Đang tải... (xem toàn văn)
Biên soạn theo hướng "LẤY HỌC TRÒ LÀM TRUNG TÂM"
Bản quyền thuộc Nhóm Cự Mơn Lê Hồng Đức Tự học đem lại hiệu tư cao, điều em học sinh cần là: Tài liệu dễ hiểu − Nhóm Cự Mơn ln cố gắng thực điều Một điểm tựa để trả lời thắc mắc − Đăng kí “Học tập từ xa” BÀI GIẢNG QUA MẠNG HÌNH HỌC 12 CHƯƠNG III PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN §3 Phương trình đường thẳng Học Tốn theo nhóm (từ đến học sinh) lớp 9, 10, 11, 12 Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC Địa chỉ: Số nhà 20 − Ngõ 86 − Đường Tô Ngọc Vân − Hà Nội Phụ huynh đăng kí học cho liên hệ 0936546689 chđ đề P hơng trình đờng thẳng A Tóm tắt lí thuyết phơng trình tổng quát đờng thẳng Đờng thẳng (d) không gian xem giao tuyến hai mặt phẳng (P1) (P2) đó, nên phơng trình tổng quát (d) có dạng: A1x + B1 y + C1 z + D1 = (1) (d): víi A1:B1:C1≠ A2:B2:C2 A x + B y + C z + D = (2) ®ã (1), (2) theo thứ tự phơng trình mặt phẳng (P1), (P2) r Khi đó, vtcp a đờng thẳng đợc xác định bởi: r B C , C A1 , A1 B a = B C C A A B ÷ ÷ 2 2 2 phơng trình tham số đờng thẳng Địnhrlý 1: Trong không gian Oxyz, đờng thẳng (d) qua điểm M0(x0; y0; z0) vµ cã vtcp a (a1; a2; a3) cã phơng trình x = x + a1 t (d): y = y + a t , t ∈ ¡ (1) z = z + a t Vậy, ta đợc: x = x + a1 t Qua M (x ;y ;z ) r (d): ⇔ (d): y = y + a t , t ∈ ¡ vtcp a(a1 ;a ;a ) z = z + a t 2 Phơng trình (1) víi ®iỊu kiƯn a1 + a + a > đợc gọi phơng trình tham số đờng thẳng phơng trình tắc đờng thẳng Cho đờng thẳng (d) có phơng trình tham sè cho bëi (1) suy ra: x − x0 y − y0 z − z0 = = (2) a1 a2 a3 2 Phơng trình (2) với điều kiện a1 + a + a > đợc gọi phơng trình tắc đờng thẳng Vậy, ta đợc: x x0 y y0 z − z0 Qua M (x ;y ;z ) r (d): ⇔ (d): = = a1 a2 a3 vtcp a(a1 ;a ;a ) Từ đó, đờng thẳng (d) qua hai điểm M1(x1; y1; z1) M2(x2; y2; z2), ta cã: Qua M1 (x1 ;y1 ;z1 ) Qua M1 (x1 ;y1 ;z1 ) u uur uuu (d): ⇔ (d): Qua M (x ;y ;z ) vtcp M1 M (x − x1 ;y − y1 ;z − z1 ) x = x1 + (x − x1 )t ⇔ (d): y = y1 + (y − y1 )t , t ∈ ¡ z = z + (z − z )t hc (d): x − x1 y − y1 z − z1 = = x − x1 y − y1 z − z1 VÞ trí tơng đối đờng thẳng mặt phẳng Cho đờng thẳng (d) mặt phẳng (P) có phơng trình: x − x0 y − y0 z − z0 (d): = = , a b c (P): Ax + By + Cz + D = 0, suy ra: r (d) qua điểm M0(x0, y0, z0) có vtcp u (a; b; c), r (P) cã vtpt n (A; B; C) Khi đó, ta có kết quả: r r r r (d) cắt (P) u n không vuông góc, tức u n ≠ Nh vËy: (d) c¾t (P) ⇔ aA + bB + cC ≠ r r (d) vµ (P) song song víi vµ chØ u n M0 không thuộc (P) Nh vËy: aA + bB + cC = (d) // (P) ⇔ Ax + By + Cz + D ≠ r r (d) n»m (P) vµ chØ u ⊥ n vµ M0 thuéc (P) Nh vËy: aA + bB + cC = (d) ≡ (P) ⇔ Ax + By + Cz + D = Đặc biệt (d) (P) chØ a: b: c = A: B: C Vị trí tơng đối hai đờng thẳng Cho hai đờng thẳng (d1) (d2) có phơng trình: x x1 y − y1 z − z1 (d1): = = , a1 b1 c1 x − x2 y − y2 z − z2 (d2): = = , a2 