Giải xấp xỉ phương trình phi tuyến và ứng dụng

65 49 0
  • Loading ...
1/65 trang

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 29/05/2019, 18:18

BỘ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ KHÁNH HÒA GIẢI XẤP XỈ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN GIẢI TÍCH Hà Nội - 2018 BỘ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ KHÁNH HÒA GIẢI XẤP XỈ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Tốn giải tích Mã số: 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN GIẢI TÍCH NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Nguyễn Văn Hùng Hà Nội - 2018 Lời cảm ơn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Hùng, thầy tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi q trình học tập, nghiên cứu giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn tới thầy giáo phòng Sau đại học, thầy giáo khoa tốn, thầy giáo giảng dạy lớp thạc sĩ K20 đợt chuyên ngành Tốn giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ tơi suốt q trình học tập Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp ln quan tâm, động viên tạo điều kiện thuận lợi cho tơi suốt q trình học tập hồn thiện luận văn Xin trân trọng cảm ơn Hà Nội, tháng 10 năm 2018 Tác giả Nguyễn Thị Khánh Hòa Lời cam đoan Tôi xin cam đoan hướng dẫn tận tình thầy giáo TS Nguyễn Văn Hùng, luận văn thạc sĩ chun nghành Tốn giải tích với đề tài “Giải xấp xỉ phương trình phi tuyến ứng dụng” hồn thành tìm hiểu, nghiên cứu nhận thức thân tác giả Trong suốt trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa thành tựu khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 10 năm 2018 Tác giả Nguyễn Thị Khánh Hòa Mục lục Lời cảm ơn Lời cam đoan Mục lục Mở đầu Chương Các kiến thức chuẩn bị 1.1 Kiến thức giải tích số 1.1.1 Số gần 1.1.2 Sai số 1.1.3 Sai số tính tốn 1.1.4 Bài toán ngược lý thuyết sai số 1.2 Kiến thức giải tích hàm 1.2.1 Một số không gian hàm 1.2.2 Nguyên lý ánh xạ co Chương Một số phương pháp giải phương trình phi 2.1 Các phương pháp chia khoảng 2.1.1 Phương pháp chia đôi 2.1.2 Phương pháp điểm sai 2.2 Phương pháp lặp đơn 2.3 Phương pháp Newton 2.3.1 Phương pháp Newton 2.3.2 Phương pháp dây cung 2.4 Hệ phương trình phi tuyến tuyến 7 11 13 13 16 18 19 19 23 25 31 31 34 37 Chương Ứng dụng 3.1 Một số tốn ứng dụng 3.2 Tính tốn phần mềm Maple 3.2.1 Phương pháp chia đôi 3.2.2 Phương pháp lặp đơn 3.2.3 Phương pháp Newton 3.2.4 Phương pháp dây cung 43 43 49 49 52 55 58 Kết luận 62 Tài liệu tham khảo 63 Mở đầu Lí chọn đề tài Trong chương trình tốn trung học phổ thơng tốn phương trình hệ phương trình toán hấp dẫn với giáo viên em học sinh, đặc biệt với em có tư Tuy nhiên gặp phương trình khơng tuyến tính việc tìm tòi lời giải khơng phải điều dễ dàng Là giáo viên dạy toán trung học phổ thông muốn giúp em học sinh có tư duy, phương pháp giải tốn cách dễ dàng Mặt khác, thực tế nhiều toán thiên văn, đo đạc ruộng đất, dẫn đến việc giải phương trình phi tuyến Tuy nhiên phương trình thường phức