SKKN: Vận dụng đẳng thức đáng nhớ vào giải to¸n líp PHẦN A ĐẶT VẤN ĐỀ Trên bước đường cải tiến đổi phương pháp dạy học với nhiệm vụ quan trọng mà Đảng Nhà nước ta vạch trách nhiệm đội ngũ giáo viên phải hình thành học sinh sở, nhân cách người Việt Nam, có lối sống văn hóa lành mạnh có học vấn cao, có hiểu biết chiếm lónh nội dung khoa học tự nhiên xã hội, góp phần cho phát triển đất nước tương lai Tốn học phận khoa học kỹ thuật cao đồng thời chìa khóa mở cửa tạo cho ngành khoa học khác Là môn chiếm ưu quan trọng giáo dục đặc biệt dạy học, địi hỏi người thầy giáo lao động nghệ thuật sáng tạo, tạo phương pháp để dạy em học sinh giải toán nhiệm vụ trung tâm người thầy dạy toán Trong chương trình đại số lớp chương I “ Phép nhân phép chia đa thức” có bài: “Những đẳng thức đáng nhớ” Với tất tiết lí thuyết tiết luyện tập học sinh phần hiểu nắm kiến thức đẳng thức Nhưng việc nắm hiểu sâu để sau vận dụng vào kiến thức có liên quan như: Phân tích đa thức thành nhân tử, tính giá trị biểu thức, rút gọn biểu thức xa dạng tốn như: tìm cực trị, chứng minh chia hết … vận dụng thức nhiều Do mức độ kiến thức mà em đạt chưa thể nói thỏa mãn yêu cầu người dạy người học toán Chính lí tơi lựa chọn viết sáng kiến kinh nghiệm với đề tài: “ Vận dụng đẳng thức vào giải tốn lớp 8” nhằm cung cấp cho học sinh phương pháp học làm toán, nắm kiến thức bản, cách tư phương pháp sử dụng linh hoạt đẳng thức vào giải tốn Từ tạo nên điều kiện để học sinh học tốt, lĩnh hội tốt kiến thức liên quan sau Đây kinh nghiệm ỏi qua trình giảng dạy môn toán lớp 8, mạnh dạn xin nêu để trao đổi với quý đồng nghiệp xin ghi nhận đóng góp ý kiến để tích lũy thêm nhiều kinh nghiệm nghiệp “trồng người” Trang SKKN: Vận dụng đẳng thức đáng nhớ vào giải toán líp PHẦN B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I THỰC TRẠNG Trong thực tế giảng dạy toán trường THCS nói chung trường THCS binh long nói riêng việc làm cho học sinh biết vận dụng kiến thức học để giải toán công việc quan trọng thiếu người dạy toán Vì thông qua rèn luyện tư logic, khả sáng tạo, khả vận dụng cho học sinh Để làm điều người thầy giáo phải cung cấp cho học sinh kiến thức bản, phương pháp vận dụng biến đổi phù hợp giúp cho học sinh hiểu thực châùt vấn đề để từ có kó giải toán thành thạo, thoát khỏi tâm lí chán nản sợ môn toán Năm học 2006-2007 nhà trường phân công giảng dạy môn toán lớp 8A2 từ đầu năm học Sau học xong nội dung “Những đẳng thức đáng nhớ” cho em làm kiểm tra viết, thời gian làm 15 phút với mục tiêu: Kiểm tra mức độ nắm kiến thức kó vận dụng đẳng thức vào làm tập Kết thu sau: Tổng số HS KẾT QUẢ ĐIỂM TRƯỚC KHI VẬN DỤNG ĐỀ TÀI -> 3,5-> 4,5 Từ trở lên 8->10 38 15 16 Kết chứng tỏ rằng: Hầu hết em ghi lại nội dung bảy đẳng thức cho em tập cần vận dụng đẳng thức cịn có số học sinh ngượng ngập, không tìm lời giải, chưa