b2 c2 suy ra: r (d1) ®i qua ®iĨm M1(x1, y1, z1) vµ cã vtcp u1 (a1; b1; c1), r (d2) qua điểm M2(x2, y2, z2) có vtcp u (a2; b2; c2) uuur uuu r r Khi đó, xét ba vectơ u1 , u M1 M ta cã kÕt qu¶: u u ur uuu r r (d1) (d2) đồng phẳng ba vectơ u1 , u M1 M đồng phẳng Nh vậy: uuu r r u u ur (d1) (d2) đồng phẳng [ u1 , u ] M1 M = (d1) (d2) cắt chúng đồng phẳng vtcp chúng không phơng Nh vậy: uuu r r uuur (d1) (d2) c¾t ⇔ [ u1 , u ] M1 M = vµ a1: b1: c1 ≠ a2: b2: c2 r r (d1) vµ (d2) song song víi vµ chØ u1 vµ u phơng (d1), (d2) điểm chung Nh vËy: (d1) // (d2) ⇔ a1: b1: c1 = a2: b2: c2 ≠ (x2 − x1): (y2 − y1): (y2 − y1) r r (d1) vµ (d2) trïng u1 u phơng (d1), (d2) có điểm chung Nh vậy: (d1) (d2) ⇔ a1: b1: c1 = a2: b2: c2 = (x2 − x1): (y2 − y1): (y2 − y1) u u ur uuu r r (d1) vµ (d2) chÐo ba vectơ u1 , u M1 M không đồng phẳng Nh vậy: uuu r r u u ur (d1) vµ (d2) chÐo ⇔ [ u1 , u ] M1 M Khi khoảng cách (d1), (d2) ®ỵc cho bëi: u ur u u u r u u uuu r [u1 , u ].M1 M u ur u u r d((d1), (d2)) = [u1 , u ] khoảng cách từ điểm đến đờng thẳng r Cho điểm M đờng thẳng (d) có vtcp a qua điểm M0 Khi khoảng cách từ điểm M đến đờng thẳng (d) đợc cho bởi: uuu r uur | [MM ,a] | r d(M, (d)) = |a| Gãc hai đờng thẳng Cho hai đờng thẳng (d1) (d2), theo thø tù cã vtcp lµ r r a (a1; a2; a3), b (b1; b2; b3) π Gäi α góc tạo hai đờng thẳng (d1) (d2) (0 ≤ α ≤ ), ta cã: rr | a1 b1 + a b + a b3 | | a.b | cosα = r r = 2 a1 + a + a b1 + b + b |a |.|b | 3 Chó ý: §iỊu kiƯn cần đủ để (d1) (d2) là: cos = ⇔ a1b1 + a2b2 + a3b3 = Trong nhiều toán ta lại áp dụng kết sau hình không gian, cách thực theo bớc: Bớc 1: Tìm góc, ta tìm điểm I thoả mÃn: IA //(d1 ) IB //(d ) ^ Bíc 2: Khi ®ã, g((d1), (d2)) = AIB TÝnh gãc: ur u ur u Nếu biết đợc toạ độ IA IB sử dụng công thức Sử dụng tỉ số lợng giác góc tam giác vuông dùng định lí cosin tam giác thờng Góc đờng thẳng mặt phẳng Cho: r Mặt phẳng (P) có vtpt n (n1; n2; n3) r Đờng thẳng (d) có vtcp a (a1; a2; a3) Gọi góc tạo (P) (d), góc đờng thẳng (d) đờng thẳng chứa π π r vtpt n (0 ≤ α, β ≤ ), th× α + β = ⇒ sinα = cosβ, ta cã: 2 | a n1 + a n + a n | sinα = 2 2 a1 + a + a n + n + n 2 Chú ý: Điều kiện để (d) // (P) (hoặc thuộc (P)) là; sin = a1n1 + a2n2 + a3n3 = B phơng pháp giải toán Vấn đề 1: Phơng trình đờng thẳng Ta có: Phơng trình: x = x + a 1t x − x0 y − y0 z − z0 = = y = y + a t , t ∈ R hc a1 a2 a3 z = z + a t 2 phơng trình đờng thẳng a1 + a + a > r Khi đó, vectơ a (a1; a2; a3) vtcp đờng thẳng (d) Phơng trình: A x + B y + C z + D1 = A x + B y + C z + D = phơng trình đờng thẳng vµ chØ khi: B C C A1 A B r A1:B1:C1 ≠ A2:B2:C2 ⇔ B C , C A , A B ÷ ≠ ÷ 2 2 2 Khi đó, vectơ: r B C C A1 A B ; ; a ÷ ÷ B C C A2 A2 B2 lµ mét vtcp (d) Chú ý: Đi kèm với họ đờng thẳng (dm) thờng có thêm câu hỏi phụ: Câu hỏi 1: Chứng minh họ (dm) qua điểm cố định Câu hỏi 2: Cho điểm M cã tÝnh chÊt K, biƯn ln theo vÞ trÝ cđa M số đờng thẳng họ (dm) qua M Câu hỏi 3: Chứng minh họ đờng thẳng (dm) thuộc mặt phẳng cố định, để thực yêu cầu lựa chọn hai cách sau: Cách 1: Khử m từ hệ phơng trình (d), ta đợc: Ax + By + Cz + D = (1) Khi (1) phơng trình mặt phẳng cố định (P) chứa đờng thẳng họ (dm) Cách 2: Ta thực theo bớc sau: Bớc 1: Chùm mặt phẳng tạo trục (dm) có phơng trình: [A1(m)x + B1(m)y + C1(m)z + D1(m)] + + β[A2(m)x + B2(m)y + C2(m)z + D2(m)] = (2) Bíc 2: Lùa chän c¸c gi¸ trị thích hợp , , đa (2) dạng: Ax + By + Cz + D = (3) Bớc 3: Khi (3) phơng trình mặt phẳng cố định (P) chứa đờng thẳng họ (dm) Ví dụ 1: Cho phơng trình: x = + (m + 1)t ,t∈ ¡ y = + mt z = (m − 1)t (1) Tìm điều kiện m để phơng trình phơng trình đờng thẳng, từ điểm cố định mà họ đờng thẳng qua Gi¶i Ta cã: 2 a1 + a + a = (m + 1)2 + m2 + (m − 1)2 = 3m2 + > 0, ∀m Vậy với m, phơng trình (1) phơng trình tham số họ đờng thẳng (dm) dễ nhận thấy họ (dm) qua điểm cố định M(1; 2; 0) Ví dụ 2: Cho phơng trình: z2 x my − 2m = = m(m − 1) m (1) Tìm điều kiện m để phơng trình phơng trình đờng thẳng, từ điểm cố định mà họ đờng thẳng qua Gi¶i Ta cã: 2 a1 + a + a = m2 + + m2(m − 1)2 > 0, ∀m ≠ VËy víi m 0, phơng trình (1) phơng trình tắc họ đờng thẳng (dm) dễ nhận thấy họ (dm) qua điểm cố định M(0; 2; 2) Ví dụ 3: Cho phơng trình: x + y − mz + 2m = 2x + 2my + mz − = (1) T×m điều kiện m để phơng trình phơng trình đờng thẳng, từ điểm cố định mà họ đờng thẳng qua Giải Để phơng trình (1) phơng trình đờng thẳng điều kiƯn lµ: r 1: 1: (−m) ≠ 2: 2m: m ⇔ (m + 2m2; −3m; 2m − 2) ≠ ⇔ (m + 2m2)2 + (−3m)2 + (2m − 2)2 > 0, Vậy, với m, phơng trình (1) phơng trình tổng quát họ đờng thẳng (dm) Giả sử M(x0; y0; z0) điểm cố định mà họ (dm) qua x + y − mz + 2m = x + y − m(z − 2) = ⇔ , ∀m ⇔ , ∀m 2x + 2my + mz − = 2x − + m(2y + z ) = x + y = x = z − = ⇔ ⇔ y = −1 ⇒ M(1; −1; 2) 2x − = z = 2y + z = 0 Vậy, họ đờng thẳng (dm) qua điểm cố định M(0, 0, 1) Nhẫn xét: Nh vậy, thông qua ví dụ đà biết cách tìm điểm cố định họ đờng thẳng phụ thc tham sè m VÝ dơ 4: Cho hä ®êng thẳng (dm) có phơng trình: x + 4mz 3m = (1 − m)x − my = (dm): a Tìm điểm cố định họ đờng thẳng (dm) b Chứng minh đờng thẳng họ (dm) thuộc mặt phẳng cố định c Tính thể tích khối tứ diện giới hạn mặt phẳng (P) mặt phẳng toạ độ Giải a Giả sử M(x0; y0; z0) điểm cố định họ (dm), ta đợc: x + 4mz − 3m = m(4z − 3) + x = , ∀m ⇔ , ∀m (1 − m)x − my = −m(x + y ) + x = 4z − = x = 3 x = ⇔ ⇔ y = ⇒ M 0; 0; ÷ 4 x + y = z = / x = Vậy, họ (dm) qua điểm cố định M 0; 0; ữ b Ta lùa chän mét hai c¸ch lËp luËn sau: Cách 1: Từ hệ (I), ta đợc: mx + my + 4mz − 3m = ⇔ x + y + 4z − = (1) Khi ®ã (1) phơng trình mặt phẳng cố định (P) chứa đờng thẳng họ (dm) Cách 2: Chùm mặt phẳng tạo trục (dm) có phơng trình: α(x + 4mz − 3m) + β[(1 − m)x − my] = ⇔ (α + β − βm)x − βmy + 4αmz − 3αm = (2) Lùa chän giá trị thích hợp = 1, = 1, đa (2) dạng: x + y + 4z − = (3) Khi ®ã (3) phơng trình mặt phẳng cố định (P) chứa đờng thẳng họ (dm) c Ta có: (P) ∩ Ox = {A(3; 0; 0)}, (P) ∩ Oy = {B(0; 3; 0)}, (P) ∩ Oz = M 0; 0; ÷ Thể tích khối tứ diện OABC đợc cho bëi: 1 V = OA.OB.OC = 3.3 = (®vtt) 6 VÊn ®Ị 2: chuyển dạng phơng trình đờng thẳng Ta xét ba xuất phát điểm: Với (d) cho dới dạng tổng quát: A x + B y + C z + D1 = (d): víi A1:B1:C1 ≠ A2:B2:C2 A x + B y + C z + D = §Ĩ chun (d) dạng tham số, tắc ta lựa chọn mét hai c¸ch sau: C¸ch 1: Thùc hiƯn theo bớc sau: r Bớc 1: Gọi a vtcp, ta cã: r B C , C A1 , A B a = B C C A A B ÷ ÷ 2 2 2 Bíc 2: T×m mét ®iĨm M(x0, y0, z0) ∈ (d) Bíc 3: VËy, ta đợc: qua M(x ;y ;z ) (d): r vtcp a Tõ ®ã ta có đợc: Phơng trình tham số (d) Phơng trình tắc (d) Cách 2: Thực theo bớc sau: Bớc 1: Tìm hai điểm A, B (d) Bớc 2: Vậy, ta đợc: qua A uu ur (d): vtcp AB Từ ta có đợc: Phơng trình tham số (d) Phơng trình tắc (d) Chú ý: Với yêu cầu xác định phơng trình tham số đờng thẳng (d) thực đơn giản cách đặt x = t (hc y = t hc z = t) từ suy y z theo t Víi (d) cho díi d¹ng tham sè: x = x + a 1t (d): y = y + a t , t ∈ ¡ (I) z = z + a t a B»ng c¸ch khư t tõ hƯ, ta sÏ nhận đợc phơng trình tổng quát đờng thẳng (d), thĨ: a x − a x = a y − a y (I) ⇔ a y − a y = a z − a z §ã phơng trình tổng quát đờng thẳng (d) b B»ng c¸ch rót t tõ hƯ, ta sÏ nhËn đợc phơng trình tắc đờng thẳng (d), cụ thÓ: x − x0 =t a1 y − y0 x − x0 y − y0 z − z0 =t ⇒ (I) ⇔ = = a1 a2 a3 a2 z − z =t a3 Đó phơng trình tắc đờng thẳng (d) Với (d) cho dới dạng tắc: (d): x x0 y y0 z − z0 = = a1 a2 a3 (1) a Đơn giản phơng trình ta nhận đợc phơng trình tổng quát đờng thẳng (d), cụ thể: a x − a x = a y − a y (1) ⇔ a y − a y = a z − a z 10 C¸ch 1: Thùc hiƯn theo c¸c bíc: r Bíc 1: X¸c định vtpt n mặt phẳng (P) Bớc 2: Lập phơng trình đờng thẳng (d) qua A vuông góc với (P) Bớc 3: Hình chiếu vuông góc H A lên (P) giao điểm (d) (P) C¸ch 2: Thùc hiƯn theo c¸c bíc: r Bíc 1: Xác định vtpt n mặt phẳng (P) Bớc 2: Giả sử H(x, y, z) chiếu vuông góc H cđa A lªn (P), suy ra: H ∈ (P) H ∈ (P) ur ⇔ u u r toạ độ H AH // n AH ⊥ (P) Tõ viƯc x¸c định đợc toạ độ hình chiếu vuông góc A lên (P), thực đợc việc: ã Tìm toạ độ điểm H thuộc (P) cho độ dài AH ngắn ã Tìm toạ độ điểm A1 đối xøng víi ®iĨm A qua (P), thĨ ta thùc theo bớc: Bớc 1: Xác định toạ độ hình chiếu vuông góc H A lên (P) Bớc 2: Suy toạ độ điểm A từ điều kiện H trung điểm AA1 Tuy nhiên, yêu cầu thực cách: r Bớc 1: Xác định vtcp a đờng thẳng (d) Bíc 2: Gi¶ sư A1(x; y; z), suy ra: trung diĨm H cđa AA1 thc (P) AA1 ⊥ (P) VÝ dô 7: x + xA y + yA z + zA H ; ; ⇔ u ur ur uu AA // nu = P ữ (P) Toạ độ A1 (Bài 2/tr 109 − Sgk): Cho hai ®iĨm A(1; –1; –2), B(3; 1; 1) mặt phẳng (P) có phơng trình x 2y + 3z = a Tìm toạ ®é ®iĨm A' ®èi xøng víi ®iĨm A qua mỈt phẳng (P) b Tìm góc đờng thẳng AB mặt phẳng (P) c Viết phơng trình mặt phẳng (Q) qua A, B vuông góc với mặt phẳng (P) d Tìm toạ độ giao điểm I đờng thẳng AB mặt phẳng (P) Viết phơng trình đờng thẳng () nằm (P), qua I vuông góc với AB Giải 93 r Mặt phẳng (P) có vtpt n (1 ; −2 ; 3) a Ta cã thĨ lùa chän mét ba c¸ch: C¸ch 1: Gäi (d) đờng thẳng qua A vuông góc với (P), ta đợc: Qua A(1; 1; 2) r (d): ⇔ (d): vtcp n(1; − 2;3) x = + t y = −1 − 2t , t ∈ ¡ z = −2 + 3t Gọi H hình chiếu vuông góc A lên (P) H giao điểm (d) (P), đó: + t 2(−1 − 2t) + 3(−2 + 3t) – = ⇔ t = 11 15 ⇒ H ; − ; − ÷ 7 7 15 23 10 Vì H trung điểm AA' nên suy A ' ; ; ữ 7 Cách 2: Giả sử H(x; y; z) chiếu vuông góc H cđa A lªn (P), suy ra: H ∈ (P) ⇔ AH ⊥ (P) x − 2y + 3z − = H ∈ (P) ur u u r ⇔ x − y + z + AH // n = −2 = x − 2y + 3z − = 11 15 11 ⇔ y = − 2x ⇒ x= ⇒ H ; − ; − ÷ 7 7 z = 3x − 15 23 10 Vì H trung điểm AA' nªn suy A ' ; − ; ữ 7 Cách 3: Giả sử A'(x; y; z) suy täa ®é trung ®iĨm cđa AA' lµ: x +1 y −1 z − H ; ; 2 ÷ NhËn xÐt r»ng: 3(z − 2) x +1 −5 = − (y − 1) + H ∈ (P) H ∈ (P) u ur r ⇔ uu ⇔ AA ' ⊥ (P) AA ' // n x −1 = y +1 = z + −2 x − 2y + 3z − 13 = 15 23 10 15 ⇔ y = − 2x ⇒ x= ⇒ A ' ; − ; ÷ 7 z = 3x − uu ur b Ta cã AB(2; 2; 3) nªn: 94 sin(AB, (P)) = | 2.1 + 2.( −2) + 3.3 | + + + ( −2) + 2 2 = 238 c Ta cã: Qua A r u u ⇔ (Q): ur (Q): CỈp vtcp n vµ AB Qua A(1; − 1; − 2) ur u vtpt n Q (4; − 1; − 2) ⇔ (Q): 4(x − 1) − 1.(y + 1) − 2(z + 2) = ⇔ (Q): 4x − y − 2z − = d Phơng trình đờng thẳng (AB) đợc xác định bëi: Qua A(1; − 1; − 2) uu ur (AB): ⇔ (AB): vtcp AB(2;2;3) x = + 2t y = −1 + 2t , t ∈ ¡ z = −2 + 3t Thay giá trị x, y, z phơng trình tham số (AB) vào phơng trình (P) ta đợc: 23 10 I ; ; ÷ 7 Gọi (R) mặt phẳng qua I vuông góc với (AB), ta đợc: + 2t 2(1 + 2t) + 3(−2 + 3t) – = ⇔ t = 23 10 Qua I ; ; ÷ 7 ⇔ (R): (R): uu ur vtpt AB(2;2;3) 23 10 x − ÷+ y − ÷+ z − ÷ = 7 94 = Khi đó, đờng thẳng () giao tuyến (P) (R) nên có phơng trình: x 2y + 3z = (∆): 94 2x + 2y + 3z − = ⇔ (R): 2x + 2y + 3z − Chó ý: §Ĩ "ViÕt phơng trình đờng thẳng (d2) đối xứng với đờng thẳng (d1) qua mặt phẳng (P)", lựa chọn phơng pháp thực tuỳ thuộc vào vị trí tơng đối cđa (d) vµ (P), thĨ: a NÕu (d) ⊥ (P), ta cã (d1) ≡ (d) b NÕu (d) // (P), ta thùc hiƯn theo c¸c bíc: Bíc 1: Lấy điểm A (d), từ xác định toạ ®é ®iĨm A1 ®èi xøng víi A qua (P) Bíc 2: Phơng trình đờng thẳng (d1) đợc cho bởi: 95 qua A1 (d1): (d1 ) //(d) c Nếu (d) cắt (P), ta thực theo bớc: Bớc 1: Xác định toạ độ giao điểm I (d) (P) Bớc 2: Lấy điểm A (d), từ xác định toạ độ điểm A1 đối xứng với A qua (P) Bớc 3: Phơng trình đờng thẳng (d1) đợc cho bởi: qua A1 uu ur (d1): vtcp IA1 Tuy nhiªn, nÕu sử dụng phơng pháp quỹ tích không cần xét vị trí tơng đối chúng, ta thực theo bớc: r Bớc 1: Xác định vtpt n mặt phẳng (P) Bớc 2: Chuyển phơng trình (d) dạng tham số theo t Bớc 3: Vì (d1) đối xứng với (d) qua (P) với điểm M(x, y, z) (d1) tồn M(t)(d) thoả mÃn: trung diểm I MM1 thuéc (P) MM1 ⊥ (P) Bíc 4: VÝ dô 8: I ∈ (P) u ur ⇔ u u u r (I) MM1 // n Khư t tõ hƯ (I), ta nhËn đợc phơng trình tổng quát đờng thẳng (d1) Lập phơng trình đờng thẳng (d1) đối xứng với đờng thẳng (d) qua mặt phẳng (P), biết: x = 3t (P): 2x + y − z + = 0, (d): y = − t , t ∈ ¡ z = 5t Giải r r Mặt phẳng (P) cã vtpt n (2; 1; −1) vµ (d) cã vtcp a (3; 1; 5) Tới ta lùa chän mét hai c¸ch sau: C¸ch 1: NhËn xÐt r»ng: r r r r a n = 2.3 − 1.1 − 1.5 = ⇔ a ⊥ n ⇔ (d) // (P) LÊy ®iĨm A(0; 2; 0) thuộc (d) gọi A1 điểm đối xứng A qua (P) 96 Gọi () đờng thẳng qua A vuông góc với (P), ta có: qua A(0; 2; 0) r (∆): ⇔ (∆): vtcp n(2; 1; − 1) x = 2t y = + t , t ∈ ¡ z = t Gọi H hình chiếu vuông góc A lên (P), suy H giao điểm () (P), đó: 2.2t + + t + t + = ⇔ t = H(2; 1; 1) Vì H trung điểm AA1, suy A1(4; 0; 2) Phơng trình đờng thẳng (d1) đợc cho bởi: x = + 3t qua A1 (−4; 0; 2) r (d1): ⇔ (d): y = −t ,t∈ ¡ vtcp a(3; − 1; 5) z = + 5t Cách 2: Vì (d1) đối xứng với (d) qua (P) với điểm M 1(x; y; z) thuộc (d1) tồn M(3t; − t; 5t) ∈ (d) tho¶ m·n: x + 3t y + − t z + 5t , , ∈ (P) Trung ®iĨm I cđa MM thuéc(P) I 2 ÷ ⇔ u ur r MM1 ⊥ (P) u u u // n MM1 x + 3t y + − t z + 5t − +4= 2 + 2 ⇔ x − 3t = y − + t = z − 5t −1 2x + y − z + 10 = 4.(2) − 5.(3) 2x + y − z + 10 = ⇔ x − 2y = 5t − ⇒ 4x − 13y − 5z + 26 = y + z = 4t + Đó phơng trình đờng thẳng (d1) cần tìm Chú ý: Để "Tìm điểm M mặt phẳng (P) cho tổng độ dài MA + MB nhá nhÊt, víi A, B cho tríc", ta xÐt hai khả năng: Khả 1: Nếu A, B vế hai phÝa cđa (P) th× ta cã thĨ lùa chän mét hai c¸ch sau: C¸ch 1: Thùc hiƯn theo bớc: Bớc 1: Khẳng định A, B khác phía ®èi víi (P) Bíc 2: Ta cã ph©n tÝch sau để xác định bớc thực hiện: 97 Gọi {N} = (A1B) ∩ (P), ®ã víi ®iĨm M bÊt kú thuéc (P), ta cã: MA + MB ≥ AB = NA + NB Vậy, ta đợc MA + MB nhá nhÊt ⇔ M ≡ N Bíc 3: Tõ ®ã ta thực hiện: B Lập phơng trình (AB) M Xác định toạ độ N giao điểm (AB) vµ (P) A Bíc 4: KÕt ln M ≡ N điểm cần tìm Cách 2: Thực theo bớc: Bớc 1: Khẳng định A, B khác phía ®èi víi (P) Bíc 2: Ta cã ph©n tÝch sau để xác định bớc thực hiện: Gọi A1, B1 hình chiếu vuông góc A, B lên (P) AA1 điểm N chia vectơ A1B1 theo tỷ số b»ng − , ®ã BB1 víi ®iĨm M bÊt kỳ thuộc (P), ta có: A, B, N thẳng hàng, MA + MB ≥ AB = NA + NB VËy, ta đợc MA + MB nhỏ M N Bíc 3: Tõ ®ã ta thùc hiƯn: M B Xác định A1 A1 B1 Xác định B1 A Xác định toạ độ N chia uuu u ur AA1 vect¬ A1B1 theo tû sè b»ng − BB1 Kết luận M N điểm cần tìm Khả 2: Nếu A, B vế phía (P) mở rộng nhỏ trờng hợp A, B ë vỊ hai phÝa cđa (P) thay vai trò độ dài A A1 (trong cách 1) A2 (trong cách 2) Bớc 4: VÝ dơ 9: (HVKTQS − 1994): Cho hai ®iĨm A(1; 3; 2); B(9; 4; 9) mặt phẳng (P) có phơng trình 2x y + z + = Tìm điểm M thuộc (P) cho AM + BM nhá nhÊt Gi¶i Ta cã thĨ thùc hiƯn theo hai cách sau: Cách 1:Xét vị trí tơng đối cđa A, B ®èi víi (P), ta cã: tA.tB = (−6).(−12) = 72 > VËy A, B cïng phÝa ®èi víi (P) 98 N N Ta cã ph©n tÝch để xác định bớc thực hiện: Gọi A1 ®iĨm ®èi xøng víi A qua (P) vµ {N} = (A1B) ∩ (P), ®ã víi ®iĨm M bÊt kú thuéc (P), ta cã: MA + MB = MA1 + MB ≥ A1B = NA + NB A VËy MA + MB nhá nhÊt ⇔ M ≡ N M Tõ ta thực hiện: B r H Xác định toạ độ A1: Mặt phẳng (P) có vtpt n N (2; 1; 1) A1 Đờng thẳng (AA1) đợc xác ®Þnh bëi: x = −1 + 2t qua A( −1;3; − 2) r (AA1): ⇔ (AA1): y = − t , t ∈ ¡ vtcp n(2; − 1;1) z = −2 + t Gọi H hình chiếu vuông góc A lªn (P), suy {H} = (AA1) ∩ (P), ta đợc: 2(1 + 2t) (3 t) + (−2 + t) + = ⇔ t = H(1; 2; 1) Vì H trung điểm AA1, nên A1(3; 1; 0) Xác định toạ độ N: Phơng trình đờng thẳng (A1B) đợc xác định bởi: x = − 4t qua A1 (3;1;0) u ur uu (A1B): ⇔ (A1B): y = + t , t ∈ ¡ vtcp A1B( 12;3;9) z = 3t Khi để tìm toạ độ N ta thay x, y, z từ phơng trình tham số (A1B) vào phơng trình (P) ®ỵc: 2(3 − 4t) − (1 + t) + 3t + = ⇔ t = ⇒ N(−1; 2; 3) Vậy, điểm M(1; 2; 3) thoả mÃn điều kiện đầu Cách 2: Xác định vị trí tơng ®èi cđa A, B ®èi víi (P), ta cã: tA.tB = (−6).(−12) = 72 > ⇒ A, B cïng phía (P) Ta có phân tích sau để xác định bớc thực hiện: Gọi A1, B1 hình chiếu vuông góc A, B lên (P) điểm N chia vectơ uuu u ur AA1 A1B1 theo tû sè b»ng − , ®ã víi ®iĨm M bÊt kú thuéc (P), gäi A lµ BB1 ®iĨm ®èi xøng cđa A qua (P), ta cã: A2, B, N thẳng hàng, MA + MB = MA2 + MB ≥ A2B = NA2 + NB = NA + NB VËy MA + MB nhá nhÊt ⇔ M ≡ N r Mặt phẳng (P) có vtpt n (2; 1; 1) Xác định A1: Gọi (d1) đờng thẳng qua A vuông góc với (P), đó: qua A( −1;3; − 2) (d1): r vtcp n(2; − 1;1) A M B A1 N B1 A2 99 x = −1 + 2t1 ⇔ (d1): y = − t , t1 ∈ ¡ z = −2 + t V× {A1} = (d1) ∩ (P), nªn: 2(−1 + 2t1) − (3 − t1) + (−2 + t1) + = ⇔ t1 = ⇒ A1(1; 2; −1) vµ AA1 = (1 + 1)2 + (2 − 3)2 + (−1 + 2)2 = Xác định B1: Gọi (d2) đờng thẳng qua B vuông góc với (P), ®ã: x = −9 + 2t qua B( −9;4;9) (d2): ⇔ (d2): y = − t , t2 ∈ ¡ r vtcp n(2; − 1;1) z = + t V× B1 = (d2)∩(P), nªn: 2(−9 + 2t2) − (4 − t2) + (9 + t2) + = ⇔ t2 = ⇒ B1(−5; 2; 11) vµ BB1 = (−5 + 9)2 + (2 − 4)2 + (11 − 9)2 = uuu u ur AA1 V× N điểm thuộc (P) chia vectơ A1B1 theo tỷ sè b»ng − = −2 BB1 u ur uu u ur uu ⇔ NA1 = −2 NB1 ⇔ N(−1; 2; 3) Vậy, điểm M(1; 2; 3) thoả mÃn điều kiện đầu Chú ý: Mở rộng phơng pháp đợc sử dụng để tìm M cho | MA − MB | lín nhÊt (§HNN I − 1994: Cho hai điểm A(1, 2, 3), B(4, 4, 5) Viết phơng trình đờng thẳng (AB) Tìm giao điểm P với mặt phẳng xOy Chứng minh với điểm Q thuộc mặt phẳng (xOy), biểu thức | QA QB | có giá trị lớn Q trùng với P Ví dụ 10: Giải Phơng trình đờng thẳng (AB) cho bëi: x = + 3t y = + 2t , t ∈ ¡ z = + 2t Tìm giao điểm P với mặt phẳng xOy: Mặt phẳng xOy có phơng trình z = , đó: + 2t = ⇔ t = − ⇒ P(− ; −1; 0) 2 Chøng minh r»ng víi mäi điểm Q thuộc mặt phẳng xOy, biểu thức | QA QB | có giá trị lớn Q trïng víi P ThËt vËy: tA.tB = 1.4 = > ⇒ A, B cïng phÝa víi xOy qua A(1;2;3) uu ur (AB): ⇔ (AB): vtcp AB(3;2;2) 100 XÐt ∆QAB, ta cã | QA QB | AB Vậy, ta đợc | QA QB | có giá trị lớn Q trïng víi P Chó ý: TiÕp theo, chóng ta quan tâm tới toán quỹ tích cực trị (Bài 10/tr 124 Sgk): Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 1; 2), B(2; 0; 1) a Tìm quỹ tích điểm M cho MA2 – MB2 = b T×m quü tÝch điểm N cho NA2 + NB2 = c Tìm quỹ tích điểm P cách hai mặt phẳng (OAB) mặt phẳng (Oxy) Ví dụ 11: Giải a Giả sử M(x; y; z), đó: = MA2 – MB2 = (x − 1)2 + (y + 1)2 + (z − 2)2 − [(x − 2)2 + y2 + (z − 1)2] = 2x + 2y − 2z + ⇔ 2x + 2y − 2z = Vậy, quỹ tích điểm M mặt phẳng (P): 2x + 2y 2z − = b Gi¶ sư N(x; y; z), ®ã: = NA2 + NB2 = (x − 1)2 + (y + 1)2 + (z − 2)2 + (x − 2)2 + y2 + (z − 1)2 = 2x2 + 2y2 + 2z2 − 6x + 2y − 6z + 11 ⇔ x2 + y2 + z2 − 3x + y − 3z + = 2 3 1 3 ⇔ x − ÷ +y + ÷ +z − ÷ = 2 2 2 3 3 Vậy, quỹ tích điểm N đờng tròn tâm I ; ; ữ bán kính R = 2 2 c Phơng trình mặt phẳng (OAB) đợc cho bởi: Qua O Qua O r uu uu ur ur uu ur u u ⇔ (OAB): ur (OAB): vtpt n = OA, OB = ( −1; 3; 2) CỈp vtcp OA vµ OB ⇔ (OAB): x − 3y − 2z = Gi¶ sư P(x; y; z), ®ã: d(P, (OAB)) = d(P, (Oxy)) x − 3y + 2z z = ⇔ ⇔ x − 3y − ± 14 z = + (−3)2 + 2 12 ( ) ( ) Vậy, quỹ tích điểm P cặp mặt phẳng x − 3y − ± 14 z = 101 (ĐHBK HN 1998): Cho đờng thẳng (d) mặt phẳng (P) có phơng trình : Ví dụ 12: (d): x +1 y −1 z−3 = = vµ (P): 2x − 2y + z − = 2 a Tìm toạ độ giao điểm A (d) với (P) Tính góc (d) (P) b Lập phơng trình hình chiếu vuông góc (d1) (d) lên (P) Lấy điểm B thuộc đờng thẳng (d) cho AB = a, víi a > cho tríc XÐt tû sè AB + AM víi M di ®éng mặt phẳng (P) Chứng tỏ BM tồn vị trí M để tỷ số đạt giá trị lớn tìm giá trị lớn Giải a Toạ độ giao điểm {A} = (d) (P) nghiệm hệ phơng trình: x = −2 2x − 2y + z − = x + y − z − ⇔ y = −1 ⇔ A(−2; −1; 5) = = −2 z = ã Tính sin góc (d) (P) r r - Gäi a lµ mét vtcp cđa (d), ta cã a (1; 2; −2) r r - Gäi n lµ mét vtpt cđa (P), ta cã n (2; 2; 1) - Gọi góc (d) (P), sin đợc xác định công thức: 1.2 + 2.( −2) − 2.1 sinα = = 2 2 2 (2 + (−2) + )(1 + + ( −2) ) b Chuyển phơng trình (d) dạng tổng quát: 2x y + = (d): y + z = Gọi (Q) mặt phẳng chứa (d) vuông góc với (P) (Q) chứa đờng thẳng (d) (Q) thuộc chùm mặt phẳng xác định trục (d), có dạng: (Q): A(2x y + 3) + B(y + z − 2) = ⇔ (Q): 2Ax + (B − A)y + Bz + 3A − 2B = ur u (Q) cã vtpt n Q (2A; B − A; B) V× (Q) ⊥ (P) nªn: u r ur n n Q = ⇔ 2.2A − 2(B − A) + B = ⇔ B = 6A Thay B = 6A vào (1), đợc : (Q): 2x + 5y + 6z = 102 (1) Hình chiếu vuông góc (d1) (d) lên (P) giao tuyến (P) vµ (Q), cã: 2x + 5y + 6z − = (d1): 2x − 2y + z = Lấy điểm B thuộc đờng thẳng (d) choAB = a, điểm M thuộc (P) XÐt ∆ABM , ta cã: AB + AM 2Rsin M + 2Rsin B sin M + sin B = = BM 2Rsin A sin A M+B M −B M−B 2sin cos cos 2 A = = ≤ (*) A A A sin 2sin cos sin 2 2 Ta biÕt r»ng: α A π 0