tạp, khó giải xác mà giải gần Với cơng cụ máy tính giúp ích nhiều cho cơng việc này, tìm nghiệm gần với sai số cho trước, hỗ trợ đắc lực cho việc tiếp thu tốt kiến thức khoa học cách nhanh chóng Vì lí nên tơi chọn đề tài để tìm hiểu, nghiên cứu giải phần vấn đề Mục đích nghiên cứu Mục đích luận văn nghiên cứu phương pháp giải phương trình đại số phi tuyến để vận dụng tốn phổ thơng tốn thực tế Nhiệm vụ nghiên cứu a) Hệ thống kiến thức cần dùng đề tài b) Tìm hiểu phương pháp tìm nghiệm nghiệm gần phương trình đại số phi tuyến ứng dụng giải toán c) Minh họa phương pháp chương trình Maple Đối tượng phạm vi nghiên cứu Các phương pháp giải phương trình đại số phi tuyến như: Phương pháp dây cung, phương pháp lặp đơn, phương pháp Newton, dùng để giải tốn chương trình phổ thơng số tốn thực tế Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu giải tích số giải tích hàm Dự kiến nội dung Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị Chương 2: Một số phương pháp giải phương trình phi tuyến Chương 3: Ứng dụng Chương Các kiến thức chuẩn bị 1.1 Kiến thức giải tích số 1.1.1 Số gần Định nghĩa 1.1.1 ([1]) Số a gọi số gần số a∗ a không sai khác a∗ nhiều Hiệu số ∆ = |a − a∗ | gọi sai số thực a Nói chung khơng biết a∗ nên khơng biết ∆, nhiên ta tìm ∆a ≥ thỏa mãn điều kiện |a − a∗ | ≤ ∆a (1.1) hay a − ∆a ≤ a∗ ≤ a + ∆a Đương nhiên, ∆a thỏa mãn điều kiện (1.1) nhỏ tốt Định nghĩa 1.1.2 Số ∆a nhỏ thỏa mãn điều kiện |a − a∗ | ≤ ∆a gọi sai số tuyệt đối a Định nghĩa 1.1.3 Tỉ số δa = ∆a gọi sai số tương đối a |a| Rõ ràng ∆a , δa nhỏ tốt Ví dụ 1.1.1 Giả sử a∗ = π, a = 3.14 Do 3.14 < a∗ < 3.15 = 3.14 + 0.01 (1.2) nên ta lấy ∆a = 0.01 Mặt khác, 3.14 < π < 3.142 = 3.14 + 0.002 coi ∆a = 0.002 Ví dụ 1.1.2 Đo độ dài hai đoạn thẳng AB, CD ta a = 10 cm b = cm với ∆a = ∆b = 0.01 Khi ta có δa = ∆a 0.01 = = 0.1% a 10 ∆b 0.01 = = 1% b hay δb = 10δa Hiển nhiên phép đo a xác hẳn phép đo b ∆a = ∆b Như độ xác phép đo phản ánh qua sai số tương đối δb = 1.1.2 Sai số Một số thập phân a có dạng tổng quát sau a = ±(βp 10p + βp−1 10p−1 + · · · + βp−s 10p−s ) ≤ βi ≤ (i = p − 1, , p − s), βp > số nguyên • Nếu p − s ≥ a số ngun • Nếu p − s = −m (m > 0) a số thập phân có phần lẻ gồm m chữ số • Nếu s = +∞, a số thập phân vô hạn Ví dụ 1.1.3 Cho a = 25670 = · 104 + · 103 + · 102 + · 101 Ta có p − s = ≥ nên a = 25670 số nguyên Ví dụ 1.1.4 Cho a = 35.74 = · 101 + · 100 + · 10−1 + · 10−2 Ta có p − s = −2 nên a = 35.48 số thập phân có phần lẻ gồm hai chữ số Làm tròn số a vứt bỏ số chữ số bên phải a để số a ¯ ngắn gọn gần với a Quy tắc làm tròn: Giả sử a = βp 10p + · · · + βj 10j + · · · + βp−s 10p−s 49 5x − ex = ⇔ 5x = ex ⇔ x = ln(5x) Sử dụng cách thứ ta có cơng thức lặp xn+1 = exn Thực tính tốn ta dãy kết x1 = 1.477811220, x2 = 0.8766682008, x3 = 0.4805760878, x4 = 0.3234011342, x5 = 0.2763639070, x6 = 0.2636655050, x7 = 0.2603385428 Sử dụng cách thứ hai ta có công thức lặp xn+1 = ln 5xn Thực tính tốn ta dãy kết x1 = 2.302585093, x2 = 2.443470357, x3 = 2.502857218, x4 = 2.526870879, x5 = 2.536419643 3.2 Tính tốn phần mềm Maple 3.2.1 Phương pháp chia đơi Chúng ta tự lập trình code phương pháp chia đơi phần mềm Maple cài đặt sẵn lệnh thực thi phương pháp chia đôi thông qua cú pháp > with(Student[NumericalAnalysis]): > Bisection(f(x), x=[a, b], opts) với tham số • f(x) phương trình f (x) = cần giải • x biến 50 • a số, hai phép xấp xỉ ban đầu nghiệm • b số, hai phép xấp xỉ ban đầu nghiệm • opts tùy chọn có dạng keyword = value keyword thuộc cú pháp functionoptions, lineoptions, maxiterations, output, pointoptions, showfunction, showlines, showpoints, stoppingcriterion, tickmarks, caption, tolerance, verticallineoptions, view Một số tùy chọn điều khiển hay dùng • maxiterations = posint: Số lần lặp cực đại thực posint • output = value: trả giá trị phép xấp xỉ cuối • output = sequence: trả dãy phép xấp xỉ • output = plot: trả đồ thị f với phép xấp xỉ thơng tin liên quan • output = animation: trả ảnh động minh họa bước • tolerance = A: sai số cho phép A, giá trị mặc định 10−5 Ví dụ 3.2.1 Giải phương trình x3 − 7x2 + 14x − = phương pháp chia đôi Giải (i) Sử dụng cú pháp > with(Student[NumericalAnalysis]): > f := x -> x^3 - 7x^2 + 14 x - 6: > Bisection(f, x=[2.7,3.2], tolerance=0.01) ta kết phép xấp xỉ nghiệm 2.996875000 (ii) Sử dụng cú pháp > with(Student[NumericalAnalysis]): > f := x -> x^3 - 7x^2 + 14 x - 6: > FixedPointIteration(f, x=[2.7, 3.2], tolerance=0.01, output=sequence, maxiterations=20) ta dãy khoảng phân ly kết phép xấp xỉ nghiệm [2.7, 3.2], [2.950000000, 3.2], [2.950000000, 3.075000000], 51 [2.950000000, 3.012500000], [2.981250000, 3.012500000], 2.996875000 (iii) Sử dụng cú pháp > with(Student[NumericalAnalysis]): > f := x -> x^3 - 7x^2 + 14 x - 6: > FixedPointIteration(f, x=[2.95,3.05], tolerance=0.001, output=plot, maxiterations=10) ta hình minh họa (hình 3.3) Hình 3.3: Phương pháp chia đôi áp dụng cho hàm f (x) = x3 − 7x2 + 14x − (iv) Sử dụng cú pháp > with(Student[NumericalAnalysis]): > f := x -> x^3 - 7x^2 + 14 x - 6: > Bisection(f, x=[2.7,3.2], tolerance=0.01, stoppingcriterion=absolute) ta kết phép xấp xỉ nghiệm 52 3.004687500 Trong phương pháp chia đơi có ba tiêu chuẩn dừng là: |xn − xn−1 | • relative: < sai số, |xn | • absolute: |xn − xn−1 | < sai số, • function_value: |f (xn )| < sai số 3.2.2 Phương pháp lặp đơn Chúng ta tự lập trình code phương pháp lặp đơn phần mềm Maple cài đặt sẵn lệnh thực thi phương pháp lặp đơn thông qua cú pháp > with(Student[NumericalAnalysis]): > FixedPointIteration(f, x=a, opts) với tham số • f(x) phương trình f (x) = cần giải • x biến • a giá trị khởi đầu x0 • opts tùy chọn có dạng keyword = value keyword thuộc cú pháp fixedpointiterator, functionoptions, lineoptions, maxiterations, output, pointoptions, showfunction, showlines, showpoints, stoppingcriterion, tickmarks, caption, tolerance, verticallineoptions, view Để xem hướng dẫn chi tiết hướng dẫn cú pháp điều khiển phương dây cung Maple, gõ ?FixedPointIteration Một số tùy chọn điều khiển hay dùng • output = value: trả giá trị phép xấp xỉ cuối • output = sequence: trả dãy phép xấp xỉ • output = plot: trả đồ thị f với phép xấp xỉ thơng tin liên quan • output = animation: trả ảnh động minh họa bước 53 • maxiterations = N: số lần lặp tối đa phương pháp N lần Nếu output = value giá trị mặc định N 100, output = sequence giá trị mặc định N 10, output = plot giá trị mặc định N 5, output = animation giá trị mặc định N 10 • tolerance = A: sai số cho phép A, giá trị mặc định 10−5 Ví dụ 3.2.2 Giải phương trình x − cos(x) = phương pháp lặp đơn Giải (i) Sử dụng cú pháp > with(Student[NumericalAnalysis]): > f := x - cos(x): > FixedPointIteration(f, x=1.0, tolerance=0.01) ta kết 0.7414250866 (ii) Sử dụng cú pháp > with(Student[NumericalAnalysis]): > f := x - cos(x): > FixedPointIteration(f, x=1.0, tolerance=0.01, output=sequence, maxiterations=20) ta dãy phép xấp xỉ 1.0, 0.5403023059, 0.8575532158, 0.6542897905, 0.7934803587, 0.7013687737, 0.7639596829, 0.7221024250, 0.7504177618, 0.7314040424, 0.7442373549, 0.7356047404, 0.7414250866 (iii) Sử dụng cú pháp > with(Student[NumericalAnalysis]): > f := x - cos(x): > FixedPointIteration(f, x=1.0, tolerance=0.01, output=plot, maxiterations=20) ta hình minh họa (hình 3.4) Ví dụ 3.2.3 Giải phương trình (2x + 3)1/2 = sử dụng phương pháp lặp đơn 54 Hình 3.4: Phương pháp lặp đơn áp dụng cho hàm f (x) = x − cos x Giải (i) Sử dụng cú pháp > with(Student[NumericalAnalysis]): > g := (2x + 3)^{1/2}: > FixedPointIteration(fixedpointiterator = g, x = 4.0, tolerance = 0.01) ta kết 3.011440019 (ii) Sử dụng cú pháp > with(Student[NumericalAnalysis]): > g := (2x + 3)^{1/2}: > FixedPointIteration(fixedpointiterator = g, x = 4.0, tolerance = 0.01,output=sequence) ta dãy phép xấp xỉ 4.0, 3.316624790, 3.103747667, 3.034385495, 3.011440019 55 (iii) Sử dụng cú pháp > with(Student[NumericalAnalysis]): > g := (2x + 3)^{1/2}: > FixedPointIteration(fixedpointiterator = g, x = 4.0, output = plot, maxiterations = 10) ta hình minh họa (hình 3.5) Hình 3.5: Phương pháp lặp đơn áp dụng cho hàm f (x) = (2x + 3)1/2 3.2.3 Phương pháp Newton Chúng ta tự lập trình code phương pháp Newton phần mềm Maple cài đặt sẵn lệnh thực thi phương pháp Newton thông qua cú pháp > with(Student[Calculus1]): > NewtonsMethod(f(x), x = a, opts); với tham số 56 • f(x) phương trình f (x) = cần giải • x biến • a phép xấp xỉ ban đầu • opts tùy chọn có dạng option = value option thuộc cú pháp functionoptions, iterations, output, pointoptions, showfunction, showpoints, showroot, showtangents, showverticallines, tangentoptions, verticallineoptions Cú pháp đơn giản NewtonsMethod(f(x), x=a) trả kết sau áp dụng lần lặp phương pháp Newton Một số tùy chọn điều khiển hay dùng • output = value: trả giá trị nghiệm xấp xỉ cuối • output = sequence: trả dãy phép xấp xỉ • output = plot: trả đồ thị minh họa hàm f với đường tiếp tuyến thơng tin liên quan • output = animation: trả ảnh động minh