Thực hành Vi tích phân 1B Ngày 12 tháng năm 2017 Mục lục Dãy số ánh xạ 1.1 Dãy số 1.2 Ánh xạ 3 Hàm số 2.1 Giới hạn hàm số 5 Đạo hàm ứng dụng 3.1 Đạo hàm hàm hợp, hàm ẩn 3.2 Tiếp tuyến 3.3 Xấp xỉ tuyến tính 3.4 ĐL Giá trị trung bình 3.5 Ứng dụng tính giới hạn 3.6 Taylor-Maclaurin 8 10 11 11 12 Tích phân ứng dụng 13 4.1 Tích phân 13 4.2 Ứng dụng tích phân tính diện tích 14 4.3 Tích phân suy rộng 14 Chuỗi 16 5.1 Chuỗi số thực 16 5.2 Chuỗi lũy thừa 20 Tài liệu tham khảo 21 Chương Dãy số ánh xạ 1.1 Dãy số Bài tập Tìm giới hạn dãy số sau: lim ( n→∞ 1 + ) n n Bài tập Tìm giới hạn dãy số sau: cos2 n − sin2 n n→∞ n lim Bài tập Tìm giới hạn dãy số sau (a) lim (−1)n n→∞ 1.2 n+1 n2 (b) lim n! n→∞ nn Ánh xạ Bài tập f có đơn ánh, tồn ánh khơng Giải thích? i f : R → R định nghĩa f (x) = − 3x, ∀x ∈ R ii f : Z → Z định nghĩa f (n) = n2 + n, ∀x ∈ Z iii f : R → R định nghĩa f (x) = 2x2 + 3, ∀x ∈ R 1.2 ÁNH XẠ CHƯƠNG DÃY SỐ VÀ ÁNH XẠ  n+1    , n lẻ iv f : N → N định nghĩa f (x) =    n2 , n chẵn v Cho A = R \ {3}, B = R \ {1} f : A → B định nghĩa f (x) = x−2 x−3 Chương Hàm số 2.1 Giới hạn hàm số Bài tập Tính giới hạn sau √ 2− x (e) lim , x→4 8x − x3 (10 + h)2 − 100 (a) lim , h h→0 √ 100 + h − 10 , (b) lim h h→0 (f) lim t→0 2017 + 1x (c) lim , x→−2017 2017 + x √ √ 1+t− 1−t (d) lim , t t→0 √ − t 1+t , t ( x + h ) − x3 (g) lim h h→0 Bài tập Sử dụng định lý kẹp lim (x2 cos 20πx) = x→0 Bài tập Sử dụng định lý kẹp lim x→0 x3 + x2 sin π = x Bài tập Nếu 4x − ≤ f (x) ≤ x2 − 4x + với x ≥ Tìm lim f (x) x→4 Bài tập Nếu 2x ≤ g(x) ≤ x4 − x2 + với x Tìm lim g(x) x→1 2.1 GIỚI HẠN HÀM SỐ CHƯƠNG HÀM SỐ Bài tập 10 Chứng minh √ lim x→0+ x[1 + sin2 (2π/x)] = Bài tập 11 Tìm giới hạn sau tồn tại: a) lim− x−1 |x3 − x2 | c) lim 1 − x |x| x→1 x→0+ − |x| x→−7 3x + b) lim Bài tập 12 Cho    x2 − x <      0 x = g(x) =    2x − x2 < x ≤     x3 − 5x + x > Tìm giới hạn sau tồn i lim− g(x) x→1 iv lim− g(x) x→2 ii lim g(x) iii lim g(x) v lim g(x) vi lim g(x) x→1+ x→1 x→2+ x→2 Bài tập 13 Chứng minh khằng định sau định nghĩa δ, ε a) lim (20 − 3x) = −1 x→7 x2 − x − =4 x−3 x→2 b) lim c) lim (x2 − 2x − 3) = −4 x→1 Bài tập 14 Từ đồ thị hàm số g cho bên dưới, tìm khoảng mà hàm số g liên tục Bài tập 15 Hãy xác định f (2) cho hàm số có gián đoạn khử trở thành liên tục a) f (x) = x2 − x − x−2 b) f (x) = x3 − x2 − CHƯƠNG HÀM SỐ 2.1 GIỚI HẠN HÀM SỐ Hình 2.1: hình ảnh 14 Bài tập 16 Chứng minh f liên tục (−∞, ∞) với f định    x2 x < √ f (x) =    x x ≥ Bài tập 17 Chứng minh hàm số sau liên tục R    x√3 + x < a) f (x) =    x + x ≥ b)    sin(x/2 + cos x) x < π/2 f (x) =   cos(x/2 + sin x − 1) x ≥ π/2 Bài tập 18 Tìm giá trị c cho hàm số sau liên tục (−∞, ∞):    c2 x2 + 2cx x < f (x) =   4x3 − cx x ≥ Bài tập 19 Tìm giá trị a, b cho hàm số sau liên tục (−∞, ∞):  x −1  x <    x−1  f (x) =  ax − bx + ≤ x <    3x + a − b x ≥ Chương Đạo hàm ứng dụng 3.1 Đạo hàm hàm hợp, hàm ẩn Bài tập 20 Giả sử g có đạo hàm cấp hai R xét f (x) = sin (xg(ex )) Tính f (2) theo g, g g Bài tập 21 Tính y biết 9x2 + y2 = √ √ Bài tập 22 Tính y biết x + y = Bài tập 23 Tìm cơng thức xác dy dx (dùng cơng thức hàm ẩn) biết: (a) x3 + y3 = 1., √ √ (b) x + y = (e) x4 (x + y) = y2 (3x − y), (c) x2 + xy − y2 = 4, (g) y cos x = x2 + y2 , (f) y5 + x2 y3 = + x4 y, (d) 2x3 + x2 y − xy3 = 2, (h) cos (xy) = + sin y √ Bài tập 24 Giả sử y = 2x + 1, x y hàm theo t Giả sử dx dt = 3, tìm dy dt x = Giả sử dy dt = 5, tìm dx dt x = 12 Bài tập 25 Giả sử 4x2 + y2 = 9, x y hàm theo t Giả sử dy dt = 13 , tìm dx dt Giả sử dx dt = 3, tìm dy dt x = y = √ √ x = −2 y = 23 CHƯƠNG ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG 3.2 TIẾP TUYẾN Hình 3.1: Hình tập 28 Bài tập 26 Biết x2 + y2 + z2 = 9, dx dt = 5, dy dt = 4, tìm dz dt (x, y, z) = (2, 2, 1) Bài tập 27 Hai xe bắt đầu di chuyển từ điểm Một phía nam với tốc độ 60 mi/h lại di chuyến phía tây với tốc độ 25 mi/h Khoảng cách hai xe tăng lên mức hai sau đó? Bài tập 28 Một thuyền kéo vào bến tàu sợi dây gắn vào mũi thuyền qua ròng rọc bến tàu, mà cao m so với mũi thuyền Nếu sợi dây kéo vào với tốc độ m/s, thuyền tiến gần đến bến tàu nhanh cách bến tàu m? Bài tập 29 Vào buổi trưa, tàu A cách 100 km phía tây tàu B Tàu A di chuyển phía nam với tốc độ 35 km/h tàu B di chuyển phía bắc với tốc độ 25 km/h Khoảng cách hai tàu thay đổi nhanh vào lúc 4:00 PM? 3.2 Phương trình tiếp tuyến Bài tập 30 Hãy tìm phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số giá trị x0 cho trước (a) f (x) = x2 , x0 = (b) f (x) = x ,x x2 + = Bài tập 31 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị đồ thị hàm số y cho biểu thức x3 + y3 = 6xy điểm (3, 3) Bài tập 32 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị đồ thị hàm số y cho biểu thức x2 + y2 = 25 điểm (3, −4) 3.3 XẤP XỈ TUYẾN TÍNH CHƯƠNG ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG Bài tập 33 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị đồ thị hàm số y cho biểu thức y sin (2x) = x cos (2y) điểm π π 2, Bài tập 34 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị đồ thị hàm số y cho biểu thức sin (x + y) = 2x − 2y điểm (π, π) Bài tập 35 Tìm phương trình đường tiếp tuyến với đường cong điểm có tọa độ cho trước √ y = 4x − 3x2 , (2, −4) y = y = x3 − 3x + 1, (2, 3) y = Bài tập 36 x, (1, 1) 2x+1 x+2 , (1, 1) (a) Tìm hệ số góc tiếp tuyến tới đường cong y = √1 x điểm x = a (b) Tìm phương trình tiếp tuyến điểm (1, 1) (4, 1/2) (c) Vẽ đồ thị đường cong hai tiếp tuyến hình chung 3.3 Xấp xỉ tuyến tính Bài tập 37 Hãy tính gần giá trị sau xấp xỉ tuyến tính 4.002 (a) (1.999)4 (d) (b) sin 1◦ √ (c) 1001 (e) tan(44◦ ) √ (f) 99, Bài tập 38 (i) Xấp xỉ f đa thức Taylor bậc n a (ii) Sử dụng Bất đẳng thức Taylor để ước lượng độ xác xấp xỉ f (x) ≈ Tn (x) x nằm đoạn cho trước 10 CHƯƠNG ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG 3.4 ĐL GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH (iii) Kiểm tra kết phần (b) đồ thị |Rn (x)| Thực công việc cho hàm số sau ứng với a, n đoạn cho trước √ (a) f (x) = x, a = 4, n = 2, ≤ x ≤ 4.2 (b) f (x) = x−2 , a = 1, n = 2, 0.9 ≤ x ≤ 1.1 (c) f (x) = x2/3 , a = 1, n = 3, 0.8 ≤ x ≤ 1.2 (d) f (x) = sin x, a = π6 , n = 4, ≤ x ≤ π3 3.4 Các định lý giá trị trung bình Bài tập 39 Hãy kiểm tra hàm số thỏa mãn ba giả thiết Định lý Rolle đoạn cho trước Sau đó, tìm tất số c thỏa mãn kết luận định lý Rolle √ (c) f (x) = x − 13 x, [0, 9] (a) f (x) = − 12x + 3x2 , [1, 3] (b) f (x) = x3 − x2 − 6x + 2, [0, 3] (d) f (x) = cos (2x), π 7π 8, Bài tập 40 Cho f (x) = (x − 3)−2 Chứng tỏ không tồn c ∈ (1, 4) cho f (4) − f (1) = f (x)(4 − 1) Tại điều không mâu thuẫn với Định lý Rolle? Bài tập 41 Hãy kiểm tra hàm số thoả mãn ba giả thiết Định lý giá trị trung bình khoảng cho trước Sau tìm tất số c thoả mãn kết luận Định lý giá trị trung bình (a) f (x) = √ x, [0, 1] (b) f (x) = 1x , [1, 3] Bài tập 42 Chứng tỏ phương trình x3 − 15x + c = = có nhiều nghiệm đoạn [−2, 2] với