Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên toán trường THPT chuyên Lam Sơn Thanh Hoá ================================================ SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN THANH HOÁ NĂM HỌC: 2007-2008 MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên Toán) Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thi có 01 trang Ngày thi: … tháng 6 năm 2007 Bài 1: (1,5 điểm) Giải hệ phương trình: ( ) ( ) ( ) 3xy = 2 x+y 5xy = 6 y+z 4xz = 3 x+z        . Bài 2: (2,0 điểm) Đội bóng bàn của trường A thi đấu với đội bóng bàn của trường B, mỗi đấu thủ của trường A thi đấu với mỗi đấu thủ của trường B một trận. Biết rằng: Tổng số trận đấu bằng 4 lần cầu thủ, số cầu thủ của trường B là số lẻ. Tính số cầu thủ của mỗi đội. Bài 3: (3,0 điểm) Cho hai điểm A và B cố định trên đường tròn tâm O. C là điểm chính giữa cung AB, M là một điểm trên đoạn AB. Tia CM cắt đường tròn (O) tại D. Chứng minh rằng: a. AC 2 = CM.CD b. Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADM thuộc đường tròn côc định. c. Gọi R 1 , R 2 theo thứ tự là bán kính đường tròn ngoại tiếp hai tam giác ADM và BDM. Chứng minh R 1 + R 2 không đổi. Bài 4: (2 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho : A(0; 3), B(4; 0), C(5; 3/4) cùng với O(0; 0) tạo thành tứ giác AOBC. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A, chia tứ giác AOBC thành hai phần có diện tích bằng nhau. Bài 5: ( 1,5 điểm) Cho a, b, c là các số nguyên khác 0 thoả mãn a b c + + = 3 b c a . Chứng minh rằng tích abc là lập phương của một số nguyên. -------------------------------------------------- Hết --------------------------------------------------- Đề chính thức SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN THANH HOÁ NĂM HỌC: 2008-2009 MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên Tin) Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thi có 01 trang Ngày thi: 16 tháng 6 năm 2008 Câu 1: (1,5 điểm) Cho phương trình : 4x 2 + 2 x - 2 = 0 (1) 1. Chứng minh rằng phương trình (1) luôn luôn có hai nghiệm trái dấu. 2. Gọi x 1 là nghiệm dương của phương trình (1). Chứng minh rằng: 1 4 2 1 1 1 x + 1 = 2 x + x + 1 - x Câu 2: (2,0 điểm) Cho hệ phương trình: ( ) 2 2 a x + y + x + y = b y - x = b      1. Giải hệ khi a = 1, b=2. 2. Tìm a sao cho hệ có nghiệm với mọi giá trị của b. Câu 3: (1,5 điểm) Cho phương trình: (x 2 - 1)(x + 3)(x + 5) = m. (2) Tìm m sao cho phương trình (2) có 4 nghiệm phân biệt x 1 , x 2 , x 3 , x 4 thoả mãn: 1 2 3 4 1 1 1 1 + + + = - 4 x x x x . Câu 4: (4,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Gọi H là trực tâm, K là chân đường cao hạ từ A của tam giác ABC. Hai trung tuyến AM và HN của tam giác AHC cắt nhau tại I. Hai đường trung trực của các đoạn thẳng AC và HC cắt nhau tại J. 1. Chứng minh rằng tam giác AHB và tam giác MNJ đồng dạng 2. Chứng minmh rằng: KH.KA ≤ 2 BC 4 3. Tính tỉ số 2 2 2 2 2 2 IM + IJ + IN IA + IB + IH . Câu 5: (1,0 điểm) Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện: x 4 + y 4 – 7 = xy(3 - 2xy). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của tích xy. -------------------------------------------------- Hết --------------------------------------------------- Đề chính thức SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN THANH HOÁ NĂM HỌC: 2008-2009 MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên Toán) Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thi có 01 trang Ngày thi: 16 tháng 6 năm 2008 Câu 1: (2,0 điểm) Tính giá trị của biểu thức M = 1 1 + 1 + 2a + 1 1 - 2a + 1 , biết rằng: a 7 = x + y x + z và ( ) ( ) ( ) 2 49 13 = z - y 2x + y + z x + z Câu 2: (2,0 điểm) Cho các số thực a, b, c thoả mãn a + b + c > 0 ab + bc + ca > 0 abc > 0      . Chứng minh rằng cả ba số đều dương. Câu 3: (2,0 điểm) Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 1. Gọi M, N là các điểm lần lượt nằm trên các cạnh AB và AD sao cho chu vi tam giác AMN bằng 2. Tính góc MCN. Câu 4: (2,0 điểm) Cho tam giác đều ABC cạnh a. Điểm D di động trên cạnh AC, điểm E di động trên tia đối của tia CB sao cho AD.BE = a 2 . Các đường thẳng AE và BD cắt nhau tại M. Chứng minh: MA + MC = MB. Câu 5: (2,0 điểm) Giả xử x, y là các số nguyên dương sao cho x 2 + y 2 + 6 chia hết cho xy. Tìm thương của phép chia x 2 + y 2 + 6 cho xy. -------------------------------------------------- Hết --------------------------------------------------- Họ và tên thí sinh: ………………………………… Số báo danh: …………………… Đề chính thức SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN THANH HOÁ NĂM HỌC: 2009-2010 MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên Tin) Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 19 tháng 6 năm 2009 Câu 1: (2,0 điểm) Cho T = 2 2 2x + 4 1 1 - - 1 - x 1 + x 1 - x . 1. Tìm điều kiện của x để T xác định. Rút gọn T. 2. Tìm giá trị lớn nhất của T. Câu 2: (2,0 điểm) 1. Giải hệ phương trình: 2 2 2 2x - xy = 1 4x + 4xy - y = 7      . 2. Giải phương trình: ( ) 1 x - 2 + y + 2009 + z - 2010 = x + y + z 2 Câu 3: (2,0 điểm) 1. Tìm các số nguyên a để phương trình: x 2 – (3 + 2a)x + 40 – a = 0 có nghiệm nguyên. Hãy tìm các nghiệm nguyên đó. 2. Cho a, b, c là các số thoả mãn điều kiện: a 0 b 0 19a + 6b + 9c = 12      ≤ ≥ . Chứng minh rằng có ít nhất một trong hai phưông trình sau có nghiệm x 2 – 2(a + 1)x + a 2 + 6abc + 1 = 0 x 2 – 2(b + 1)x + b 2 + 19abc + 1 = 0 Câu 4: (3,0 điểm) Cho tam gi ác ABC c ó ba góc nhọn, nội tiếp trong đường tòn tâm O đường kính AD. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, E là một điểm trên cung BC không chứa điểm A. 1. Chứng minh rằng tứ giác BHCD là hình chứ nhật. 2. Gọi P và Q lần lượt là các diểm đối xứng của E qua các đường thẳng AB và AC. Chứng minh rằng ba điểm P, H, Q thẳng hàng. 3. Tìm vị trí điểm E để PQ có độ dài lớn nhất. Câu 5: (1,0 điểm) Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có ba góc nhọn. Chứng minh rằng với mọi số thực x, y, z ta luôn có : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y z 2x + 2y + 2z + + > a b c a + b + c . -------------------------------------------------- Hết --------------------------------------------------- Họ và tên thí sinh: ………………………………… Số báo danh: …………………… Đề chính thức SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN THANH HOÁ NĂM HỌC: 2009-2010 MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên Toán) Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 19 tháng 6 năm 2009 Câu 1: (2,0 điểm) 1. Cho số x ( x R ; x > 0∈ ) thoả mãn điều kiện : 2 2 1 x + = 7 x . Tính giá trị các biểu thức : A = 3 3 1 x + x và B = 5 5 1 x + x . 2. Giải hệ phương trình: 1 1 + 2 - 2 y x 1 1 + 2 - 2 x y        = = Câu 2: (2,0 điểm) Cho phương trình: ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn điều kiện: 1 2 0 x x 2≤ ≤ ≤ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2 2 2 2a - 3ab + b Q = 2a - ab + ac . Câu 3: (2,0 điểm) 1. Giải phương trình: ( ) 1 x - 2 + y + 2009 + z - 2010 = x + y + z 2 . 2. Tìm tất cả các số nguyên tố p để 4p 2 + 1 và 6p 2 + 1 cũng là số nguyên tố. Câu 4: (3,0 điểm) 1. Cho hình vuông ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại E. Một đường thẳng đi qua A, cắt cạnh BC tại M và cắt đường thẳng CD tại N. Gọi K là giao điểm của các đường thẳng EM và BN. Chứng minh rằng: CK ⊥ BN. 2. Cho đường tròn (O) bán kính R = 1 và một điểm A sao cho OA = 2 . Vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm). Một góc xOy có số đo bằng 45 0 có cạnh Ox cắt đoạn thẳng AB tại D và cạnh Oy cắt đoạn thẳng AC tại E. Chứng minh rằng 2 2 - 2 DE < 1≤ . Câu 5: (1,0 điểm) Cho biểu thức P = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + ac + bd , trong đó ad – bc = 1. Chứng minh rằng: P ≥ 3 . -------------------------------------------------- Hết --------------------------------------------------- Họ và tên thí sinh: ………………………………… Số báo danh: …………………… Đề chính thức . DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN THANH HOÁ NĂM HỌC: 2007-2008 MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên Toán) Thời. --------------------------------------------------- Đề chính thức SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN THANH HOÁ NĂM HỌC: 2008-2009 MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh thi vào