(Luận văn thạc sĩ) Bài toán cân bằng và điểm bất động của nửa nhóm không giãn trong không gian Hilbert

33 38 0
  • Loading ...
1/33 trang

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 28/05/2019, 07:43

Bài toán cân bằng và điểm bất động của nửa nhóm không giãn trong không gian HilbertBài toán cân bằng và điểm bất động của nửa nhóm không giãn trong không gian HilbertBài toán cân bằng và điểm bất động của nửa nhóm không giãn trong không gian HilbertBài toán cân bằng và điểm bất động của nửa nhóm không giãn trong không gian HilbertBài toán cân bằng và điểm bất động của nửa nhóm không giãn trong không gian HilbertBài toán cân bằng và điểm bất động của nửa nhóm không giãn trong không gian HilbertBài toán cân bằng và điểm bất động của nửa nhóm không giãn trong không gian HilbertBài toán cân bằng và điểm bất động của nửa nhóm không giãn trong không gian HilbertBài toán cân bằng và điểm bất động của nửa nhóm không giãn trong không gian HilbertBài toán cân bằng và điểm bất động của nửa nhóm không giãn trong không gian HilbertBài toán cân bằng và điểm bất động của nửa nhóm không giãn trong không gian HilbertBài toán cân bằng và điểm bất động của nửa nhóm không giãn trong không gian HilbertBài toán cân bằng và điểm bất động của nửa nhóm không giãn trong không gian HilbertBài toán cân bằng và điểm bất động của nửa nhóm không giãn trong không gian Hilbert ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHAN THỊ MƯỜI BÀI TOÁN CÂN BẰNG ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA NỬA NHĨM KHƠNG GIÃN TRONG KHƠNG GIAN HILBERT Chun ngành: TOÁN ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠCTOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TS NGUYỄN BƯỜNG THÁI NGUYÊN - NĂM 2014 Mục lục Mục lục i Lời cảm ơn Mở đầu 1 Các khái niệm vấn đề 1.1 Một số khái niệm 1.2 Bài toán cân 10 1.3 Các bổ đề định lí cần sử dụng 13 Nghiệm toán cân điểm bất động nửa nhóm khơng giãn khơng gian Hilbert 17 2.1 Các phương pháp 17 2.2 Các định lí hội tụ mạnh 20 Tài liệu tham khảo 31 i Lời cảm ơn Trong suốt q trình làm luận văn, tơi ln nhận hướng dẫn giúp đỡ nghiêm túc GS.TS Nguyễn Bường- Viện Công nghệ Thông tin, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy kính chúc thầy ln ln mạnh khỏe Tơi xin cảm ơn quý thầy, cô giảng dạy Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam, mang đến cho tơi nhiều kiến thức bổ ích khoa học