Đang tải... (xem toàn văn)
Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại IIBài toán tựa cân bằng tổng quát loại IIBài toán tựa cân bằng tổng quát loại IIBài toán tựa cân bằng tổng quát loại IIBài toán tựa cân bằng tổng quát loại IIBài toán tựa cân bằng tổng quát loại IIBài toán tựa cân bằng tổng quát loại IIBài toán tựa cân bằng tổng quát loại IIBài toán tựa cân bằng tổng quát loại IIBài toán tựa cân bằng tổng quát loại IIBài toán tựa cân bằng tổng quát loại IIBài toán tựa cân bằng tổng quát loại IIBài toán tựa cân bằng tổng quát loại IIBài toán tựa cân bằng tổng quát loại IIBài toán tựa cân bằng tổng quát loại IIBài toán tựa cân bằng tổng quát loại IIBài toán tựa cân bằng tổng quát loại IIBài toán tựa cân bằng tổng quát loại IIBài toán tựa cân bằng tổng quát loại IIBài toán tựa cân bằng tổng quát loại IIBài toán tựa cân bằng tổng quát loại IIBài toán tựa cân bằng tổng quát loại IIBài toán tựa cân bằng tổng quát loại IIBài toán tựa cân bằng tổng quát loại IIBài toán tựa cân bằng tổng quát loại IIBài toán tựa cân bằng tổng quát loại IIBài toán tựa cân bằng tổng quát loại II
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐOÀN KIÊN TRUNG BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG TỔNG QUÁT LOẠI II LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN, 2014 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐOÀN KIÊN TRUNG BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG TỔNG QUÁT LOẠI II Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH NGUYỄN XUÂN TẤN Thái Nguyên - Năm 2014 Soá hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Lời cam đoan Tơi cam đoan cơng trình nghiên cứu Các kết nêu luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác Thái Ngun, tháng năm 2014 Tác giả Đồn Kiên Trung i Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Lời cảm ơn Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Sư phạm Đại học Thái Nguyên hướng dẫn khoa học GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn Trước tiên, Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo, người hướng dẫn khoa học mình, GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn, người đặt tốn tận tình hướng dẫn suốt q trình nghiên cứu tơi Đồng thời tơi chân thành cảm ơn thầy khoa Tốn, khoa Sau đại học - Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, tạo điều kiện cho tơi để tơi hồn thành luận văn Tôi gửi lời cảm ơn đến bạn lớp Cao học Toán k20, chia sẻ động viên giúp đỡ tơi q trình học tập làm luận văn Tôi vô biết ơn Bố, mẹ, anh, chị, em gia đình mình, đặc biệt người vợ cảm thông chia sẻ tơi hai năm qua để tơi học tập hoàn thành luận văn Do thời gian ngắn khối lượng kiến thức lớn nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót, tơi mong nhận bảo tận tình thầy cô bạn bè, xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng năm 2014 Tác giả Đồn Kiên Trung ii Số hóa Trung tâm Học lieäu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ MỤC LỤC Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii MỤC LỤC iii MỞ ĐẦU 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Nón khái niệm liên quan 1.2 Ánh xạ đa trị 1.3 Tính liên tục ánh xạ đa trị 1.4 Tính lồi ánh xạ đa trị 14 1.5 Điểm bất động ánh xạ đa trị 15 Bài toán tựa cân tổng quát loại hai 18 2.1 Định lý tồn nghiệm 20 2.2 Các toán liên quan 26 2.2.1 Bao hàm thức tựa biến phân 26 2.2.2 Một số toán tựa