số thực c 3.5 Ứng dụng đạo hàm tính giới hạn (quy tắc l’Hospital) Bài tập 43 Tính 11 3.6 TAYLOR-MACLAURIN e2x − , x x→0 (d) lim + ln x , x→∞ x (e) lim (a) lim (b) lim x2 (c) lim −x , x→−∞ e 3.6 CHƯƠNG ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG x→∞ x→1+ (f) lim x→0 x x , 1 − , ln n x − tan x − ex − 1 − ex Khai triển Taylor- Maclaurin Bài tập 44 Tìm khai triển Maclaurin hàm số sau (a) f (x) = (1 − x)−2 , (d) f (x) = e−2x , (b) f (x) = ln(1 + x), (c) f (x) = sin (πx), (e) f (x) = x cos x Bài tập 45 Tìm khai triển Taylor hàm số sau quanh điểm a tương ứng (a) f (x) = x4 − 3x2 + 1, a = (e) f (x) = e2x , a = (b) f (x) = x − x3 , a = −2 (f) f (x) = sin x, a = (c) f (x) = ln x, a = (d) f (x) = , a = −3 x π (g) f (x) = cos x, a = π √ (h) f (x) = x, a = 16 Bài tập 46 (a) Tìm đa thức Taylor đến bậc f (x) = cos x quanh a = Vẽ đồ thị f đa thức đồ thị (b) Đánh giá f đa thức x = π4 , π2 , π (c) Bình luận hội tụ đa thức f Bài tập 47 Tìm đa thức Taylor T3 (x) cho hàm f (x) = T3 (x) đồ thị 12 x quanh a = Vẽ f Chương Tích phân ứng dụng 4.1 Tích phân x2 ln t2 + dt Tìm f (0) Bài tập 48 Cho f (x) = x Bài tập 49 Tính 1/ (2x + 2−x ) dx (a) 3x2 ln xdx (b) Bài tập 50 Tính tích phân (a) √ x3 − x2 dx (e) a a > (f) (b) dx , +x2 )3/2 ( a (c) √dt t2 t2 −16 (g) (d) √ dx x2 +16 (h) √t dt t2 + √ − 4x2 dx 13 dx +1)2 ( x √ 1+x2 x dx 4.2 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂNCHƯƠNG TÍNH DIỆN TÍCH TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 4.2 Ứng dụng tích phân tính diện tích Bài tập 51 Tính diện tích miền bao đường cong đồ thị hàm số: (a) f (x) = 2x3 + g (x) = 4x + (f) y = x2 x = y2 (b) f (x) = 4x − 3x3 g (x) = 2x + (g) f (x) = x2 g (x) = 3/ + x2 (c) f (x) = x2 − x2 − trục x (h) y = (1/2) x2 + y = x + (d) y = x (2 − x) x = 2y (e) x2 = 4y x = 4y − 2 (i) x2 + y2 = (x − 1) + y2 = (j) y = f (x) = 3x4 − 24x2 + 50 đường thẳng l cắt C điểm x = x = 4.3 Tích phân suy rộng Bài tập 52 Xác định tích phân hội tụ hay phân kì: 1 dx x5 (f) √ dx 3−x (g) (a) √ dx 1−x2 (b) 14 (c) dx √ x+2 −2 (d) √ dx ( )3 x−6 (h) −2 w w−2 dx 3 (e) dx x−1 dx x4 (i) dx x2 −6x+5 Bài tập 53 Xác định tích phân hội tụ hay phân kì: ∞ (a) ∞ x dx x3 + (b) 14 2+e−x x dx CHƯƠNG TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 4.3 TÍCH PHÂN SUY RỘNG π ∞ √x+1 