Phương trình vi phân

29 15 0
  • Loading ...
1/29 trang

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 29/05/2019, 23:13

CÁC BÀI TỐN VỀ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CÁC BÀI TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Nguyễn Minh Tuấn Thực viết khơng mới, viết phần chuyên đề Các toán vận dụng cao nguyên hàm tích phân, viết mang tính tổng hợp lại tốn dạng chuyên đề để bạn tiện tham khảo Trong phần ta tìm hiểu lớp tốn liên quan tới quan hệ hai hàm f '  x  , f  x  , dạng xuất đề thi THPT Quốc Gia 2018 Bộ GD&ĐT nhiều đề thi thử trƣờng chuyên, ta bắt đầu tìm hiểu vấn đề sau BÀI TỐN LIÊN QUAN TỚI TÍCH Ta bắt gặp tốn có dạng f '  x   g  x  h  f  x   , với g  x  hàm theo biến x gặp tốn cách làm chung ta lấy nguyên hàm vế, cụ thể: f '  x   g  x  h  f  x    f ' x  h  f  x   g x   f ' x  h  f  x  dx   g  x  dx Hoặc lấy tích phân vế, đến tùy thuộc vào yêu cầu giả thiết tốn ta suy kết cần tính Để hiểu rõ ta bắt đầu với dụ sau: dụ Cho hàm số f  x  thỏa mãn f     f '  x   4x  f  x   x  25 f   bằng? A  41 100 B  10 C  391 400 Giá trị 40 Đề thi THPT Quốc Gia 2018 D  Phân tích: Nếu ban đầu gặp dạng có lẽ ta cách sử lý nào, nhiên bám sát vào toán tổng quát ta có hƣớng làm nhƣ sau: Giả thiết tƣơng đƣơng với: f '  x   4x  f  x    f ' x   f  x   4x Đến ta lấy nguyên hàm hay tích phân? Chú ý với tốn bắt tính giá trị hàm số điểm mà giả thiết cho giá trị hàm điểm có giá trị xác định ta lấy tích phân hai vế Lấy tích phân cận từ đến vế ta đƣợc: f ' x   f  x   4x   2 f ' x   f  x  2 dx   4x dx  15 1 1   15     15  f     f x f   f  1 10 Chọn ý B | Chinh phục olympic tốn TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC Lời giải TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHĨM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN dụ Cho hàm số f  x  liên tục có đạo hàm f '  x  liên tục tập số thực Biết f    ; f  x  f '  x   x1 f x  Đặt g  x    f x 16  16  8ln f  x  Tính giá f x trị g   ? A 215 16 C 14 B 13 D 223 16 Lời giải Biến đổi giả thiết ta có x1 f  x  f ' x    f ' x  f x  f '  x  f  x  f  x     x  1 f x  f  x    x    f 'x  f x  x2 f  x   4dx  x 2 x2 x Vấn đề nảy sinh tính nguyên hàm này! Ta sử dụng phƣơng pháp đặt ẩn Euler   f  x  f  x   4d  f  x    cho toán  t2  du  dt  t2  t 2 2  Đặt u  f  x  , u   u  t  u   u  2ut  t  u  2 2t  u2   t   t   t   2t 2t t  16    t2   t2  t2  t 16    dt   dt     ln  t   C   4t 2t 16 t  2t  2t 2 Theo giả thiết ta có f      CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN f x 16 191  C   C   16 16 16 191 x 215 Suy    ln  f  x      x  g  1  16 16 f x 16 dụ Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục đoạn  0; 1 thỏa mãn f     f  x    f '  x    x      f  x   x   0; 1 Biết f '  x   0, f  x   0x   0; 1 Mệnh đề dƣới đúng? A  f    B  f    C  f    D  f    Đề thi thử chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi Lời giải Vẫn ý tƣởng nhƣng đƣợc tác giả chôn giấu kỹ hơn! Ta bám sát toán tổng quát, ý với tốn tổng qt f '  x  bậc để đƣa bậc bây giờ? Rất đơn giản ta lấy hai vế! Ta có: Tạp chí tư liệu tốn học | CÁC BÀI TỐN VỀ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN f ' x  f  x  x2    f  x   f ' x  f  x  f ' x  f  x   f x   x2    ln   1 d 1  f  x    dx  ln    f  x   ln   f x   1  f x dx   1 x2  dx  ln x  x            f  x     ln   f    2.6051 Chọn ý A dụ Cho hàm số f  x  f  x  có đạo hàm f '  x  liên tục nhận giá trị không âm  1;   , thỏa f    0, e f  x   f   x    4x  4x  với x   1;   Mệnh đề sau đúng? A 1  f     B  f     C  f     D  f     Lời giải Câu nhìn thấy khó khăn nhƣng ý tƣởng giống chuyên Lê Khiết ta lấy hai vế! f x Lấy hai vế ta đƣợc e   f   x   x  f '  x  không âm  1;    e f x f   x  dx    x   dx  e f x  x  x  C f Thay x  vào hai vế, ta đƣợc e    12   C  C  Suy e f  x   x  x   f  x   ln  x  x    f   x   2x   f  4  x x1 13 Chọn ý B   f '  x    f ''  x     với x   0; 1 Đặt P  f    f   , khẳng định sau  f x     đúng? A 2  P  1 B 1  P  C  P  D  P  Lời giải Ta nhìn thấy chút bóng dáng P   f '  x  dx  f  1  f   nên ta cần tìm f   x  Từ giả thiết ta có: f''  x   f '  x    1  f ''  x   f '  x   Mà f '    1  C   f '  x    Chọn ý B | Chinh phục olympic toán dx  x   1  x  C  f ' x    f ' x  x C 1 1 Vậy P   f   x  dx    dx   ln  0, 69 