Sở Giáo dục và đào tạo Bắc giang --------------------- Đề thi chính thức (đợt 2) Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 THPT Năm học 2009-2010 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 120 phút không kể thời gian giao đề. Ngày 10 tháng 07 năm 2009 (Đề thi gồm có: 01 trang) -------------------------------------- Câu I: (2,0 điểm) 1. Tính 9 4+ 2. Cho hàm số y=x-1.Tại x=4 thì y có giá trị bằng bao nhiêu? Câu II: (1,0 điểm) Giải hệ phơng trình 5 3 x y x y + = = Câu III: (1,0đ) Rút gọn biểu thức A= 1 1 1 1 x x x x x x + + ữ ữ ữ ữ + với 0; 0x x Câu IV(2,5 điểm) Cho phơng trình x 2 +2x-m=0 (1) (ẩn x,tham số m) 1.Giải phơng trình (1) với m=3 2.Tìm tất cả các giá trị của m để phơng trình (1) có nghiệm Câu V:(3,0 điểm) Cho đờng tròn tâm O, đờng kính AB cố định.Điểm H thuộc đoạn thẳng OA (H khác O,A và H không là trung điểm của OA).Kẻ MN vuông góc với AB tại H.Gọi K là điểm bất kỳ của cung lớn MN(K khác M,N và B).Các đoạn thẳng AK và MN cắt nhau tại E. 1/Chứng minh rằng tứ giác HEKB nội tiếp đợc trong một đờng tròn 2/Chứng minh tam giác AME đồng dạng với tam giác AKM 3/Cho điểm H cố định xác định vị trí điểm K sao cho khoảng cách từ N đến tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác KME nhỏ nhất. Câu VI(0,5 điểm) Tìm các số nguyên x,y thoả mãn đẳng thức x 2 +xy+y 2 -x 2 y 2 =0 ----------------Hết------------------ Họ và tên thí sinh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .SBD: . . . . . . . . . . . . . . . . Gợi ý đáp án Câu I: (2,0đ) 1. Tính 9 4+ =3+2 = 5 2. Tại x=4 thì hàm số y=x-1=4-1=3 .Vậy tại x=4 giá trị của hàm số y=3 Câu II: (1,0 điểm) Giải hệ phơng trình 5 3 x y x y + = = 2 8 4 5 x y = + = 4 1 x y = = Vậy hệ phơng trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (4;1) . Câu III: (1,0đ) A= 1 1 1 1 x x x x x x + + ữ ữ ữ ữ + với 0; 0x x A= 1 1 1 1 x x x x x x + + ữ ữ ữ ữ + = ( 1) ( 1) 1 1 1 1 x x x x x x + + ữ ữ ữ ữ + = ( 1)( 1) 1x x x+ = Câu IV(2,5 điểm) Phơng trình x 2 +2x-m=0 (1) (ẩn x,tham số m) 1.Khi m=3 phơng trình (1) có dạng x 2 +2x-3=0 Ta có a+b+c=1+2-3=0 theo định lý Viet phơng trình có hai nghiệm x 1 =1;x 2 =-3 2.Ta có: =2 2 -4.1.(-m)=4+4m Để phơng trình có nghiệm thì 0 4+4m 0 4m -4 m -1 Vậy để phơng trình có nghiệm thì m -1 Câu V:(3,0đ) 1/Tứ giác HEKB có: ã 0 90AKB = (Góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn) ã 0 90 ( )NHB MN AB= ã ã 0 180AKB EHB+ = =>Tứ giác HEKB nội tiếp 2/ Xét AME và AKM Có: à A chung ã ã AMN MKA= (Hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) => đpcm 3/Gọi O' là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác KME. Ta có ã ã AME ABM= nên ta chứng minh đ- ợc AM là tiếp tuyến của dờng tròn (O') tại M. (tham khảo chứng minh tại bài 30 (SGK toán 9 tập 2 trang 79) Từ đó suy ra O' thuộc MB. Vậy khoảng cách từ N đến O' nhỏ nhất khi NO' vuông góc với MB. Từ đó tìm đợc vị trí điểm K: Từ N kẻ NO' vuông góc với MB. Vẽ (O', O'M) cắt đ- ờng tròn tâm O tại K. O' E N M O A B H K Câu VI (0,5 điểm) Tìm các số nguyên x,y thoả mãn đẳng thức x 2 +xy+y 2 -x 2 y 2 =0 C1: Đa về phơng trình bậc hai ẩn x: (y 2 - 1)x 2 - yx - y 2 = 0. C2: Đa về phơng trình ớc số: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 4 8 4 4 4 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 x xy y x y x xy y x y xy x y xy x y xy + + = + + = + + = + + + = KQ: (0; 0); (1; -1) và (-1; 1) Sở Giáo dục và đào tạo Bắc giang --------------------- Đề thi chính thức (đợt 1) Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 THPT Năm học 2009-2010 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 120 phút không kể thời gian giao đề. Ngày 08 tháng 07 năm 2009 (Đề thi gồm có: 01 trang) -------------------------------------- Câu I: (2,0đ) 1. Tính 4. 25 2. Giải hệ phơng trình: 2 4 3 5 x x y = + = Câu II: (2,0đ) 1.Giải phơng trình x 2 -2x+1=0 2. Hàm số y=2009x+2010 đồng biến hay nghịch biến trên R? Vì sao? Câu III: (1,0đ) Lập phơng trình bậc hai nhận hai số 3 và 4 là nghiệm? Câu IV(1,5đ) Một ôtô khách và một ôtô tải cùng xuất phát từ địa điểm A đi đến địa điểm B đờng dài 180 km do vận tốc của ôtô khách lớn hơn ôtô tải 10 km/h nên ôtô khách đến B trớc ôtô tải 36 phút.Tính vận tốc của mỗi ôtô. Biết rằng trong quá trình đi từ A đến B vận tốc của mỗi ôtô không đổi. Câu V:(3,0đ) 1/ Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đờng tròn tâm O. Các đờng cao BH và CK tam giác ABC cắt nhau tại điểm I. Kẻ đờng kính AD của đờng tròn tâm O, các đoạn thẳng DI và BC cắt nhau tại M.Chứng minh rằng. a/Tứ giác AHIK nội tiếp đợc trong một đờng tròn. b/OM BC. 2/Cho tam giác ABC vuông tại A,các đờng phân giác trong của goác B và góc C cắt các cạnh AC và AB lần lợt tại D và E. Gọi H là giao điểm của BD và CE, biết AD=2cm, DC= 4 cm tính độ dài đoạn thẳng HB. Câu VI:(0,5đ) Cho các số dơng x, y, z thỏa mãn xyz - 16 0 x y z = + + Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = (x+y)(x+z) ----------------Hết------------------ Họ và tên thí sinh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .SBD: . . . . . . . . . . . . . . . . đáp án: Câu I: (2,0đ) 1. Tính 4. 25 = 2.5 = 10 2. Giải hệ phơng trình: 2 4 3 5 x x y = + = < = > 2 2 3 5 x y = + = < = > 2 1 x y = = Vậy hệ phơng trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (2;1) . Câu II: (2,0đ) 1. x 2 - 2x +1 = 0 <=> (x -1) 2 = 0 <=> x -1 = 0 <=> x = 1 Vậy PT có nghiệm x = 1 2. Hàm số trên là hàm số đồng biến vì: Hàm số trên là hàm bậc nhất có hệ số a = 2009 > 0. Hoặc nếu x 1 >x 2 thì f(x 1 ) > f(x 2 ) Câu III: (1,0đ) Lập phơng trình bậc hai nhận hai số 3 và 4 là nghiệm? Giả sử có hai số thực: x 1 = 3; x 2 = 4 Xét S = x 1 + x 2 = 3 + 4 = 7; P = x 1 .x 2 = 3.4 = 12 =>S 2 - 4P = 7 2 - 4.12 = 1 > 0 Vậy x 1 ; x 2 là hai nghiệm của phơng trình: x 2 - 7x +12 = 0 Câu IV(1,5đ) Đổi 36 phút = 10 6 h Gọi vận tốc của ô tô khách là x ( x >10; km/h) Vận tốc của ôtô tải là x - 10 (km/h) Thời gian xe khách đi hết quãng đờng AB là: x 180 (h) Thời gian xe tải đi hết quãng đờng AB là: 10 180 x (h) Vì ôtô khách đến B trớc ôtô tải 36 phút nên ta có PT: 0300010 )10(10.180)10(610.180 180 10 6 10 180 2 = = = xx xxxx xx 553025 302530005 ' 2' == =+= x 1 = 5 +55 = 60 ( TMĐK) x 2 = 5 - 55 = - 50 ( không TMĐK) Vậy vận tốc của xe khách là 60km/h, vận tốc xe tải là 60 - 10 = 50km/h Câu V:(3,0đ) 1/ . A B C D M I O H K a) AHI vuông tại H (vì CA HB) AHI nội tiếp đờng tròn đờng kính AI AKI vuông tại H (vì CK AB) AKI nội tiếp đờng tròn đờng kính AI Vậy tứ giác AHIK nội tiếp đờng tròn đờng kính AI b) Ta có CA HB( Gt) CA DC( góc ACD chắn nửa đờng tròn) => BH//CD hay BI//CD (1) Ta có AB CK( Gt) AB DB( góc ABD chắn nửa đờng tròn) => CK//BD hay CI//BD (2) Từ (1) và (2) ta có Tứ giác BDCI là hình bình hành( Có hai cặp cạnh đối song song) Mà DI cắt CB tại M nên ta có MB = MC => OM BC( đờng kính đi qua trung điểm của dây thì vuông góc với dây đó) 2/ Cách 1: Vì BD là tia phân giác góc B của tam giác ABC; nên áp dụng tính chất đờng phân giác ta có: ABBC BC AB BC AB DC AD 2 4 2 === Vì ABC vuông tại A mà BC = 2AB nên ^ACB = 30 0 ; ^ABC = 60 0 Vì ^B 1 = ^B 2 (BD là phân giác) nên ^ABD = 30 0 Vì ABD vuông tại A mà ^ABD = 30 0 nên BD = 2AD = 2 . 2 = 4cm => 12416 222 === ADBDAB Vì ABC vuông tại A => 341236 22 =+=+= ABACBC Vì CH là tia phân giác góc C của tam giác CBD; nên áp dụng tính chất đờng phân giác ta có: DHBH HB DH HB DH BC DC 3 34 4 === Ta có: 34)31( 3 3433 3 4 =+ = =+ = =+ BH HDBH HDBH HDBH HDBH )13(32 2 )13(34 )31( 34 = = + = BH . Vậy cmBH )13(32 = Cách 2: BD là phân giác => 2 2 2 2 2 2 4 4 AD AB AB AB DC BC BC AB AC = = = ữ + 2 2 2 2 2 4 4( 36) 16 8 4.36 16 36 AB AB AB AB AB = + = = + D A B C E H 1 2 2 1 Câu VI:(0,5đ) Cách 1:Vì xyz - 16 0 x y z = + + => xyz(x+y+z) = 16 P = (x+y)(x+z) = x 2 +xy + xz + yz = x(x+y+z) + yz áp dụng BĐT Côsi cho hai số thực dơng là x(x+y+z) và yz ta có P = (x+y)(x+z) = x(x+y+z) + yz 816.2)(2 ==++ zyxxyz ; dấu đẳng thức xẩy ra khi x(x+y+z) = yz .Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 8 Cách 2: xyz= 16 x y z+ + =>x+y+z= 16 xyz P=(x+y)(x+z)=x 2 +xz+xy+yz=x(x+y+z)+yz=x. 16 xyz +yz= 16 16 2 . 8yz yz yz yz + = (bđt cosi) Vây GTNN của P=8 . Thời gian xe tải đi hết quãng đờng AB là: 10 180 x (h) Vì ôtô khách đến B trớc ôtô tải 36 phút nên ta có PT: 0300 010 )10( 10.180 )10( 610. 180 180 10 6 10 180. và đào tạo Bắc giang --------------------- Đề thi chính thức (đợt 1) Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 THPT Năm học 2009-2 010 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 120