Đang tải... (xem toàn văn)
Biên soạn theo hướng "LẤY HỌC TRÒ LÀM TRUNG TÂM"
Bản quyền thuộc Nhóm Cự Môn của Lê Hồng Đức Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là: 1. Tài liệu dễ hiểu − Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này. 2. Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc − Đăng kí “Học tập từ xa”. BÀI GIẢNG QUA MẠNG HÌNH HỌC 12 CHƯƠNG II. MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU §1 Mặt cầu, khối cầu Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12 Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC Địa chỉ: Số nhà 20 − Ngõ 86 − Đường Tô Ngọc Vân − Hà Nội Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689 1 chơng II mặt cầu, mặt trụ, mặt nón chủ đề 1 Mặt cầu, khối cầu A. Tóm tắt lí thuyết 1. Định nghĩa mặt cầu Định nghĩa Tập hợp các điểm M trong không gian cách điểm O cố định một khoảng bằng R không đổi đợc gọi là mặt cầu tâm O bán kính R. Nh vậy, ta có: S(O; R) = {MOM = R}. Nh vậy, một mặt cầu hoàn toàn đợc xác định khi: Biết tâm và bán kính của nó. Biết một đờng kính của nó. Chú ý: Chúng ta đợc quyền sử dụng kết quả " Nếu ã AMB = 90 0 thì M thuộc mặt cầu đờng kính AB ". 2. Vị trí tơng đối giữa mặt cầu và mặt phẳng Cho mặt cầu S(O; R) và mặt phẳng (P) bất kì. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên (P) và d = OH là khoảng cách từ O tới (P), khi đó: Nếu d > R (P) (S) = . Nếu d = R (P) tiếp xúc với (S) tại H. Khi đó (P) đợc gọi là tiếp diện của (S). Nếu d < R (P) (S) = (C) là một đờng tròn nằm trong mặt phẳng (P) với C(H; 22 dR ). Chú ý: Trờng hợp đặc biệt d = 0, khi đó O H do đó: 2 H P O P H O H P O M O S C B R C(O; R), đợc gọi là đờng tròn lớn của mặt cầu S(O; R). Kết quả Điều kiện cần và đủ để mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu S(O; R) tại điểm H là mặt phẳng (P) vuông góc với bán kính OH tại điểm H. Định nghĩa Mặt cầu đi qua mọi đỉnh của đa diện (H) gọi là mặt cầu ngoại tiếp đa diện (H) và hình đa diện (H) gọi là nội tiếp mặt cầu đó. Kết quả Hình chóp nội tiếp một mặt cầu khi và chỉ khi đáy của nó là đa giác nội tiếp một đờng tròn. 3. Vị trí tơng đối của một mặt cầu và một đờng thẳng Cho mặt cầu S(O; R) và đờng thẳng d bất kì. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên d và h = OH là khoảng cách từ O tới d, khi đó: Nếu h > R d (S) = . Nếu h = R d tiếp xúc với (S) tại H. Khi đó d đợc gọi là tiếp tuyến của (S). Nếu h < R d (S) = {A, B}. Chú ý: Trờng hợp đặc biệt d = 0, khi đó O H do đó AB là một đờng kính của mặt cầu. Định lí 1: Qua điểm A nằm trên mặt cầu S(O; R) có vô số tiếp tuyến của mặt cầu (S). Tất cả các tiếp tuyến đó đều nằm trên tiếp diện của (S) tại điểm A. Ta có: a OA tại A a . Định lí 2: Qua điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O; R) có vô số tiếp tuyến của mặt cầu (S). Độ dài các đoạn thẳng kẻ từ A tới các tiếp điểm đều bằng nhau. Ta có, với OA = d thì nếu: AM OM AM = 22 Rd . 3 (d) H O H (d) O A (d) B H O A O a b A O d M R 4. Diện tích mặt cầu Thể tích khối cầu Với hình cầu có bán kính R, ta có: S = 4R 2 ; V = 3 4 R 3 . B. phơng pháp giải toán Vấn đề 1: Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu thỏa mãn một số điều kiện cho trớc Chúng ta dựa vào các mệnh đề sau: 1. Tập hợp các điểm M trong không gian cách điểm O cố định một khoảng bằng R không đổi là mặt cầu tâm O bán kính R. 2. Tập hợp các điểm M trong không gian nhìn đoạn thẳng AB cố định dới một góc vuông là mặt cầu đờng kính AB. 3. Tập hợp các điểm M trong không gian sao cho tổng bình ph- ơng các khoảng cách tới hai điểm A, B cố định bằng một hằnh số k 2 là mặt cầu tâm O (là trung điểm AB) bán kính 2 2 1 R 2k AB 2 = . Ví dụ 1: (Bài 1/tr 45 Sgk): Trong không gian cho ba đoạn thẳng AB, BC, CD sao cho AB BC, BC CD, CD AB. Chứng minh rằng có mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D. Tính bán kính mặt cầu đó nếu AB = a, BC = b, CD = c. Giải Gọi O là trung điểm của AD. Nhận xét rằng: AB BC AB CD AB (BCD) AB BD ABD vuông tại B OA = OB = OD. CD AB CD BC CD (ABC) CD AC ACD vuông tại C OA = OC = OD. Vậy, mặt cầu (O, OA) đi qua bốn điểm A, B, C, D. Ta lần lợt có: AD 2 = CD 2 + AC 2 = CD 2 + AB 2 + BC 2 = c 2 + a 2 + b 2 , R = OA = AD 2 = 2 2 2 1 a b c 2 + + . 4 A C D B O Ví dụ 2: (Bài 7/tr 45 Sgk): a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h. b. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh cùng bằng a. Gọi A', B', C', D' lần lợt là trung điểm của các cạnh SA, SB, SC, SD. Chứng minh rằng các điểm A, B, C, D, A', B', C', D' cùng thuộc một mặt cầu và tính thể tích khối cầu đó. Giải a. Dựng DH (ABC), suy ra HA = HB = HC, tức H là tâm đờng tròn ngoại tiếp ABC. Trong DAH dựng đờng trung trực của SA cắt DH tại O, ta đợc: OA = OB = OC = OD mặt cầu S(O, OD) ngoại tiếp tứ diện. Vì DMO và DHA đồng dạng nên ta có: OD DM DA DH = OD = DM.DA DH = DA DA. 2 DH = 2 DA 2DH = 2 2 DH AH 2DH + = 2 2 a 3 h 3 2h + ữ ữ = 2 2 3h a 6h + . Vậy, mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đều ABCD là S(O, 2 2 3h a 6h + ). b. Với giả thiết, ta thấy ngay A'B'C'D' là hình vuông cạnh bằng a 2 . Gọi I là tâm của đáy ABCD và M là trung điểm BB'. Trong SBO dựng đờng trung trực của BB' cắt SI tại O, ta đợc: OA = OB = OC = OD = OB' = OA' = OC' = OD' Mặt cầu S(O; OB) ngoại tiếp hình chóp. Vì SMO và SIB đồng dạng nên ta có: OM SM IB SI = OM = IB.SM SI = ( ) 2 2 AB 2 . SB' MB' 2 SB BI + = 2 2 a 2 a a . 2 2 4 a a 2 + ữ = 3a 4 . Trong MOB ta có: 5 C B A D I S O M I' C' B' A' D' B D B' D' O M I I' A B C D O M E H R = OB = 2 2 OM MB+ = 2 2 9a a 16 16 + = a 10 4 V Cầu = 3 4 R 3 = 3 5 a 10 24 . Ví dụ 3: Trong mặt phẳng (P) cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Trên nửa đờng thẳng Ax vuông góc với mặt phẳng (P) ta lấy điểm S tùy ý. Một mặt phẳng qua A vuông góc với SC cắt SB, SC, SD tại P, Q, R theo thứ tự đó. a. Chứng minh rằng 7 điểm A, B, C, D, P, Q, R luôn thuộc một mặt cầu (S). Xác định tâm, tính bán kính, diện tích và thể tích của mặt cầu (S). b. Chứng minh rằng tứ giác APQR nội tiếp đợc và có hai đờng chéo vuông góc với nhau. c. Cho SA 2a= , hãy tính diện tích của tứ giác APQR. d. Xác định vị trí của S trên Ax sao cho hình chóp Q.ABCD có thể tích lớn nhất. Giải a. Gọi O là trung điểm của AC, ta có: SC (APQR) SC AQ OA = OC = OQ = AC 2 = a 2 2 . Ta có: BC AB BC SA BC (SAB) BC AP. (1) Ngoài ra, ta có: SC (APQR) SC AP. (2) Từ (1) và (2) suy ra: AP (SBC) AP CP OP = AC 2 = a 2 2 . Ta có: CD AD CD SA CD (SAD) CD AR. (3) Ngoài ra, ta có SC (APQR) SC AR. (4) Từ (3) và (4) suy ra: AR (SCD) AR CR OR = AC 2 = a 2 2 . Vậy, ta đợc: 6 A B C D P R O S Q H OA = OB = OC = OD = OP = OQ = OR = a 2 2 bảy điểm A, B, C, D, P, Q, R thuộc một mặt cầu a 2 S O; 2 ữ ữ . Khi đó: S = 4R 2 = 2 a 2 4 2 ữ ữ = 2a 2 . V = 3 4 R 3 = 3 4 a 2 3 2 ữ ữ = 3 a 2 3 . b. Ta có: AP (SBC) AR (SCD) AP PQ AR RQ ã ã 0 0 APQ 90 ARQ 90 = = APQR nội tiếp đờng tròn đờng kính AQ. Nhận xét rằng: SABD ACBD BD (SAC) BD AQ. Dễ thấy SB = SD, do đó từ: SA 2 = SP.SB = SR.SD SP.SD = SR.SB SP SR SB SD = PR // BD PR AQ . Vậy, tứ giác AMNP nội tiếp đợc và có hai đờng chéo vuông góc với nhau. c. Ta có: S AMNP = 2 1 AQ.PR. (5) trong đó: Trong SAC vuông tại A, ta đợc: 2 2 2 1 1 1 AQ SA AC = + = 22 a2 1 a2 1 + AQ = a. (6) Trong SBD, ta đợc: 2 2 2 2 PR SM SM.SB SA BD SB SB SA AB = = = + = 3 2 PR = 3 2a2 (7) Thay (6), (7) vào (5), ta đợc; 7 S AHIK = 2 1 .a. 3 2a2 = 3 2a 2 . d. Ta có: V Q.ABCD = 1 3 S ABCD .d(Q, (ABCD)) = 2 a .QH 3 , tức hình chóp Q.ABCD có thể tích lớn nhất khi QH lớn nhất. Trong AQC vuông tại Q, ta đợc: 2 2 2 1 1 1 QH QA QC = + QH = 2 2 QA.QC QA QC+ 2 2 2 2 1 (QA QC ) 2 QA QC + + = 2 1 AC = a 2 2 . Vậy, ta đợc QH Max = a 2 2 , đạt đợc khi: QA = QC H O SAC cân tại A SA = AC = a 2 . Vấn đề 2: Quĩ tích điểm là mặt cầu Để tìm quĩ tích điểm M thoả mãn tính chất K (quĩ tích là một mặt cầu) ta có lựa chọn một trong hai cách sau: Cách 1: Tìm một điểm O cố định rồi từ đó dựa trên tính chất K chứng minh OM = R với R là độ dài không đổi. Cách 2: Tìm hai điểm A, B cố định rồi từ đó dựa trên tính chất K chứng minh ã AMB = 90 0 . Cách 3: Tìm hai điểm A, B cố định rồi từ đó dựa trên tính chất K chứng minh MA 2 + MB 2 = k 2 không đổi. Ví dụ 1: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Tìm tập hợp các điểm M sao cho MA 2 + MB 2 + MC 2 + MD 2 = 2a 2 . Giải Gọi G là trọng tâm tứ diện ABCD, ta có: 2a 2 = MA 2 + MB 2 + MC 2 + MD 2 = 2 MA uuuur + 2 MB uuur + 2 MC uuuur + 2 MD uuuur = ( ) 2 MG GA+ uuuur uuur + ( ) 2 MG GB+ uuuur uuur + ( ) 2 MG GC+ uuuur uuur + ( ) 2 MG GD+ uuuur uuur = ( ) 2 2 MG GA 2MG.GA+ + uuuur uuur + ( ) 2 2 MG GB 2MG.GB+ + uuuur uuur + 8 + ( ) 2 2 MG GC 2MG.GC+ + uuuur uuur + ( ) 2 2 MG GD 2MG.GD+ + uuuur uuur = 4MG 2 + 4GA 2 + 2 ( ) GA GD GC GD MG+ + + uuur uuur uuur uuur uuuur = 4MG 2 + 2 3 a 2 MG 2 = 2 a 8 MG = a 2 4 M a 2 S G; 4 ữ ữ . Vậy, tập hợp điểm M là mặt cầu a 2 S G; 4 ữ ữ . Ví dụ 2: Trên mặt cầu (O) lấy hai điểm B, C cố định. Điểm A di chuyển trên mặt cầu, D là trung điểm của BC. Gọi M là hình chiếu của B trên đờng thẳng AD. a. Tìm tập hợp điểm M khi A di chuyển trên (O) b. Tìm vị trí của điểm A trên (O) để BM có độ dài lớn nhất. Giải a. Ta có nhận xét: BM DM ã 0 BMD 90= = 90 0 M di chuyển trên mặt cầu có đờng kính BD, trừ điểm B. b. Ta có, trong mặt cầu có đờng kính BD thì BM BD (đờng kính là dây lớn nhất). Do đó, độ dài BM có độ dài lớn nhất bằng BD, đạt đợc khi M D AD BC ABC cân tại A A là giao điểm của mặt cầu (O) với đờng trung trực của BC. Nhận xét: Trong lời giải câu b), để chỉ ra đợc vị trí cần tìm của điểm A sao cho BM lớn nhất chúng ta đã bắt đầu bằng bất đẳng thức: BM BD, trong đó BD là độ dài không đổi BM max = BD, đặt đợc khi M D vị trí của A. Nh vậy, lập luận đó dựa trên tính chất "Đờng kính là dây cung lớn nhất của mặt cầu". Tuy nhiên, chúng ta có thể lập luận theo cách khác nh sau: BD 2 = BM 2 + DM 2 BM max khi DM min . Từ đó, suy ra BM max = BD đặt đợc khi: DM min = 0 M D. Vấn đề 3: Vị trí tơng đối của mặt cầu và mặt phẳng 9 O A B C M D Ta đi tính khoảng cách từ tâm O của mặt cầu tới mặt phẳng (P) rồi thực hiện phép so sánh với bán kính R của mặt cầu cho trớc. Khi đó: Nếu d > R (P) (S) = . Nếu d = R (P) tiếp xúc với (S) tại H. Khi đó (P) đợc gọi là tiếp diện của (S). Nếu d < R (P) (S) = (C) là một đờng tròn nằm trong mặt phẳng (P) với C(H; 22 dR ). Đặc biệt d = 0 mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo giao tuyến là một đờng tròn lớn của mặt cầu đó. Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác đều SABC các cạnh bằng a. Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu (S) tiếp xúc với cả bốn mặt của hình chóp. Giải Gọi G là trọng tâm ABC, suy ra SG là trục đờng tròn nội tiếp ABC. Gọi M là trung điểm AB và I là giao điểm của đờng phân giác góc ã SMG với SO và hạ IH vuông góc với SM, suy ra: IH = IG. (1) Ta có nhận xét: AB GM AB SG AB (SGM) AB IH IH (SAB) IH = d(I, (SAB)). Vì I thuộc SG nên I cách đều các mặt bên của hình chóp. Kết hợp với (1), ta kết luận mặt cầu (I; IG) sẽ tiếp xúc với cả bốn mặt của hình chóp. Trong SGM, ta có: IG IS MG MS = IG.MS = MG(SG IG) (MS + MG)IG = MG.SG IG = MG.SG MS MG+ . (2) Trong đó, ta lần lợt có: 10 H P O P H O H P O M C B A S I H M G . QUA MẠNG HÌNH HỌC 12 CHƯƠNG II. MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU 1 Mặt cầu, khối cầu Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10 , 11 , 12 Giáo viên dạy:. con liên hệ 0936546689 1 chơng II mặt cầu, mặt trụ, mặt nón chủ đề 1 Mặt cầu, khối cầu A. Tóm tắt lí thuyết 1. Định nghĩa mặt cầu Định nghĩa Tập hợp các