cân 29 KẾT LUẬN 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO 42 iii Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mở đầu Lý chọn luận văn Lý thuyết cân hình thành từ ý tưởng kinh tế, lý thuyết giá trị Edgeworth Pareto từ cuối kỷ 19 đầu kỷ 20 Sau có nhiều cơng trình nghiên cứu ứng dụng nhiều lĩnh vực khác nghành khoa học kỹ thuật thực tế như: Borel (1921), Von Neuman (1926) xây dựng lý thuyết trò chơi dựa khái niệm kết toán học, Koopmam (1947) đưa lý thuyết lưu thông hàng hóa Lý thuyết cân phận quan trọng lý thuyết tối ưu Sau cơng trình H.W.Kuhn A.W.Tucker điều kiện cần đủ cho véc tơ thỏa mãn ràng buộc nghiệm hữu hiệu, tối ưu véc tơ thực nghành tốn học độc lập có nhiều ứng dụng thực tế Các toán lý thuyết tối ưu véc tơ bao gồm: Bài toán tối ưu, toán cân Nash, toán bù, toán bất đẳng thức biến phân, toán điểm yên ngựa, Trong kinh tế, toán điểm cân biết đến từ lâu cơng trình Arrow-Debreu, Nash sau nhiều nhà tốn học sử dụng để xây dựng mơ hình kinh tế từ nửa sau kỷ 20 Ky Fan (1972) [6] Browder-Minty (1978) [4] phát biểu chứng minh tồn nghiệm toán điểm cân dựa định lý điểm bất động Năm 1991, Blum Oettli [3] phát biểu tốn cân cách tổng qt tìm cách liên kết toán Ky Fan Browder-Minty với thành dạng chung cho hai Bài toán phát biểu ngắn gọn là: Tìm x¯ ∈ D cho f (¯ x, x) ≥ với x ∈ D, D tập cho trước khơng gian, f : D × D → R hàm số thực thỏa mãn f (x, x) ≥ Đây Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ dạng suy rộng trực tiếp tốn lý thuyết tối ưu vơ hướng Ban đầu người ta nghiên cứu toán liên quan đến ánh xạ đơn trị từ không gian hữu hạn chiều sang không gian hữu hạn chiều khác mà thứ tự đưa nón orthant dương Sau mở rộng sang khơng gian có số chiều vơ hạn với nón Khái niệm ánh xạ đa trị xây dựng phát triển yêu cầu phát triển thân toán học lĩnh vực khoa học khác Những định nghĩa, tính chất, phân lớp ánh xạ đơn trị dần mở rộng cho ánh xạ đa trị Từ người ta tìm cách chứng minh kết tương tự kết biết từ đơn trị Chính mà tốn điểm cân năm gần nhiều nhà nghiên cứu toán học đặc biệt quan tâm Với lí tơi chọn đề tài:" Bài toán tựa cân tổng quát loại II " Mục đích nghiên cứu Mục đích luận văn trình bày số kết toán cân tổng quát loại II Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tập trung vào nhiệm vụ sau đây: Trình bày số kiến thức giải tích đa trị, số tính chất ánh xạ đa trị phép tốn Trình bày tốn tựa cân tổng quát loại hai vấn đề liên quan đến chúng lý thuyết tối ưu đa trị Bố cục luận văn Ngoài phần mở đầu, phần kết luận tài liệu tham khảo, luận văn trình bày gồm chương Chương trình bày số khái niệm ánh xạ đa trị, tính liên tục theo nón, lồi theo nón số định lý điểm bất động làm kiến thức sở cho Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ chương Chương trình bày tốn tựa cân tổng quát loại II Định lý 2.1.1 2.1.2 cho ta kết tồn nghiệm toán Các hệ 2.2.1, 2.2.6 tồn nghiệm toán bao hàm thức tựa biến phân lý tưởng loại II Sử dụng định lý 2.1.1 2.1.2 tính chất ánh xạ giả đơn điệu, giả đơn điệu mạnh ta chứng minh toán tựa cân yếu, tựa cân Pareto tựa tối ưu véc tơ đơn trị có nghiệm, điều thể hệ 2.2.6, 2.2.9, 2.2.10, 2.2.11 Số hóa Trung tâm Học lieäu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương Kiến thức chuẩn bị Trong thực tế, nhiều toán liên quan đến phép chuyển điểm tập thành tập tập Những khái niệm cổ điển hàm số, tốn tử hay ánh xạ khơng phù hợp Do việc mở rộng ánh xạ đa trị tất yếu để phù hợp với nhu cầu thực vấn đề nảy sinh từ tự nhiên sống Vì mà mơn giải tích đa trị hình thành trở thành cơng cụ đắc lực để nghiên cứu toán liên quan đến ánh xạ đa trị Chúng ta dành chương để nhắc lại số kiến thức mơn giải tích đa trị Các kiến thức quan trọng việc nghiên cứu toán chương sau 1.1 Nón khái niệm liên quan Trong không gian số thực hai phần tử so sánh với qua khái niệm lớn hay bé Điều khơng có khơng gian tơ pơ tuyến tính khác Muốn mở rộng tốn nhận giá trị thực sang toán nhận giá trị véc tơ đa trị người ta đưa vào khái niệm mới, đồng thời xây dựng khái niệm tương tự số thực, số phức không gian tô pơ tuyến tính Một phương pháp hữu hiệu để xây dựng khái niệm đưa nón vào khơng gian tơ pơ tuyến tính mà nghiên cứu sau Định nghĩa 1.1.1 Cho Y khơng gian tuyến tính C tập Y C gọi nón có đỉnh gốc (gọi ngắn gọn nón) Y Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ tc ∈ C với c ∈ C, t ≥ Nón C gọi nón lồi C tập lồi Nếu Y không gian tô pô tuyến tính C nón Y , ký hiệu clC, intC, convC bao đóng, phần bao lồi nón C, l(C) = C ∩ (−C) nghiên cứu tốn liên quan đến nón, người ta thường quan tâm đến loại nón sau: i) Nón C gọi nón đóng C tập đóng ii) Nón C gọi nón nhọn l(C) = Với nón C cho trước, ta định nghĩa quan hệ sau: x, y ∈ Y, x Cy x − y ∈ C Nếu khơng có nhầm lẫn ta viết đơn giản x y Ký hiệu x y x − y ∈ C \ l(C) x y x − y ∈ intC Ta thấy quan hệ quan hệ thứ tự phần C nón lồi nhọn Sau số ví dụ nón Ví dụ 1.1.2 i) Tập {0} Y nón khơng gian Y Ta gọi chúng nón tầm thường n ii) Cho Rn không gian Euclid n chiều, tập C = R+ = {x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn | xj ≥ 0, j = 1, 2, , n} nón lồi, đóng, nhọn gọi nón Orthant dương Rn Nếu lấy C = {x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn | x1 ≥ 0} C nón lồi, đóng khơng nhọn Vì l(C) = {x = (0, x2 , , xn ) ∈ Rn } = {0} iii) Cho Lp [0, 1], < p < không gian hàm đoạn [0,1 ] (| x |)p dµ < ∞, µ độ đo Lesberge} Lp [0, 1] = {x, Tô pô không gian xác định sở lân cận 0, gồm tập có dạng 1 (| x |)p dµ) p < {x ∈ Lp [0, 1]/( } n Tập C = {x ∈ Lp [0, 1] : x(t) ≥ 0, t ∈ [0, 1]} C nón lồi đóng Định nghĩa 1.1.3 Cho C nón khơng gian tuyến tính Y B ⊆ Y gọi tập sinh nón C , ký hiệu C = coneB, C = {tb | b ∈ B, t ≥ 0} Trong trường hợp B không chứa điểm gốc với c ∈ C, c = Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Hệ 2.2.2 Cho D, K, P1 , P2 Q xác định định lý 2.1.2 G, H ánh xạ có giá trị compact H(y, x, x) ⊆ G(y, x, x) − C(y, x), với (y, x) ∈ K × D Gọi C : K × D → 2Y ánh xạ nón nửa liên tục với giá trị lồi, đóng khác rỗng Giả thiết điều kiện sau thỏa mãn: i) Với điểm cố định t ∈ D, ánh xạ G(., , t) : K ×D → 2Y (−C)-liên tục ánh xạ N : K ×D → 2Y định nghĩa N (y, x) = H(y, x, x) C -liên tục ii) G (Q, C)-giống tựa lồi theo đường chéo, theo biến thứ ba Khi tốn (LIQV IP ) có nghiệm 2.2.2 Một số tốn tựa cân Trong mục này, cho G : D × D → 2Y ánh xạ đa trị, P1 , P2 , P : D → 2D , T : D → 2K , ánh xạ nón C : D → 2Y ánh xạ đơn trị f : K ×D → Y Ta xét tốn sau: Bài tốn tựa cân Pareto: tìm điểm x ¯ ∈ D cho x¯ ∈ P1 (¯ x), G(¯ x, x) −C(¯ x)\{0}, với x ∈ P2 (¯ x) Bài toán tựa cân Yếu: tìm điểm x ¯ ∈ D cho x¯ ∈ P1 (¯ x), G(¯ x, x) −intC(¯ x), với x ∈ P2 (¯ x) Bài toán tựa tối ưu đơn trị Pareto: tìm điểm x ¯ ∈ D cho x¯ ∈ P (¯ x), ∃¯ y ∈ T (¯ x), f (¯ y , t) ∈ / f (¯ y , x¯) − C\{0}, với t ∈ P (¯ x) Những toán thường xét đến lý thuyết tối ưu véc tơ đa trị toán tối ưu lý tưởng, tối ưu yếu, tối ưu Pareto tối ưu thực sự, nghĩa tìm các nghiệm hữu hiệu lý tưởng, yếu, Pareto thực Trong 29 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ tốn tối ưu véc tơ thường gặp nhất(hay nghiên cứu vấn đề ứng dụng) toán tối ưu yếu tối ưu Pareto Sự tồn nghiệm tốn có liên quan đến tồn nghiệm toán tựa cân yếu Pareto Cho đến toán nhiều nhà toán học quan tâm, giải Điều khó khăn việc tồn nghiệm toán chứng minh tính đóng tập hợp tốn có xuất tập hợp intC tập C\{0} Để giải vấn đề ta sử dụng khái niệm khác giả đơn điệu giả đơn điệu mạnh ánh xạ Trước chứng minh tồn nghiệm toán ta nhắc lại khái niệm sau Định nghĩa 2.2.3 Cho ánh xạ F : D × D → 2Y C : D → 2Y ánh xạ nón F gọi C -giả đơn điệu với x, y ∈ D thỏa mãn F (y, x) −intC(y) ⇒ F (x, y) ⊆ −intC(x) F gọi C -giả đơn điệu mạnh với x, y ∈ D thỏa mãn F (y, x) −(C(y)\{0}) ⇒ F (x, y) ⊆ −C(x) Các bổ đề chiều ngược lại định nghĩa Bổ đề 2.2.4 Cho ánh xạ F : D × D → 2Y với giá trị khác rỗng ánh xạ nón C : D → 2Y thỏa mãn F (x, x) ∩ C(x) = ∅ với x ∈ D Giả sử i) Với điểm cố định x ∈ D, ánh xạ F (., x) : D → 2Y C -hemi liên tục trên; ii) F C -giả đơn điệu mạnh; iii) F C -lồi theo đường chéo (hoặc, C -giống tựa lồi theo đường chéo) theo biến thứ hai Khi đó, với điểm y ∈ D, mệnh đề sau tương đương 1) F (y, x) −C(y)\{0}, với x ∈ D; 2) F (x, y) ⊆ −C(x), với x ∈ D 30 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chứng minh Từ định nghĩa C -giả đơn điệu mạnh ta có1) ⇒ 2) Giả sử 2) đúng, ta có F (αx + (1 − α)y, y) ⊆ −C(αx + (1 − α)y), với x ∈ D Ta chứng minh, với x ∈ D F (αx + (1 − α)y, x) ∩ C(αx + (1 − α)y) = ∅, với α ∈ (0, 1] Giả sử ngược lại F (αx + (1 − α)y, x) ∩ C(αx + (1 − α)y) = ∅, với α ∈ (0, 1] Khi F (αx + (1 − α)y, x) ⊆ Y \C(αx + (1 − α)y) (2.2) Nếu F C -lồi theo đường chéo theo biến thứ hai, F (αx + (1 − α)y, αx + (1 − α)y) ⊆ αF (αx + (1 − α)y, x) +(1 − α)F (αx + (1 − α)y, y) − C(αx + (1 − α)y) Kết hợp điều với (2.2) ta có F (αx + (1 − α)y, αx + (1 − α)y) ⊆ Y \C(αx + (1 − α)y) − C(αx + (1 − α)y) ⊆ Y \C(αx + (1 − α)y) Suy F (αx + (1 − α)y, αx + (1 − α)y) ∩ C(αx + (1 − α)y) = ∅ điều mâu thuẫn với giả thiết Vì F (αx + (1 − α)y, x) ∩ C(αx + (1 − α)y) = ∅, với α ∈ (0, 1] Từ tính C -hemi liên tục F , kéo theo F (y, x) ∩ C(y) = ∅, với x ∈ D Khi tồn điểm υ ∈ Y cho υ ∈ F (y, x)∩C(y) Lại C(y)∩(−C(y)\{0}) = ∅, dẫn đến υ = −(C(y)\{0}) Vậy F (y, x) −C(y)\{0}, với x ∈ D 31 Soá hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Nếu F C -giống tựa lồi theo đường chéo theo biến thứ hai, ta có F (αx + (1 − α)y, αx + (1 − α)y) ⊆ F (αx + (1 − α)y, x) − C(αx + (1 − α)y); (2.3) F (αx + (1 − α)y, αx + (1 − α)y) ⊆ F (αx + (1 − α)y, y) − C(αx + (1 − α)y); (2.4) Từ (2.2),(2.3) (2.4) suy F (αx + (1 − α)y, αx + (1 − α)y) ⊆ Y \C(αx + (1 − α)y), ta có mâu thuẫn Do ta có F (αx + (1 − α)y, x) ∩ C(αx + (1 − α)y) = ∅, với α ∈ (0, 1] −C(y)\{0}, với x ∈ D Tương tự ta có F (y, x) Bổ đề chứng minh Bổ đề 2.2.5 Cho ánh xạ đa trị F : D × D → 2Y với giá trị khác rỗng C : D → 2Y ánh xạ nón thỏa mãn F (x, x) x ∈ D Giả sử rằng: −intC(x) = ∅ với i) Với điểm cố định x ∈ D, F (., x) : D → 2Y C -hemi liên tục dưới; ii) F C -giả đơn điệu; iii) F C lồi theo đường chéo theo biến thứ hai Khi với y ∈ D mệnh đề sau tương đương: 1) F (y, x) −intC(y), với x ∈ D; 2) F (x, y) ⊆ −C(x), với x ∈ D Chứng minh Dễ thấy chiều 1) ⇒ 2) suy trực tiếp từ định nghĩa ánh xạ C -giả đơn điệu Để chứng minh chiều ngược lại, giả sử 2) đúng, dẫn đến với x ∈ D F (αx + (1 − α)y, y) ⊆ −C(αx + (1 − α)y), với α ∈ (0, 1] 32 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Ta chứng minh F (αx + (1 − α)y, x) −intC(αx + (1 − α)y), với α ∈ (0, 1] (2.5) Thật vậy, (2.5) khơng sảy ra, tồn điểm x ∈ D α ∈ (0, 1] cho F (αx + (1 − α)y, x) ⊆ −intC(αx + (1 − α)y) Từ F C -lồi theo đường chéo theo biến thứ hai, kéo theo F (αx + (1 − α)y, αx + (1 − α)y) ⊆ αF (αx + (1 − α)y, x) + (1 − α)F (αx + (1 − α)y, y) − C(αx + (1 − α)y) ⊆ −intC(αx + (1 − α)y) − C(αx + (1 − α)y) ⊆ −intC(αx + (1 − α)y) Điều mâu thuẫn với giả thiết F (z, z) −intC(z) = ∅, với z ∈ D Mặt khác, F (., x) C -hemi liên tục dưới, suy F (y, x) −intC(y) Ta có điều phải chứng minh Dưới hệ tồn nghiệm toán tựa cân yếu tựa cân Pareto Hệ 2.2.6 Cho D, P1 P2 xác định định lý 2.1.2 Giả sử G : D × D → 2Y ánh xạ đa trị với giá trị khác rỗng C : D → 2Y ánh xạ nón thỏa mãn G(x, x) ∩ C(x) = ∅ với x ∈ D Giả sử rằng: i) Với điểm cố định t ∈ D, G(., t) : D → 2Y C -hemi liên tục trên; ii) Với điểm cố định x ∈ D, tập A = {t ∈ D | G(x, t) ⊆ −C(x)}, đóng D; iii) G C -giả đơn điệu mạnh; iv) G C lồi theo đường chéo (hoặc, C -giống tựa lồi theo đường chéo) theo biến thứ hai Khi tồn điểm x ¯ ∈ D cho x¯ ∈ P1 (¯ x) G(¯ x, t) với t ∈ P2 (¯ x) 33 Soá hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ −(C(¯ x)\{0}) Chứng minh Định nghĩa ánh xạ M : D → 2D F : D × D → 2X M (t) = {x ∈ D | G(t, x) ⊆ −C(t)}, t ∈ D; F (x, t) = x − M (t), (x, t) ∈ D × D Với điểm cố định t ∈ D, A tập đóng nên tập B = {x ∈ D | ∈ / F (x, t)} = Y \A, mở D n Gọi {t1 , , tn } tập hữu hạn D điểm x = αi ti , αi ≥ i=1 n αi = Chúng ta chứng minh rằng, tồn số i ∈ {1, , n} 0, i=1 cho ∈ F (x, ti ) Giả sử ngược lại, ∈ / F (x, ti ) với i = 1, , n −C(ti ) với i = 1, , n Do G C -giả đơn điệu mạnh, ta có G(x, ti ) ⊆ −C(x)\{0} với i = 1, , n Tính C -lồi theo đường chéo hoặc, C -giống tựa lồi theo đường chéo theo biến Khi G(ti , x) n αi ti ) ⊆ −C(x)\{0}, điều thứ hai G kéo theo G(x, x) = G(x, i=1 mâu thuẫn với G(x, x) ∩ C(x) = ∅ Vì vậy, tồn số j ∈ {1, , n} cho ∈ F (x, tj ), F ánh xạ KKM Áp dụng Định lý 2.1.2 với D, Pi , i = 1, F ta suy tồn điểm x¯ ∈ D cho x¯ ∈ P1 (¯ x) ∈ F (¯ x, t), với t ∈ P2 (¯ x) Điều tương đương với x ¯ ∈ P1 (¯ x)vàG(t, x¯) ⊆ −C(t) với t ∈ P2 (¯ x) Để kết thúc chứng minh, ta cần áp dụng Bổ đề 2.2.4 với D = P2 (¯ x), G(¯ x, t) −(C(¯ x)\{0}) với t ∈ P2 (¯ x) Chứng minh tương tự áp dụng Bổ đề 2.2.5 ta có tồn nghiệm toán cân yếu sau Hệ 2.2.7 Cho D, P1 P2 xác định định lý 2.1.2 G : D × D → 2Y ánh xạ đa trị với giá trị khác rỗng C : D → 2Y ánh xạ nón thỏa mãn G(x, x) −intC(x) với x ∈ D Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: i) Với điểm cố định t ∈ D, G(., t) : D → 2Y C -hemi liên tục dưới; 34 Soá hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ii) Với điểm cố định x ∈ D; tập A = {t ∈ D | G(x, t) ⊆ −C(x)}đóng D; iii) F C -giả đơn điệu; iv) G C -lồi theo đường chéo theo biến thứ hai Khi tồn điểm x ¯ ∈ D cho x¯ ∈ P1 (¯ x) −intC(¯ x), với t ∈ P (¯ x) G(¯ x, t) Nhận xét 2.2.8 Nếu G : D × D → 2Y ánh xạ với giá trị khác rỗng compact, với điểm cố định y ∈ D, G(y, ) : D → 2Y C -liên tục , C : D → 2Y ánh xạ nón với giá trị đóng, với điểm cố định x ∈ D tập A = {t ∈ D | G(x, t) ⊆ −C(x)} tập đóng D Thật vậy, ta giả sử tα ∈ A, tα → t, G(x, tα ) ⊆ −C(x) Tính C -liên tục G theo biến thứ hai, kéo theo với lân cận V O Y thỏa mãn G(x, t) ⊆ G(x, tα ) + V − C(x) Điều dẫn đến G(x, t) ⊆ V − C(x) Hơn nữa, G(x, t) tập compact C(x) tập đóng, ta suy G(x, t)) ⊆ −C(x) Vì vậy, A tập đóng D Khi G ánh xạ với ba biến, ta xét toán tựa cân Pareto suy rộng sau: Cho G : K × D × D → 2Y , C : K × D → 2Y ánh xạ nón Tìm x¯ ∈ D cho x¯ ∈ P (¯ x), ∃¯ y ∈ T (¯ x), G(¯ y , x¯, t) −C(¯ y , x¯)\{0} với t ∈ P (¯ x) Hệ 2.2.9 Cho D, K, P, T xác định hệ 2.2.1, G : K × D × D → 2Y ánh xạ đa trị với giá trị khác rỗng C : K × D → 2Y ánh xạ nón thỏa mãn: G(y, x, x) ∩ C(y, x) = ∅, với x ∈ D Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: i) Với điểm cố định t ∈ D, tập A = {x ∈ D | ∃y ∈ T (x), G(y, t, x) ⊆ −C(y, t)}, đóng D ; 35 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ii) G(y, , ) C(y, )-giả đơn điệu mạnh; iii) G(y, , ) C(y, )-lồi theo đường chéo(hoặc, C(y, )-giống tựa lồi theo đường chéo) theo biến thứ ba Khi đó, tồn điểm x ¯ ∈ D thỏa mãn x¯ ∈ P (¯ x), ∃¯ y ∈ T (¯ x) G(¯ y , t, x¯) ⊆ −C(¯ y , t), với t ∈ P (¯ x) Chứng minh Định nghĩa ánh xạ M : K × D → 2D F : K × D × D → 2X sau M (y, t) = {x ∈ D | G(y, t, x) ⊆ −C(y, t)}, (y, t) ∈ K × D; F(y, x, t) = x − M (y, t), (y, x, t) ∈ K × D × D Với điểm cố định t ∈ D, A tập đóng nên tập B = {x ∈ D | ∃y ∈ T (x), ∈ F(y, x, t)}, mở D n Lấy {t1 , , tn } tập tùy ý D điểm x = αi ti , αi ≥ i=1 n αi = Giả sử với y ∈ T (x), ∈ / F(y, x, ti ), với 0, i=1 i = 1, , n Nghĩa G(y, ti , x) −C(y, ti ), với i = 1, , n Do G(y, , ) C(y, ) giả đơn điệu mạnh G(y, x, ti ) ⊆ −C(y, x)\{0} với i = 1, , n.Từ tính C(y, )-lồi (hayC(y, )-giống tựa lồi theo đường chéo theo biến thứ ba) G(y, , ), ta suy G(y, x, x) = n αi ti ) ⊆ −C(y, x)\{0} điều mâu thuẫn với G(y, x, x)∩C(y, x) = G(y, x, i=1 ∅ Vì tồn điểm y ∈ T (x) số j ∈ {1, , n} cho ∈ F(y, x, ti ) Vậy điều kiện Hệ 2.1.6 thỏa mãn, tồn điểm x ¯ ∈ D thỏa mãn x¯ ∈ P (¯ x) tồn điểm y¯ ∈ T (¯ x), ∈ F(¯ y , x¯, t) với t ∈ P (¯ x) Điều dẫn đến G(¯ y , t, x¯) ⊆ −C(¯ y , t), với t ∈ P (¯ x) Ta có điều cần chứng minh Kết hợp Hệ 2.2.6 Bổ đề 2.2.4 ta có tồn nghiệm toán tựa cân Pareto suy rộng sau Hệ 2.2.10 Cho D, K, P, T xác định Hệ 2.2.6 G : K × D × D → 2Y ánh xạ với giá trị khác rỗng C : K × D → 2Y ánh xạ 36 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ nón thỏa mãn G(y, x, x) ∩ C(y, x) = ∅ Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: i) Với điểm cố định (y, t) ∈ K ×D, G(y, , t) : D → 2Y C(y, )-hemi liên tục trên; A = {x ∈ D | ∃y ∈ T (x), G(y, t, x) ⊆ −C(y, t)}, đóng D; ii) Với điểm cố định t ∈ D, tập A = {x ∈ D | ∃y ∈ T (x), G(y, t, x) ⊆ −C(y, t)}, đóng D; iii) G(y, , ) C(y, )-giả đơn điệu mạnh; iv) G(y, , ) C(y, )-lồi theo đường chéo(hoặc, C(y, )-giống tựa lồi theo đường chéo) theo biến thứ ba Thì tốn tựa cân Pareto có nghiệm Dưới điều kiện đủ cho toán tối ưu Pareto đơn trị có nghiệm Hệ 2.2.11 Cho D, K, P xác định Hệ 2.2.6 Nếu điều kiện sau thỏa mãn: i) T ánh xạ đóng; ii) Với điểm cố định y ∈ K , ánh xạ −f (y, ) : D → Y hemi liên tục trên; iii) Với điểm cố định t ∈ D, ánh xạ f (., t) : K → Y −C -liên tục ánh xạ f : K × D → Y C -liên tục; iv) Với điểm cố định y ∈ K , ánh xạ f (y, ) : D → Y C -lồi C -giống tựa lồi Thì tốn tối ưu Pareto có nghiệm Chứng minh Định nghĩa ánh xạ đơn trị G : K × D × D → Y G(y, x, t) = f (y, t) − f (y, x), (y, x, t) ∈ K × D × D 37 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Khi tốn trở thành: Tìm x ¯ ∈ D với x¯ ∈ P (¯ x) cho ∃¯ y ∈ T (¯ x), G(¯ y , x¯, t) −C\{0}, với t ∈ P (¯ x) Ta chứng minh ánh xạ G thỏa mãn điều kiện hệ 2.2.10 Trước hết, ta chứng minh G(y, , t) C -hemi liên tục Do −f (y, ) : D → 2Y hemi liên tục, nên với điểm cố định x1 , x2 ∈ D, ánh xạ g : [0, 1] → 2Y định nghĩa g(α) = −f (y, αx1 + (1 − α)x2 ) nửa liên tục 0, điều dẫn đến với lân cận tùy ý V gốc Y , tồn lân cận U [0, 1] cho −f (y, αx1 + (1 − α)x2 ) ∈ −f (y, x2 ) + V Từ suy G(y, αx1 +(1−α)x2 , t) = f (y, t)−f (y, αx1 +(1−α)x2 ) ∈ f (y, t)−f (y, x2 )+V Do đó, G(y, αx1 + (1 − α)x2 , t) ∩ C = ∅, với α ∈ (0, 1) (f (y, t) − f (y, αx1 + (1 − α)x2 )) ∩ C = ∅ Điều kéo theo (G(y, x2 , t)+V )∩C = (f (y, t)−f (y, x2 )+V )∩C = ∅, với lân cận V Vì vậy, G(y, x2 , t) ∩ C = ∅ Nghĩa G(y, , t) C -hemi liên tục Tiếp theo, ta rằng, với điểm cố định t ∈ D, tập A = {x ∈ D | ∃y ∈ T (x), G(y, t, x) ⊆ −C}, đóng D Giả sử xβ ∈ A, xβ → x, ta suy tồn yβ ∈ T (xβ ) cho G(yβ , t, xβ ) ⊆ −C Nghĩa f (yβ , xβ ) − f (yβ , t) ⊆ −C Từ yβ ∈ T (xβ ) ⊆ K K tập Compact, khơng tính tổng qt ta giả sử yβ → y K Do xβ → x T ánh xạ đóng, y ∈ T (x) 38 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mặt khác, f C -liên tục (y, t) (yβ , xβ ) → (y, x), nên với lân cận V gốc Y , tồn β1 cho f (y, x) ∈ f (yβ , xβ ) + V − C, với β ≥ β1 (2.6) Từ yβ → y f (., t) (−C)-liên tục y , tồn β2 cho f (y, t) ∈ f (yβ , t) + V + C, với β ≥ β1 (2.7) Lấy β0 = max{β1 , β2 } Kết hợp (2.6) (2.7), ta có f (y, x) − f (y, t) ∈ 2V − C (2.8) Do C tập đóng nên (2.8) trở thành f (y, x) − f (y, t) ∈ −C , ta suy G(y, t, x) = f (y, x) − f (y, t) ∈ −C A tập đóng Giả sử G(y, t, x) −C\{0}, nghĩa f (y, t) − f (y, x) ∈ / −C\{0}, từ suy f (y, x) − f (y, t) ∈ / C\{0} Y = C + (−C) f (y, x) − f (y, t) ∈ −C Vì vậy, G(y, t, x) ⊆ −C G(y, , ) C -giả đơn điệu mạnh Cuối ta phải chứng minh G(y, , ) C -lồi theo đường chéo theo biến thứ ba Thật vậy, lấy tập hữu hạn tùy ý {t1 , , tn } ∈ D n n αi ti , αi ≥ 0, điểm x = i=1 n f (y, x) ∈ αi = Nếu f C -lồi theo biến thứ hai, i=1 n αj f (y, tj ) − C Vì vậy, f (y, x) − f (y, x) ∈ j=1 αj (f (y, tj ) − j=1 f (y, x)) − C Điều tương đương với n G(y, x, x) ⊂ αj G(y, x, tj ) − C, j=1 hay G(y, , ) C -lồi theo đường chéo theo biến thứ ba Nếu f C -giống tựa lồi theo biến thứ hai, tương tự ta có G(y, , ) C giống tựa lồi theo đường chéo theo biến thứ ba Theo Hệ 2.2.6 tồn điểm x ¯ ∈ D với x¯ ∈ P (¯ x), ∃¯ y ∈ T (¯ x), G(¯ y , x¯, t) −C\{0}, với t ∈ P (¯ x) 39 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Nghĩa f (¯ y , t) ∈ / f (¯ y , x¯) − C\{0}, với t ∈ P (¯ x) Trong phần cuối chương ta xét ví dụ sau Ví dụ Cho tập D = [0, 1], K = [−1, 1] Cho ánh xạ đa trị T : D → 2K , T (x) = [x − 1, 1], P : D → 2D , P (x) = [1 − x, 1], C = R+ , f : K × D → R, f (y, x) = xy + y Dễ thấy ánh xạ T, P, f thỏa mãn giả thiết Hệ 2.2.11 Vì tốn tựa tối ưu đơn trị có nghiệm Kiểm tra trực tiếp ta kết luận với x ¯ = { 12 } ∈ P (¯ x) = [ 12 , 1] tồn y¯ ∈ [0, 1] ⊆ T (¯ x) thỏa mãn 1 y¯ + y¯2 ≤ y¯t + y¯2 , với t ∈ P (¯ x) = [ , 1] 2 nghĩa f (¯ y , x¯) ≤ f (¯ y , t), với t ∈ P (¯ x) Điều tương đương với f (¯ y , t) ∈ / f (¯ y , x¯) − C\{0}, với t ∈ P (¯ x) 40 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ KẾT LUẬN Luận văn trình bày vấn đề sau : Nhắc lại số kiến thức giải tích đa trị, tính chất ánh xạ đa trị phép toán Phát biểu chứng minh tồn nghiệm toán tựa cân tổng quát loại II vấn đề liên quan đến chúng lý thuyết tối ưu đa trị 41 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Tài liệu tham khảo [1] L.Q.Anh and P.Q Khanh Semicontinuity of the solution sets of parametric multivalued vector quasiequilibrium problems J Math Anal Appl Vol, 294(2004) [2] C.Berge, Topological Spaces Oliver and Boyd, London, 1963 [3] Blum, E end Oettli,W; From Optimization and Variational Inequalities To Equilibrium Problems The Math Student Vol 641-23(1993) [4] Browder, F.E.(1968), The fixed point theory of multi-valued mappings in topological vector spaces, Math Ann,177, 283-301 [5] T.T.T.Duong end N.X.Tan(1972), On the existence of solutions To generalized quasi-equilibrium problems, J Global Optim 52 (2012), 711-728 [6] Fan, K.,(1972), A minimax inequality and application, in Inequalities III, O Shisha (Ed), Aca press, New York [7] B Kanster, C Kuratowski, and S Mazurkiewicz(1929), Ein Beweis des Fixpunktsatzes fur n-dimensionale Simplexe, Fundamenta Mathematicae, vol 14, pp.132–137 [8] S.J.Li and G.Y.Chen and K.LTeo On the stability of generalized vector quasivariational inequality problems J.Optim Theory Appl.Vol 113(2002) [9] D.T.Luc Theory of Vector Optimization: Lecture Notes in Economis and Mathematical Systems, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1989 42 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ [10] Lin,L.J and N.X.Tan(2007), On quasivariational inclusion problems of type I and related problems, Journal Global Optimization, 39, No 3, 393407 [11] D.T.Luc, (2008), An abstract problem in variational analysis, Journal Optimization Theory Applications, 138, 65-76 [12] D.T.Luc, Sarabi, E and Soubeyran, A (2010), Existence of solutions in variational relation problems without convexity, Journal Mathematical Analysis and Applications, 364, No 2, 544-555 [13] D.T.Luc and N.X.Tan (2004), Existence conditions inclusions with constraints, Optimization, 53, 505-515 [14] N.B.Minh and N.X.Tan (2005), On the existence of solutions of quasivariational inclusion problems of Stampachia type, Adv Nonlinear Var Inequal, 8, 1-16 [15] S Park (2000), Fixed Points and Quasi-Equilibrium Problems, Adv Nonlinear Operator Theory Mathematical and Computer Modelling, 32, 1297-1304 [16] N.X.Tan (2004), On the Existence of solutions of quasi-variational inclusion properties, Journal of Optimization Theory and Applications, 123, 619-638 [17] N.X.Tan (1985), Quasi-variational inequalities in topological linear locally convex Hausdorff space, Math Nachrichten, 122, 231-245 [18] L.A.Tuan and P.H.Sach (2004), Existence of solutions of generalized quasivariational inequalities with set-valued maps, Acta Math Vietnam, 29, 309-316 43 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ... điểm cân năm gần nhiều nhà nghiên cứu toán học đặc biệt quan tâm Với lí tơi chọn đề tài:" Bài toán tựa cân tổng quát loại II " Mục đích nghiên cứu Mục đích luận văn trình bày số kết toán cân tổng. .. trị, quan hệ khơng gian nao Trong chương ta xét toán tựa cân tổng quát loại II Bài toán bao gồm toán quen biết lý thuyết tối ưu sau 1) Bài toán tựa cân Giả sử D, K, Pi , i = 1, 2, Q xác định Cho... NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐOÀN KIÊN TRUNG BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG TỔNG QUÁT LOẠI II Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH NGUYỄN