x1 x  0 TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC dụ Cho hàm số f  x  có đạo hàm xác định, liên tục  0; 1 , thỏa mãn f     1 TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN  f   x  f  x   dụ Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm  0; 3 , thỏa mãn  với  f  x   1 xf '  x  dx x   0; 3 f    Tính tích phân I   2  f  x f x         A I  C I  D I  B I  2 Lời giải  f 3  x f  x   Từ giả thiết   f     f 0   Do f   x  f  x    1  f   x   f  x   1  f  x   2 Khi ta đƣợc: xf '  x  3   x I dx    xd   dx  1  J     f x   f x 0  f x  f x        3 3 t  3 x 1 1 Tính J   dx    dt   dt   dx  f x  f 3  t  f 3  t  f 3  x 0 3 f   x  f  x   1 1 Suy J   dx   dx  1dx   J  Vậy I    f x  f 3  x 0 Chọn ý A Tóm lại Qua dụ vừa ta làm quen đƣợc với dạng tốn có f '  x  , f  x  tìm hiểu qua cách giải toán này, thứ ta cần phải ý là:  Chuyển f '  x  hàm theo biến f  x  sang bên, ý f '  x  phải ln bậc CHINH PHỤC OLYMPIC TỐN  Lấy nguyên hàm tích phân tùy thuộc vào đề  Ngồi nhớ nhanh kết sau: f '  x   kf  x   f  x   Ce kx BÀI TỐN LIÊN QUAN TỚI TỔNG Xét tốn tổng quát sau: f '  x   k  x  f  x   g  x  Gọi G  x    g  x  dx với G  x  G x họ nguyên hàm g  x  Nhân hai vế với e   ta đƣợc: e G x   f '  x   g  x  e  e G x   G x  f x  k x e f x '  k x e G x  G x   f x  e G x   k x e Gx  dx Ngồi số dạng ta tìm hiểu dụ Ta giải dạng tốn thơng qua dụ sau Tạp chí tư liệu tốn học | CÁC BÀI TỐN VỀ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN dụ Cho hàm số f  x  liên tục \0; 1 , thỏa mãn x  x   f '  x   f  x   x  x với x  \0; 1 f    2 ln Biết f    a  b ln với a , b  A P  B P  C P  13 , tính P  a  b D P  Lời giải Theo nhƣ toán tổng quát f '  x  độc lập nên toán ta cần phải độc lập f '  x  Biến đổi giả thiết ta đƣợc x  x  1 f '  x   f  x   x  x  f '  x   f x   x  x  1  x  ln   1  x 1  x   x 1  Ta có:  dx     dx  ln  e     x  x  1 x1  x x1  x1 Nhân hai vế với x x  x  f ' x   f x  f x Do giả ta thấy rằng:      x1 x   x1  x  1 thiết tƣơng đƣơng với : x  x x x    f x   f x  dx        dx  x  ln x   C   x  1 x  x1 x1 x1  x Mà f  1  2 ln  C  1  f  x   x  ln x   x1  a   3  P  Cho x  ta đƣợc f     ln   f     ln   2 b    Chọn ý D f    f     Giá trị f   A B C D 10 Chuyên Đại học Vinh Lời giải Đây câu nhìn qua tƣơng đối lạ, nhiên ý tƣởng toán nhƣ biến đổi vế đạo hàm vế có điều cách thực khơng tƣơng tự Hƣớng giải tốn nhƣ sau: Nhận thấy đƣợc  f '  x    f  x  f ''  x    f  x  f '  x   ' Do giả thiết tƣơng đƣơng với  f  x  f '  x   '  15x  12 x     f  x  f '  x     15x  12 x  dx  3x  6x  C   C   f  x  f '  x   3x  x  f  f '  | Chinh phục olympic tốn TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC dụ Cho hàm số f  x  thỏa mãn  f '  x    f  x  f ''  x   15x  12 x với x  TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN   f  x  f '  x  dx    3x  6x   dx  f  4x  x   f Thay x  vào hai vế ta đƣợc Vậy f x  x f x x6   x  x  C ' 0  C '  C ' 2  1  Chọn ý C dụ Cho hàm số f  x  có đạo hàm đến cấp đồng thời liên tục f    f '    f  x   f '  x   f ''  x   x  x x  A 107 21  12 e B 107 12  21 e C Tính thỏa mãn  f  x  dx 107 21  12 e D 107 12  21 e Lời giải Đây lại dạng nhìn lạ phải khơng, nhƣng thực chất tốn tổng qt ban đầu, nhiên phải có chút tinh ý nhận điều sau: f  x   f '  x    f '  x   f ''  x    x  x  f  x   f '  x    f  x   f '  x   '  x  2x  ex  f  x   f '  x    e x  f  x   f '  x   '  e x  x  2x     ex  f  x   f '  x   '  ex  x  2x   ex  f  x   f '  x    ex  x  x  2x    C Mặt khác f    f '    nên C   ex  f  x   f '  x    ex  x  x  2x      ex f  x   '  ex  x  x  2x       e x f  x    e x  x  x  x    dx  e x  x  4x  10x  12   x  C Ta lại có: CHINH PHỤC OLYMPIC TỐN f     C  13  f  x   x  4x  10x  12   4x  13  e  x   f  x  dx  107 21  12 e Chọn ý A dụ Cho hàm số f  x  có đạo hàm đến cấp đồng thời liên tục đoạn  0;  f    , f    e f  1 A e B e f  x   0,  f  x    f  x  f ''  x    f '  x    0x   0;  Tính C e 2 D e Lời giải Bài nhìn qua thấy giống trƣớc, có lẽ bạn đọc đến tập chung đƣa nhƣ trƣớc nhƣng điều gần nhƣ khơng thể xuất “vô duyên” dấu “-“ Vậy để xử lý đƣợc dấu “-“? Ý tƣởng nhiên để ý đạo hàm hàm dấu “-“? Rất đơn giản hàm phân thức! Đến ta biến đổi tốn: Tạp chí tư liệu tốn học | CÁC BÀI TỐN VỀ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN f  x  f ''  x    f '  x    f ' x   f ' x  x2    x  C  ln f x  x  C dx   Cx  D       '   f x  f  x   f x  Mặt khác: x x D  C  x2 f    1, f    e     ln f  x    x  f x  e 2    2C  D D  Do f  1  e Chọn ý D BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Cho hàm số f  x  có đạo hàm cấp liên tục đoạn  0; 1 thỏa mãn f    1 , f       3x 2 f ''  x  f  x    f '  x    x  f  x   , x  0; 1 Tích phân   f  x  dx bằng? Chọn ý D A  ln B 3 ln C 2 ln D 6 ln 2 Cho hàm số f  x   0, x  có đạo hàm cấp liên tục nửa khoảng  0;   thỏa mãn f ''  x  f  x    f '  x    xf  x   0, f '    0, f    Tính f   ? 