họa bước • iterations = N: phương pháp lặp N lần, giá trị mặc định lặp lần Ví dụ 3.2.4 Sử dụng phần mềm Maple giải phương trình cos x = dùng phương pháp Newton với phép xấp xỉ ban đầu x0 = 0.5 Giải (i) Sử dụng cú pháp sau: > with(Student[Calculus1]): NewtonsMethod(cos(x), x = 5); kết thu giá trị nghiệm xấp xỉ x5 = 1.570796327 (ii) Sử dụng cú pháp sau: > with(Student[Calculus1]): NewtonsMethod(cos(x), x = 5, output = sequence); Kết thu dãy phép lặp hội tụ đến nghiệm 0.5, 2.330487722, 1.380623475, 1.573122564, 1.570796323, 1.570796327 (iii) Sử dụng cú pháp sau: > with(Student[Calculus1]): NewtonsMethod(cos(x), x = 5, output = plot); 57 Hình 3.6: lần lặp phương pháp Newton áp dụng cho hàm f (x) = cos(x) Kết thu hình có đồ thị hàm số cos(x), điểm xấp xỉ, tiếp điểm tiếp tuyến tiếp điểm (hình 3.6) Ví dụ 3.2.5 Sử dụng phần mềm Maple giải phương trình x2 − = dùng phương pháp Newton với phép xấp xỉ ban đầu x0 = Giải Giải phương trình x2 − = tìm bậc hai (i) Sử dụng cú pháp sau: > with(Student[Calculus1]): NewtonsMethod(x^2 - 3, x = 1, output = sequence); Kết thu dãy phép lặp hội tụ đến nghiệm 1, 2.000000000, 1.750000000, 1.732142857, 1.732050810, 1.732050808 (ii) Sử dụng cú pháp sau: > with(Student[Calculus1]): NewtonsMethod(x^2 - 3, x = 1, output = plot); Kết thu hình có đồ thị hàm số x2 − 3, điểm xấp xỉ, tiếp điểm tiếp tuyến tiếp điểm (hình 3.7) 58 Hình 3.7: lần lặp phương pháp Newton áp dụng cho hàm f (x) = x2 − 3.2.4 Phương pháp dây cung Chúng ta tự lập trình code phương pháp dây cung phần mềm Maple cài đặt sẵn lệnh thực thi phương pháp dây cung thông qua cú pháp > with(Student[NumericalAnalysis]): > Secant(f(x), x = [a, b], opts); với tham số • f(x) phương trình f (x) = cần giải • x biến • [a, b] hai phép xấp xỉ ban đầu • opts tùy chọn có dạng keyword = value keyword thuộc cú pháp functionoptions, lineoptions, maxiterations, output, pointoptions, showfunction, showlines, showpoints, showverticallines, stoppingcriterion, tickmarks, caption, tolerance, verticallineoptions, view 59 Để xem hướng dẫn chi tiết hướng dẫn cú pháp điều khiển phương dây cung Maple, gõ ?Secant Một số tùy chọn điều khiển hay dùng • output = value: trả giá trị nghiệm xấp xỉ cuối • output = sequence: trả dãy phép xấp xỉ • output = plot: trả đồ thị minh họa hàm f với đường cát tuyến thơng tin liên quan • output = animation: trả ảnh động minh họa bước • maxiterations = N: số lần lặp tối đa phương pháp N lần • tolerance = A: sai số cho phép A Ví dụ 3.2.6 Sử dụng phần mềm Maple giải phương trình cos x = dùng phương pháp dây cung với phép xấp xỉ ban đầu x0 = 1, x1 = 2, sai số 10−5 Giải (i) Sử dụng cú pháp sau: > with(Student[NumericalAnalysis]); > Secant(cos(x), x=[1, 2], tolerance=0.00001, output=sequence); Kết thu dãy phép lặp hội tụ đến nghiệm 1., 2., 1.564904376, 1.570978575, 1.570796326, 1.570796327 Ta thấy kết cuối giống với kết thực thi phương pháp Newton (ii) Sử dụng cú pháp sau: > with(Student[NumericalAnalysis]); > Secant(cos(x), x=[1, 2], tolerance=0.00001, output=plot); Kết thu hình có đồ thị hàm số cos(x), điểm xấp xỉ, dây cung (hình 3.8) Ví dụ 3.2.7 Một số ví dụ khác áp dụng phương pháp dây cung tìm nghiệm đa thức f (x) = x3 − 7x2 + 14x − (i) Sử dụng cú pháp sau: > with(Student[NumericalAnalysis]); > f := x -> x^3 - 7x^2 + 14x - 6: > Secant(f, x = [2.7, 3.2], tolerance = 0.01); 60 Hình 3.8: Phương pháp dây cung áp dụng cho hàm f (x) = cos(x) ta thu kết nghiệm xấp xỉ 3.005775858 (ii) Sử dụng cú pháp sau: > with(Student[NumericalAnalysis]); > f := x -> x^3 - 7x^2 + 14x - 6: > Secant(f, x = [2.7, 3.2], tolerance = 0.01, output = sequence) ta thu kết dãy phép xấp xỉ 2.7, 3.2, 3.100884956, 2.858406772, 3.026267870, 3.005775858 (iii) Sử dụng cú pháp sau: > with(Student[NumericalAnalysis]); > f := x -> x^3 - 7x^2 + 14x - 6: > Secant(f, x = [2.9, 3.1], tolerance = 0.001, output = plot) ta thu kết hình ảnh minh họa dãy phép xấp xỉ (hình 3.9) 61 Hình 3.9: Phương pháp dây cung áp dụng cho hàm f (x) = x3 − 7x2 + 14x − 62 Kết luận Luận văn với đề tài “Giải xấp xỉ phương trình phi tuyến ứng dụng” giải vấn đề sau: Trình bày số kiến thức giải tích số sai số, số gần đúng, sai số tính tốn, sai số phương pháp, tốn ngược sai số Trình bày khái niệm không gian hàm, nguyên lý ánh xạ co Trình bày hai phương pháp số hai điểm giải phương trình phi tuyến phương pháp chia đơi phương pháp điểm sai Trình bày ba phương pháp số điểm giải phương trình phi tuyến phương pháp lặp đơn, phương pháp Newton, phương pháp dây cung Trình bày phương pháp số giải hệ phương trình phi tuyến Ứng dụng phương pháp nêu vào giải số tập thực hành Thực hành áp dụng phương pháp số phần mềm Maple 63 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh (2005), Giải tích số, Nhà xuất ĐHQG Hà Nội [2] Phan Đức Chính (1978), Giải tích hàm, Nhà xuất đại học trung học chuyên nghiệp Hà Nội [3] Nguyễn Minh Chương, Nguyễn Văn Khải, Khuất Văn Ninh, Nguyễn Văn Tuấn, Nguyễn Tường (2000), Giải tích số, Nhà xuất Giáo dục [4] Lê Đình Thịnh (1995), Phương pháp tính, Nhà xuất Khoa học kĩ thuật Hà Nội Tiếng Anh [5] Ian Jacques and Colin Judd (1987), Numerical Analysis, Department of Mathematics, Coventry Lanchester Polytechnic, London New York Chapman and Hall ... hiểu phương pháp tìm nghiệm nghiệm gần phương trình đại số phi tuyến ứng dụng giải toán c) Minh họa phương pháp chương trình Maple Đối tượng phạm vi nghiên cứu Các phương pháp giải phương trình. .. phương trình Ví dụ phương pháp lặp đơn, phương pháp Newton, phương pháp cát tuyến Tất phương pháp trình bày chương dùng để giải phương trình phi tuyến Tuy nhiên, tồn kỹ thuật đặc biệt áp dụng cho...BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ KHÁNH HÒA GIẢI XẤP XỈ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Tốn giải tích Mã số: 46 01
- Xem thêm -

Xem thêm: Giải xấp xỉ phương trình phi tuyến và ứng dụng , Giải xấp xỉ phương trình phi tuyến và ứng dụng

Từ khóa liên quan

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn