Đang tải... (xem toàn văn)
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM HỌC 2012-2013 Môn Toán khối D TRƯỜNG THPT HÀ HUY TẬP
www.VIETMATHS.com SỞ GD & ĐT HÀ TỈNH TRƯỜNG THPT HÀ HUY TẬP ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM HỌC 2012-2013 Môn thi: Toán, khối D Thời gian làm bài: 150 phút( không kể thời gian giao đề) A. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 8,0 điểm ) Câu I : ( 3,0 điểm ). Cho hàm số : 2x 1 y x 1 − = + có đồ thị là ( ) C . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) 2) Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của ( ) C .Tìm trên đồ thị ( ) C điểm M có hoành độ dương sao cho tiếp tuyến tại M với đồ thị ( ) C cắt hai đường tiệm cận tại A và B thoả mãn : 2 2 40IA IB + = . Câu II : ( 2,0 điểm ) 1) Giải phương trình : sin 2 cos2 sin cos 1 0x x x x + + + + = 2) Giải hệ phương trình: ( ) ( ) ( ) 2 2 1 0 1 2 0 x y x y x x y y − + + = + + − + = Câu III : ( 1,0 điểm ).Tính tích phân: I = 1 5 3 0 1x x dx− ∫ . Câu IV : ( 1,0 điểm ) .Cho hình chóp tam giác đều .S ABC có cạnh bên bằng a , góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy bằng 0 45 . Tính thể tích khối chóp . Câu V : ( 1,0 điểm ).Cho a,b,c dương thỏa mãn : ab + bc + ca = 2abc. Chứng minh rằng: 2 2 2 1 1 1 1 (2 1) (2 1) (2 1) 2a a b b c c + + ≥ − − − B. PHẦN TỰ CHỌN: ( 2,0 điểm ).( Thí sinh chỉ được làm 1 trong 2 phần,phần A hoặc phần B) A.Theo chương trình chuẩn: Câu VIa : (1 điểm). Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm )2;3(K và đường tròn 0142:)( 22 =+−−+ yxyxC với tâm là I. Tìm tọa độ điểm )(CM ∈ sao cho 0 60 =∠ IMK . Câu VII a.(1,0 điểm): Giải phương trình : ( ) ( ) ( ) 2 3 3 3 3 2.log 1 log 2 1 log 1x x x + = − + + B.Theo chương trình nâng cao Câu VIb: ( 1,0 điểm ). Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy). Lập phương trình đường thẳng qua ( ) 2;1M và tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 4 . Câu VII b.( 1,0 điểm ). Giải bất phương trình sau : 1 8.3 9 9 x x x x + + + ≥ .Hết www.VIETMATHS.com SỞ GD & ĐT HÀ TỈNH TRƯỜNG THPT HÀ HUY TẬP ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2012-2013 Môn thi: Toán, khối D Câu Ý Nội dung Điểm I 1 Cho hàm số : 2x 1 y x 1 − = + có đồ thị là ( ) C . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) 3,0 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số : 2x 1 y x 1 − = + +Tập xác định { } \ 1D = −¡ +Sự biến thiên • -Chiều biến thiên: ( ) 2 3 ' 1 y x = + 0 > 1x ∀ ≠ − . Hàm số đồng biến trên các khoảng ( ) ; 1−∞ − và ( ) 1;− +∞ • Cực trị : Hàm số không có cực trị. • Giới hạn tại vô cực và tiệm cận: 2 1 lim lim 2 1 x x x y x →±∞ →±∞ − = = + ,đường thẳng 2y = là tiệm cận ngang 1 1 2 1 2 1 lim ; lim 1 1 x x x x x x − + →− →− − − = +∞ = −∞ + + , đường thẳng 1x = − là tiệm cận đứng • Bảng biến thiên : x - ∞ - 1 + ∞ y' + || + y +∞ 2 || 2 −∞ +Đồ thị:Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại điểm 1 ;0 2 A ÷ Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm ( ) 0; 1B − Đồ thị hàm số nhận giao điểm của 2 tiệm cận là ( ) 1;2I − là m tâm đối xứng. 2,0 0,25 0,5 0,5 8 6 4 2 -2 -4 -6 www.VIETMATHS.com 2) Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của ( ) C .Tìm trên đồ thị ( ) C điểm M có hoành độ dương sao cho tiếp tuyến tại M với đồ thị ( ) C cắt hai đường tiệm cận tại A và B thoả mãn : 2 2 40IA IB + = . 