sống Tôi xin chân thành cảm ơn bạn đồng môn giúp đỡ thời gian học tập Đại học Thái Nguyên q trình hồn thành luận văn Thái Ngun, tháng - 2014 Người viết Luận văn Phan Thị Mười Mở đầu Bài toán cân điểm bất động nửa nhóm ánh xạ khơng giãn khơng gian Hilbert quan trọng tốn học, có nhiều ứng dụng khoa học, vật lí, tối ưu kinh tế có nhiều nhà tốn học nghiên cứu vấn đề Năm 1912 nhà toán học Hà Lan Luizen Egbereisjan Brouwer nghiên cứu đưa ngun lí tìm điểm bất động Brouwer: Một ánh xạ liên tục f từ hình cầu đóng Rn vào phải có điểm bất động, tức tồn x cho f (x) = x Đến năm 1930 Schauder, 1935 Tikhonov mở rộng nguyên lí thành dạng tổng quát: Một ánh xạ liên tục f từ tập lồi com-pắc không gian tô-pô lồi địa phương Hausdorff vào phải có điểm bất động Gọi nguyên lí Brouwer-Schauder-Tikhonov Cho đến nhà tốn học ngồi nước tiếp tục nghiên cứu mở rộng định lí Trong khuôn khổ luận văn xin trình bày đề tài "Bài tốn cân điểm bất động nửa nhóm khơng giãn khơng gian Hilbert" Luận văn tổng hợp từ báo "Các định lí hội tụ mạnh giải tốn cân điểm bất động nửa nhóm ánh xạ không giãn không gian Hilbert" GS.TS Nguyễn Bường với cộng Nguyễn Đình Dương Mục đích luận văn giới thiệu định lí hội tụ mạnh giải toán cân điểm bất động nửa nhóm ánh xạ khơng giãn khơng gian Hilbert Trong giới thiệu hai phương pháp lặp để tìm nghiệm tốn cân điểm bất động nửa nhóm ánh xạ khơng giãn khơng gian Hilbert Sau chứng minh định lí hội tụ mạnh phép lặp, kết hợp kết Comberttes, Hirstoaga kết Nakajo, Takahashi Từ kết chứng minh nhận hai hệ cải tiến mở rộng kết Comberttes, Hirstoaga Tada, Takahashi Bố cục luận văn gồm chương: Chương I Một số khái niệm vấn đề Chương II Nghiệm toán cân điểm bất động nửa nhóm ánh xạ khơng giãn khơng gian Hilbert Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học Thái Nguyên hướng dẫn GS.TS Nguyễn Bường Mặc dù tác giả cố gắng vấn đề nghiên cứu phức tạp kinh nghiệm nghiên cứu hạn chế nên khó tránh khỏi thiếu sót Trong q trình viết luận văn sử lý văn chắn không tránh khỏi sai sót, mong nhận ý kiến đóng góp q thầy bạn đọc Thái Nguyên, tháng - 2014 Tác giả Phan Thị Mười Chương Các khái niệm vấn đề Chương I gồm mục Mục 1.1 Giới thiệu định nghĩa khơng gian Hilbert, nửa nhóm ánh xạ khơng giãn số khái niệm, tính chất liên quan Mục 1.2 Giới thiệu toán cân phương pháp lặp Mann để giải toán cân Mục 1.3 Nêu số bổ đề định lý cần thiết để giải toán cân 1.1 Một