Đang tải... (xem toàn văn)
Các thuật toán cơ bản trong lý thuyết sốCác thuật toán cơ bản trong lý thuyết sốCác thuật toán cơ bản trong lý thuyết sốCác thuật toán cơ bản trong lý thuyết sốCác thuật toán cơ bản trong lý thuyết sốCác thuật toán cơ bản trong lý thuyết sốCác thuật toán cơ bản trong lý thuyết sốCác thuật toán cơ bản trong lý thuyết sốCác thuật toán cơ bản trong lý thuyết sốCác thuật toán cơ bản trong lý thuyết sốCác thuật toán cơ bản trong lý thuyết sốCác thuật toán cơ bản trong lý thuyết sốCác thuật toán cơ bản trong lý thuyết sốCác thuật toán cơ bản trong lý thuyết sốCác thuật toán cơ bản trong lý thuyết sốCác thuật toán cơ bản trong lý thuyết sốCác thuật toán cơ bản trong lý thuyết sốCác thuật toán cơ bản trong lý thuyết sốCác thuật toán cơ bản trong lý thuyết sốCác thuật toán cơ bản trong lý thuyết sốCác thuật toán cơ bản trong lý thuyết sốCác thuật toán cơ bản trong lý thuyết số
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THÙY DUNG CÁC THUẬT TOÁN CƠ BẢN TRONG LÝ THUYẾT SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THÙY DUNG CÁC THUẬT TOÁN CƠ BẢN TRONG LÝ THUYẾT SỐ Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số : 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS TẠ DUY PHƯỢNG Thái Nguyên - Năm 2014 i Mục lục Mục lục i Mở đầu Nội dung Các thuật toán lý thuyết số 1.1 Tìm thương số dư 1.2 Thuật toán Euclid phân tích số thừa số nguyên tố 1.3 Thuật tốn tìm ước số chung lớn 1.4 Thuật tốn tìm bội số chung nhỏ 12 1.5 Thuật toán Lucas - Lehmer tìm số nguyên tố 15 1.6 Thuật tốn Miller tìm số giả nguyên tố 18 1.7 Một số thuật tốn mật mã cơng khai 23 1.8 Một số thuật toán khác 28 Lập trình thực thi máy tính số thuật tốn số học 30 2.1 Tìm thương số dư 30 2.2 Kiểm tra số nguyên tố 43 2.3 Phân tích số thừa số nguyên tố 50 2.4 Tìm ước chung lớn 59 i 2.5 Tìm bội chung nhỏ 66 2.6 Tìm số nguyên tố đứng sau đứng trước số tự nhiên 74 2.7 Một số ứng dụng lý thuyết mật mã 75 2.8 Maple số giả thuyết số nguyên tố 77 Kết luận 82 Tài liệu tham khảo 84 ii LỜI CẢM ƠN Với lòng kính trọng biết ơn sâu sắc em xin chân thành cảm ơn thày PGS TS Tạ Duy Phượng hướng dẫn bảo tận tình cho em suốt trình làm luận văn Thầy không truyền thụ tri thức khoa học mà dẫn cho em phương pháp làm việc tốt lời động viên khuyến khích kịp thời Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu, phòng Đào tạo, khoa Tốn - Tin Trường ĐHKH, Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi suốt trình học tập trường Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp thành viên lớp cao học toán K6B quan tâm, động viên, giúp đỡ em suốt thời gian học tập trình làm luận văn Thái Nguyên, 2014 Nguyễn Thùy Dung Mở đầu Cùng với phát triển máy tính điện tử, tin học ngày xâm nhập sâu vào chương trình giảng dạy tốn, chí cấp phổ thơng Một số thuật tốn lý thuyết số biết đến từ thời Euclid Tuy nhiên, thực thi chúng với số lớn không dễ dàng máy tính điện tử Cùng với phát triển toán tin học, nhiều thuật toán đời, đáp ứng đòi hỏi thực tế (mật mã hóa cơng khai, phân tích số ngun tố lớn, ) Vì vậy, ngành số học thuật tốn đời Việc tổng hợp, nghiên cứu xây dựng chương trình tính tốn số học cơng việc thú vị hữu ích Để đáp ứng nhu cầu học tập giảng dạy, tác giả chọn đề tài “ Các thuật toán lý thuyết số” Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương Các thuật toán lý thuyết số Trình bày thuật tốn Lý thuyết số (tìm ước số chung lớn nhất, bội số chung nhỏ nhất, tìm số dư thương chia số nguyên cho số nguyên khác, thuật tốn Euclid phân tích số thừa số ngun tố, thuật tốn Lucas- Lehmer tìm số ngun tố, thuật tốn Miller tìm số giả ngun tố) Chương Lập trình thực thi máy tính điện tử số thuật tốn số học Trình bày chương trình có sẵn tự lập trình cho thuật toán nêu chương Thực thi máy tính điện tử khoa học (Vinacal 570ES Plus II), chương trình Pascal chương trình tính tốn Maple Chương Các thuật toán lý thuyết số Chương trình bày số thuật toán liên quan đến ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất, tìm số nguyên tố, phân tích số thừa số nguyên tố Các vấn đề trình bày chương tham khảo trích dẫn chủ yếu từ số tài liệu [4], [5], [6] 1.1 Tìm thương số dư Cơ sở lý thuyết phép chia với dư định lý phép chia có dư Định lý ứng dụng giải thuật Euclid tìm ước chung lớn hai số nguyên khác Định lý phép chia với dư: Với hai số tự nhiên a b (a > b), tìm số q r cho a = qb + r, ≤ r < b Khi r = ta nói a chia hết cho b hay b chia hết a Ta nói a bội số b hay b ước số a Các số nguyên định lý gọi sau: q gọi thương chia a cho b r gọi số dư chia a cho b b gọi số chia a gọi số bị chia Phép tốn tìm q r gọi phép chia với dư Chứng minh Trước tiên ta nhớ lại Tiên đề Archimede Với số thực x > số thực y tồn số tự nhiên n cho nx > y Hệ Với số thực x < số thực y tồn số tự nhiên n cho nx < y Nguyên lý thứ tự tốt Mọi tập khác rỗng số tự nhiên có phần tử bé Chứng minh định lý gồm hai phần: chứng minh tồn q r, thứ hai, chứng minh tính q r Sự tồn Xét tập hợp S = {a − nb, n ∈ Z} Ta khẳng định S chứa số ngun khơng âm Có hai trường hợp sau Nếu b < 0, −b > 0, theo tính chất Archimede, có số ngun n cho −bn ≥ −a, nghĩa a − bn ≥ Nếu b > 0, theo tính chất Archimede, có số nguyên n cho bn ≥ −a, nghĩa a − b (−n) = a + bn ≥ Như S chứa số nguyên không âm Theo nguyên lý thứ tự tốt, S có số ngun khơng âm nhỏ nhất, ta gọi số r a−r Đặt q = , q r số nguyên a = qb + r Ta phải b ≤ r < |b| Tính khơng âm r rõ ràng theo cách chọn r Ta chứng tỏ dấu bất đẳng thức thứ hai Giả sử ngược lại r ≥ |b| Vì b = 0, r > nên b > b < Nếu b > 0, r ≥ b suy a − qb ≥ b Từ a − qb − b ≥ 0, lại dẫn tới a − (q + 1) b ≥ Đặt r = a − (q + 1) b r ∈ S r = a − (q + 1) b = r − b < r, điều mâu thuẫn với tính chất r phần tử khơng âm nhỏ S Nếu b < r ≥ −b a − qb ≥ −b Từ suy a − qb + b ≥ 0, tiếp tục suy r = a−(q − 1) b ≥ Do đó, r ∈ S r = r+b