Chuyên đề Câu 1 HÀM SỐ & CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN Cho hàm số f ( x ) có bảng xét dấu đạo hàm sau Hàm số y = f (2 x + 1) + x - x + nghịch biến khoảng đây? ỉ 1ư A 1;+¥ B ỗỗ-1; ữữữ C -Ơ ; - D -1;7 ỗố 2ứ Li gii Chn B Cõu Ta có: y ¢ = f ¢(2 x + 1) + x - Để hàm số y = f (2 x + 1) + x - x + nghịch biến f ¢(2 x + 1) + x - £ 0, "x Ỵ D hay 3 12 f ¢(t ) £ - t , "t Î D1 * t = x +1 3 ì ¢ ï ï f (t ) > + Xột t ẻ -Ơ; - ị ùớ12 nên chưa thể kết luận tính - sai cho (*) (loại) ï t > ï ï ỵ3 12 + Xột t ẻ -4; -1 ị f ¢(t ) < - t > nên (*) 3 Suy -4 < x + < -1 Û - < x < -1 (loại) ì ¢ ï ï f (t ) < + Xột t ẻ -1; ị ïí12 nên (*) Suy ï t > ï ï ỵ3 -1 < t < Þ -1 < x + < Û - < x < ì f ¢(t ) > ï ï + Xét t Ỵ 2; Þ ïí12 nên (*) sai (loại) ï - t g -1 C g -1 < g D g > g Lời giải Chọn B 2x x +1 Từ bảng biến thiên, ta có: g' x = f ' x - Trang 3/20 - Mã đề 101 2x £ Þ g ' x ³ , hàm số g x x +1 -Ơ;0 ị g -2 < g -1 suy đáp án sai làA +Với x Ỵ -¥; f ' x ³ 0; đồng biến khoảng g -1 < g đáp án B 2x > Þ g ' x < , hàm số x +1 1; Þ g < g đáp án C + Với x ẻ ộở1; 2ựỷ ị f ' x < 0; g x nghịch biến 2x < Þ g ' x > , hàm số g x đồng biến + Với x Ỵ 3; Þ f ' x ³ ; x +1 3; Þ g < g Câu Cho hàm số y = f x có đạo hàm R có đồ thị f ¢ x hình vẽ Xét hàm số g x = f x - Mệnh đề sai? A Hàm số g x nghịch biến khoảng -1; B Hàm số g x đồng biến khoảng 2; +¥ C Hàm số g x nghịch biến khoảng 0; D Hàm số g x nghịch biến khoảng -¥; -2 Lời giải Chọn A Ta có g ¢ x = x f ¢ x - hàm số liên tục R g¢ f¢ éx = éx = éx = ê Û ê x - = -1 Û êê x = ±1 x = Û x f ¢ x - = Û ê êë f ¢ x - = ê x2 - = êë x = ±2 ë éx > x2 - > Û x2 - > Û x2 > Û ê ë x < -2 Bảng biến thiên hàm số g x Trang 4/20 - Mã đề 101 Từ bảng biến thiên, ta thấy câu D sai Câu (HSG-Đà Nẵng-11-03-2019) Tất giá trị tham số m để phương trình tan x ỉ cos x =m cú nghim phõn bit thuc ỗ - ; ÷ è 2ø A m = B m = C < m < Lời giải D £ m £ Chọn C Ta có tan x - cos x = m Û tan x - tan x + = m Û tan x - tan x - = m * Đặt t = tan x Þ t ¢ = tan x(tan x + 1) ỉ t ¢ = Û tan x = x = vi x ẻ ỗ - ; ÷ è 2ø BBT ỉư Từ bảng bin thiờn suy vi mi t ẻ 0; +Ơ cho ta hai nghim x ẻ ỗ ; ữ v t = cho ta è 2ø ỉư nghim x ẻ ỗ ; ữ 2 ố ứ Với cách đặt ta có t - 2t - = m ** ỉư Phương trình * có sỏu nghim phõn bit x ẻ ỗ ; ữ thỡ phương trình ** có ba nghiệm phân è 2ø bit t ẻ 0; +Ơ t f t = t - 2t - 2, t ẻ 0; +Ơ , ta có f ¢ t = 2t - 2, t ẻ 0; +Ơ ị f  t = 2t - = Û t = BBT Trang 5/20 - Mã đề 101 Từ ta suy BBT hàm f t Câu Từ BBT ta suy < m < (HÀ HUY TẬP - HÀ TĨNH - LẦN - 2019) Biết m giá trị để bất phương ìï0 < x + y £ trình í có nghiệm Mệnh đề sau đúng? ïỵ x + y + xy + m ³ æ A m ẻ ỗ - ;0 ữ ố ứ ổ1 B m ẻ ỗ ;1 ữ è3 ø C mỴ -2; -1 ỉ 1ử D m ẻ ỗ - ; - ữ è 3ø Lời giải Chọn A x+ yö Điều kiện: xy + m ³ Û m -2 xy -2 ổỗ ữ ịm- è ø ìï0 < x + y £ Nhận xét: Nếu hệ bất phương trình í có nghiệm x; y , x ¹ y hệ bất phương ïỵ x + y + xy + m ³ trình có nghiệm y; x đó, hệ bất phương trình có nghiệm x = y +Với x = y ,ta có hệ bất phương trình: 1 ì ì ìï0 < x £ ï0 < x £ ï0 < x £ 2 Ûí Ûí í ï2 x2 + m ³ - x + x * ỵï x + x + m ³ ï x + m ³ - x ỵ ỵ 2 Ta có: x + m ³ - x + x Û m ³ x - x + ** æ 1ù Xét hàm số f x = x - x + trờn ỗ 0; ỳ ố 2ỷ ổ 1ự Ta có: f ¢ x = 4x - < 0, "x ẻ ỗ 0; ỳ ố 2ỷ Bng bin thiên: Trang 6/20 - Mã đề 101 Để hệ bất phương trình có nghiệm m = - +Với m = - , ta có: ì0 < x + y £ ï í ï x + y + xy - ³ 1 ỵ Ta có: x + y + xy - ³ Þ x + y + ổỗ x + y ửữ - ³ x + y + xy - ³ 2 è ø Þ ³ Câu Dấu '' = '' xãy x = y = ìï0 < x + y £ 1 Vậy hệ bất phương trình í có nghiệm m = - ïỵ x + y + xy + m ³ (Thi Thử Cẩm Bình Cẩm Xuyên Hà Tĩnh 2019) Gọi S tập hợp tất giá trị tham số 1 m để hàm số f x = m x - mx - 10 x - m - m - 20 x đồng biến ¡ Tích giá trị tất phần tử thuộc S A - B - C D 2 Lời giải Chọn B Ta có hàm số f x đồng biến ¡ f ¢ x ³ 0, "x Ỵ ¡ Û m x - mx - 20 x - m - m - 20 ³ 0, "x Ỵ ¡ Û x - éë m x + m x + m - m x + m - m - 20 ùû ³ 0, "x Ỵ ¡ * 2 2 Xét g x = m x + m x + m - m x + m - m - 20 Nếu g x = khơng có nghiệm x = f ¢ x đổi dấu x qua 1, nên muốn * thỏa điều kiện cần é m= ê g = Û 2m - m - 10 = Û ê m = ë Ta cần kiểm tra xem hai giá trị tìm có thỏa * khơng Nếu m = 25 25 15 65 g x = x + x + x= x - x + 10 x + 13 , thỏa * 4 4 2 Nếu m = - g x = 4x + 4x + 6x -14 = x -1 4x + 8x +14 , thỏa * ỡ5 ợ2 ỹ ỵ Vy S = ; - 2ý Trang 7/20 - Mã đề 101 Câu (HÀ HUY TẬP - HÀ TĨNH - LẦN - 2019) Biết số thực a , b thay đổi cho hàm số f x = - x3 + x + a + x + b ln đồng biến khoảng -¥; +¥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = a + b - 4a - 4b + A - B D C - Lời giải Chọn A TXĐ: D = R f ¢ x = -3x + x + a + x + b = x + a + b x + 3a + 3b Do hàm số ng bin trờn -Ơ; +Ơ f  x 0, "x Ỵ R dấu xảy hữu hạn điểm -¥; +¥ Û x + a + b x + a + b 0, "x ẻ R DÂ Ê Û ab £ (*) Cách 1: Ta có P = a + b - 2a - 2b + = a + b - a + b + - - 2ab Hay P = a + b - - 2ab - ³ -2 , ab £ theo (*) a + b - 2 ³0 ìa + b - = ì a = ìa = Ûí Dấu xảy í í ỵab = ỵb = ỵb = Vậy P = - 2 Cách 2: Do f ¢ x ³ 0, "x ẻ R ị f  -2 Û a + b - a + b + ³ ìa = ìa = ợb = ợb = ị P = a + b - a + b + ³ -2 Dấu xảy í Vậy P = - Câu 10 Một hình hộp đứng có đáy hình vng chứa đồng hồ cát hình vẽ Tỉ số thể tích đồng hồ cát phần lại đồng hồ cát hình hộp đứng A 12 - B 6- C Lời giải 24 - D 24 - Chọn A Gọi V H ,V DH ,V CL thể tích hộp đứng, đồng hồ cát phần lại Cho cạnh đáy hộp 6, chiều cao hộp Đồng hồ cát tạo nón chiều cao nón (cao hộp chia 2); bán kính đáy nón (đáy hộp chia 2) Ta có: V H = 8.62 = 288 ; V DH = .4 .32 = 24 ; V CL = V H - V DH = 288 - 24 V DH 24 Theo đề đáp án = = V CL 288 - 24 12 - Trang 8/20 - Mã đề 101 Câu 11 (HSG-Đà f x = x2 - 4x + m x + Tập tất giá trị tham số m để hàm số g f x đồng Nẵng-11-03-2019) g x = x2 + x2 + 2 Cho hàm số biến 3; +¥ A 4; +¥ B 3; +¥ C 3; D 0;3 Lời giải Chọn B Ta có f x = x - x + m , g x = x + x + 2 x + = a12 x12 + a10 x10 + + a2 x + a0 Suy f ¢ x = x - , g ¢ x = 12a12 x11 + 10a10 x + + 2a2 x Và éë g f x ùû¢ = f ¢ x é12a12 f x ë = f x f ¢ x 12a12 f x 10 11 + 10a10 f x + 10a10 f x + + 2a2 f x ù û + + a2 Dễ thấy a12 ; a10 ; ; a2 ; a0 > f ¢ x = x - > , "x > Do f ¢ x 12a12 f x Hàm số g f x 10 + 10a10 f x + + 2a2 > , "x >  ng bin trờn 3; +Ơ ộở g f x ùû ³ , "x > Þ f x ³ , "x > Û x - x + m ³ , "x > Û m ³ x - x , "x > Þ m ³ max x - x = 3; +¥ Vậy m ẻ 3; +Ơ tha yờu cu bi toỏn Cõu 12 Cho hàm số f x = - m3 x + x + - m x + 2, với m tham số Có số ngun m Ỵ -2018; 2018 cho f x ³ 0, "x Ỵ 2; ? A 2021 B 4037 C 2020 Lời giải Chọn C Tập xác định: D = ¡ Điều kiện cần: ì8 - m3 + 12 + - m + ³ ìï f ³ ï ïì8m + 2m - 30 £ Û Û í í í 3 ïỵ64m + 4m - 130 £ ïỵ f ³ ỵï64 - m + 48 + 4 - m + ³ D 2019 ì m£ ì 2m - 4m + 6m + 10 £ ï ï ï Ûí Ûí Ûm£ ïỵ 4m - 16m + 20m + 26 £ ùm Ê ùợ Do m ẻ -2018; 2018 v m ẻ  nờn m ẻ -2018; -2017; ; -1;0;1 Điều kiện đủ: -Với m = 1, ta có: f x = 3x + 3x + > 0, "x ẻ Ă ị Tha bi -Với m £ , ta có: f x = - m3 x + x + - m x + Û f x = - m3 x3 - mx + x + x + x + Khi đó: f ' x = -3m x - m + x + x + = -m 3m x + + x + x + Do m £ nên - m 3m x + ³ 0, "x Ỵ ¡ Mà 3x + x + > 0, "x Ỵ ¡ Suy f ' x > 0, "x ẻ Ă ị Hm s ng bin trờn khong -Ơ; +Ơ ị Tha Trang 9/20 - Mã đề 101 Do m £ thỏa mãn Vậy, m Ỵ -2018; -2017; ; -1;0;1 nên có tất 2020 số nguyên thỏa mãn tốn Câu 13 Cho phương trình m - x + + 2m - 1 - x + m = Biết tập hợp tất giá trị tham số thực m để phương trình có nghiệm đoạn a; b Giá trị biểu thức 5a + 3b A 19 B C 13 Lời giải Chọn D Điều kiện: x Ỵ -3;1 Từ giả thiết suy m = Đặt g x = x + + 1- x +1 x + + 1- x +1 x + + 1- x +1 Ta có x + + - x +1 ổ ỗ ữ x + 1- x ø g¢ x = è g¢ x = D ỉ x + + 1- x +1 - x + + 1- x +1 ỗ ữ ố x + 1- x ø x + + 1- x +1 x+3 1- x 1 + + + 1- x x + x + - x > , "x Ỵ ¡ x + + 1- x +1 Suy hàm số cho đồng biến -3;1 a = g -3 = ; b = g = Vậy 5a + 3b = + = Câu 14 Cho hàm số y = f x có đạo hàm liên tục ¡ Đồ thị hàm số y = f ¢ x hình vẽ: Hàm số g x = f -2x + + x + -2x + đồng biến khoảng di õy? -1 A ổỗ - 2; ửữ ố ø Chọn A Trang 10/20 - Mã đề 101 B -Ơ; -2 -1 C ổỗ ; +Ơ ửữ Li gii ố ứ -1 D ổỗ ; ửữ ố ø a Gọi F hình chiếu vng góc H lên SD ta có HF ^ mp( SCD ) Tính Vì SA = SB = SD = a nên SH ^ ( ABCD ) SH = SD - DH = FH = SH DH a = SD Gọi I hình chiếu A lên ( SCD ) FH song song với AI Ta có Nên AI = FH CH = = AI CA 3 a HF = 2 AI Góc đường thẳng SA mp( SCD ) góc · ASI sin · Þ ASI = 45° ASI = = SA Câu 12 Cho lăng trụ ABC A¢ B ¢C ¢ có đáy ABC tam giác có cạnh Hình chiếu vng góc A¢ mp ( ABC ) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp D ABC Gọi M trung điểm cạnh AC Khoảng cách hai đường thẳng BM B ¢C A 2 B C Lời giải D Chọn B A' C' A K B' M G M A G B C B I C I H H Gọi G trọng tâm tam giác ABC Þ G tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Ta có A¢G ^ ( ABC ) Dựng hình chiếu H B ¢ mặt phẳng ( ABC ) Þ Tứ giác ABHG hình bình hành AG = BH = BH ^ BC Xét tam giác BHC vuông B ,ta có: tan BCH = BH = Þ BCH = 30° BC Do ACH = ACB + BCH = 90° hay AC ^ HC Mà AC ^ B ¢H Do đó: AC ^ B ¢C C hay MC ^ B ¢C C (1) Ta lại có MC ^ BM M (2) Từ (1), (2) Þ MC đoạn vng góc chung BM B ¢C Do d ( BM , B ¢C ) = MC = Câu 13 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng, hình chiếu vng góc đỉnh S xuống mặt đáy nằm hình vng ABCD Hai mặt phẳng SAD , SBC vng góc với nhau; góc 0 hai mặt phẳng SAB SBC 60 ; góc hai mặt phẳng SAB SAD 45 Gọi góc hai mặt phẳng SAB ABCD Tính cos Trang 7/21 - Mã đề 101 A cos = B cos = Chọn C C cos = Lời giải D cos = Gắn hệ trục tọa độ hình vẽ Khơng tính tổng qt giả sử ABCD hình vng có cạnh 1, chiều cao hình chóp S ABCD c c > A 0; 0;0 , B 1;0; , C 1;1;0 , D 0;1;0 Do hình chiếu vng góc H đỉnh S xuống mặt đáy nằm hình vng ABCD nên gọi H a ; b ;0 với < a , b