số khái niệm Không gian Hilbert số tính chất Định nghĩa 1.1 Cho H khơng gian tuyến tính R Một tích vơ hướng H ánh xạ , thỏa mãn điều kiện sau: i) x, x > 0, ∀x = 0; x, x = ⇐⇒ x = 0; ii) x, y = y, x , ∀x, y ∈ H; iii) αx, y = α x, y , ∀x, y ∈ H, α ∈ R; iv) x + y, z = x, z + y, z , ∀x, y, z ∈ H Khơng gian tuyến tính H với tích vơ hướng , gọi khơng gian tiền Hilbert Không gian tiền Hilbert đầy đủ gọi khơng gian Hilbert Ví dụ 1.1 Chuẩn phần tử x H kí hiệu x xác định x = x, x Không gian Rn có tích vơ hướng là: n x, y = ξi ηi , i=1 x = (ξ1 , ξ2 , , ξn ) ∈ Rn , y = (η1 , η2 , , ηn ) ∈ Rn Ví dụ 1.2 Không gian L2 [a, b] không gian Hilbert với tích vơ hướng xác định: b ϕ(x)ψ(x)dx, ∀ϕ, ψ ∈ L2 [a, b] ϕ, ψ = a Định nghĩa 1.2 Tập hợp tất phiếm hàm tuyến tính liên tục H gọi khơng gian liên hợp (khơng gian đối ngẫu H) kí hiệu H ∗ Định nghĩa 1.3 Cho H không gian Hilbert, dãy {xn } gồm phần tử xn ∈ H gọi hội tụ yếu tới phần tử x ∈ H (kí hiệu: xn x), Nếu < φ, xn >−→< φ, x > với φ ∈ H ∗ ( H ∗ không gian liên hợp H) Định nghĩa 1.4 Cho H không gian Hilbert, dãy {xn } gồm phần tử xn ∈ H gọi hội tụ mạnh đến phần tử x ∈ H xn −x −→ n −→ ∞ Nếu dãy {xn } hội tụ mạnh đến phần tử x ∈ H thì: (i) Mỗi dãy {xnk } ⊂ {xn } hội tụ tới x; (ii) Mỗi dãy { xn − ξ } bị chặn với ξ ∈ H Định nghĩa 1.5 Dãy {xn } ⊂ H gọi Cauchy, với ε > 0, tồn n0 (ε) cho: xm − xm < ε với m ≥ n0 (ε), n ≥ n0 (ε) Định nghĩa 1.6 Cho không gian Hilbert thực H , hàm f : H → R Khi i) Một hàm f xác định tập H gọi nửa liên tục điểm x0 thuộc H với ε > 0, tồn δ > cho f (x) ≥ f (x0 ) − ε, với x thuộc H thoả mãn x − x0 < δ ii) Hàm f gọi nửa liên tục trên H x0 ∈ H hàm −f nửa liên tục H x0 ∈ H iii) Hàm f gọi liên tục H điểm x0 ∈ H hàm f vừa nửa liên tục H điểm x0 ∈ H vừa liên tục trên H điểm x0 ∈ H iv) Hàm f gọi liên tục (nửa liên tục) H hàm f liên tục (nửa liên tục) điểm H Định nghĩa 1.7 Cho H không gian Hilbert, X tập khác rỗng H (i) X gọi tập lồi với ∀x, y ∈ X, ≤ λ ≤ ta có: λx + (1 − λ)y ∈ X (ii) X gọi compact dãy {xn } ⊂ X chứa dãy hội tụ đến điểm thuộc X Định nghĩa 1.8 Cho f hàm lồi tập lồi C Một véc-tơ y ∗ ∈ H gọi đạo hàm f x∗ ∈ C f (x) ≥ f (x∗ ) + y ∗ , x − x∗ , ∀x ∈ C Tập tất điểm y ∗ thỏa mãn bất đẳng thức ký hiệu ∂f (x∗ ) Hàm f gọi khả vi phân x∗ ∂f (x∗ ) = ∅ Định lý 1.1 Mỗi tập đóng bị chặn X khơng gian Hilbert compact yếu, tức với dãy bị chặn X trích dãy hội tụ yếu tới phần tử không gian Tập X không gian Hilbert H gọi đóng yếu, {xn x}, x ∈ X Định lý 1.2 Định lý Mazur: Mỗi tập lồi đóng khơng gian Hilbert đóng yếu Định nghĩa 1.9 Một phiếm hàm ϕ xác định H gọi lồi, nếu: ϕ(tx + (1 − t)y) ≤ tϕ(x) + (1 − t)ϕ(y), ∀x, y ∈ H, t ∈ [0, 1] Dấu "=" xảy x = y, ϕ gọi lồi chặt Nếu tồn hàm liên tục tăng: γ : [0; +∞) −→ R, γ(0) = 0, cho: ϕ(tx+(1−t)y) ≤ tϕ(x)+(1−t)ϕ(y)−t(1−t)γ( x−y ), ∀x, y ∈ H, t ∈ [0, 1] ϕ gọi lồi hàm γ(t) gọi modun lồi ϕ Nếu γ(t) = ct2 , c > phiếm hàm ϕ gọi lồi mạnh Định nghĩa 1.10 Một phiếm hàm ϕ gọi nửa liên tục x0 ∈ H , với dãy {xn } ⊂ H cho xn −→ x ta có: ϕ(x0 ) ≤ lim inf ϕ(xn ) n−→∞ Nếu xn x0 ϕ(x0 ) ≤ lim inf ϕ(xn ), ϕ gọi nửa liên tục n−→∞ yếu x0 ∈ H Định lý 1.3 (i) Nếu ϕ(x) phiếm hàm lồi H ϕ (x) thỏa mãn bất đẳng thức: ϕ (x) − ϕ (y), x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ H (ii) Nếu ϕ(x) phiếm hàm lồi H ϕ (x) thỏa mãn bất đẳng thức: ϕ (x) − ϕ (y), x − y ≥ 2γ( x − y ), ∀x, y ∈ H (iii) Nếu ϕ(x) phiếm hàm lồi mạnh H ϕ (x) thỏa mãn bất đẳng thức: ϕ (x) − ϕ (y), x − y ≥ 2γ( x − y ), ∀x, y ∈ H Định nghĩa 1.11 Toán tử A : H −→ H gọi tuyến tính nếu: (i) A(x1 + x2 ) = Ax1 + Ax2 , ∀x1 , x2 ∈ H, (ii) A(αx) = αAx, ∀α ∈ R, x ∈ H Định nghĩa 1.12 Tốn tử tuyến tính A gọi bị chặn, tồn số M > cho Ax ≤ M x Giá trị M nhỏ thỏa mãn bất đẳng thức gọi chuẩn A kí hiệu A Định nghĩa 1.13 Toán tử A : X −→ Y gọi compact X, biến tập bị chặn X thành tập compact Y Định nghĩa 1.14 Toán tử A : X −→ Y gọi là: (i) liên tục x0 ∈ X với dãy {xn } ⊂ X cho: Ax −→ Ax0 , xn −→ x0 (ii) h- liên tục x0 ∈ X A(x0 + tn h) Ax0 , tn −→ với véc tơ h ∈ X (iii) d- liên tục x0 ∈ X với dãy {xn } ⊂ X cho xn −→ x0 Axn Ax0 (iv) liên tục Lipschitz ∃L > cho: Ax − Ay ≤ L x − y , ∀x, y ∈ X Định nghĩa 1.15 Cho X không gian Hilbert X ∗ khơng gian ∗ liên hợp X Tốn tử A : X −→ 2X gọi d-đơn điệu X tồn hàm không âm d(t), không giảm với t ≥ d(0) = thỏa mãn: Ax − Ay, x − y ≥ (d( x ) − d( y ))( x − y ), ∀x, y ∈ X Định nghĩa 1.16 Cho X không gian Hilbert X ∗ không gian ∗ liên hợp X Toán tử A : X −→ 2X gọi đơn điệu X tồn hàm không âm δ(t), không giảm với t ≥ δ(0) = thỏa mãn: Ax − Ay, x − y ≥ δ( x − y ), ∀x, y ∈ X Chương Nghiệm tốn cân điểm bất động nửa nhóm khơng giãn khơng gian Hilbert Trong chương trình bày vấn đề luận văn sau Mục 2.1 nội dung số phương pháp tìm nghiệm toán cân điểm bất động ánh xạ không giãn không gian Hilbert Mục 2.2 giới thiệu phương pháp tìm nghiệm tốn cân nửa nhóm ánh xạ khơng giãn khơng gian Hilbert Các kết xem [1],[3], [5] 2.1 Các phương pháp Một số phương pháp giới thiệu để giải toán cân (1.1) Ký hiệu tập điểm bất động T F (T ), tức F (T ) = {x ∈ C : x = T x} E.F.Browder [4] chứng minh F (T ) = ∅ C giới nội Một số phương pháp đưa để xấp xỉ điểm bất động T (xem [1], [3], [4]) Năm 2003 Nakajo Takahashi chứng minh kết sau: Định lý 2.1 Cho C tập khác rỗng, lồi, đóng khơng gian Hilber H T ánh xạ không giãn từ C vào C thỏa mãn F (T ) = ∅ Giả sử dãy {xn } xây dựng công thức 17 x0 = x ∈ C, yn = αn xn + (1 − αn )T xn , Cn = {z ∈ C| yn − z ≤ xn − z }, (2.1) Qn = {z ∈ C| x0 − xn , xn − z ≥ 0}, xn+1 = PCn ∩Qn (x0 ), PCn ∩Qn phép chiếu từ C lên Cn ∩Qn , {αn } ⊂ [0, a], a ∈ [0, 1) Khi {xn } hội tụ mạnh phần tử PF (T ) (x0 ), PF (T ) phép chiếu từ C lên F (T ) Nakajo Takahashi chứng minh hội tụ mạnh nửa nhóm ánh xạ khơng giãn khơng gian Hilbert Định lý 2.2 Cho C tập khác rỗng, lồi, đóng khơng gian Hilbert H S = {T (s) : ≤ s < ∞} nửa nhóm ánh xạ khơng giãn C thỏa mãn S = ∅ Giả sử {xn } xây dựng bởi: x0 = x ∈ C, yn = αn xn + (1 − αn ) tn tn T (s)xn ds, Cn = {z ∈ C : yn − z ≤ xn − z }, (2.2) Qn = {z ∈ C : x0 − xn , xn − z ≥ 0}, xn+1 = PCn ∩Qn (x0 ), với n ∈ N ∪ {0}, {αn } ⊂ [0, a], a ∈ [0, 1) {tn } dãy số thực dương phân kì Khi dãy {xn } hội tụ mạnh PF (x0 ) Các phương pháp xấp xỉ Nakajo Takahashi gọi phương pháp CQ Năm 2007 phương pháp He Chen cải tiến thuật toán: x0 ∈ C, yk = αn kn + (1 − αk )T (sk )xk , Ck = {z ∈ C : yk − z ≤ xk − z }, 18 Qk = {z ∈ C : xk − x0 , z − xk ≥ 0}, (2.3) xn+1 = PCn ∩Qn (x0 ), {αk } ⊂ [0, a], a ∈ [0, 1) sk 0, lim sk = Khi dãy k→∞ {xk } hội tụ PF (x0 ) Năm 2008 Saejung chứng minh (2.3) với điều kiện sk : lim inf sk = 0, k→∞ lim sup sk > 0, k→∞ lim (sk+1 − sk ) = k→∞ Gần Tada Takahasi mở rộng phương pháp CQ để tìm nghiệm toán (1.1) tập điểm bất động ánh xạ khơng giãn khơng gian Hilbert Ngồi sử dụng thuộc tính Opial khơng gian Hilbert họ chứng minh định lí hội tụ, kết hợp kết Combettes Hirstoaga, Wittman Để giải tốn cân với song hàm G : C × C −→ R, ta giả sử G thỏa mãn điều kiện sau: (A1) G(u, u) = 0, ∀u ∈ C, (A2) G(u, v) + G(v, u) ≤ 0, ∀(u, v) ∈ C × C, (A3) ∀u ∈ C, G(u, ) : C −→ R nửa liên tục lồi, (A4) limt→0+ G((1 − t)u + tz, v) ≤ G(u, v), ∀(u, z, v) ∈ C × C×C Định lý 2.3 (Xem [6]) Cho C tập khác rỗng, lồi, đóng khơng gian Hilbert H, G song hàm từ C × C vào R thỏa mãn (A1 − A4), T ánh xạ không giãn từ C vào H thỏa mãn F (T ) ∩ EP (G) = ∅ Giả sử {xn } {un } dãy xây dựng x0 = x ∈ H, un ∈ C : G(un , y) + rn un − xn , y − un un = (1 − αn )xn + αn T un , 19 0, ∀y ∈ C, Cn = {z ∈ H : ωn − z ≤ xn − z }, Qn = {z ∈ H : x− xn , xn − z ≥ 0}, (2.4) xn+1 = PCn ∩Qn (x), với n ∈ N, {αn } ⊂ [a, 1], a ∈ (0, 1) {rn } ⊂ (0, ∞) thỏa mãn lim inf rn > n−→∞ Khi {xn } hội tụ mạnh PF (T )∩EP (G) (x) Trong luận văn này, sử dụng kết Combettes Hirstoaga, Takahashi, He Chen, chứng minh hội tụ hai thuật toán tìm nghiệm tốn cân tập điểm bất động nửa nhóm ánh xạ khơng giãn khơng gian Hilbert Từ kết nhận hai hệ kết Tada Takahashi, Nakajo, He Chen 2.2 Các định lí hội tụ mạnh Định lý 2.4 Cho C tập lồi, đóng không gian Hilbert H Giả sử G song hàm từ C × C vào R thỏa mãn điều kiện (A1)(A4), {T (s) : s > 0} nửa nhóm ánh xạ khơng giãn C thỏa mãn C ∩ EP (G) = ∅ Giả sử {xk }, {uk }, {zk } dãy xây dựng thuật toán: x0 ∈ H, uk − xk , y − uk rk zk = (1 − αk )xk + αk T uk , uk ∈ C : G(uk , y) + Ck = {z ∈ H : 0, ∀y ∈ C, zk − z ≤ xk − z }, Qk = {z ∈ H : xk − x0 , z − xk ≥ 0, xk+1 = PCk ∩Qk (x0 ), k ≥ 0, {αk } ⊂ [a, 1], a ∈ (0, 1), {rk } ⊂ (0, ∞) thỏa mãn lim inf rn > 0, n−→∞ 20 (2.5) Tk xác định Tk x = T (sk )x, ∀x ∈ C, lim inf sk = 0, k−→∞ lim sup sk > 0, k−→∞ (2.6) lim (sk+1 − sk ) = k−→∞ Khi {xk }, {uk }, {zk } hội tụ z0 = PC∩EP (G) (x0 ) Chứng minh: Dễ thấy Ck tập đóng Qk tập lồi, đóng với k ≥ Ck tập lồi với k ≥ zk − z ≤ xk − z tương đương với zk − xk + zk − xk , xk − z ≤ Như vậy, Ck ∩ Qk tập lồi, đóng với k ≥ Với u ∈ C ∩ EP (G), đặt uk = T rk xk sử dụng (ii) Bổ đề (1.5) ta có uk − u = T rk xk − T rk u ≤ xk − u Khi zk − u = (1 − αk )(xk − u) + αk (Tk uk − u) ≤ (1 − αk ) xk − u + αk (Tk uk − u) ≤ (1 − αk ) xk − u + αk (Tk uk − u) ≤ xk − u Do đó, F ∩ EP (G) ⊂ Ck , ∀k ≥ Tiếp theo ta chứng minh F ∩ EP (G) ⊂ Ck ∩ Qk với k ≥ phương pháp quy nạp Với k = 0, ta có x = x0 ∈ H Q0 = H , F ∩ EP (G) ⊂ C0 ∩ Q0 Giả sử F ∩ EP (G) ⊂ Ci ∩ Qi Khi tồn phần tử xi+1 = PF ∩EP (G) (x0 ), tức với z ∈ F ∩ EP (G) ⊂ Ci ∩ Qi ta có: xi+1 − z, x0 − xi+1 ≥ Điều chứng tỏ z ∈ Qi+1 suy z ∈ Ci+1 ∩ Qi+1 Như F ∩ EP (G) ⊂ Ci+1 ∩ Qi+1 21 Vì F ∩ EP (G) tập lồi, đóng khác rỗng C nên tồn phần tử z0 ∈ F ∩ EP (G) cho z0 = PF ∩EP (G) (x0 ) Từ hệ thức xk+1 = PCk ∩Qk (x0 ) ta có xk+1 − x0 ≤ z − x0 , ∀z ∈ Ck ∩ Qk Do z0 ∈ F ∩ EP (G) ⊂ Ck ∩ Qk nên xk+1 − x0 ≤ z0 − x0 , ∀k ≥ Điều chứng tỏ { xk − x0 } bị chặn Mặt khác, từ (2.5) suy xk = PQk (x0 ) với xk+1 ∈ Qk ta có xk − x0 ≤ xk+1 − x0 Từ suy tồn lim k−→∞ xk − x0 = c Ngồi ta có: xk − x0 ≤ (xk − xk+1 ) − x0 2 (xk − x0 (xk+1 − x0 ) + 2 xk − x0 xk+1 − x0 xk − xk+1 ≤ + − 2 ⇒ xk − xk+1 ≤ 2( xk+1 − x0 − xk − x0 ) ≤ Vì lim xk − x0 = c nên suy k→∞ lim xk − xk+1 = k→∞ Mặt khác xk+1 ∈ Ck nên zk − xk ≤ xk − xk+1 + xk+1 − zk ≤ xk − xk+1 22 (2.7) Kết hợp với (2.7) suy zk − xk = lim k−→+∞ (2.8) Với u ∈ F ∩ EP (G), từ Bổ đề (1.5) ta có uk − u = T rk xk − T rk u ≤ T rk xk − T rk u, xk − u ≤ uk − u, xk − u ≤ { uk − u + xk − u 2 − uk − xk } − uk − xk Do đó, uk − u ≤ xk − u Do tính lồi , ta có zk − u ≤ (1 − αk ) xk − u + αk Tk uk − Tk u ≤ (1 − αk ) xk − u + αk Tk uk − u ≤ (1 − αk ) xk − u + αk { x k − u ≤ xk − u 2 − uk − xk } − αk uk − xk Vì αk ∈ [a, 1] nên ta có a uk − xk ≤ αk uk − xk ≤ xk − u 2 − zk − u ≤ zk − xk { xk − u + zk − u } Từ đó, với (2.8) điều kiện lim inf rk > ta nhận k−→∞ lim uk − xk = 0, lim uk − xk = lim uk − xk = k−→∞ rk rk k−→∞ k−→∞ Do αk Tk uk = zk − (1 − αk )xk nên ta có: a uk − Tk uk ≤ αk uk − Tk uk 23 (2.9) = (1 − αk )xk + αk uk − zk ≤ (1 − αk ) uk − xk + uk − zk ≤ uk − xk + uk − xk + xk − zk ≤ uk − xk + xk − zk Từ (2.8) (2.9) ta nhận lim k−→∞ uk − Tk uk = (2.10) Vì {xk } bị chặn nên tồn dãy {xkj } {xk } cho xkj p p Do {ukj } ⊂ C tập C lồi, đóng H Từ (2.9) ta có ukj nên suy p ∈ C Ta chứng minh p ∈ EP (G) Thật vậy, với uk = T rk xk ta có G(uk , y) + uk − xk , y − uk ≥ 0, ∀y ∈ C rk Do tính đơn điệu G, ta suy uk − xk , y − uk ≥ G(y, uk ), ∀y ∈ C, rk ukj − xkj , y − ukj ≥ G(y, ukj ), ∀y ∈ C rkj Từ điều kiện (A4) (2.9) ta có G(y, p) ≤ 0, ∀y ∈ C Với < t ≤ y ∈ C , đặt yt = ty + (1 − t)p Vì y ∈ C p ∈ C nên yt ∈ C G(yt , p) ≤ Khi = G(yt , yt ) ≤ tG(yt , y) + (1 − t)G(yt , p) ≤ tG(yt , y) Chia hai vế cho t ta G(yt , y) ≤ 0, ∀y ∈ C 24 Cho t −→ từ điều kiện (A3) suy G(p, y) ≤ 0, ∀y ∈ C ⇒ p ∈ EP (G) Tiếp theo ta chứng minh p ∈ F Khơng tính tổng quát, giả sử lim skj = lim j−→∞ j−→∞ Tkj ukj − ukj = skj (2.11) Với s > cố định, ta có [ s s ]−1 kj T (lskj ukj − T ((l + 1)skj )ukj ukj − T (s)p ≤ l=0 + T ([ s s ])ukj − T ([ ]p + skj skj T ([ s ])p − T (s)p skj s s ] ukj − T (skj )ukj + ukj − p + T (t − [ ]skj )p − p| skj skj s ≤ [ ] ukj − T (skj )ukj + ukj − p skj ≤[ +sup{ T (s)p − p : ≤ s ≤ skj } Kết hợp với (2.11) suy lim sup ukj − T (s)p ≤ lim sup ukj − p j−→∞ j−→∞ Vì