với b < ta có r = a − (q − 1) b < r, mâu thuẫn với giả thiết r số nguyên không âm nhỏ S Như ta chứng minh tồn q r Tính Giả sử tồn q , q , r, r với ≤ r, r < |b| cho a = q + r a = q + r Khơng tính tổng qt giả sử q ≤ r Từ hai đẳng thức ta có b q − q = r − r Nếu b > r ≤ r r < b ≤ b + r , r − r < b Còn b < r ≤ r r < −b ≤ −b + r, − r − r < −b Trong hai trường hợp ta có r − r < |b| Mặt khác đẳng thức b q − q = r−r chứng tỏ |b| chia hết r − r , |b| ≤ r − r r − r = Nhưng r − r ≤ |b| , nên r = r Thay vào đẳng thức b q − q = r − r ta có bq = bq b khác 0, nên q = q Tính chứng minh Thuật tốn chia Để chia số tự nhiên a cho số tự nhiên d (a > d), ta thực theo ví dụ sau: Ví dụ 1.1 Chia a = 1542014 cho d = 135 Giải Phân tích số a = 1542014 theo số 10 ta được: 70 write(UCLN); Readln; END Cách Sử dụng thuật toán Euclide program Chuong trinh tim UCLN va BCNN; uses crt; var a,b,r,T,UCLN,BCNN:longint; begin clrscr; writeln(’ban hay nhap vao so bat ky:’); writeln(’So thu nhat:’); readln(a); writeln(’So thu hai:’); readln(b); T:=a*b; while b>0 begin r:=a mod b; a:=b; b:=r; end; UCLN:=a; BCNN:=T div UCLN; writeln(’Ket qua la:’); writeln(’BCNN:’);write(BCNN); readln; 71 writeln(’UCLN:’); write(UCLN); readln; end Ví dụ 2.43 Tìm ƯCLN BCNN hai số 39345 360 Chạy chương trình Pascal ta có Ban hay nhap vao so bat ky So thu nhat:39345 So thu hai:360 Ket qua la: BCNN: 944280 ƯCLN: 15 2.5.3 Tính tốn Maple Bội số chung nhỏ hai số số nhỏ chia hết cho hai số Muốn tìm BCNN hai hay nhiều số ta dùng lệnh ilcm Ví dụ 2.44 Tìm bội số chung nhỏ số 2121988 15091987 [> ilcm(2121988,15091987); 32025015310156 Muốn kiểm tra kết quả, ta tính Tích hai số 2121988 15091987 [> 2121988*15091987; 32025015310156 Phân tích 2121988 thừa số nguyên tố [> ifactor(2121988); (2)2 (11) (29) (1663) 72 Phân tích 15091987 thừa số nguyên tố [> ifactor(15091987); (4493)(3359) Hai số 2121988 15091987 khơng có thừa số chung nên BSCNN tích chúng Nhận xét 16 Tất nhiên, ta tìm BCNN nhiều số Ví dụ 2.45 Tìm bội số chung nhỏ số 1950, 1960, 1985, 1988 [> ilcm(1950,1960,1985,1988); 10773071400 Phân tích số 1950 thừa số nguyên tố [> ifactor(1950); (2) (3) (5)2 (13) Phân tích số 1960 thừa số nguyên tố [> ifactor(1960); (2)3 (5) (7)2 Phân tích số 1985 thừa số nguyên tố [> ifactor(1985); (5)(397) Phân tích số 1988 thừa số nguyên tố [> ifactor(1988); (2)2 (7) (71) Phân tích số 1077301400 thừa số nguyên tố [> ifactor(10773071400); (2)3 (3) (5)2 (7)2 (13) (71) (397) Ta thấy BSCNN 1950, 1960, 1985, 1988 phải chứa phân tích tất thừa số nguyên tố bốn số với số mũ cao 73 Một số ví dụ áp dụng Bài (Đề thi Giải toán máy tính, Trung học Cơ sở, Sở Giáo dục Đào tạo Sóc Trăng, 2004-2005) Tìm ƯCLN BCNN hai số 1) a=9148, b=16632; 2) a=75125232, b=175429800 Bài (Thi giải tốn máy tính cấp huyện, Phòng Giáo dục Đào tạo Phú Hòa, 2009-2010) Tìm ƯCLN BCNN hai số A= 2419580247; B = 38021975311234566 Bài (Thi giải tốn máy