2 Chọn ý D A B C D  x g  x   2017 x   x   f '  x  2  x1   x  1  x  ,  x  1; Tính I  g x  f  x   dx        x  x   x g ' x  f x  2018 x      x  1 A I  C I  B I  D I  2 Lời giải Bài tƣơng đối khó khăn hàm độc lập, nhiên ta ý bám sát ý tƣởng toán mục này!   x  1 f ' x  2017 g x     x   x  1 Từ giả thiết ta có  Cộng lại vế theo vế ta đƣợc:  x  x  g '  x   x f  x   2018     x  1  x g x  g '  x    f '  x   f  x    x1 x   x     x  | Chinh phục olympic tốn TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC dụ Cho hai hàm f  x  g  x  có đạo hàm  1;  , thỏa mãn f    g    TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN   x  1 f x  x  C x  x    x    g  x    f  x    g x    x1 x x    x  2 x1  x  Mà ta lại có f  1  g  1   C  1  I    g x  f  x   dx    x  1 dx  x1 x  1 Chọn ý A MỘT VÀI BÀI TOÁN TỔNG HỢP Câu Cho hàm số f  x  liên tục có đạo hàm x   0;   đồng thời thỏa mãn 3 điều kiện f  x   x  sin x  f '  x    cos x  f  x  sin xdx  4 Khi giá trị  f    nằm khoảng nào? A  6;7  B  5;  C  12; 13  D  11; 12  Lời giải Ta có: f  x   x  sin x  f '  x    cos x  f  x   xf '  x  sin x cos x   x2 x x f x  f  x       cos x  cos x  c  f  x   cos x  cx     x x   x  x Khi đó: CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN  3 3    f  x  sin xdx  4    cos x  cx  sin xdx  4 3 3    cos x sin xdx  c  x sin xdx  4   c  2   4  c   f  x   cos x  x  f         5;  Chọn ý B Câu Cho hàm số f  x  thỏa mãn f '  x   f  x   phƣơng trình f  x    A 2018  x.e x với x  có nghiệm? e B C f    Hỏi D Lời giải Ta có:  f '  x   f  x   2018 dx   x.e x dx    f  x   2018 df  x    x   e x  C 2019 2019  f  x     x  1 e x  C   f  x    2019  x   e x  2019C 2019 Do f    nên 2019C  hay  f  x   2019  2019  x  1 e x  Tạp chí tư liệu tốn học | CÁC BÀI TỐN VỀ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN 2019 1 Ta có: f  x      f  x     2019  2019  x  1 e x   2019  e e e Xét hàm số g  x   2019  x   e x   2019 e  x g ' x  2019 x e ; g ' x   x  0; g   2019   0       2019  e Ta có   lim g  x    ; lim g  x     x   x  e 2019 Bảng biến thiên hàm số:  x  g ' x     1 e g x 2019 g 0 có nghiệm e Do phƣơng trình f  x    Chọn ý D Câu Cho hàm số y  f  x  liên tục đoạn f  x   8x f  x  0; 1 thoả mãn điều kiện x3 x 1  Tích phân I   f  x  dx có kết dạng a b , tối giản Tính a  b  c c c A B 4 ab , a, b , c  , c D 10 C Biến đổi giả thiết ta có: f  x   8x f  x   x3 x2  1   f  x   8x f  x   1 x3 I   f  x  dx   8x f  x  dx   1 Xét tích phân  8x f  x  dx   f  x  d  x  4 0  Xét tích phân x3  x2  x2  x3 x2  dx      f  x  dx  I dx Đặt t  x   t  x   tdt  xdx Đổi cận x   t  , x   t  Nên  x3 x2  dx   t | Chinh phục olympic toán  1 tdt t  t3  2   t   3 3 1 TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC Lời giải TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHĨM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN 2  2 Do  1  I  I   Nên a  , b  , c     I    Vậy a  b  c  Chọn ý A Câu 4.Cho hàm số f  x  liên tục  0; 1 thỏa mãn điều kiện f  x   6x f  x   3x  1  f  x  dx Tính tích phân A C 1 B D Lời giải Biến đổi giả thiết ta có: 1 6   f  x  dx   6x f  x  dx   dx f  x   6x f  x   3x  3x  0 Đặt t  x  dt  3x dx , đổi cận x   t  , x   t  1 Ta có:  6x f  x  dx   f  t  dt   f  x  dx , Vậy 0 1 0  dx  3x   f  x  dx   f  x  dx    f  x  dx  Chọn ý B Câu 5.Cho hàm số f  x  g  x  liên tục, có đạo hàm thỏa mãn f '   f '    g  x  f '  x   x  x   e Tính giá trị tích phân I   f  x  g '  x  dx ? x A 4 B e  D  e C Lời giải Ta có g  x  f '  x   x  x   e  g    g    (vì f '   f '    ) CHINH PHỤC OLYMPIC TỐN x Khi tích phân cần tính trở thành: 2 I   f  x  g '  x  dx   f  x  dg  x  0 2 0   f  x  g  x     g  x  f '  x  dx     x  x  e x dx  Chọn ý C Câu Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục  0;  , thỏa mãn f  x   f '  x   e  x x  với x   0;  Khẳng định sau đúng? 26 C e f    f    e  A e f    f    B e f    f    3e D e f    f    Tạp chí tư liệu tốn học | 10 CÁC BÀI TỐN VỀ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN 21   Suy max f  x   f    2 , f  x   g        2   ;   ;   6 2 6 2   Chọn ý A Câu 15 Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm thỏa mãn f '  x  e f  x  x2 1  2x 0 f x f    Tích phân  x f  x  dx A B 15 45 C D Lời giải Ta có f '  x  e  1  f  x   x2   f  x   x2   ex Vậy  C Mặt khác, f    nên C  x f Do e 1  ex 2x f3 x   f  x  f '  x  e    x.e x  f x  x f Suy e f  x  x2 1 x f  x  dx   x x  dx   3 45   x  d  x  1   x  1 x    8 2 Chọn ý C Câu 16 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục khoảng  0;  f  x   , x   0;   3 1 Biết f  x  thỏa mãn f    a , f  x  xf '  x   f  x   , x   0;  Tính    b 2    A I  3a  b ab B I  3b  a ab C I  3b  a ab D I  3a  b ab Lời giải Theo giả thiết ta có: x  xf '  x   f  x    x   f  x   xf '  x   x  4x  xf  x   x f '  x     x  4x  x  x  4x xf  x   x f '  x       f  x   f  x   f x f x  sin x.cos x  sin x sin x.cos x  sin x.cos x dx   dx Tính tích phân I   f  sin x  f  sin x    Đặt t  sin x  dt  cos xdx , đổi cận x  15 | Chinh phục olympic toán   t  , x t  TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC sin x.cos x  sin x tích phân I   dx theo a b f  sin x   TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN Ta có I   t  4t t2 d t  f t  f t  2  3        3 f    1        3a  b ab   4b a f  2 Chọn ý D Câu 17 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục đoạn  0; 1 đồng thời thỏa mãn f     f ''  x    f '  x   x   Tính T  f    f   A T   ln C T  B T   ln 2 D T   ln Lời giải Ta có f ''  x    f '  x   x     f ''  x       f '  x   x    2 f ''  x    f '  x   x   f''  x   1 x  C dx   dx  f x  x 9  f '  x   x  9 Do f     nên C  suy f   x   x   f x  x x1 x1 Lấy nguyên hàm hai vế   1  x2    Vậy T  f  1  f       x  dx   ln x     ln  0 x1   0 Câu 18 Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm cấp liên tục thoả mãn đồng thời CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN  f  x   0,  x  ,  điều kiện  f    f '    1, Mệnh đề sau đúng?  2 x  f  x     f   x    f  x  f   x  ,  x  1 3 A  ln f  1  B  ln f  1  C  ln f  1  D  ln f  1  2 2 Lời giải Ta có x  f  x     f   x    f  x  f   x   2 f ' x  f x f  x  f   x    f   x    f  x    2  f   x   x   x f x     x2 C Lại có f    f '     C  1 f x  x2  x2 7 1   dx      dx  ln  f  x     ln f    6 f x f x  0   ln  f     Ta có f x  Tạp chí tư liệu tốn học | 16 CÁC BÀI TỐN VỀ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN Chọn ý D Câu 19 Cho hàm số f  x  có đạo hàm khác liên tục đến cấp hai đoạn  1;  Biết ln f '  1  f  1  1, f '  x   f '  x   xf ''  x  f  x 1 ln 2 , x  1;  Tính tích phân I   xf  x  dx ? 1 1 ln C log  2 ln 2 ln D log  1 ln A log  B log  Lời giải Biến đổi giả thiết ta có: f ' x     f x f '  x   xf ''  x  f  x 1 ln  f '  x  f x ln 2  f '  x   xf ''  x   f '  x    2x  2x f x ln '    C1  '  ln  f ' x f ' x        ln f '    f     C  Khi ta đƣợc f ' x  f x  ln  x  f x  '  2x      2xdx  x f x  C  f  x   log  x  C  f     C   f  x   log  x   Sử dụng tích phân phần ta có 2 2 x3 x log  x    dx ln 1 x  1 2 1 1 x  1  x2  log   x  dx  log    ln x        ln 0  x2   ln  2 1    log  1 ln Chọn ý D Câu 20 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục đoạn  1;  thỏa mãn đồng thời điều kiện  f      f     63;  f  x    x  f '  x    27 x , x  1;  Tính giá trị tích phân  2 2  f  x   dx A 15 C 21 B 18 D 25 Lời giải Theo giả thiết ta có  2 2  f  x   dx    f  x   dx   x  f '  x  dx   27 x dx  63   1 Xét tích phân I   2 u   f  x      du  f '  x  f  x   f  x   dx , đặt   v  x dv  dx  I  x  f  x   17 | Chinh phục olympic toán 2 2 1   xf '  x  f  x  dx  63   xf '  x  f  x  dx TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC I   x log  x   dx  TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN Ta có:  1  1  f  x  2 2 dx   xf '  x  f  x  dx   x  f '  x   dx     f  x   xf '  x  dx  1 2 1  Do f  x   xf '  x     f  x   '   f  x   Cx x  Vậy Cx   x 2C  3C x  27 x  C     f  x   dx  21 2 Chọn ý C Trong toán ta sử dụng tính chất sau tích phân: Nếu  b a  f  x   dx  ta suy f  x   Câu 21 Cho hàm số  0; 1 thỏa mãn f  x  ln f  x   xf '  x   f  x   1 , x   0; 1 Tính tích phân f  x  có đạo hàm liên tục đoạn f    1, f  x   đồng thời  f  x  dx A e1 B e6 D C Lời giải Biến đổi giả thiết tƣơng đƣơng  f  x  ln f  x   xf '  x   xf '  x  f  x   ln f  x   x f ' x  f x  xf '  x    x ln f  x   '  xf '  x   x ln f  x    xf '  x  dx  xf  x    f  x  dx 1 Vậy ta đƣợc 1  f  x  dx  f  1  Chọn ý D CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN Câu 22 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục đoạn  1;  thỏa mãn f  1  đồng thời A 3x f  x   f '  x    xf '  x   x 7 1 B  f '  x   x , x   1;  Tính giá trị f   ? 7 1 C 1 D 1 Lời giải Biến đổi giả thiết tƣơng đƣơng  3x f  x    f '  x   x   f '  x    xf '  x   x 2   3x f  x    f '  x    x  x  f  x      f '  x    f ' x  3 f x  x Tạp chí tư liệu tốn học | 18 CÁC BÀI TỐN VỀ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN  f ' x  dx   xdx  f x  1  3    f  x   1 d  f  x     2 2 3 7 1   f  x   1    f    1   f    1   f    2 Chọn ý A Câu 23 Cho hàm số f  x  liên tục , có đạo hàm đến cấp hai f  x    f '  x    f  x  f ''  x    e x , x      25ln 2 A  31   5ln    C , biết f    Khi 5ln  thỏa mãn f  x  dx bằng? B 1 355ln   31   5  355ln   D  31      1 25ln 2 31   5ln   5  Lời giải Giả thiết tƣơng đƣơng  f  x  f '  x   '  e x  f  x  f '  x   e x  C mà f     C  1  f  x  f '  x   e x    f  x  f '  x  dx  e x  x  D  f  x    e x  x  D  Mặt khác f     D  1  f  x    e x  x    5ln f  x  dx  5 5ln   25ln 2 x e  x  dx  31   5ln       Chọn ý A Câu 24 Cho hàm số f  x  g  x  thỏa mãn f '    g    1; f   g    f   đồng   thời  f '  x  g '  x   g  x   f ''  x   f '  x   , x  x   \0 Tính giá trị biểu thức tích A  ln B   ln C  ln D   ln Lời giải Biến đổi giả thiết tƣơng đƣơng x  xf '  x  g '  x   xg  x  f ''  x   g  x  f '  x   x  x  g '  x  f '  x   g  x  f''  x    g  x  f '  x   x   xf '  x  g  x   '  xf '  x  g  x   x C f ' 1 g 11 x    f ' x  g  x    x 2x 2 x  f '  x  g  x  dx      dx   ln  2x   f ' x  g  x    Sử dụng tích phân phần ta có 19 | Chinh phục olympic tốn x2 C TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC phân I   f  x  g '  x  dx ? TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN 2 I   f '  x  g  x  dx  g  x  f  x    f  x  g '  x  dx  1  ln 2   f  x  g '  x  dx    ln 4 Chọn ý D LUYỆN TẬP Câu 1: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục đoạn  0; 1 f  x   x f '  x   673x 2017 Giá trị nhỏ tích phân  f  x  dx 1 1 B C D 3.2017 3.2018 3.2019 Câu 2: Cho hàm số f  x  nhận giá trị dƣơng có đạo hàm liên tục nửa khoảng A  0;   thỏa mãn f '  x   x  x  1 f  x  f    1, f    a  b với a,b số nguyên Tính P  ab A P  3 B P  66 C P  D P  36 Câu 3: Cho hàm số f  x  thỏa mãn f '  x   f  x  f    Tích phân A  e    e  1 B  e2  1 C  f  x  dx f '  x    x    f  x   f    1 Giá trị tích phân  f  x  dx  e  1 2 nhận giá trị âm có đạo hàm liên tục Câu 4: Cho hàm số f  x  D thỏa mãn 2  D  9 Câu 5: Cho hàm số f  x  có đạo hàm cấp liên tục đoạn  0; 1 thỏa mãn f '    1 A  B  ln C  f ''  x    f '  x   Giá trị biểu thức f    f   CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN B  ln A ln C ln 2 D  ln 2 Câu 6: Cho hàm số f  x  nhận giá trị dƣơng có đạo hàm liên tục f '  x    e x f  x  x  B Tính f  ln  C Câu 7: Cho hàm số f  x  nhận giá trị dƣơng có đạo hàm liên tục  0;   thỏa A ln  f    thỏa mãn D ln 2  mãn f    1, f  x   f '  x  3x  Mệnh đề dƣới A  f    B  f    C  f    D  f    Tạp chí tư liệu tốn học | 20 CÁC BÀI TỐN VỀ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN Câu 8: Cho hàm số f  x  nhận giá trị dƣơng có đạo hàm liên tục  0;   thỏa mãn f '  x    x  1 f  x  Mệnh đề dƣới đúng? A 2613  f    2614 B 2614  f    2615 f  3  C 2618  f    2619 D 2616  f    2617 thỏa mãn f  x  f '  x   3x  6x Biết Câu 9: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục f    Tính f   A 144 B 100 C 64 D 81 Câu 10: Cho hàm số f  x  nhận giá trị âm có đạo hàm liên tục  1;  thỏa mãn f '  x    x   f  x  f  1  Giá trị biểu thức 2  f  i  i 1 2017 2016 2018 C  D  2018 2017 2019 Câu 11: Cho hai hàm số f  x  , g  x  có đạo hàm liên tục  1;  thỏa mãn A  2010 2019 2018 B  f    g    e f  x   x g '  x  ; g  x   x f '  x  Tích phân A  e e e   B e  e Câu 12: Cho hai hàm số   e e e  f x  g x dx x2 e e có đạo hàm liên tục  1;  thỏa mãn C f x , g x D f    g    f  x   x g '  x  ; g  x   x f '  x  Tích phân A ln  B ln   f  x   g  x   dx D ln C ln Câu 13: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục  0;   thỏa mãn điều kiện 26 C e f    f    A e f    f    26 D e f    f     có đạo hàm liên tục  0; 1 thỏa mãn f    B e f    f     Câu 14: Cho hàm số f  x  xf  x   f '  x   x  x   Tích phân A e4 8e B  xf  x  dx C Câu 15: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục f '  x  f  x   cos x  f  x  Tích phân A  11 21 | Chinh phục olympic toán B  7   D  0;  e4 4e thỏa mãn f    f  x  dx C 7 8 D 11 8 TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC f  x   f '  x   e  x x  Mệnh đề sau đúng? TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN Câu 16: Cho hàm số f  x  có đạo hàm dƣơng liên tục  0; 1 thỏa mãn f    f  x    f '  x   Tích phân  f  x  dx 19 B C 12 Câu 17: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục A  0; 1 2018 f  x   x f '  x   x 2019 , x   0; 1 Giá trị nhỏ tích phân B 2018.4037  f  x  dx D 2  C ln       D C    thời f    2 Tích phân 4  3 A ln      2019.4037 2020.4037   Câu 18: Cho hàm số f  x  thỏa mãn cos xf  x   sin xf '  x   , x   ;  đông cos x 6 3 A 4037 19 thỏa mãn điều kiện D  f  x  dx  3 B ln       thỏa mãn f    , f  x   1 Câu 19: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục đồng thời f '  x   x   2x f x   1, x  B A 12 2020.4037  3? Tính f D C Câu 20: Cho hàm số f  x  liên tục đồng biến đoạn  1;  , f    đồng thời thỏa mãn x  x f  x    f '  x   , x   1;  Đặt I   f  x  dx Mệnh đề dƣới đúng? A  I  B  I  C  I  12 D 12  I  16 Câu 21: Cho hàm số f  x  thỏa mãn  f '  x    f  x  f ''  x   x  x  1, x  , đồng CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN thời f    f '    Giá trị f   bằng? B 22 A 28 C 19 D 10 Câu 22: Cho hàm số f  x  thỏa mãn f    f '  x   xf  x   x.e  x , x  trị tích phân A   xf  x  dx ? 2e B  2e Câu 23: Cho hàm số f  x  thỏa mãn f  1  Tích phân A  e  f  x  dx Tính giá C  e D e 2 f '  x   3x f  x    15x  12 x  e  x , x  e bằng? B e  C  e D e  Tạp chí tư liệu tốn học | 22 CÁC BÀI TỐN VỀ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN Câu 24: Cho hàm số f  x  thỏa mãn f  x  f ''  x   f  x   f '  x    15x  12 x , x  f    1, f '    Tích phân  f  x  dx bằng? 199 227 227 199 B C D 14 42 14 42 Câu 25: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục đoạn  1;  , có f    đồng thời A x  x f  x    f '  x   , x  1;  Tích phân A B   f  x   1 C dx bằng? D Câu 26: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục đoạn  1;  , có f    đồng thời f  x   xf '  x   x  3x , x   1;  Tính giá trị f   ? A B 20 C 15 D 10 Câu 27: Cho hàm số f  x   thỏa mãn điều kiện f '  x    x   f  x  f    2018 a  f i   b  a  ,b i 1 A a  1 b B *  ba 1 Biết phân số tối giản Mệnh đề sau đúng? a 1 b C a  b  1010 D b  a  3029 Câu 28: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục đoạn  0; 1 thỏa mãn f    đồng thời điều kiện f '  x   f  x   e x  1, x  0; 1 Tính tích phân B  e   A e  1  f  x  dx C  e D  2e Câu 29: Cho hàm số f  x  có đạo hàm cấp liên tục đoạn  1; 3 , f    f '    f  x   , f  x  f ''  x    f '  x     xf  x   , x   1; 3 Tính ln f   A 4 B 3 D C f x Câu 30: Cho hàm số f  x  thỏa mãn đồng thời f    ln , f '  x  e    , x   2; 2018 x 2018 Biết  f  i   ln a  ln b  ln c  ln d với a,b,c,d số nguyên dƣơng a,c,d số i 2 nguyên tố đồng thời a  b  c  d Giá trị biểu thức a  b  c  d bằng? A 1968 B 1698 C 1689 D 1986 Câu 31: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục đoạn  0; 3 , f    đồng thời  f '  x    8x  20  f  x  , x  0;  Tích phân A B 6  f  x  dx C 21 bằng? D 12 Câu 32: Cho hàm số f  x  đồng biến, có đạo hàm cấp liên tục đoạn  0;  , biết f    1, f    e  f  x    f  x  f ''  x    f '  x    0, x   0;  Tính f   A B 6 23 | Chinh phục olympic tốn C 21 D 12 TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHĨM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN Câu 33: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục đoạn  0; 1 thỏa mãn f    đồng  f '  x     6x   f  x   40x  44 x  32 x  4, x  0;1  Tích phân thời bằng? 23 A 15 13 15 15 Câu 34: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục thỏa mãn f    đồng thời x điều kiện  x   f  x    x   f '  x   e Giá trị f   bằng? B  e 17 15  f  x  dx C e D  e2 Câu 35: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục A B x  x   f '  x   f  x   x  x , x  e2 \1; 0 thỏa mãn f    2 ln C D \1; 0 Biết f    a  b ln  a , b   Giá trị biểu thức a  b bằng? 25 13 A B C D 2 Câu 36: Cho hàm số f  x  nhận giá trị dƣơng có đạo hàm liên tục đoạn  0; 1 thỏa x mãn  f  x     3 f  t  dt , x   0; 1 Tích phân  f  x  dx bằng? 11 15 B C  D  4 4 Câu 37: Cho hàm số f  x  liên tục có đạo hàm khoảng  0;   thỏa mãn điều kiện A 3   f  x  sin xdx  4 f  x   x  sin x  f '  x    cos x Mệnh đề sau đúng? A 11  f     12 B  f     C  f     D 12  f     13 CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN Câu 38: Cho hàm số f  x  có đạo đến cấp liên tục đoạn  0; 1 thỏa mãn điều kiện  f '  x    f  x  f ''  x   1, x   0; 1 f    f   f '    Tìm giá trị nhỏ tích phân  f  x  dx ? 11 B C 2 Câu 39: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục A điều kiện f '  x   f  x   A 2018  xe x , x  D thỏa mãn f    đồng thời Số nghiệm phƣơng trình f  x    B thời x f  x    x   f  x   xf '  x   1, x  D C Câu 40: Cho hàm số f  x  xác định liên tục là? e \0 thỏa mãn f    2 đồng \0 Tính  f  x  dx ? Tạp chí tư liệu tốn học | 24 CÁC BÀI TỐN VỀ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN ln ln B  ln  C  ln  D  1  2 2 Câu 41: Cho hàm số f  x  nhận giá trị dƣơng, có đạo hàm liên tục khoảng  0;   A  f ' x   f  x  x   Tích phân , x  f  1   dx ?  f  x   11 A B   ln C  ln D  ln  ln 2 2 Câu 42: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục thỏa mãn f    e đồng thời thỏa mãn  f  x   x điều kiện  x   f  x   xf '  x   x , x  A e  e  Tính f   ? B e  e  C e  e  Câu 43: Cho hàm số f  x  nhận giá trị dƣơng thỏa mãn f '  x    1 D e  e  f x  3x , x   0;   x 3x dx  Giá trị biểu thức f    f   bằng? f x 27 43 45 B C 2 Câu 44: Cho hàm số f  x  đồng biến có đạo hàm liên tục A  f '  x    e x f  x  , x  A e  Tính 49 thỏa mãn f    D  f  x  dx ? B e  2 D e  C e    Câu 45: Cho hàm số f  x  nhận giá trị dƣơng f  x  có đạo hàm liên tục 0;  thỏa  4 f x f '  x   e    x   , f    ln Câu 46: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục Tích phân D  f  x  dx bằng? A ln  B ln  C ln  D ln  Câu 47: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục đoạn  0; 1 thỏa mãn f    đồng thời xf '  x   f  x   x , x  0;1  Tính tích phân  xf  x  dx ? 1 B C Câu 48: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục A điều kiện f '  x   f  x   x e x  1, x  A e  B e  25 | Chinh phục olympic toán thỏa mãn f    1 đồng thời D Tính f   ? C e  D e  TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC    mãn f '  x   tan xf  x  , x  0;  , f    Tính  cos xf  x  dx ?  4 1   1 A B C ln 4 TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN Câu 49: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục  0;   thỏa mãn f    đồng f x  x  3x f    Phƣơng trình tiếp tuyến đồ thị hàm số x y  f  x  điểm có hồnh độ x  là? thời f '  x   A y  16 x  20 B y  16 x  20 C y  16 x  20 D y  16 x  20 Câu 50: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục nhận giá trị không âm đoạn  0; 1  f  x    f '  x   thỏa mãn     f  x   , x   0; 1 Biết f    Mệnh đề sau 2x e đúng? 2 5  A f     ;  2   7 B f     3;   2  5 C f     2;   2 3  D f     ;  2  ĐÁP ÁN Câu Chọn ý C Theo giả thiết ta có  x f  x   '  673x 2018 , lấy tích phân vế cận từ tới x ta đƣợc 673x 2019 0 2019 2017 2017 1 x x  f x    f  x  dx   dx  0 3 3.2018 x  x f  x   ' dx   673x 2018dx  x f  x   x Câu 2: Chọn ý A Câu 3: Chọn ý C Câu 4: Chọn ý D Câu 5: Chọn ý B Câu 6: Chọn ý B Câu 7: Chọn ý C Câu 8: Chọn ý C CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN Câu 9: Chọn ý B Câu 10: Chọn ý D Ta có f ' x  f x  2x    f  1  1  1  x  x  C   f x       f x x x  x x1 2018 2018   2018 1 1   f i          i1 2019  2019  i 1 i 1  i Câu 11: Chọn ý B Đặt h  x   f  x   g  x  , h    g  1  f  1  e Ta có f  x   g  x   x  f '  x   g '  x    h  x   x h '  x    h ' x  1 h  1  e    ln h  x    C  h  x   9e x h x x x  1 f x  g x x dx   e dx  e  e x x2   Tạp chí tư liệu tốn học | 26 CÁC BÀI TỐN VỀ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN Câu 12: Chọn ý A Tƣơng tự câu 11 Câu 13: Chọn ý A Câu 14: Chọn ý A Câu 15: Chọn ý B Câu 16: Chọn ý B Câu 17: Chọn ý D Tƣơng tự câu Câu 18: Chọn ý B Câu 19: Chọn ý B Câu 20: Chọn ý D Câu 21: Chọn ý A Câu 22: Chọn ý A Câu 23: Chọn ý C Câu 24: Chọn ý C Câu 25: Chọn ý B Câu 26: Chọn ý D Câu 27: Chọn ý D Câu 28: Chọn ý B Câu 29: Chọn ý A Biến đổi giả thiết ta có  f '  x   f  x  f ''  x    f '  x   f ' x  x3   x    C   '  f x  f  x   f x   x3  x 4x  ln f  x        dx     C1 12  3 x 4x f  1    D    ln f  x       ln f    4 12 Câu 30: Chọn ý C      C  Biến đổi giả thiết ta có f    ln f x  f '  x  e dx   x dx  e   x  C  C   2018   2018    f  x   ln      f  i   ln      x  i   i 2  i2  f x   2   32    2018    1.3.2.4.3.5 2017.2019   ln  2    2.3 2018   2.3 2018  2019! 2017 ! 2018 1.2  2019  3.673   f  i   ln  ln  ln 673  ln 1009  1.2.2018 2.1009 i2  2018! 27 | Chinh phục olympic tốn TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC f  f ' 1 TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN Câu 31: Chọn ý B Từ giả thiết ta có   f '  x   dx    8x  20  f  x   dx  12   f  x  dx 0 3 Áp dụng cơng thức tích phân phần ta có  3 f  x  dx  xf  x    xf '  x  dx  12   xf '  x  dx 0     f '  x   dx  12  12   xf '  x  dx 0   f ' x   2x   dx   f '  x   x  f  x   x  C     C  5  f  x   x    f  x  dx  6 f 4 Câu 32: Chọn ý D Ta có f  x   f    1, x   0;  f  x  f ''  x    f '  x    f ' x   x2   ln f  x    Cx  D   '  2  f  x    f x  x 2 x D  C  2 Mặt khác f    1, f    e     f x  e  f  1  e 6   2C  D D  Câu 33: Chọn ý C Lấy tích phân vế đoạn  0; 1 ta đƣợc 1 376  f '  x   dx    6x  1 f  x  dx    40x  44x  32 x   dx  0 105 Áp dụng cơng thức tích phân phần ta đƣợc:    6x   f  x  dx   f  x  d  x  x    x  x  f  x     x  x  f '  x      x  x  f '  x  dx 1 0 CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN Thay lại đẳng thức ta có   376  f '  x   dx     x  x  f '  x  dx  0 105 1 44    f '  x   dx    x  x  f '  x  dx  0 0 105    f '  x    2x   x  dx   f '  x    x  x   f  x   x  x  C     C   f  x   x  x    f  x  dx  f 1 13 15 Câu 34: Chọn ý D Câu 35: Chọn ý B Câu 36: Chọn ý A Xem lại phần tích phân có cận thay đổi Câu 37: Chọn ý B Câu 38: Chọn ý C Tạp chí tư liệu tốn học | 28 CÁC BÀI TỐN VỀ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN Biến đổi giả thiết tƣơng đƣơng  f  x  f '  x   '   f '  x    f  x  f ''  x   1, x  0; 1 Lấy tích phân cận từ đến x ta đƣợc x x 0  f  x  f '  x  dx    f   f '    x  dx f  x f 0 x2    f 0 f '0 x   f  x   x2  f 0  f 0 f '0  x 2 1 11   f  x  dx    x  f    f   f '   x  dx   f    f   f '    0 Dấu “=” xảy chẳng hạn f  x   x  x  Câu 39: Chọn ý B Ta có  f '  x   f  x  2018 dx   xe x dx   x   e x  C  f  x      x  1 ex  C ; f  1    C  f  x   2019  2019  x   e x 2019 2019 1 Vậy f  x      2019  x   e x   2019  2019  x   e x  2019  e 2019   e e Xét hàm số 2019 g  x   2019  x   e x  2019  e 2019   g '  x   2019  e x  2019   x   e x 2019   2019xe x 2019 Do g '  x   có nghiệm nên g  x   có tối đa nghiệm Câu 40: Chọn ý B Từ giả thiết ta có x f  x   xf  x    xf '  x   f  x    xf  x      xf  x    Suy  xf  x   1 ' dx  dx  x  C  xf x        xf  x   1  x C 1  f x    x x x  1 f  x  dx       dx   ln  x x Suy  Câu 41: Chọn ý C Câu 42: Chọn ý A Câu 43: Chọn ý C Câu 44: Chọn ý D Câu 45: Chọn ý B Câu 46: Chọn ý B Câu 47: Chọn ý B Câu 48: Chọn ý D Câu 49: Chọn ý D Câu 50: Chọn ý A Tƣơng tự với câu đề thi thử Chuyên Lê Khiết , xem lại phần trƣớc 29 | Chinh phục olympic toán TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC Mặt khác f  1  2  C   xf  x     ... tƣởng nhiên để ý đạo hàm hàm dấu “-“? Rất đơn giản hàm phân thức! Đến ta biến đổi tốn: Tạp chí tư liệu tốn học | CÁC BÀI TỐN VỀ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN f  x  f ''  x    f '  x    f ' x ... BÀI TỐN VỀ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN Câu 11 Cho hai hàm số f  x  g  x  có đạo hàm liên tục  0;  , thỏa mãn f '   f '    g  x  f '  x   x  x   e x Tính tích phân I   f  x ... 22 CÁC BÀI TỐN VỀ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN Câu 24: Cho hàm số f  x  thỏa mãn f  x  f ''  x   f  x   f '  x    15x  12 x , x  f    1, f '    Tích phân  f  x  dx bằng? 199
- Xem thêm -

Xem thêm: Phương trình vi phân , Phương trình vi phân

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn