GV: Lê đức Thanh Chương XOẮN THUẦN TÚY y Ι KHÁI NIỆM Mz 1- Đònh nghóa: Thanh chòu xoắn túy mặt cắt ngang có thành z O phần nội lực mômen xoắn Mz (H.9.1) x Dấu Mz : Mz > từ mặt cắt nhìn vào thấy Mz quay thuận kim đồng hồ H 9.1 Ngoại lực: Gồm ngẫu lực, mômen xoắn Mz, nằm mặt phẳng vuông góc trục Thực tế: trục truyền động, chòu lực không gian, dầm đỡ ôvăng 2- Biểu đồ nội lực mômen xoắn Mz Biểu đồ mômen xoắn vẽ cách xác đònh nội lực theo phương pháp mặt cắt điều kiện cân tónh học: ∑M/OZ = Thí dụ 1: Vẽ biểu đồ Mz cho trục truyền động chòu tác dụng ba ngẫu lực xoắn ( mômen xoắn) (H.9.2.a) M1=10kNm a) M2=7kNm B A Mz C b) 10 kNm + d) M1=10kNm M3=3kNm - H.9.2 kNm Mz A M1=10kNm M2=7kNm Mz c) A B Giải: Thực mặt cắt ngang đoạn AB, xét cân phần trái (H.9.2.b), dễ thấy để cân ngoại lực ngẫu lực xoắn M1 , tiết diện xét phải có nội lực mômen xoắn Mz : ΣM /z = ⇒ Mz – 10 = ⇒ Mz = 10kNm Tương tự, cắt qua đoạn BC, xét phần trái (H.9.2.c): ΣM /z = ⇒ Mz + – 10 = ⇒ Mz = Mômen tiết diện hai đoạn đầu không, biểu đồ nội lực vẽ H.9.2.d Chương 9: XOẮN THUẦN TÚY http://www.ebook.edu.vn GV: Lê đức Thanh Thí dụ 2: Vẽ biểu đồ mômen xoắn Mz (H.9.3.a) Giải: Phân tích thành tổng hai trường hợp tác dụng riêng lẻ ( H.9.3b H.9.3c ) Trong trường hợp, ngoại lực ngẫu lực gây xoắn, nội lực mômen xoắn Biểu đồ nội lực vẽ H.9.3.b,c M = kNm M = kNm a) c) Mz = + b) Mz = – Mz = + d) Biểu đồ Mz tổng đại số hai biểu đồ (H.9.3.d) – Mz = M z (kNm) H.9.3 Nhận xét: Dấu nội lực dương từ nhìn vào đầu thấy ngoại lực quay thuận chiều kim đồng hồ ngược lại 3- Công thức chuyển đổi công suất động ngẫu lực xoắn (mômen xoắn ngoại lực) trục Khi tính toán trục truyền động, thường ta biết công suất truyền môtơ tính mã lực hay kilôóat tốc độ trục quay vòng/phút, cần chuyển đổi công suất truyền ngẫu lực xoắn tác dụng lên trục Giả sử có ngẫu lực xoắn Mo (đơn vò N.m) tác dụng làm trục quay góc α (radian) thời gian t, công sinh là: A = Mo.α (i) M oα A α = = Mo = M oω W = t t t công suất là: (ii) đó: ω - vận tốc góc (rad/s), đơn vò công suất N.m/s Gọi n số vòng quay trục phút (vòng/phút), ta có: ω= 2πn πn = 60 30 (iii) từ (ii) (iii) ⇒ a) Nếu W tính mã lực (CV, HP) ;1mã lực = 750N.m/s = 0,736 kW: Mo = b) 30W 30.750.W W = = 7162 ( Nm) n πn πn (9.1) Nếu W tính kilôwat (KW), KW ≈ 1020 N.m/s: Mo = 30W 30.1020.W W = = 9740 (Nm) π n πn n Chương 9: XOẮN THUẦN TÚY (9.2) http://www.ebook.edu.vn GV: Lê đức Thanh ΙΙ XOẮN THUẦN TUÝ THANH THẲNG TIẾT DIỆN TRÒN Mz Mz b) a) H 9.4 dz 1- Thí nghiệm - Nhận xét Lấy thẳng tiết diện tròn, mặt có vạch đường song song đường tròn thẳng góc với trục, tạo thành lưới ô vuông (H.9.4.a) Tác dụng lên hai đầu hai ngẫu lực xoắn Mz ngược chiều, ta thấy trục thẳng, chiều dài không đổi, đường tròn thẳng góc với trục tròn thẳng góc với trục, đường song song với trục thành đường xoắn ốc, lưới ô vuông thành lưới bình hành (H.9.4.b) 2- Các giả thiết a) Mặt cắt ngang phẳng, thẳng góc với trục khoảng cách không đổi trình biến dạng, b) Các bán kính thẳng không đổi trình biến dạng, c) thớ dọc không ép đẩy lẩn trình biến dạng 3- Công thức ứng suất tiếp Ta tính ứng suất điểm mặt cắt ngang có bán kính ρ (H.9.1) Có thể nhận thấy, theo thí nghiệm trên, biến dạng chòu xoắn túy xoay tương đối mặt cắt ngang quanh trục ρz Mz z O H 9.1 Để xét biến dạng xoắn phân tố điểm bán kính thanh, ta tách phân tố ba cặp mặt cắt sau: Chương 9: XOẮN THUẦN TÚY http://www.ebook.edu.vn GV: Lê đức Thanh z O τρ dα Mz Mz τρ z ρ dα A’ F dϕ ρ B’ ’’ B A E G dρ D ’’’ C’ γ C D H 9.6 Phaân tố trượt túy dρ H dz dz b) a) H 9.5 Biến dạng phân tố chòu xoắn - Hai mặt cắt (1-1) (2-2) thẳng góc với trục cách đoạn dz (H.9.5.a) - Hai mặt cắt chứa trục hợp với góc dα bé(H.9.5.b) - Hai mặt cắt hình trụ đồng trục z (trục thanh) bán kính ρ ρ + dρ (H.9.5.a) Theo giả thiết, trình biến dạng, so với điểm E, F, G, H thuộc mặt cắt (1-1), điểm A, B, C, D phân tố mặt cắt (2-2) di chuyển đến A’, B’, C’, D’ phải nằm cung tròn bán kính ρ ρ + dρ, đồng thời OA’B’ OC’D’ phải thẳng hàng Gọi dϕ góc hai đường thẳng OAB OA’B’, góc xoay mặt cắt (2-2) so với mặt cắt (1-1) quanh trục z, dϕ góc xoắn tương đối hai tiết diện lân cận cách dz Đối với phân tố xét, góc A’EA biểu diễn thay đổi góc vuông mặt bên phân tố gọi biến dạng trượt (góc trượt) γ phân tố Từ (H.9.5.b), ta có: tanγ ≈ γ = Chương 9: XOẮN THUẦN TÚY AA ′ dϕ = ρ EA dz (a) http://www.ebook.edu.vn GV: Leâ đức Thanh Theo giả thiết a) biến dạng dài theo phương dọc trục, theo giả thiết c) thớ dọc không tác dụng với nên ứng suất pháp tác dụng lên mặt phân tố Theo giả thiết a) góc vuông mặt CDHG mặt BAEF không thay đổi nên ứng suất tiếp hướng tâm mặt A, B, C, D Do giả thiết b), bán kính thẳng nên ứng suất tiếp hướng tâm mặt A, B, E, F Như vậy, mặt cắt ngang chòu xoắn túy tồn ứng suất phương vuông góc bán kính, gọi τρ phân tố xét trạng thái trượt túy (H.9.6) Áp dụng đònh luật Hooke trượt cho phân tố này, ta có: τρ = G γ b) (a) vaøo (b) ⇒ τ p = Gρ dϕ dz (c) Gọi dF diện tích vô bé bao quanh điểm xét, τρ.dF lực tiếp tuyến tác dụng diện tích τρ.dF.