tính, Sở Giáo dục Đào tạo TP Hồ Chí Minh, 2010-2011) Cho số A = 1193984 ; B = 157993 C = 38743 Tìm ƯCLN BCNN số A; B ; C Bài (Thi giải toán máy tính, Sở Giáo dục Đào tạo Long An, 2012-2013) Cho a = 9474372; b = 40096920; c= 51135438 1)/Tìm ƯCLN(a, b, c) 2) Tìm BCNN(a, b) Bài (Đề thi Giải tốn máy tính, Trung học Cơ sở, Sở Giáo dục Đào tạo Ninh Bình, 2013-2014) Cho số A= 414 840 882 357 Tìm ƯCLN A 000 093 74 2.6 Tìm số nguyên tố đứng sau đứng trước số tự nhiên Trong nghiên cứu số nguyên tố, nhiều ta cần tìm số nguyên tố khoảng đó, hay ta muốn khẳng định khoảng không chứa số nguyên tố Khi ta dùng lệnh nextprime(N) prevprime(N) để tìm số nguyên tố đứng sau (hoặc trước) số N Lệnh cho phép tìm số nguyên tố nhanh so với lệnh ifactor(N) (phân tích N thừa số nguyên tố) Ví dụ 2.46 Phân tích 122333444455555666666777777788888888999999999 thừa số nguyên tố [> ifactor(122333444455555666666777777788888888999999999); (3)(12241913785205210313897506033112067347143)(3331) Chỉ vài giây để phân tích số thừa số nguyên tố Tuy nhiên phải thời gian lâu để phân tích số 122333444455555666666777777788888 8889999999991223334444555556666667777777888888889999999991223334 44455555666666777777788888888999999999 thừa số nguyên tố Mặc dầu vậy, vài giây để tìm số nguyên tố đứng trước sau số Ví dụ 2.47 Tìm số ngun tố đứng sau số 1223334444555556666667777777888888889999999991223334444555556666 66777777788888888999999999122333444455555666666777777711188888888 999999999 [> nextprime(122333444455555666666777777788888888999999999122 3334444555556666667777777888888889999999991223334444555556666 66777777788888888999999999); 1223334444555556666667777777888888889999999991223334444555556 75 6666677777778888888899999999912233344445555566666677777778888 88889000000471 Ví dụ 2.48 Tìm số nguyên tố đứng sau 1223334444555556666667777 7778888888899999999912233344445555566666677777778888888899999999 9122333444455555666666777777711188888888999999999 [>prevprime(1223334444555556666667777777888888889999999991223 3344445555566666677777778888888899999999912233344445555566666 6777777788888888999999999); 1223334444555556666667777777888888889999999991223334444555556 6666677777778888888899999999912233344445555566666677777778888 8888999999317 Chỉ sau vài giây, ta hai số nguyên tố lớn (40 chữ số)! 2.7 Một số ứng dụng lý thuyết mật mã Các tính tốn lý thuyết mật mã thường đòi hỏi lượng tính tốn lớn phức tạp Các thuật toán mật mã thực hữu hiệu triển khai Mapple thơng qua hàng loạt câu lệnh Ví dụ 2.49 Ta cần mã hóa thơng báo sau VÊ NHA NGAY Với p = 3137 khóa lập mã e = 31, vậy(e, p − 1) = (31, 3136) = Trong trường hợp này, m = ta nhóm văn nhận chuyển sang chữ số thành nhóm bốn chữ số 2708 1611 0116 1001 2928 Theo ví dụ 1.16 trình bày chương ta chuyển khối P văn thành khối C văn mật theo công thức sau 76 C ≡ P 31 (mod3137), ≤ C < 3137 Chẳng hạn, mã hóa khối ta tính: C ≡ 270831 ( mod 3137) Để tính C cách nhanh chóng ta dùng thuật tốn bình phương liên tiếp Trước tiên ta viết 31 dạng số Tính tốn đơn giản cho ta 27082 ≡ 2095, 27084 ≡ 362, 27088 ≡ 2427, 270816 ≡ 2180(mod3137) Từ biểu diễn 31 dạng số 2, ta 270831 = (2708.2095.362.2427.2180) ≡ 2450(mod3137) Với Maple ta thực công đoạn câu lệnh irem [> irem (2708∧ 31,3137); 2450 [> irem(1611∧ 31,3137); 723 [> irem(116∧ 31,3137); 2177 [> irem(1001∧ 31,3137); 2222 [> irem(2928∧ 31,3137); 2050 Mật mã khoá công khai dựa kết sơ cấp số học kiện khó phân tích số lớn thừa số nguyên tố Giả sử đối phương bắt số b muốn tìm lại số a đối phương biết chìa khố mã (d, n) phương pháp mã hoá giải mã (vì cơng khai) Muốn có a phải xác định số nghịch đảo d tức phải biết φ(n) hay phải biết phân tích n thừa số nguyên tố Tuy nhiên sử dụng thuật tốn tốt chạy máy tính nhanh phải cần tới hàng tỷ năm để phân tích số có 200 chữ số thừa số nguyên tố (theo [5]) 77 Thành thử thực tế đối phương hồn tồn bó tay! Mặc dầu vậy, dùng Maple để tìm nghịch đảo theo thuật tốn Euclid mở rộng (xem 2.4.3) hay thuật tốn phân tích số có 45 chữ số thừa số nguyên tố ta vài giây Ví dụ 2.50 Phân tích 122333444455555666666777777788888888999999999 thừa số nguyên tố [> ifactor(122333444455555666666777777788888888999999999); (3)(12241919378520510313897506033112067347143)(3331) Ta tìm “của hiếm”- số nguyên tố lớn (trên 40 chữ số) 2.8 Maple số giả thuyết số nguyên tố 2.8.1 Số hoàn chỉnh Do quan niệm thần bí, người Hi Lạp quan tâm đến số hoàn chỉnh: số tổng ước số (khơng kể nó) Ví dụ 2.51 Viết chương trình xét xem số n nhập từ bàn phím có phải số hồn chỉnh hay khơng ? Ý tưởng - Dùng biến n lưu số cần xét - Biến S có giá trị ban đầu - Cho i chạy từ đến n − Nếu i ước n cộng thêm i vào S - Nếu S = n S số hồn chỉnh Mã chương trình Program So hoan chinh; uses crt; var n,i,s: longint; Begin 78 clrscr; write(’nhap vao 1so:’); readln(n); writeln(’Ket qua’); s:=0; for i:=1 to n-1 if n mod i=0 then s:=s+i; if s=n then writeln(n,’ la so hoan chinh’) else writeln(n,’ khong phai la so hoan chinh’); readln; End Ví dụ 2.52 Kiểm tra xem hai số 28 có phải số hồn chỉnh khơng? Chạy chương trình Pascal ta có kết sau Nhap vao 1so:6 Ket qua la so hoan chinh Nhap vao 1so:28 Ket qua 28 la so hoan chinh 6, 28 số hoàn chỉnh 6=1+2+3; 28= 1+2+4+7+14 Ví dụ 2.53 Viết chương trình tìm số hồn chỉnh nhỏ n (Với n nhập từ bàn phím) Mã chương trình program kiem tra so hoan chinh nho hon n; uses crt; var n, i, j, s:longint; 79 Begin clrscr; write(’nhap vao 1so:’); readln(n); writeln(’Ket qua’); For i:=1 to n Begin s:=0; for j:=1 to i if i mod j=0 then s:=s+j; if s=21*i then write(i:6, ’, ’) ; End; readln; End Ví dụ 2.54 Tìm số hồn chỉnh nhỏ 9541 Chạy chương trình Pascal ta kết sau Nhap vao 1so:9541 Ket qua: 6, 28, 496, 8128 Nhận xét: chương trình chạy với n có chữ số Ngay từ thời cổ Hi Lạp, người ta biết định lý sau Định lý Euclid Số 2(p−1) (2p − 1) số hoàn chỉnh Định lý Euler Mọi số hoàn chỉnh chẵn có dạng Như vậy, theo hai định lí trên, lần tìm số ngun tố Mersenne ta lại số hoàn chỉnh Hiện người ta biết 48 số nguyên tố Mersenne Số nguyên tố Mersenne tìm gần gồm 17 425 170 chữ số 80 Các câu hỏi sau chưa có câu trả lời: 1) Tồn hay khơng số hồn chỉnh lẻ? 2) Tồn số hồn chỉnh chẵn lớn khơng? 3) Dãy số Mersenne vô hạn hay hữu hạn? 2.8.2 Số nguyên tố sinh đôi Số nguyên tố sinh đôi cặp số nguyên tố liền có dạng (n, n+2) Số nguyên tố sinh đôi cực hiếm, sau vài năm người ta lại tìm thấy cặp số sinh đôi lớn Từ thời Hy Lạp cổ đại Euclide tin có vơ số số ngun tố sinh đôi Tuy nhiên, sau nhiều kỷ chưa có chứng minh điều đến mức nhiều người coi điều bí hiểm Ngày người ta gọi điều giả thuyết số nguyên tố sinh đôi Giả thuyết: Tồn vô số cặp số sinh đôi 5, 7, 11 13, 17 19, 29 31 cặp số nguyên tố sinh đôi, lớn có cặp 101 103, 10016957 10016959 Các nhà toán học thống kê phạm vi 1.000 có 35 cặp số sinh đơi, phạm vi 10.000 có 205 cặp, phạm vi 100.000.000 có 440312 cặp Ngày 15 tháng 01 năm 2007 nhà toán học người Pháp Eric Vautier tìm thấy số nguyên tố sinh đôi 2003663613.2195.000 ± với 58.711 chữ số Ngày 06 tháng tám năm 2009 tìm thấy cặp số ngun tố sinh đơi lớn Đó 65516468355 · 2333333 ± với 100.355 chữ số Cặp số lớn 3756801695685 · 2666.669 ± với 200.700 chữ số Năm 1849 nhà toán học Pháp de Polignac đưa giả thuyết tổng quát với số chẵn k ≥ tồn vô hạn cặp số nguyên tố (m, n) cho m − n = k Giả thuyết chưa giải cho số k Người ta tìm cách giải yếu tồn vô hạn cặp 81 số nguyên tố m, n cho m − n ≤ k Giả thuyết yếu gọi chặn cho khoảng cách số ngun tố Tuy khơng tương đương với giả thuyết de Polignac, trường hợp k = giả thuyết số ngun tố sinh đơi Nhiều nhà tốn học cho phương pháp nghiên cứu chưa đủ sức giải giả thuyết yếu Ngày 17/4/2013 Tòa soạn Tạp chí hàng đầu Tốn học nhận thảo nhà tốn học vơ danh Yitang Zhang khẳng định giải giả thuyết yếu cho k = 70 triệu Tuy k = 70 triệu xa với mục tiêu k = 2, coi bước đột phá giả thuyết số nguyên tố sinh đôi(theo Tốn học tuổi trẻ, số 443) Ví dụ 2.55 Cho hai số 1000000009649 1000000009651 Kiểm tra xem có phải cặp số nguyên tố sinh đôi hay không? Bằng Maple, ta kiểm tra xem hai số có ngun tố hay khơng: [> ifactor(1000000009649); (1000000009649) [> ifactor(1000000009651); (1000000009651) Từ kết ta khẳng định (1000000009649, 1000000009651) cặp số nguyên tố sinh đôi Tồn nhiều bốn số nguyên tố liên tiếp gồm hai cặp số sinh đôi:11, 13, 17, 19; 3251, 3253, 3257, 3259 Bộ bốn số lớn 2863308731, 2863308733, 2863308737, 2863308739 [> ifactor(2863308731); (2863308731) [> ifactor(2863308733); (2863308733) [> ifactor(2863308737); 82 (2863308737) [> ifactor(2863308739); (2863308739) Giả thuyết: có vơ số cặp bốn số Một số ví dụ áp dụng Sử dụng Maple để kiểm tra số giả thuyết số học n Bài Hãy dùng Maple để bác bỏ giả thuyết sau: 3(2 ) + số nguyên tố với n (Hãy dùng Maple để chứng tỏ số nguyên tố với n = 0, 1, 2, hợp số với n = 4, 5, 6) n Bài Hãy dùng Maple để chứng tỏ số: 7(3 ) + nguyên tố với n = 0, 1, hợp số với n = Bài Hãy dùng Maple để chứng tỏ: Hiệu tích số nguyên tố liên tiếp 4: An = p2 p3 pn − 4, pk nguyên tố thứ k (p1 = 2, p2 = 3, p3 = ) số nguyên tố với n=3,4,5,7,12,15 Các số lại từ đến 19 hợp số Bài Hãy dùng Maple để tìm số hồn chỉnh tương ứng với số nguyên tố Mersenne 22 − 1, 23 − 1, 25 − 1, 27 − 1, 213 − 1, 217 − 1, 219 − 1, 231 − 1, 261 − Bài Hãy dùng Maple để chứng tỏ 2 + 1, 2 2 2 2 2 + 1, + 1, 2 2 2 2 + số nguyên tố, 2 2 + hợp số 83 Kết luận Giải tốn có kết hợp tư suy luận toán học với hỗ trợ máy tính điện tử xu hướng tự nhiên giảng dạy tốn thời đại thơng tin Như cơng cụ hỗ trợ, máy tính nói chung, máy tính điện tử khoa học nói riêng, trợ giúp hiệu trình dạy học Nhiều vấn đề không dễ tiếp thu không dễ thực hành tốn học (tìm số ngun tố lớn, phân tích số thừa số ngun tố, tìm thương số dư ), dễ dàng thực máy tính, chí máy tính khoa học Vinacal 570ES Plus II Làm quen với máy tính phổ thông, học sinh dễ dàng tiếp cận với nghiên cứu khoa học bậc đại học Ngoài phần lý thuyết, luận văn trình bày chương trình đơn giản Pascal, số tính vượt trội Vinacal 570ES Plus II ứng dụng Maple với số học phổ thơng có mục đích gợi ý quan tâm sử dụng máy tính dạy học Tác giả cố gắng trình bày lí thuyết đọng, bảo đảm kiến thức cần thiết để hiểu thực hành sử dụng máy cách chủ động Đồng thời trình bày thao tác thực chương trình máy tính điện tử khoa học Vinacal 570ES Plus II, Pascal Maple 84 Tài liệu tham khảo [1] Trần Đỗ Minh Châu, Tạ Duy Phượng, Nguyễn Khắc Toàn, Tuyển tập đề thi Giải tốn máy tính (Trung học Cơ sở, 2003-2011), Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, 2013 [2] Phạm Huy Điển (chính biên), Đỗ Hồng Dương, Phạm Ngọc Hùng, Tạ Duy Phượng, Tính tốn lập trình giảng dạy toán học Maple, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật, 2002 [3] Phạm Huy Điển, Đinh Thế Lục, Tạ Duy Phượng, Hướng dẫn thực hành tính tốn Maple 5, Nhà xuất Giáo dục, 1998 [4] Hà Huy Khoái, Số học thuật toán, Nhà xuất Khoa học kỹ thuật, 1996 [5] Hà Huy Khoái, Phạm Huy Điển, Số học thuật toán-Cơ sở lý thuyết tính tốn thực hành, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 2005 [6] Peter Giblin, Primes and Programming, Cambride University Press, 1993 ... tài “ Các thuật toán lý thuyết số Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương Các thuật toán lý thuyết số Trình bày thuật tốn Lý thuyết số (tìm ước số. .. Nội dung Các thuật toán lý thuyết số 1.1 Tìm thương số dư 1.2 Thuật toán Euclid phân tích số thừa số nguyên tố 1.3 Thuật tốn tìm ước số chung lớn 1.4 Thuật tốn... TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THÙY DUNG CÁC THUẬT TOÁN CƠ BẢN TRONG LÝ THUYẾT SỐ Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số : 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS