SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2019 – 2020 Mơn thi : TỐN Ngày thi : 02 tháng năm 2019 Thời gian làm : 120 phút ĐỀ CHÍNH THỨC Bài I (2,0 điểm) ( )  15 − x  x +1 + B =  với x ≥ 0, x ≠ 25 ÷: x +5 x −5  x − 25 25 − x 1) Tính giá trị biểu thức A x = 2) Rút gọn biểu thức B 3) Tìm tất giá trị nguyên x để biểu thức P = A.B đạt giá trị nguyên lớn Bài II (2,5 điểm) 1) Giải toán sau cách lập phương trình hệ phương trình: Hai đội cơng nhân làm chung cơng việc sau 15 ngày làm xong Nếu đội thứ làm riêng ngày dừng lại đội thứ hai làm tiếp cơng việc ngày hai đội hồn thành 25% cơng việc Hỏi đội làm riêng ngày xong công việc ? 2) Một bồn nước inox có dạng hình trụ với chiều cao 1,75m diện tích đáy 0,32m Hỏi bồn nước dựng đầy mét khối nước ? (Bỏ qua bề dày bồn nước) Bài III (2,0 điểm) 1) Giải phương trình x − x − 18 = 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d ) : y = 2mx − m + parabol ( P) : y = x a) Chứng minh (d) cắt (P) hai điểm phân biệt b) Tìm tất giá trị m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 1 −2 +1 thỏa mãn + = x1 x2 x1 x2 Bài IV (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) Hai đường cao BE CF tam giác ABC cắt điểm H 1) Chứng minh bốn điểm B, C, E, F thuộc đường tròn 2) Chứng minh đường thẳng OA vng góc với đường thẳng EF 3) Gọi K trung điểm đoạn thẳng BC Đường thẳng AO cắt đường thẳng BC điểm I, đường thẳng EF cắt đường thẳng AH điểm P Chứng minh tam giác APE đồng dạng với tam giác AIB đường thẳng KH song song với đường thẳng IP Bài V (0,5 điểm) Cho biểu thức P = a + b − ab , với a, b số thực thỏa mãn a + b + ab = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P Cho hai biểu thức A = x +1 ………………… Hết ………………… Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh : ………………………………… Họ tên, chữ kí cán coi thi số : ……………………………………… Số báo danh: ………………………… Họ tên, chữ kí cán coi thi số : ……………………………………… HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ BIỂU ĐIỂM DỰ KIẾN: Bài Phần Nội dung Điểm Khi x = thì: 1) A= ( ) = ( + 1) = 4.4 = +1 25 − 16 0.5 16  15 − x  x +1 B= + ÷: x − 25 x +   x −5  x −5 15 − x = +  x +5 x −5 x +5 x −5  ( 2) = = Bài I (2,0đ) = )( ) ( 15 − x + x − 10 ( ( x +5 )( x −5 x +5 x +5 )( ( x −5 ) ) × × )( ) )  × x −5  x +1  x −5 x +1 1.0 x −5 x +1 x +1 với x ≥ 0, x ≠ 25 x +1 Với x ≥ 0, x ≠ 25, x ∈ Z , ta có: Vậy B = P = A.B = 3) Bài II (2,5đ) 1) ( )× x +1 25 − x ⇒ = P ( 25 − x ) = x + 25 − x ⇒ 4MP (do 25 − x ∈ Z , P ∈ Z ) ⇒P≤4 P = ⇔ 25 − x = ⇔ x = 24 (TMĐK) Vậy với x ∈ Z , P ∈ Z max P = ⇔ x = 24 Gọi thời gian đội thứ đội thứ hai làm riêng xong việc x (ngày) y (ngày) ĐK: x, y > Mỗi ngày: đội thứ làm công việc, đội thứ hai làm x 1 công việc, hai đội làm chung công việc y 15 1 Ta có phương trình: + = (1) x y 15 Đội thứ làm riêng ngày công việc x Đội thứ hai làm riêng ngày công việc y 0.5 2.0 2) Bài III (2,0đ)  1 Vì hai đội hồn thành 25%  = ÷ cơng việc nên ta có  4 phương trình: + = (2) x y 1 1  x + y = 15  Từ (1) (2) ta có hệ phương trình:  3 + =  x y 1 Đặt = u; = v , hệ trở thành: x y 1   u + v = 15 u = 24 ⇔  3u + 5v = v = 40    x = 24 ⇒ (TMĐK)  y = 40 Vậy làm riêng đội thứ 24 ngày, đội thứ hai 40 ngày để hồn thành cơng việc Thể tích bồn nước là: 1,75.0,32 = 0,56 (m3) Vậy bồn nước dựng đầy 0,56 m3 nước Cách 1: (1) x − x − 18 = 2 ⇔ x + x − x − 18 = 0.5 ⇔ x ( x + 2) − 9( x + 2) = ⇔ ( x + 2)( x − 9) = ⇔ x − = (do x + > ∀x) 1) 2a) ⇔ x2 = ⇔ x = ±3 Vậy nghiệm phương trình (1) x = ±3 Cách 2: Đặt x = y ( y ≥ 0) Phương trình (1) trở thành: y − y − 18 = Giải phương trình (2) được: y1 = (TMĐK) ; y2 = – (loại) Với y = y1 = x = ⇔ x = ±3 Vậy nghiệm phương trình (1) x = ±3 Xét phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d): x = 2mx − m + (1) ⇔ x − 2mx + m − = 2 Có ∆ ' = m − m + = > ⇒ Phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt ⇒ (d) ln cắt (P) hai điểm phân biệt 1.0 (2) 0.5 Vì (d) cắt (P) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 nên x1 , x2 nghiệm phương trình (1) Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có:  x1 + x2 = 2m   x1 x2 = m − Theo đề bài: 1 −2 + = +1 x1 x2 x1 x2 2b) ⇔ x1 + x2 x1 x2 − = x1 x2 x1 x2 0.5 2m m2 − − = ( ĐK :m ≠ ±1) m2 − m2 − ⇒ 2m = m − ⇒ ⇔ m − 2m − = (2) Giải phương trình (2) được: m1 = −1; m2 = Kết hợp ĐK ⇒ m = giá trị cần tìm Bài IV (3,0đ) 1) 2) Vì BE, CF đường cao ∆ ABC nên: · · BEC = BFC = 90o ⇒ E, F thuộc đường tròn đường kính BC ⇒ Bốn điểm B, C, E, F thuộc đường tròn Cách 1: Vẽ đường kính AD (O), AD cắt EF J Vì BCEF tứ giác nội tiếp µ = ABC · · ⇒E (= 180o − CEF) · µ  = sđAC » ⇒E µ1 =D µ1 =D Mà ABC  ÷   · Ta có ACD = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) µ1+D µ = 90o ⇒ A µ1+E µ = 90o ⇒ AJE · ⇒A = 90o ⇒ OA ⊥ EF J 0.75 1.0 Cách 2: Qua A, vẽ tiếp tuyến xy (O)  »  µ = ABC · ⇒A  = sđAC ÷   Vì BCEF tứ giác nội tiếp µ = ABC · · ⇒E = 180o − CEF ( ) µ2 =E µ ⇒ xy // EF Do A Mà OA ⊥ xy (tính chất tiếp tuyến) ⇒ OA ⊥ EF Cách 3: Tia BE cắt (O) M, tia CF cắt (O) N Vì BCEF tứ giác nội tiếp µ1 =C AM ẳ = AN ằ (tớnh chất góc nội tiếp) ⇒B ⇒ OA ⊥ MN (liên hệ cung dây) µ =F $1 = B µ ⇒ MN // EF Dễ chứng minh N ⇒ OA ⊥ EF ( ) 3) 1.0 µ + ABC · Dễ thấy A = 90o µ1+D µ = 90o ABC · µ1 Mà A =D µ3 =A µ ⇒ BAI · · ⇒A = PAE · · µ = ABC · ∆ APE ∆ AIB có: PAE = BAI ;E ⇒ ∆ APE ∆ AIB (g-g) AP AE ⇒ = AI AB ∆ ABD (g-g) Dễ chứng minh ∆ AEH AE AH ⇒ = AB AD AP AH = Từ (1) (2) ⇒ AI AD ⇒ PI // HD (định lí Ta-lét đảo) (1) (2) Chứng minh BHCD hình bình hành ⇒ H, K, D thẳng hàng ⇒ KH // IP (đpcm) Ta có: a + b + ab = ⇔ a + b = − ab ⇒ P = a + b − ab = (a + b ) − 2a 2b − ab = (3 − ab) − 2a 2b − ab = − 6ab + a 2b − 2a 2b − ab = − ab − a 2b Lại có: = a + b + ab = (a − b) + 3ab ≥ 3ab ⇒ ab ≤ Bài V (0,5đ) = a + b + ab = (a + b) − ab ≥ −ab ⇒ ab ≥ −3 ⇒ −3 ≤ ab ≤ Cách 1: Từ (1) (2) suy ra: P = + (1 − ab)(8 + ab) ≥ ab = a = b = ⇔ Dấu “=” xảy ⇔   a = b = −1  a + b = P = 21 − (ab + 3)(ab + 4) ≥ 21  a = 3; b = − ab = −3 ⇔ Dấu “=” xảy ⇔    a = − 3; b = a + b = Cách 2: 85 P = − 7ab − a 2b = + ( ab + 3,5 ) 81 Vì −3 ≤ ab ≤ ⇒ 0,5 ≤ ab + 3,5 ≤ 4,5 ⇒ ≤ ( ab + 3,5 ) ≤ 4 85 ⇒ 21 ≥ − ( ab + 3,5 ) ≥ hay 21 ≥ P ≥ (1) (2) 0.5 ... hành ⇒ H, K, D thẳng hàng ⇒ KH // IP (đpcm) Ta có: a + b + ab = ⇔ a + b = − ab ⇒ P = a + b − ab = (a + b ) − 2a 2b − ab = (3 − ab) − 2a 2b − ab = − 6ab + a 2b − 2a 2b − ab = − ab − a 2b Lại có: ... (1) ⇔ x − 2mx + m − = 2 Có ∆ ' = m − m + = > ⇒ Phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt ⇒ (d) cắt (P) hai điểm phân biệt 1.0 (2) 0.5 Vì (d) cắt (P) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 nên... kính AD (O), AD cắt EF J Vì BCEF tứ giác nội tiếp µ = ABC · · ⇒E (= 180o − CEF) · µ  = sđAC » ⇒E µ1 =D µ1 =D Mà ABC  ÷   · Ta có ACD = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) µ1+D µ = 90o