dx x4 −x (c) (d) sin √ x dx x Bài tập 54 Xác định xem tích phân sau hội tụ hay phân kì Tính giá trị tích phân hội tụ: ∞ ∞ dx (x−2)3/2 cos πtdt 12 −∞ dx x2 +x 13 dx √ 1+x √ dx 3−x 24 ∞ ∞ 14 25 √ −2 dx x+2 ∞ −∞ ye−3y dy 2r dr √x dx 1+x2 −∞ ∞ y3 − 3y2 −∞ dy −∞ ∞ ∞ sin αdα 11 0 32 π/2 x arctan x dx (1+x2 )2 22 33 −1 23 dx x2 −6x+5 31 ∞ √ e−√ x dx x 10 dx x(ln x)3 e w w−2 dw π ∞ 21 30 ex dx e2x +3 20 ∞ x2 dx 9+x6 ∞ xe−x dx ∞ 19 dx √ x−1 −∞ ∞ x3 e−3x dx 18 √ dx 1−x2 29 ∞ −∞ ln x x dx 17 dx x4 28 ∞ −2 ∞ 16 e−5p dp 27 −∞ ∞ dx ( )3 x−6 ze2z dz 15 dx (2x+1)3 26 ∞ dv v2 +2v−3 14 3−4x dx dx x5 15 34 csc xdx e1/x dx x3 e1/x dx x3 Chương Chuỗi 5.1 Chuỗi số thực Bài tập 55 Chuỗi ∞ (−3)n (n!)2 (2n)! n=1 có hội tụ khơng? Có hội tụ tuyệt đối không? Bài tập 56 Xét hội tụ chuỗi sau: (a) ∞ sin n=1 π n2 (b) ∞ n=2 1− n n (c) 1 + + + ··· ln 3 ln 4 ln (d) ∞ n=2 √ √ n+2− n−2 n+1 16 CHƯƠNG CHUỖI 5.1 CHUỖI SỐ THỰC (e) ∞ √ n 3−1 n=1 Bài tập 57 Dùng Tiêu chuẩn Tích phân để xác định chuỗi sau hội tụ hay phân kì: (a) ∞ n=1 (b) √ n ∞ n5 n=1 (c) ∞ n=1 (2n + 1) (d) ∞ √ ∞ n n=1 (f) n+4 n=1 (e) n2 + ∞ n2 e−n n=1 Bài tập 58 Dùng tiêu chuẩn Leibniz (chuỗi đan dấu) kiểm tra hội tụ hay phân kì chuỗi sau: ∞ − 25 + 27 − 29 + 11 −··· n=1 − 52 + 46 − 76 + 88 − 10 + ··· √1 − √1 + √1 − √1 + √1 ∞ −··· (−1)n−1 2n + (−1)n−1 ln (n + 4) n=1 17 5.1 CHUỖI SỐ THỰC ∞ CHƯƠNG CHUỖI ∞ 3n − (−1) 2n + 13 3n − (−1) 2n + sin n + 21 π 14 √ 1+ n n=0 n n=1 ∞ n=1 ∞ n n=1 (−1)n−1 arctan n ∞ ∞ n −n (−1) e 15 n=1 ∞ n=1 √ ∞ n (−1) 2n + n n=1 ∞ 10 (−1) n+1 n=1 16 π n (−1)n cos π n ∞ n2 n3 + 17 n=1 ∞ (−1) n+1 −n ne (−1)n 18 n=1 n=1 ∞ ∞ 12 (−1)n sin n=1 ∞ 11 n cos nπ 2n (−1) n−1 2/n (−1)n 19 e nn n! √ √ n+1− n n=1 n=1 Bài tập 59 Dùng tiêu chuẩn hội tụ tuyệt đối, Cauchy, D’Alembert cho biết chuỗi hội tụ tuyệt đối, hội tụ có điều kiện hay phân kì: ∞ ∞ (−2)n n2 n=1 k =1 ∞ ∞ n n5 n=1 n=1 ∞ (−1) n−1 n=1 ∞ n=0 ∞ n n2 + (−1)n 5n + (−3)n (2n + 1)! n=0 k 11 n=1 (−1) 10n 12 (n + 1) 42n+1 n=1 n−1 n=1 (1.1)n n4 ∞ n sin 4n 4n ∞ n! 100n ∞ ∞ k (−1) √ n=1 n n3 + ∞ 13 18 n=1 (−10) n+1 ∞ (−1)n arctan n 14 n2 n=1 ∞ (−1)n e1/n 10 n3 n=1 n10 ∞ 15 − cos n n2/3 − n=1 CHƯƠNG CHUỖI ∞ 16 n=1 ∞ 17 n=1 ∞ 18 n=1 ∞ 19 n=1 (−1)n ln n 5.1 CHUỖI SỐ THỰC ∞ 20 n=1 n! nn ∞ 21 cos nπ/3 n! (−2)n nn n=2 ∞ 22 n=1 n2 + 2n2 + −2n n+1 