0,5 1,0 TCĐ ( ) 1 d : 1x = − ,TCN ( ) 2 : 2d y = ( ) 1;2I⇒ − .Gọi 0 0 0 2 1 ; 1 x M x x − ÷ + ( ) ( ) 0 , 0C x∈ > Phương trình tiếp tuyến với ( ) C tại ( ) ( ) ( ) 0 0 2 0 0 2 1 3 : : 1 1 x M y x x x x − ∆ = − + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } 0 1 2 0 0 2 4 1; , 2 1;2 1 x d A d B x x − ∆ ∩ = − ∆ ∩ = + ÷ + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 2 0 2 2 2 0 0 0 0 0 36 4 1 40 1 10 1 9 0 1 40 0 0 x x x x IA IB x x + + = + − + + = + + = ⇔ ⇔ > > 0 2x⇔ = ( ) 0 1y = ( ) 2;1M⇒ . 0,25 0,25 0,25 0,25 II 2,00 1 Giải phương trình : sin 2 cos 2 sin cos 1 0x x x x+ + + + = 1,00 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 sin 2 cos 2 sin cos 1 0 sin cos cos sin sin cos 0 sin cos 2cos 1 0 sin cos 0 4 ( ) 1 2 cos 2 2 3 x x x x x x x x x x x x x x x x k k Z x x k π π π π + + + + = ⇔ + + − + + = ⇔ + + = − + = = + ⇔ ⇔ ∈ − = = ± + 0,5 0,5 2 Giải hệ phương trình: ( ) ( ) ( ) 2 2 1 0 1 2 0 x y x y x x y y − + + = + + − + = 1,00 www.VIETMATHS.com ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 0 1 (1) 1 2 0 2 0 (2) x y x y x y x y x x y y y x y x y y − + + = + = + ⇔ + + − + = + + − + = .Do 0y = không thỏa mãn nên: 0y ≠ ( ) ( ) ( ) 2 2 1 0 1x y x y x y⇔ + + − + = ⇔ + = Khi đó hệ trở thành 2 0, 1 1 1, 2 1 x y x y x y x y = = + = ⇔ = − = + = Vậy hệ phương trình có nghiệm (0;1) , (-1;2) . 0,5 0,5 III Tính tích phân: I = 1 5 3 0 1x x dx− ∫ . 1,00 1 1 5 3 3 3 2 0 0 1 1 .I x x dx x x x dx= − = − ∫ ∫ Đặt 3 2 3 2 2 2 1 1 2 3 3 t x t x tdt x dx tdt x dx − = − ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = Khi 0 1; 1 0 x t x t = ⇒ = = ⇒ = Vậy tai có : ( ) ( ) 1 0 1 3 5 3 3 2 2 2 4 0 1 0 1 2 2 2 2 2 4 1 . 1 . . . 0 3 3 3 3 5 3 15 45 t t I x x x dx t t tdt t t dt = − = − − = − = − = = ÷ ∫ ∫ ∫ 0,5 0,5 IV Cho hình chóp tam giác đều .S ABC có cạnh bên bằng a , góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy bằng 0 45 . Tính thể tích khối chóp 1,00 Gọi G là trọng tâm tam giác ABC ta có ( )SG ABC⊥ Gọi I là trung điểm cạnh BC ta có (gt) suy ra 0 45SIG∠ = . Gọi cạnh của tam giác đều ABC là 2 ( 0)x x > Ta có 3AI x= , 3 3 IG x= và 2 2 0 2 3 2 2 (1) cos45 3 3 3 2 IG x SI x SI x= = = ⇒ = Lại có : 2 2 2 SI a x= − (2) Từ (1) và (2) ta có 2 2 2 2 2 2 3 5 3 3 5 x a x x a x a = − ⇔ = ⇔ = Vậy ta có : 2 0 2 1 3 3 3 .4. .sin 60 2 5 5 ABC S a a ∆ = = Và 3 3 . 5 3 5 a SG IG a= = = (Do tam giác ABC vuông cân ) Vậy thể tích khối chóp là : 3 2 . . 1 1 3 3 15 . . . 