ) = 12 Đưa phương trình dạng : x + y + xy − x − y + = Bài 31 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : Chuyển phương trình thành bậc hai với x x + ( y − 1) x + ( y − y + 3) = , có : ∆ = y − y − 11 ∆ , Điều kiện cần đủ để phương trình có nghiệm nguyên là số phương y − y − 11 = k ( k ∈ Z ) => y = 5, y = −3 => xy − x + y = 27 Bài 32 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : ( x + 3) ( y − ) = 21 Đưa phương trình dạng : x ( y + 3) − y = 38 Bài 33 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : ( x − 1) ( y + 3) = 35 Đưa phương trình dạng : xy + x + y = 17 Bài 34 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : ( 3x + 1) ( y + 1) = 52 Đưa phương trình dạng : x + x + = xy − y Bài 35 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : ( x − 1) ( y − x − ) = Đưa phương trình dạng : xy + xy − 243 y + x = Bài 36 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : Đưa phương trình dạng : 2 x ( y + 1) = 243 y => ( y + 1) ∈ U ( 243) ( x; y ) = ( 54; ) ; ( 24;8 ) => x − xy = x − y − 19 Bài 37 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : x − x + 19 x − x + 19 = y ( x − 1) => y = 2x −1 đưa phương trình : GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713 y ( x − 1) = x + Bài 38 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : Đưa phương trình dạng : y = x +1+ x −1 15 x − y = Bài 39 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : y M3 => y M3 => y = y1 => x − 21 y12 = => xM3 => x = x1 Ta có : => 15 x12 − y12 = => y12 ≡ −1( mod ) => Vô nghiệm 29 x − 28 y = 2000 Bài 40 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : x ≡ ( mod ) Đưa phương trình thành : , Vô nghiệm 1999 x − 2000 y = 2001 Bài 41 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : x ≡ −1( mod ) Đưa phương trình dạng : , Vơ nghiệm x y − x − y = xy Bài 42 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : y ( x2 − ) = ( x + y ) Đưa phương trình dạng : x= y=0 x2 − Phương trình có nghiệm , xét x, y # => số phương 2 x − = a => ( x − a ) ( x + a ) = => Đặt : Tìm x ( 0;0 ) , ( 4; −1) , ( 4; ) , ( −4;1) , ( −4; −2 ) x + xy + y = Bài 43 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : ( x + 1) ( y + 1) = 10 Đưa phương trình vê dạng : y = x ( x + 1) ( x + ) ( x + ) Bài 44 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : y = ( x + x ) ( x + x + ) = z + z => y = ( z + ) − 49 Đưa phương trình thành : 10 GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713 49 = ( z − y + ) ( z + y + ) => x ( + x + x ) = y ( y + 1) Bài 45 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : + x + x + x3 = y + y + => ( x + 1) ( x + 1) = ( y + 1) Phương trình ( x + 1) , ( x + 1) Vì VP số lẻ => số lẻ , 1 − x Md 1 + x Md => 2 ( x + 1; x2 + 1) = d 1 + x Md 1 + x Md Giả sử : => d lẻ , Mà : => ( + x ) ( + x ) x + = x + => x = số phương => x + xy + y = x y Bài 46 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : Ta có : x + xy + y = x y => ( x + y ) = x y + xy = xy ( xy + 1) xy = => xy + = x + y + xy = x + y Bài 47 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : Đưa phương trình dạng : x − ( y + 1) x + ( y − y ) = , Điều kiện để phương trình có nghiệm : 2 ∆ ≥ y − y − < ( y − 1) ≤ => ( y − 1) ≤ y = 0,1, Từ ta có : x + y + xy − x − y + = Bài 48 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : x + ( y − 1) x + ( y − y + 3) = Đưa phương trình dạng : ∆≥0 Điều kiện để phương trình có nghiệm Làm giống ( x2 + y ) ( x + y ) = ( x − y ) Bài 49 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : y y + ( x − x ) y + ( x + 3x ) = Đưa phương trình dạng : TH1 : y=0 => 11 GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713 y ≠ => y + ( x − x ) y + ( x + x ) = TH2 : ∆ ≥ => ( x + 1) x ( x − ) Điều kiện để phương trình có nghiệm phải số phương x ( x − ) = a ( a ∈ N ) => ( x − − a ) ( x − + a ) = 16 => => Tìm x Đáp án : (x ; y)= ( ; -6), (9 ; -21), (8 ; -10), (-1 ; -1), (m ; 0) với m số nguyên ( x + y ) = ( x − xy + y ) Bài 50 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : 3x − ( y + ) x + y − y = Đưa phương trình dạng : ∆ Để phương trình có nghiệm phải số phương 12 x + xy + y = 28 ( x + y ) Bài 51 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : Cách : Đánh giá miền cực trị x : 142 14 196 x = −3 ( x + y ) + 28 ( x + y ) = − ( x + y ) − ≤ 3 x ≤ => x ∈ { 0;1; 4} => Cách : Tính ∆ x + xy + y = x + y Bài 52 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : x2 + ( y − 2) x + y2 − y = Đưa phương trình dạng : ∆≥0 Điều kiện để phương trình có nghiệm x + xy + y = x + y Bài 53 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : x + ( y − 1) x + y − y = Đưa phương trình dạng : ∆≥0 Điều kiện để phương trình có nghiệm x − xy + y = y Bài 54 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : x − yx + y − y = Đưa phương trình dạng : ∆≥0 Điều kiện để phương trình có nghiệm x − xy + y = y + Bài 55 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : 12 GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713 x − yx + y − y − = Đưa phương trình dạng : Điều kiện để phương trình có nghiệm ∆≥0 x2 − y = Bài 56 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : ( x − 2y) ( x + y) = Biến đổi phương trình thành : x − y = 91 Bài 57 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : ( x − y ) ( x + y ) = 91 Biến đổi phương trình thành : x3 + xy = Bài 58 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : x ( x2 + y ) = Biến đổi phương trình thành : x3 + y = y + x Bài 59 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : Biến đổi phương trình thành : x3 − y − ( x − y ) = ( x − y ) ( x + xy + y ) − ( x − y ) = ( x − y ) ( x + xy + y − ) = x=y TH1 : x + xy + y = => ( x − y ) = − xy => xy < TH2 : x = => y = => x = => y = 3x + 10 xy + y = 96 Bài 60 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : ( x + y ) ( 3x + y ) = 96 Đưa phương trình dạng : ( x + y ) + ( 3x + y ) = ( x + y ) Chú ý : Vì số chẵn nên có tính chất chẵn xy + 3x − y = −3 Bài 61 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : x ( y + 3) − y − 15 = −18 => x ( y + 3) − ( y + 3) = −18 Đưa phương trình dạng : 13 GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713 ( x − ) ( y + 3) = −18 x + y + = xyz Bài 62 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : x≤ y Giả sử : x = y => x + = x z => x ( xz − ) = => x = y = 1, z = TH1 : x < y => xyz < y + => xyz ≤ y xz ≤ => x = 1, y = 2, z = TH2 : x = 2, y = 2, z = x − xy − x + y = −19 Bài 63 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : x ( x − y ) − ( x − y ) = −19 ( x − ) ( x − y ) = −19 Đưa phương trình dạng : x + 11 y = xy Bài 