1+ n ∞ n 23 n=1 ∞ 5n 24 n=1 ∞ n2 25 n=1 (2n)! (n!)2 n100 100n n! 2n n! Bài tập 60 Dùng tiêu chuẩn hội tụ tuyệt đối, Cauchy, D’Alembert kiểm tra hội tụ hay phân kì chuỗi sau: ∞ n=1 n + 3n ∞ ∞ n (−1) n+2 n n=1 n2 2n−1 (−5)n n=1 ∞ n=1 2n + ∞ √ n=1 n ln n ∞ k =1 2k k! (k + 2) ! n e n=1 ∞ 11 n=1 1 + n 3 n ∞ 12 √ k =1 ∞ 13 n=1 ∞ 14 n=1 · · · · · (2n − 1) · · · · · (3n − 1) ∞ −n3 10 ∞ 17 n=1 ∞ ∞ n (−1)n n +2 n=1 k e k =1 ∞ (2n + 1)n n2n n=1 ∞ −k k k2 + 3n n2 n! sin 2n + 2n (−1)n−1 18 √ n−1 n=2 ∞ 19 ∞ 20 19 k−1 √ k+1 k =1 k (−1)n cos 1/n2 21 n=1 ∞ 22 k =1 + sin k ∞ 23 tan (1/n) n=1 ∞ n2 + 16 n3 + n=1 √ ∞ ∞ 2k−1 3k+1 15 kk k =1 ln n (−1)n √ n n=1 ∞ 24 n sin (1/n) n=1 5.2 CHUỖI LŨY THỪA ∞ 25 n=1 ∞ 26 n=1 5.2 n! en n2 + 5n CHƯƠNG CHUỖI ∞ ∞ k ln k 27 k =1 29 (k + 1)3 n=1 (−1)n cosh n ∞ ∞ e1/n 28 n2 n=1 (−1) j 30 j=1 j j+5 Chuỗi lũy thừa Bài tập 61 Tìm bán kính hội tụ chuỗi lũy thừa sau: (a) ∞ 2n xn n3 + n=0 (b) ∞ n=0 (c) 2n2 + n − n x 3n + ∞ nx2n n=0 Bài tập 62 Tìm bán kính hội tụ miền hội tụ chuỗi lũy thừa sau: ∞ ∞ (−1)n nxn n=0 n=1 ∞ ∞ (−1)n xn √ n n=1 ∞ n=1 xn 2n − nn xn n=1 ∞ (−1)n n=1 ∞ (−1)n xn n2 n=1 xn n! ∞ 20 10n xn n3 n=1 n2 xn 2n CHƯƠNG CHUỖI ∞ ∞ (−3)n xn √ n n n=1 ∞ 10 n=1 (2x − 1)n 18 √ nn n=1 ∞ xn n3n 19 n=1 ∞ (−1)n 11 5.2 CHUỖI LŨY THỪA n=2 xn 4n ln n ∞ 20 n=2 x2n+1 (−1) 12 (2n + 1)! n=0 21 ∞ ∞ 22 n=1 (x − 3)n (−1) 2n + n 14 n=0 ∞ 3n (x + 4) 15 √ n n=1 ∞ 16 n=1 ∞ 17 n=1 n n2 xn · · · · · (2n) ∞ (5x − 4)n 23 n3 n=1 ∞ n n (x + 1)n n (x − 2)n nn n! (2x − 1) n=1 ∞ (x − 2)n 13 n2 + n=0 bn (x − a)n , b > ln n ∞ ∞ n n (x − a)n , b > n b 24 n=1 n (ln n) ∞ 25 n=1 ∞ 26 n=1 21 x2n xn · · · · · (2n − 1) n!xn · · · · · (2n − 1) ... 8 10 11 11 12 Tích phân ứng dụng 13 4.1 Tích phân 13 4.2 Ứng dụng tích phân tính diện tích 14 4.3 Tích phân suy rộng ... dx +1)2 ( x √ 1+x2 x dx 4.2 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂNCHƯƠNG TÍNH DIỆN TÍCH TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 4.2 Ứng dụng tích phân tính diện tích Bài tập 51 Tính diện tích miền bao đường cong đồ thị hàm số:... định tích phân hội tụ hay phân kì: ∞ (a) ∞ x dx x3 + (b) 14 2+e−x x dx CHƯƠNG TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 4.3 TÍCH PHÂN SUY RỘNG π ∞ √x+1 dx x4 −x (c) (d) sin √ x dx x Bài tập 54 Xác định xem tích phân