3 3 5 25 5 S ABC ABC a a V SG S a ∆ = = = (đvtt) 0,25 0,25 0,25 0,25 V Cho a,b,c dương thỏa mãn : ab + bc + ca = 2abc. 1,00 www.VIETMATHS.com Chứng minh rằng: 2 2 2 1 1 1 1 (2 1) (2 1) (2 1) 2a a b b c c + + ≥ − − − Từ giả thiết suy ra 1 1 1 2 a b c + + = Đặt : 1 1 1 ; y = ; z = b c x a = Suy ra x,y,z > 0 và x+y+z=2 Ta có: 3 3 3 2 2 2 2 2 2 1 1 1 (2 1) (2 1) (2 1) ( ) ( ) ( ) x y z P a a b b c c y z x z y x = + + = + + − − − + + + Áp dụng bđt Cô-si: 3 2 3 ( ) 8 8 4 x y z y z x y z + + + + ≥ + 3 2 3 ( ) 8 8 4 y x z x z y x z + + + + ≥ + 3 2 3 ( ) 8 8 4 z y x y x z y x + + + + ≥ + Do đó: 1 1 ( ) 4 2 P x y z ≥ + + = ( Đpcm) 0,25 0,25 0,25 0,25 PHẦN RIÊNG THEO TỪNG BAN VI a 1. Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm )2;3(K và đường tròn 0142:)( 22 =+−−+ yxyxC với tâm là I. Tìm tọa độ điểm )(CM ∈ sao cho 0 60 =∠ IMK . 1,0 1,00 +) Ta có 4)2()1(:)( 22 =−+− yxC . Suy ra tâm I(1 ; 2) và bán kính R = 2. Nhận thấy IK = 2. Suy ra ).(CK ∈ Do )(CM ∈ và 0 60 =∠ IMK . Suy ra IMK ∆ đều. Do đó yêu cầu bài toán ⇔ Tìm )(CM ∈ sao cho KM = R = 2. +) Giả sử )(),( 00 CyxM ∈ 4)2()1( 2 0 2 0 =−+−⇔ yx (1) Ta có 4)2()3(2 2 0 2 0 =−+−⇔= yxKM (2) Từ (1) và (2) suy ra − + )32;2( )32;2( M M 0,25 0,25 0,25 0,25 Giải phương trình : ( ) ( ) ( ) 2 3 3 3 3 2.log 1 log 2 1 log 1x x x + = − + + 1,0 ĐK : 1 1 2 x x > − ≠ 0,25 0,25 0,25 www.VIETMATHS.com ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 (1) 2log 1 2log 2 1 2log 1 log 1 log 2 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 0 1 1 ( ) 1 2 1 1 2 1 1 2 x x x x x x x x x x x x x x x loai x x x x x x x x ⇔ + = − + + ⇔ + = − + ⇔ + = − + ⇔ + − + − − = = − = − ⇔ − + = − ⇔ = = − + = − Vậy nghiệm phương trình là : 1 ; 2x x= = 0,25 VI b .1)Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy). Lập phương trình đường thẳng qua ( ) 2;1M và tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 4 . 1,0 Gọi d là ĐT cần tìm và ( ) ( ) ;0 , 0;A a B b là giao điểm của d với Ox, Oy, suy ra: : 1 x y d a b + = . Theo giả thiết, ta có: 2 1 1, 8ab a b + = = . Khi 8ab = thì 2 8b a + = . Nên: 1 2; 4 : 2 4 0b a d x y= = ⇒ + − = . Khi 8ab = − thì 2 8b a+ = − . Ta có: 2 4 4 0 2 2 2b b b+ − = ⇔ = − ± . Với ( ) ( ) 2 2 2 2 : 1 2 2 1 2 4 0b d x y= − + ⇒ − + + − = Với ( ) ( ) 3 2 2 2 : 1 2 2 1 2 4 0b d x y= − − ⇒ + + − − = 0,25 0,25 0,25 0,25 VII b Giải bất phương trình sau : 1 8.3 9 9 x x x x + + + ≥ 1,0 ĐK : 0x ≥ ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 2 8.3 9 9 8.3 9.3 3 8.3 9.3 1 8.3 9.3 1 0 2 x x x x x x x x x x x x x x x x + + + − − − − + ≥ ⇔ + ≥ ⇔ + ≥ ⇔ + − ≥ Đặt 3 0 x x t − = > .Khi đó ta có : ( ) ( ) 2 1 2 9 8 1 0 1 9 t loai t t t ≤ − ⇔ + − ≥ ⇔ ≥ 0,25 0,25 0,25 www.VIETMATHS.com Với 2 2 1 3 3 2 2 9 0 2 2 2 4 5 4 0 x x t x x x x x x x x x − − ≥ ⇒ ≥ ⇔ − ≥ − ⇔ ≥ − ≤ ≤ ≥ ⇔ ≤ ≤ − + ≤ Vậy nghiệm BPT là [ ] 0;4x∈ 0,25 . www.VIETMATHS.com SỞ GD & ĐT HÀ TỈNH TRƯỜNG THPT HÀ HUY TẬP ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2012-2013 Môn thi: Toán, khối D Câu Ý Nội dung Điểm I 1 Cho. phân: I = 1 5 3 0 1x x dx− ∫ . 1,00 1 1 5 3 3 3 2 0 0 1 1 .I x x dx x x x dx= − = − ∫ ∫ Đặt 3 2 3 2 2 2 1 1 2 3 3 t x t x tdt x dx tdt x dx − = − ⇒ = − ⇒ =