64 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : ( x − 11) ( y − 1) = Đưa phương trình dạng : x − 656 xy − 657 y = 1983 Bài 65 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : ( x + y ) ( x − 567 y ) = 1983 Đưa phương trình dạng : x − xy − y = Bài 66 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : ( x + 3) ( − y ) = 21 Đưa phương trình dạng : y ( x + 1) = 1576 + x Bài 67 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : ( x + 1) ( y − x + 1) = 1577 = 19.83 Đưa phương trình dạng : x + 2003 x + 2004 y + y = xy + 2004 xy + 2005 Bài 68 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : ( x − 1) ( x + 2004 − 2004 y − y ) = Đưa phương trình dạng : 14 GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713 DẠNG : ĐƯA VỀ ƯỚC SỐ x − 3x + = − xy + y Bài : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : y ( x − ) = x2 − x + Phương trình tương đương với : => x − 3x + 9M2 − x y= x − 3x + 2− x Với x=2 nghiệm ta có : x2 y + y = x + Bài : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : y ( x + ) = x + => y = Biến đổi phương trình thành : x+4 x2 + x2 y + y − 2x +1 = Bài : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : y ( x + ) = x − => y = Biến đổi phương trình thành : 2x −1 x2 + x3 − x y + 3x − y − = Bài : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : x3 + 3x − = x y + y = y ( x + ) Biến đổi phương trình dạng : x3 + 3x − => y = x2 + A= x3 − x2 + x − x2 + Bài : Tìm x nguyên để biểu thức sau nguyên : HD : 4x −1 A = ( x − 2) + => ( x − 1) Mx + => ( x − 1) ( x + 1) Mx + x +3 Ta có : ( x − 1) + y = xy Bài : Tìm nghiệm nguyên phương trình : HD : x − + y = xy => ( x − 1) = xy − y = y ( x − ) ta có : 7x − => y = 2x − x y + xy + y − x − = Bài : Tìm nghiệm nguyên phương trình : HD : 15 GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713 y ( x + x + 1) = x + => y = Biến đổi phương trình thành : x +1 x + x +1 x2 y − 2x + y +1 = Bài : Tìm nghiệm nguyên phương trình : HD : Biến đổi phương trình thành : 2x −1 y ( x + ) = x − => y = x +2 x3 − x y − x − y − x − = Bài : Tìm nghiệm nguyên phương trình : HD : Biến đổi phương trình trở thành : x3 − x − x − = x y + y = y ( x + 3) x3 − x − x − => y = x2 + 3 x + y − xy = 16 Bài 10 : Tìm nghiệm nguyên phương trình : HD : Biến đổi phương trình thành : xy − x − y = −16 x ( y − 3) − y + 12 = −4 x ( y − 3) − ( y − 3) = −4 => ( y − ) ( x − ) = −4 xy − 3x − y = Bài 11 : Tìm nghiệm nguyên phương trình : HD : Biến đổi phương trình thành : x ( y − 3) − y + 12 = 21 ( x − ) ( y − 3) = 21 xy − = x + y Bài 12 : Tìm nghiệm nguyên phương trình : HD : Biến đổi phương trình thành : xy − x − y = x ( y − 3) − y + = ( y − 3) ( x − 1) = ( y + 2) x2 + = x Bài 13 : Tìm nghiệm nguyên phương trình : HD : Biến đổi phương trình thành : x2 −1 x2 − y + = => y = − x x x + xy + x + + y = 15 Bài 14 : Tìm nghiệm nguyên phương trình : HD : 16 GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713 Biến đổi phương trình thành : x + x + − 15 = − y ( x + 3) => − y = x + x − 14 2x + x + 25 = y − 3xy Bài 15 : Tìm nghiệm nguyên phương trình : HD : Biến đổi phương trình thành : xy + x = y − 25 => x ( y + ) = y − 25 x= y − 25 3y + xy + x + y + = x + y + xy Bài 16 : Tìm nghiệm nguyên phương trình : HD : Biến đổi phương trình thành : ( xy − y ) − ( xy − y ) − ( x − x ) = −1 y ( x − 1) − y ( x − 1) − x ( x − 1) = −1 ( x − 1) ( y − y − x ) = −1 ( y + 2) x2 + = y2 Bài 17 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : Biến đổi phương trình thành : y2 −1 x2 = y+2 x − y = xy − 11 Bài 18 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : Biến đổi phương trình thành : xy − x + y = 11 x ( y − ) = 11 − y => x = 11 − y 2y −5 xy − x − y + = Bài 19 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : Biến đổi phương trình ta có : y = 2+ x −3 y ( x + 1) = x + Bài 20 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : Biến đổi phương trình ta có : y = x +1+ x −1 x − y + xy = 39 Bài 21 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 17 GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713 HD : Biến đổi phương trình thành : x − 39 y= => x − 39 ≥ − x => −12 ≤ x ≤ − 5x => ( x − 39 ) ≥ ( − x ) 2 x − y = xy − 11 Bài 22 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : Biến đổi phương trình dạng : x+5 2 y = 2+ => x + ≥ x + => ( x + ) ≥ ( x + 3) 2x + Bài 23 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : Đưa phương trình trở thành : ( y − 1) x + ( y + 1) x + y − = x2 − x + y= x + x +1 TH1 : y=1=>x=0 y ≠ => ∆ x ≥ TH2 : ≤ y ≤ => y ∈ { 0;1; 2;3} A= x2 + x + xy − Bài 24 : Tìm cặp (x ; y) nguyên cho A có giá trị nguyên : HD : Biến đổi phương trình thành : x + y +1 yA = x + + => x + y + ≥ xy − => ( x − 1) ( y − 1) ≤ xy − ( y + z ) = x ( yz − 1) Bài 25 : Tìm cặp số nguyên dương x,y,z biết : HD : Biến đổi phương trình thành : y + 2z x= => y + z ≥ yz − => yz − − y − z ≤ yz − A= Bài 26 : Tìm cặp nguyên dương a, b biêt A có giá trị nguyên : HD : Biến đổi phương trình thành : ( a + b ) M( ab + ) => ( a + b ) = k ( ab + ) a2 − ab + Chứng minh k=1=>a=4, b=3 x − y = 2003 Bài 27 : Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : 18 GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713 HD: ( x − y ) ( x + y ) = 2003 Biến đổi phương trình thành: x + y = 2002 Bài 28 : Có tồn hay khơng hai số nguyên x, y thỏa mãn : HD: Biến đổi phương trinhg thành: x2 + y = 286 => x M7 x < 286 => ≤ x ≤ 16 x M7 => x = 7, x = 14 và x = => y = 165 ( l ) Với x = 14 => y = 202 ( l ) Với x + y + z = x + y + z + 2006 Bài 29 : Có tồn hay không hai số nguyên x, y thỏa mãn : HD: Biến đổi phương trình thành: x − x = x ( x − 1) = ( x − 1) x ( x + 1) M y − y M3, z − z M3 Tương tự ta có: , Mà /3 2006 M , Vậy không tồn x,y,z x + = 3026 y Bài 30 : Tìm cặp số tự nhiên thỏa mãn : HD: y = => x = 3026 − = 3025 => x = 55 Xét y > => y M3 x2 : Xét dư y x +3 :3 => dư dư 1, Mà 3026 chia dư 2=> Vô lý x − y = 2005 Bài 31 : Chứng minh phương trình sau khơng có nghiệm ngun : HD: Với y Phương trình vơ nghiệm y=0,1,2,3=> Phương trình vô nghiệm y > => y M8 => PT x − 2005 = y M x ≡ ( mod ) => ( Vơ lý) số phương chia dưa hoặc Bài 32: Tìm tất tam giác vng có cạnh số nguyên số đo diện tích số đo chu vi HD: (1≤ x ≤ y < z) Gọi x, y cạnh hình vng xy = ( x + y + z ) x2 + y = z ta có: (2) 2 z = ( x + y ) − xy = ( x + y ) − ( x + y + z ) Khi ta có: 19 GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713 => ( x + y ) − ( x + y ) + = z + z + => ( x + y − ) = ( z + ) => ( x + y − = z + ) 2 z = x+ y−4 Thay vào (2) ta x − y = xy − 11 Bài 33 : Tìm nghiệm nguyên phương trình : HD: x + 11 x+5 y= = 2+ => ( x + ) M2 x + => M2 x + 2x + 2x + Đưa phương trình thành: x − x − 11 = y Bài 34 : Tìm nghiệm nguyên phương trình : HD: ( x2 − x + 1) − y = 12 ( x − − y ) ( x − + y ) = 12 Biến đổi phương trình thành: y ( x − 1) = x + Bài 35 : Tìm nghiệm nguyên phương trình : HD: x2 + y= = x +1+ x −1 x −1 Biến đôi phương trình thành: xy + xy − 243 y + x = Bài 36 : Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : HD: Biến đổi phương trình thành: 2 / ( y + 1) => 243M x ( y + 1) = 243 y yM ( y + 1) Vì x + y = xy Bài 37 : Tìm nghiệm nguyên phương trình : HD: Biến đổi phương trình thành: ( x − 1) ( y − 1) = xy + = x + y Bài 38 : Tìm nghiệm nguyên phương trình : HD: ( x − 1) ( y − 1) = Biến dổi phương trình thành: x − xy = x − y − Bài 39 : Tìm nghiệm nguyên phương trình : HD: Biến đổi phương trình thành: x2 − x + y= = ( x − 1) + x −5 x −5 20 GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713 x − y = xy + Bài 40 : Tìm nghiệm nguyên phương trình : HD: Biến đổi phương trình thành: x − y = a ( x − y ) + 3xy ( x − y ) = xy + xy = b , Đặt: Khi phương trình trở thành: a3 − a + 3ab = b + => −b = => a − 8M3a − => 27 ( a − ) M3a − 3a − 27 a − − 215M3a − => 3a − ∈U ( 215 ) xy − x − y + = Bài 41 : Tìm nghiệm nguyên phương trình : HD: Biến đổi phương trình thành: 2x −1 y= = 2+ x−3 x −3 x y − x − y = xy Bài 42 : Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : HD: y x2 − = ( x + y ) ( ) Biến đổi phương trình thành: x= y=0 Phương trình cho có nghiệm: x, y ≠ 0, x2 − Xét: từ (1) => số phương 2 x − = a => ( x − a ) ( x + a ) = Đặt => Tìm đc x => (0; 0), (4; -1), (4; 2), (-4; -1), (-4; -2) (1) x + y = x + 13 Bài 43 : Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : HD: Biến đổi phương trình thành: x − x + = 16 − y => ( x − 1) = 4 − y ( ) => − y ≥ => y ≤ => y ≤ => y = 1, y = 21 GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713 DẠNG 5: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC x4 + x2 + = y Bài : Tìm tất x,y nguyên thỏa mãn : HD: Ta có: x + ≥ > => y = x + x + > x = ( x ) y = x + x + − x = ( x + 1) − x ≤ ( x + 1) Mặt khác (x ) 2 (1) < y ≤ ( x + 1) => y = ( x + 1) (2) Từ (1) (2) ta có: y =1 => x + x + = x + x + x = => y = => y = −1 x4 − y = y2 + Bài : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : Ta có : x = y + y + = y + y + + y = ( y + 1) + y ≥ ( y + 1) 2 x = y + y + = y + y + − y − = ( y + ) − ( y + 3) < ( y + ) Mặt khác : (y + 1) ≤ x < ( y + ) => x = ( y + 1) 2 2 Khi : x = y + y + => y + y + = y + y + => y = 0, x = ±1 x3 − y − y − y − = Bài : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : Ta có : x = y + y + y + = y + y + y + − y ≤ ( y + 1) ( ) (1) x = y + y + y + = y − y + y − + y + > ( y − 1) 3 ( ) mặt khác : 3 ( y − 1) < x3 ≤ ( y + 1) Khi : y = −1 3 x = y => => x = −1 y = − (l ) TH1 : x = ( y + 1) => y = => x = TH2 : + x + x + x3 = y Bài : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : 22 GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713 Ta có : 1 3 + x + x = x + ÷ + ≥ > => y = ( + x + x ) + x3 > x 2 4 y = x + 3x + 12 x + − x − 11x − = ( x + ) − ( x + 11x + ) < ( x + ) Mặt khác : Khi : x = y =1 3 x < y < ( x + ) => y = ( x + 1) => => x = −1 y = Bài : Tìm số nguyên x để biểu thức sau số phương : HD : x + x3 + x + x + = y Đặt x + x3 + x + x + => ( x + x + x ) + ( x + x + ) = ( x + x ) + ( x + x + 3) = y 2 => y > ( x + x ) (x (1) + x ) < y < ( x2 + x + 2) 2 Vậy ta cần chứng minh y − ( x + x ) = x + x + > => y > ( x + x ) 2 Thật : y = ( x + x + ) = 3x + 3x + > 2 x = y = ( x + x + 1) => x + x − = => x = −2 x + y + x = 19 Bài : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : x + y + x = 38 ( x ) + 2.2 x.2 + + y = 42 Ta có : 2 ( x + ) + y = 42 ≥ ( x + ) ≥ ( 2x + 2) Mà M4 => Tìm x => Tìm y x2 + y = Bài : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : Ta có : y M2 mà :2 dư 1=> x2 chia dư 1=> x2 chia dư 1=>2y2 +x2 chia dư mà chia dư 5=> Vơ lý khơng có giá trị x, y nguyên thỏa mãn x + = y ( y + 1) Bài : Giải phương trình nghiệm nguyên : 23 GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713 HD: Nhân với ta có: 36 x + 20 = y + y 36 x + 21 = y + y + = ( y + 1) => 36 x + 21M => y + 1M3 => ( y + 1) M Do không tồn x, y nguyên , mà /9 36 x + 21M => Vô lý x + x = 19 − y Bài : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD: ta có: 2 x + x + = 21 − y => ( x + 1) = − y ( => − y M2 => y ) x = y = ±1 => x = −4 số lẻ < 7=> 2x + = y Bài 10 : Tìm x, y nguyên cho : HD: x = => y = ±2 Xét x = => y = => Xét Vô lý y = 4k + 4k + 1: x ≥ => M4 => VT : Với dư 3=> y số lẻ=> y=2k+1=> dư (vl) Vậy không tồn x, y nguyên x + 57 = y Bài 11 : Tìm x, y nguyên cho : HD : TH1 : x số lẻ : x = 2n + 1( n ∈ N ) => x = 2 n +1 = 2.4n = ( + 1) n = ( B ( 3) + 1) = B ( 3) + n => VP số phương chia khơng dư TH2 : x số chẵn : => x = 2n ( n ∈ N ) => y − 2 n = 57 => ( y + 2n ) ( y − 2n ) = 3.19 y + 2n > => y − n > Thấy y + 2n = 57 => n y − =1 chia dư y + 2n > y − 2n y + = 19 n y −2 = n x + x3 + x + x + = y Bài 12 : Tìm nghiệm nguyên phương trình : HD: Ta có: (x + x + x ) + ( 3x + x + ) = y > ( x + x ) + ( x + x ) + + x + x + 24 GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713 => y > ( x + x + 1) + ( x + x + 3) y ≤ ( x + x + 3) Ta cần chứng minh: x + x + x + x + ≤ x + x + + x + 12 x + x Khi đó: (x + x + 1) < y ≤ ( x + x + 3) => y = ( x + x + ) y = ( x + x + 3) 2 x + y + z + xyz = 20 Bài 13 : Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : HD: ≤ x ≤ y ≤ z => VT = x + y + z + xyz ≥ x + x + x + x = x Giả sử: x = => 20 ≥ x => x ≤ => x = y + z + yz = 19 > y + y + y = y => y < 19 TH1: Với x=1=> y =1 y < => y = => Nếu y=1=> Z khơng có giá trị, Nếu y=2=> z=3 TH2 : Với x=2 làm tương tự 1 + + =1 x y z Bài 14 : Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : HD: ≤ x ≤ y ≤ z => ≤ => x < => x ∈ { 2;3} x Giả sử: làm tương tự 1 1 1 + + + + + a b c ab bc ca Bài 15 : Tìm số nguyên dương a, b, c đơi khác thỏa mãn : có giá trị nguyên HD: ta có: A.abc = ab + bc + ca + a + b + c => a, b, c Giả sử : a A < 1( l ) => a = Nếu b ≥ 3, c ≥ => < A < => A = a=1=> thay a=1 A=2 vào ta được: 25 GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713 ( b + c ) + = bc ( b − ) ( c − ) = => b = 3, c = hay Nếu a=2, xét tương tự=> (2;4;4), (1;3;7) hoán vị x + y + z + = xyz Bài 16 : Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : HD: ta có: 1 GT => + + + =1 yz xz xy xyz x ≥ y ≥ z ≥1 Giả sử: VT ≤ 1 12 + + + = => z ≤ 12 => z ∈ { 1;2;3} z z z z z Khi đó: z = => x + y = xy − 10 Với => tự làm p4 Bài 17 : Tìm tất số nguyên tố p để tổng tất ước tự nhiên HD: ta có: + p + p + p + p = m => ( p + p ) < 4m < ( p + p + ) số phương 4m = ( p + p + 1) => p = => x2 + x = y + y3 + y + y Bài 18 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD: Biến đổi thành: ( 2y + y ) + y + y + = ( x + 1) = ( y + y + 1) + y − y 2 2 x − xy + y = Bài 19 : Tìm nghiệm nguyên phương trình : HD: Biến đổi thành: 20 ( x − y ) = 20 − y ≥ => y ≤ => y = 0,1, Xét TH=> x y = x + 12 x + 1995 Bài 20: Tìm nghiệm nguyên dương x, y phương trình : HD: Biến đổi thành: y = ( x + ) + 1959 ≥ 1959 => y ≥ 45 −1959 = ( x + ) − y = ( x + y + ) ( x − y + ) Lại có: x + y ≥ 52 , Với 1959=3.653 26 GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713 yz xz xy + + =3 x y z Bài 21 : Tìm nghiệm nguyên phương trình : HD: y z + x z + x y = 3xyz Phương trình cho VT ≥ 3 ( xyz ) => xyz ≥ 3 ( xyz ) => xyz ≤ 4 Cơ si ta có: có nghiệm là: (1 ;1 ;1), (1 ;-1 ;-1) hoán vị x, y , z > , Do x,y,z nguyên nên ta y = + x + x + x3 + x Bài 22: Tìm nghiệm nguyên phương trình : HD : Với x=0=> y= y=-1 y = ( x2 + x + 2) − 5x2 < ( x2 + x + 2) 2 Với x # 0=> => ( x + x ) < y < ( x + x + ) => x = 3, x = −1 2 y = + x + x + x3 Bài 23: Tìm nghiệm nguyên phương trình : HD : Từ phương trình ta có : 3 x3 < y < ( x + ) => y = ( x + 1) ( x + y + z + t ) + 10 = xyzt Bài 24: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : HD : x ≥ y ≥ z ≥ t => xyzt = ( x + y + z + t ) + 10 ≤ 20 x + 10 => yzt ≤ 15 => t ≤ 15 => t ≤ Giả sử : t = => xyz = ( x + y + z ) + 15 ≤ 15 x + 15 => yz ≤ 30 => z ≤ 30 => z ≤ Với z = => xy = ( x + y ) + 20 => xy = 10 ( x + y ) + 40 => ( x − ) ( y − ) = 65 TH1 : Giải TH với t=2 xyz = ( x + y + z ) Bài 25: Tìm nghiệm nguyên phương trình : HD : x ≥ y ≥ z => xyz = ( x + y + z ) ≤ 12 x => yz ≤ 12 => z ≤ 12 => z ∈ 1; 2;3 Giả sử : xy + yz + zx = xyz + Bài 26: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : HD : x ≥ y ≥ z ≥1 Giả sử : => xy + yz + zx ≤ xy + xy + xy = xy => xy ≥ xyz + => xy > xyz => z < => z = 1, 27 GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713 1 1 + = + x y xy Bài 27: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : HD : 1 1 2 x −1 x x ≥ y => = + − ≤ − = < = x y xy y xy xy xy y Giả sử : < => y < => y ∈ { 1; 2;3; 4;5} y => Bài 28: Tìm số nguyên dương cho tổng chúng tích chúng HD : Gọi số nguyên dương phải tìm x, y, z, Ta có : ≤ x ≤ y ≤ z => xyz = x + y + z ≤ z => xy ≤ => xy ∈ { 1; 2;3} x + y + z = xyz , Giả sử : xy = => x = 1, y = Với xy = => x = 1, y = Với xy = => x = 1, y = Với x + 3x = x Bài 29: Tìm số tự nhiên x thỏa mãn phương trình : HD : x x 2 3 ÷ + ÷ =1 5 5 Ta có : Với x=0=> Vơ lý Với x=1 x x 3 2 x ≥ => ÷ < , ÷ < => VT < VP 5 5 Với Bài 30: Chứng với số nguyên k cho trước, không tồn số nguyên x cho x ( x + 1) = k ( k + ) HD : x + x = k + 2k => x + x + = ( k + 1) ta có : x > => x < x + x + = ( k + 1) Do 2 x > => ( k + 1) = x + x + < x2 + x + = ( x + 1) 2 x < ( k + 1) < ( x + 1) => Vơ lý Bài 31: Tìm x ngun để biểu thức sau số phương : HD : (1) (2) x + x3 + x + x + 28 GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713 x + x + x + x + = y => y = ( x + x ) + ( x + x + 3) Đặt a2 < y2 < ( a + 2) ta cần chứng minh : với a = x2 + x x3 + y + z = ( x + y + z ) Bài 32: Tìm số nguyên dương đôi khác thỏa mãn : HD : x3 + y + z x + y + z x < y < z => ≥ ÷ => x + y + z ≤ 3 Giả sử : không xảy đấu = x + y + z ≥ + + = => x + y + z ∈ { 6;7;8} => x + y + z ≤ , mà ( x; y; z ) = ( 1; 2;3) Kết hợp với phương trình đầu=> Bài 33: Tìm tất số tự nhiên không nhỏ cho tích số cộng với chia hết cho số lại HD : ab + bc + ca + a ≥ b ≥ c ≥ => , , ∈Z c a b Giả sử số đẫ cho : ( ab + 1) ( bc + 1) ( ca + 1) => ab + bc + ca + = abc abc Nhân theo vế ta : => ab + bc + ca + = k abc ab + bc + ca + ≤ 4abc => k ≤ Vì k=4=>a=b=c=1 (t/m) 3abc ≤ 4ab => c ≤ => a = 2, b = Nếu k=3 k=2, k=1 xét tương tự Bài 34 : Tìm số ngun dương cho tích chúng gấp đôi tổng chúng HD : Gọi số ngun dương cần tìm x,y,z, ta có : xyz = ( x + y + z ) x ≤ y ≤ z => xyz = ( x + y + z ) ≤ 2.3 z = z => xy ≤ Giả sử : Xét TH xy Bài 35: Tìm số nguyên dương cho tổng chúng tích chúng HD : x, y, z, t => x + y + z + t = xyzt Gọi số nguyên dương cần tìm : t ≥ z ≥ y ≥ x ≥ => xyzt = x + y + z + t ≤ 4t => xyz ≤ => xyz ∈ { 1; 2;3; 4} Giả sử : Xét TH xyz Bài 36 :Chứng minh phương trình sau khơng có nghiệm ngun dương: 29 GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713 x17 + y17 = 1917 HD : x17 + y17 = 1917 ≤ x ≤ y ≤ 19 Giả sử : 17 17 17 19 ≥ ( y + 1) => 19 ≥ y17 + 17 y16 => x>17=> x=y=18 thử lại ta thấy x=y=18 khơng thỏa mãn => Phương trình khơng có nghiệm ngun dương x2 + y y2 + x Bài 37 :Có tồn hay khơng hai số nguyên dương x y cho số phương HD : x < x + y ≤ x + x < ( x + 1) Giả sử : y < x, Ta có : Vậy khơng tồn hai số ngun dương thỏa mãn ban đầu x + x3 + x + x + Bài 38: Tìm số nguyên x để biểu thức sau số phương: HD : Giả sử : x + x3 + x + x + = y => ( y ) = ( x + x ) + x + ( x + ) > ( x + x ) 2 ( 2y) 2 , Nên : > ( x + x + 1) => −1 ≤ x ≤ 2 ( x + 2) − x = y3 Bài 39 : Giải phương trình nghiệm nguyên: HD : y = ( x + 3x + x + 1) ta có : , 3 y = x => z = x + 3x + x + Đặt x = −1 => y = ( t / m ) Thấy ngày : Chứng minh phương trình sau khơng có nghiệm 1 1 + + = x y z 1991 Bài 40 : Chứng minh có số hữu hạn nghiệm nguyên dương HD : Giả sử : 1 1 + + = ≤ 0< x≤ y≤ z x y z 1991 x , Ta có : 1991 < x ≤ 3.1991 => => x có hữu hạn giá trị 2.1991x y< ≤ 22.1991 x − 1991 Với giá trị x => giá trị 30 GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713 => Tương ứng với z x − 25 = y ( y + ) Bài 41: Tìm tất cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn phương trình: HD: x − 25 = y ( y + ) => x − ( y + 3) = 16 => ( x + y + 3) ( x − y − 3) = 16 3x + x = x Bài 42: Tìm nghiệm nguyên phương trình: HD: x x 3 4 ÷ + ÷ =1 5 5 Phương trình cho viết lại thành: Ta thấy x=2 nghiệm phuong trình: x x 3 4 + ÷ ÷ >1 5 5 Nếu x>2 Nếu x 0) ≥1 Nếu x + = => + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ =1 5 5 5 5 3 4 , ≥ Phương trình vơ nghiệm vế phải lớn y 31 GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713 ... Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : 3x − ( y + ) x + y − y = Đưa phương trình dạng : ∆ Để phương trình có nghiệm phải số phương 12 x + xy + y = 28 ( x + y ) Bài 51 : Giải phương trình nghiệm nguyên. .. Bài 54 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : x − yx + y − y = Đưa phương trình dạng : ∆≥0 Điều kiện để phương trình có nghiệm x − xy + y = y + Bài 55 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD :... 0 981 891713 x − yx + y − y − = Đưa phương trình dạng : Điều kiện để phương trình có nghiệm ∆≥0 x2 − y = Bài 56 : Giải phương trình nghiệm nguyên : HD : ( x − 2y) ( x + y) = Biến đổi phương trình