chịu khó suy nghĩ, chứng tỏ kiến thức cịn mang tính nhồi nhét thụ động, đứng trước tốn tự giải cịn chưa có niềm tin Bên cạnh số học sinh có tâm lí chán nản tỏ sợ môn toán vào học tiết toán Rất nhiều học sinh lớp chưa hiểu nắm đẳng thức để vận dụng linh hoạt vào giải dạng toán Kt qu Trang SKKN: Vận dụng đẳng thức đáng nhớ vào giải toán lớp l nhiu bi tốn học sinh khơng giải giải sai Bên cạnh nhiều kiến thức đại số liên quan đến đẳng thức biết sử dụng đẳng thức để xử lí thì tốn có nhiều cách giải ngắn gọn hơn, giúp em phát triển tư cách tích cực II NGUYÊN NHÂN Trong chương trình sách giáo khoa người học đáp ứng yêu cầu đưa ra, đối tượng học sinh vùng sâu, vùng xa, địa phương có điều kiện kinh tế khó khăn nói chung học sinh trường THCS Binh long nói riêng Địa bàn cư trú rộng, xa trường, kinh tế gia đình không ổn định, khó khăn nên nhiều ảnh hưởng đến việc học em Bên cạnh đó, số học sinh ham chơi, lười học, ngồi học lớp chưa tập trung có tâm lí chán nản sợ học môn toán Khi kiểm tra em lý thuyết hiểu yêu cầu em làm thêm phần tập vận dụng lúng túng khó khăn để trình bày Cách học em nhồi nhét, học thụ động, học để chống đối kiểm tra giáo viên, em cho rằng: cần học thuộc lý thuyết làm tập mà em quên rằng: “ Học phải đôi với hành” Vì việc chuẩn bị tốt cho học sinh kiến thức đẳng thức đáng nhớ, đặc biệt phương pháp giải tốn có liên quan đến đẳng thức thật vô quan trọng Qua giúp em khắc sâu kiến thức, kích thích khả tư duy, khả quan sát, sáng tạo, rèn cho em kó phân tích, tổng hợp, tư suy luâïn lôgic Hơn giúp em có “niềm tin” học tập Với thực tế tơi xác định phải tự tìm cho cách dạy đẳng thức cho phù hợp với thực tế, kích thích óc suy nghĩ em Giúp em nâng cao chất lượng mơn tốn, em có tư để linh hoạt sử dụng đẳng thức vào giải toán cần thiết, em thấy hứng thú u thích mơn học Hơn giúp em có niềm tin để lónh hội tốt, học tốt kiến thức sau III GIAI PHAP Trang SKKN: Vận dụng đẳng thức đáng nhớ vào giải toán lớp MOT SO KIẾN THỨC CƠ BẢN * Bảy đẳng thức đáng nhớ (A+B)2 = A2 + 2AB + B2 (A– B)2 = A2 – 2AB + B2 A2 – B2 = (A– B) (A+B) (A+B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 (A– B)3 = A3 – 3A2B + 3AB2 – B3 A3 + B3 = (A+ B) (A2 – AB + B2 ) A3 – B3 = (A– B) (A2 + AB + B2 ) * Một số đẳng thức tổng qt ( Dành cho học sinh giỏi) (a + b + c )2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc an – bn = (a- b)(an-1 + an-2b + … + abn-2 + bn-1) a2k – b2k = (a + b )(a2k-1 – a2k-1b + … + a2k-3b2 –b2k-1) a2k+1 – b2k+1 = (a + b )(a2k – a2k-1b + a2k-2b2 - … + b2k) n( n  1) n-2 n( n  1) n-2 a b +…+ a b +nabn-1 + 1.2 1.2 n( n  1) n-2 n( n  1) n-2 a b …a b +nabn-1 - bn 1.2 1.2 (a + b)n = an + nan-1b + (a -b)n = an - nan-1b + bn VẬN DỤNG NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC VÀO GIẢI TOÁN: 2.1 Làm để học sinh tránh lỗi vận dụng đẳng thức vào giải toán? Ngay sau học xong hai đẳng thức: Bình phương tổng, bình phương hiệu Tôi có mời hai em học sinh ( học lực trung bình khá) lên bảng với yêu cầu sau: Học sinh 1: a/ Viết công thức bình phương tổng hai biểu thức A, B ? b/ Tính: ( x + 1)2 ; (2x + 3y)2 Học sinh 2: a/ Viết công thức bình phương hiệu hai biểu thức A, B ? b/ Điền biểu thức thích hợp vào chỗ trống: x2 – 6xy + ……… = (……… – 3y )2 ……… – 4y + = ( ……… – )2 Kết em thực sau: Học sinh 1: a/ (A+B)2 = A2 + 2AB + B2 b/ ( x + 1)2 = x2 + 2x + ( 2x + 3y)2 = 2x2 + 12xy + 3y2 Hoïc sinh 2: a/ (A– B)2 = A2 – 2AB + B2 b/ Điền biểu thức thích hợp vào chỗ trống: x2 – 6xy + …3y2…… = (……x… – 3y )2 Trang SKKN: Vận dụng đẳng thức đáng nhớ vào giải toán lớp y2 4y + = ( ……y… – )2 Điều chứng tỏ với biểu thức A, B đẳng thức số gồm biến em dễ dàng vận dụng đẳng thức vào làm tập Tuy nhiên A, B biểu thức phức tạp em lại hay bị mắc phải sai lầm tập Vậy làm để em hạn chế tối đa sai lầm trên? Trước hết lưu ý em phải sử dụng dấu ngoặc lũy thừa biểu thức ta viết đẳng thức dạng: ( + )2 = +2 Ví dụ 1: ( 2x + y )2 = 2x + +2 2x y + y = 4x2 + 12xy + 9y2 Sau hướng dẫn yêu cầu học sinh đứng chỗ sửa chỗ làm sai bạn, kết quả: x2 – 6xy + (3y)2 = (x – 3y )2 hay x2 – 6xy + 9y2 = (x– 3y )2 Qua tieát học lớp, phần lớn em vận dụng vào làm tập vận dụng vào đẳng thức Ví dụ 2: Tính ( 2x2 + 3y)3 ? Kết quả: ( 2x2 + 3y)3 = 8x6 + 36x4y + 54x2y2 + 27y3 2.2 Vận dụng đẳng thức vào làm dạng tập: 2.1.1 Rút gọn biểu thức Ví duï 1: a/ (x + 3)(x2 – 3x + ) – (54 + x3) b/ (2x + y)( 4x2 – 2xy + y2) – (2x– y)( 4x2 + 2xy + y2) Sau đưa đề lên bảng cho em thảo luận trình bày làm nhóm thấy phần lớn nhóm làm sau: a/ (x + 3)(x2 – 3x + ) – (54 + x3) = x3 – 3x2 + 9x + 3x2 – 9x + 27 – 54 – x3 = - 27 b/ (2x + y)( 4x2 – 2xy + y2) – (2x – y)( 4x2 + 2xy + y2) = 8x3 – 4x2y + 2xy2 + 4x2y – 2xy2 + y3 – 8x3 – 4x2y – 2xy2 + 4x2y + 2xy2 + y3 = 2y3 Taïm chấp nhận với lời giải đó, đưa tiếp tập: Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức: ( x + y + z )2 – 2( x+ y + z)(x + y) + (x+ y)2 Trang SKKN: Vận dụng đẳng thức đáng nhớ vào giải toán líp Kết hầu hết em không làm Tôi nhận điều, là: Hầu em học hình thức, sau có đề em bắt tay vào làm tất mà em làm mà không quan sát, tư để tìm lời giải nhanh hơn, ngắn gọn hơn, thích hợp Do sau giới thiệu đề đặt câu hỏi: “Các em quan sát kó đề thử phát biểu thức cho có đặc biệt ?” để từ em hình thành cho thói quen phải biết quan sát, biết đặt câu hỏi phân tích, tự trả lời tìm cho lời giải thích hợp Kết em nhận đẳng thức biểu thức tự tin bắt tay làm bài: Ví dụ 1: a/ (x + 3)(x2 – 3x + ) – (54 + x3) = x3 + 27 – 54 – x3 = - 27 b/ (2x + y)( 4x2 – 2xy + y2) – (2x – y)( 4x2 + 2xy + y2) = (2x)3 + y3 – [(2x)3 – y3] = 8x3 + y3 – 8x3 + y3 = 2y3 Ví dụ 2: ( x + y + z )2 – 2( x+ y + z)(x + y) + (x+ y)2 = [( x + y + z ) – (x+ y)]2 = (x + y + z – x –y )2 = z2 Tôi nhận thấy cầøn phải lưu ý cho em thấy được: “A; B” đẳng thức đơn thức đa thức 2.1.2 Phân tích đa thức thành nhân tử: Trước hết chuẩn bị bảng phụ: Hãy điền biểu thức thích hợp vào vế lại đẳng thức : A2 + 2AB + B2 = …… A2 – 2AB + B2 = …… A2 – B2 = ………… A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 = ………… A3 – 3A2B + 3AB2 – B3 = ……… A3 + B3 = …………………… A3 – B3 = …………………… Qua tập giúp em linh hoạt biến đổi hai vế đẳng thức vận dụng thành thạo đẳng thức vào việc giải toán dạng: Phân tích đa thức thành nhân tử tập áp dụng Bài tập áp dụng: Trang SKKN: Vận dụng đẳng thức đáng nhớ vào giải toán lớp Vớ duù 1: Tớnh nhanh giaự trị biểu thức: a/ M = x2 + 4y2 – 4xy x = 18 y = b/ N = 8x3 – 12x2y + 6xy2 – y3 x = y = - Giaûi 2 a/ M = x + 4y – 4xy M = (x – 2y)2 Taïi x = 18 y = ta được: M = ( 18 – 2.4)2 = 102 = 100 b/ N = 8x3 – 12x2y + 6xy2 – y3 N = (2x – y )3 Tại x = y = - ta được: N = ( 2.6 – (-8))3 = 203 = 8000 Lưu ý học sinh phải quan sát đề bài, phân tích biểu thức thành nhân tử thay số vào tính giá trị Ví dụ 2: Làm tính chia: a/ (x3 + 8y3) : (x + 2y) b/ ( x2 – y2 + 6x + 9) : ( x + y + 3) Giaûi 3 a/ (x + 8y ) : (x + 2y) = (x + 2y)(x2 – 2xy +y2) : (x+ 2y) = x2 – 2xy +y2 b/ ( x2 – y2 + 6x + 9) : ( x + y + 3) = [(x2 + 6x + 9) – y2]: ( x + y + 3) = ( x + y + 3)( x - y + 3): ( x + y + 3) = x-y+3 Học sinh thấy lúng túng em thực phép chia phép chia thông thường giáo viên cần gợi ý để giúp em phân tích đề bài, tìm lời giải thích hợp III MỘT SỐ BÀI TẬP NÂNG CAO DÀNH CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI Bài tập Tính : a/ A = 12 – 22 + 32 – 42 + … – 20042 + 20052 32 b/ B = (2 + 1)(22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216Giaû + 1)(2 + 1) – 264 i a/ A = 12 – 22 + 32 – 42 + … – 20042 + 20052 A = + (32 – 22) + (52 – 42)+ …+ ( 20052 – 20042) A = + (3 + 2)(3 – 2) + (5 + )(5 – 4) + … + (2005 + 2004)(2005 – 2004) A = + + + + + … + 2004 + 2005 A = ( + 2002 ) 2005 : = 2011015 b/ B = (2 + 1)(22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264 Trang SKKN: Vận dụng đẳng thức đáng nhớ vào giải toán lớp B = (22 - 1) (22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264 B = ( 24 – 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264 B=… B =(232 - 1)(232 + 1) – 264 B = 264 – – 264 B=-1 * Chú ý: Quan sát biến đổi toán cách sử dụng đẳng thức A2 – B2 Bài tập 2: Tìm giá trị nhỏ hay giá trị lớn biểu thức sau: a/ A = x2 – 4x + b/ B = x2 + 8x c/ C = - 2x2 + 8x – 15 Giaûi a/ A = x – 4x + = x – 4x + + = ( x - 2)2 + > Dấu “ =” xảy  x – =  x = Vậy giá trị nhỏ biểu thức A x = b/ B = x2 + 8x = (x2 + 8x + 16 ) – 16 = (x – 4)2 – 16 > - 16 Dấu “ =” xảy  x – =  x = Vậy giá trị nhỏ biểu thức A laø -16 x = c/ C = - 2x2 + 8x – 15 = – 2(x2 – 4x + 4) – = – 2( x - 2)2 – < - Dấu “ =” xảy  x – =  x = Vậy giá trị lớn biểu thức A - x = 2 * Chuù ý:   - Để tìm giá trị nhỏ biểu thức A ta cần: Chứng minh A > m với m số Chỉ dấu “=” xảy Kết luận: Giá trị nhỏ A m ( kí hiệu minA ) Để tìm giá trị lớn biểu thức A ta cần: Chứng minh A < t với t số Chỉ dấu “=” xảy Kết luận: Giá trị lớn A t ( kí hiệu maxA ) Bài tập 3: Chứng minh ( a + b + c )2 = 3(ab + bc + ac ) a = b = c Trang SKKN: Vận dụng đẳng thức đáng nhớ vào giải toán lớp Giaỷi ( a + b + c ) = 3(ab + bc + ac ) a2 + 2ab + b2 + 2bc + 2ac + c2 = 3ab + 3bc + 3ac a2 + b2 + c2- ab - bc – ac = 2a2 + 2b2 + 2c2- 2ab - 2bc – 2ac = ( a2 – 2ab + b2) + ( b2 – 2bc + c2) + ( c2 – 2ac + a2) = ( a – b)2 + ( b – c)2 + ( c – a)2 = ( a – b)2 =0 hay ( b – c)2 = hay ( c – a)2 = a = b hay b = c hay c = a a=b=c         * Chú ý: Quan sát biến đổi toán cách sử dụng đẳng thức (a + b + c )2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 Bài tập Chứng minh rằng: a/ 7.52n + 12.6n 19 ( n  N) b/ 11n+2 + 122n+1 133 ( n  N) Giaûi a/ 7.5 + 12.6 = 7.(25 – ) + 19.6n 19 Vì ( 25n – 6n ) ( 25 – 6) neân ( 25n – 6n ) 19 19.6n 19 Vậy 7.52n + 12.6n 19 ( n  N) b/ 11n+2 + 122n+1 133 = 112 11n + 12.122n = 12.( 144n – 11n) + 133.11n 133 Vì (144n – 11n) (144 – 11) nên (144n – 11n) 133 * Chú ý: Quan sát biến đổi toán cách sử dụng đẳng thức an – bn = (a- b)(an-1 + an-2b + … + abn-2 + bn-1) (an – bn) (a- b) 2n n n n Bài tập Tìm x, y, z biết rằng: 2x2 + 2y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz + 10x + 6y + 34 = Giaûi 2x2 + 2y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz + 10x + 6y + 34 =  (x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz) + (x2 + 10x + 25) + (y2+ 6y + 9) =  ( x + y + z)2 + ( x + 5)2 + (y + 3)2 = Trang SKKN: Vận dụng đẳng thức đáng nhớ vào giải to¸n líp  ( x + y + z)2 = ; ( x + 5)2 = ; (y + 3)2 =  x = - ; y = -3; z = * Chú ý: Quan sát biến đổi toán cách sử dụng đẳng thức (a + b + c )2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 11 15 11   19 n chữ số   Bài tập 6: Cho x = n chữ ; y= số Chứng minh xy + số phương Giải Ta có : y = 11   19 n chữ số = 11   15 + n chữ số 4=x+4 Do đó: xy + = x(x + 4) + = x2 + 4x + = ( x + )2 11  17  hay xy + = nchữ số phương số IV HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI Năm học 2007-2008 nhà trường phân công giảng dạy bôï môn toán lớp 8A5 Rút kinh nghiệm năm trước chất lượng học sinh thấp nên bắt đầu vào dạy từ đẳng thức đầøu tiên mạnh dạn vận dụng đề tài vào giảng dạy kết thu sau: Tổng số HS 38 KẾT QUẢ ĐIỂM SAU KHI VẬN DỤNG ĐỀ TÀI -> 3,5-> 4,5 Từ trở lên 8->10 27 Kết chứng tỏ rằng: Việc vận dụng kinh nghiệm nêu trên, thời gian chưa dài kết tương đối khả quan kết chưa cao, chưa theo mong muốn thân dù có khởi sắc chất lượng học tập,số học sinh yếu giảm Và kiến thức khắc sâu hơn, em tự tin vận dụng kiến thức học vào giải toán Trang 10 SKKN: Vận dụng đẳng thức đáng nhớ vào giải to¸n líp PHẦN C KẾT LUẬN BÀI HỌC KINH NGHIỆM Tôi đưa nội dung đề tài để trao đổi quý đồng nghiệp tổ chuyên môn hưởng ứng đồng tình quý đồng nghiệp tổ Xin rút kinh nghiệm sau: Tạo mối quan hệ hợp lí dạy kiến thức dạy kó năng, phương pháp suy nghó hành động Cần có quan điểm là: Tư quan trọng kiến thức, nắm vững phương pháp thuộc lí thuyết Dạy cách suy nghó, dạy học sinh thành thạo thao tác tư (phân tích, tổng hợp, tương tự…) Đừng bỏ qua mà khai thác câu trả lời học sinh, khuyến khích câu trả lời tốt Vừa giảng, vừa luyện, vừa vận dụng kiến thức cách tốt để học sinh nắm kiến thức Không dừng lại biết mà phải tư duy, sáng tạo, tìm tòi học hỏi Chất lượng học tập môn học nói chung, chất lượng môn toán nói riêng thấp nỗi trăn trở riêng thân tôi, đồøng nghiệp tổ chuyên môn, nhà trường mà toàn xã hội, người quan tâm đến nghiệp giáo dục nước nhà Chất lượng học tập em thấp dẫn đến tâm lí bi quan, chán nản nguyên nhân em nghỉ, bỏ học Là người giáo viên trường phổ thông, công việc không đảm bảo truyền đạt hết kiến thức sách giáo khoa điều kiện cần chưa đủ, mà đòi hỏi người thầy giáo phải sâu vào vấn đề cụ thể, nghiên cứu nghiêm túc có hiểu biết sâu sắc để giúp đỡ em đạt kết cao hơn, đưa chất lượng học tập lên cao Trang 11 SKKN: VËn dơng h»ng đẳng thức đáng nhớ vào giải toán lớp Toaựn học phức tạp, gồm nhiều dạng toán, dạng toán lại có nhiều cách giải khác giải cách nhanh nhất, ngắn gọn nhất, khoa học điều học sinh làm mà phụ thuộc vào việc nắm kiến thức, vận dụng kiến thức cho phù hợp đối tượng học sinh Với đề tài nêu đưa vào thực tế giảng dạy năm học 20072008 đạt kết tương đối khả quan Mặc dù việc vận dụng vào dạy có hạn chế như: không đủ thời gian để vừa phụ đạo cho học sinh yếu tiết học, vừa giúp em giỏi bồi dưỡng thêm dạng tập nâng cao nhằm củng cố, khắc sâu, kích thích tăng cường rèn luyện khả tư duy, sáng tạo, tìm tòi … thích hợp với đối tượng học sinh Đề tài chắn nhiều thiếu sót, mong đóng góp quý đồng nghiệp để nội dung hoàn hảo hơn, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục, đáp ứng nhu cầu ngày cao xã hội Tôi xin chân thành cảm ơn giúp đỡ quý đồng ngiệp để giuựp toõi hoaứn thaứnh ủe taứi naứy Lộc Hà: tháng 04 năm 2009 Ngời thực Trang 12 ... đổi hai vế đẳng thức vận dụng thành thạo đẳng thức vào việc giải toán dạng: Phân tích đa thức thành nhân tử tập áp dụng Bài tập áp dụng: Trang SKKN: Vận dụng đẳng thức đáng nhớ vào giải toán lớp... (a -b)n = an - nan-1b + bn VẬN DỤNG NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC VÀO GIẢI TOÁN: 2.1 Làm để học sinh tránh lỗi vận dụng đẳng thức vào giải toán? Ngay sau học xong hai đẳng thức: Bình phương tổng, bình phương... hiểu nắm đẳng thức để vận dụng linh hoạt vào giải dạng toỏn Kt qu Trang SKKN: Vận dụng đẳng thức đáng nhớ vào giải toán lớp l nhiu tốn học sinh khơng giải giải sai Bên cạnh nhiều kiến thức đại