ρ mômen lực τρ dF tâm O Tổng mômen phải Mz, nên ta viết: (d) M z = ∫ τ p dFρ F (c) vaøo (d) ⇒ M z = ∫ Gρ F dϕ dFρ dz (e) Vì G.dϕ/dz số điểm thuộc mặt cắt F, nên ta đưa dấu tích phân, tích phân ∫ ρ dF mômen quán F tính cực Jp mặt cắt ngang tâm O, ta được: Mz = G dϕ dϕ ρ dF = G Jp ∫ dz dz F (f) dϕ Mz = dz GJ ρ từ (f) ta có: (g) Có thể thấy rằng, dϕ/dz góc xoắn đơn vò chiều dài ( gọi góc xoắn tỉ đối ) (rad/m) Đặt θ= Mz GJ ρ θ= dϕ dz , ta coù: (9-3) thay (g) vào (c) ta công thức tính ứng suất tiếp: Chương 9: XOẮN THUẦN TÚY http://www.ebook.edu.vn GV: Lê đức Thanh Mz ρ Jρ τρ = (9.4) Ứng suất tiếp thay đổi theo quy luật bậc nhất, không tâm O cực đại điểm chu vi Biểu đồ phân bố ứng suất tiếp điểm mặt cắt ngang thể H.9.7.a Trên H.9.7.b, thể ứng suất tiếp đối ứng mặt cắt chứa trục Mz Mz ρ τρ O O τmax a) b) τmax H.9.7 Phân bố ứng suất tiếp mặt cắt Và ứng suất tiếp đối ứng Ứùng suất tiếp cực đại điểm chu vi (ρ = bán kính R) τ max = đặt: ⇒ Wρ = τ max = Jρ R Mz R Jρ ; Wp gọi mômen chống xoắn mặt cắt ngang (9.5) Mz Wρ * Với tiết diện tròn đặc D đường kính tiết diện: Wρ = Jρ R = πR = πD 16 (9.6) ≈ 0,2 D * Với tiết diện tròn rỗng: Wρ = Jρ R = πD (1 − η ) 32 R = πD 16 (1 − η ) ≈ 0,2 D (1 − η ) (9.7) đó: η tỷ số đường kính đường kính (η = d/D) Chương 9: XOẮN THUẦN TÚY http://www.ebook.edu.vn GV: Lê đức Thanh 4- Công thức tính biến dạng xoắn Góc xoắn tương đối hai mặt cắt cách dz laø dϕ = Mz dz GJ ρ (g) ⇒ Góc xoắn tương đối hai mặt cắt cách đoạn dài L là: L L Mz dz o GJ ρ (9.8) ϕ = ∫ dϕ = ∫ o * Khi đoạn có Mz/GJp số ⇒ ϕ = * Khi gồm nhiều đoạn, đoạn có Mz/GJp số: ϕ = ∑( i M zL GJ p MzL )i GJ ρ (9.9) (9.10) Goùc xoắn ϕ quy ước dương theo chiều dương Mz 5- Tính toán tròn chòu xoắn thuẩn tuý: Điều kiện bền: + τ max ≤ [τ ] = τo (9.11) n với: τo - ứng suất tiếp nguy hiểm vật liệu, xác đònh từ thí nghiệm n - hệ số an toàn + Theo thuyết bền ứng suất tiếp ( chương ): τ max ≤ [σ ] (9.12) + Theo thuyết bền biến đổi hình dạng ( chương ): τ max ≤ [σ ] (9.13) Điều kiện cứng: θ max ≤ [θ ] (9.14) [θ ] : Goùc xoắn tỷ đối cho phép, cho từ sổ tay kỹ thuật, đơn vò [θ ] (radian/ đơn vò chiều dài ) Ba toán bản: - Kiểm tra bền, cứng (bài toán kiểm tra) - Xác đònh tải trọng cho phép - Xác đònh đường kính (bài toán thiết kế) Chương 9: XOẮN THUẦN TÚY http://www.ebook.edu.vn ... Điều kiện bền: + τ max ≤ [τ ] = τo (9. 11) n với: τo - ứng suất tiếp nguy hiểm vật liệu, xác đònh từ thí nghiệm n - hệ số an toàn + Theo thuyết bền ứng suất tiếp ( chương ): τ max ≤ [σ ] (9. 12) +... 30W 30.750.W W = = 7162 ( Nm) n πn πn (9. 1) Neáu W tính kilôwat (KW), KW ≈ 1020 N.m/s: Mo = 30W 30.1020.W W = = 97 40 (Nm) π n πn n Chương 9: XOẮN THUẦN TÚY (9. 2) http://www.ebook.edu.vn GV: Lê đức... cắt sau: Chương 9: XOẮN THUẦN TÚY http://www.ebook.edu.vn GV: Lê đức Thanh z O τρ dα Mz Mz τρ z ρ dα A’ F dϕ ρ B’ ’’ B A E G dρ D ’’’ C’ γ C D H 9. 6 Phân tố trượt túy dρ H dz dz b) a) H 9. 5 Biến