khơng gian Hilbert thỏa mãn điều kiện Opial nên ta có T (s)p = p với s > 0, tức p ∈ F Với z0 = PF ∩EP (G) (x0 ) nửa hội tụ yếu chuẩn ta có x0 − z0 ≤ x0 − p ≤ lim inf x0 − xkj ) ≤ lim sup x0 − xkj j−→∞ j−→∞ Từ ta lim j−→∞ xkj − x0 = x0 − p = x0 − z0 Điều chứng tỏ xkj −→ p = z0 , 25 với dãy {xkj } Vậy xk −→ z0 k −→ ∞ Từ (2.8) (2.9) ta suy dãy {zk }, {uk } hội tụ mạnh z0 Định lí chứng minh xong Định lý 2.5 Giả sử điều kiện Đinh lí 2.4 thỏa mãn Khi dãy {xk }, {zk }, {uk } xác định (2.5) hội tụ mạnh z0 = PF ∩EP (G) (x0 ) {αk } ⊂ [a, 1], a ∈ (0, 1), {rk } ⊂ (0, ∞) thỏa mãn lim inf rk > Tk xác định k−→∞ Tk x = sk sk T (s)xds, (2.12) lim sk = ∞ k−→∞ Chứng minh: Với u ∈ F ∩ EP (G) ta có zk − u = (1 − αk )xk − u + αk Tk uk = (1 − αk )(xk − u) + αk ( sk ≤ (1 − αk )(xk − u) + αk ≤ (1 − αk )(xk − u) + αk sk sk sk T (s)uk ds − u) sk T (s)uk − u ds sk uk − u ds = (1 − αk )(xk − u) + αk xk − u = xk − u Như u ∈ Ck , có nghĩa F ∩ EP (G) ⊂ Ck với k ≥ Giống chứng minh định lí (2.4) dãy {xk } hoàn toàn xác định F ∩ EP (G) ⊂ Ck Qk với k ≥ Hơn kết (2.7), (2.9) Khi chứng minh Định lí 2.4 tồn {kj } cho kj −→ ∞, {xkj } {ukj } hội tụ yếu phần tử p ∈ EP (G) Mặt khác, với h > ta có 26 ≤ T (h)uk ( sk T (h)uk − uk − sk T (s)uk ds) + T (h)( sk sk T (s)uk ds + ≤2 sk − sk sk sk sk T (s)uk ds) sk T (s)uk ds − uk sk + T (h)( sk T (s)uk ds − uk sk sk T (s)uk ds) T (s)uk ds (2.13) với ≤ s < ∞ k ≥ Mà ta có sk sk T (s)uk ds − uk = ≤ zk − xk + αk (xk − uk ) αk (2.14) zk − xk + xk − uk ) αk với k ≥ Đặt C1 = {z ∈ C : z − z0 ≤ x0 − z0 } Khi C1 = ∅ tập lồi đóng, bị chặn C T (s) bất biến với s > chứa {uk } Theo Bổ đề 1.6 ta có lim k−→∞ T (h)( sk sk T (s)uk ds) − sk sk T (s)uk ds = 0 Từ (2.14) − (2.16) (2.9) − (2.10) ta suy lim k−→∞ T (h)uk − uk = 0, ∀h > 27 (2.15) Điều chứng tỏ p ∈ F Chứng minh tương tự Định lí 2.4 ta có {xk }, {uk }, {zk } hội tụ mạnh z0 k −→ ∞ Nếu ta đặt T (s) = T với s ≥ Định lí 2.4 ta nhận thuật tốn tìm phần tử tập F (T ) ∩ EP (G) Hệ 2.1 Cho C tập khác rỗng, lồi, đóng khơng gian Hilbert H , G song hàm từ C × C vào (−∞, +∞) thỏa mãn (A1) − (A4) T ánh xạ không giãn C thỏa mãn F (T ) ∩ EP (G) = ∅ Giả sử {xk }, {uk }, {zk } dãy xây dựng thuật toán: x0 ∈ H, uk − xk , y − uk rk zk = (1 − αk )xk + αk T uk , uk ∈ C : G(uk , y) + Ck = {z ∈ H : 0, ∀y ∈ C, zk − z ≤ xk − z }, (2.16) Qk = {z ∈ H : xk − x0 , z − xk ≥ 0}, xk+1 = PCk ∩Qk (x0 ), k ≥ 0, {αk } ⊂ [a, 1], a ∈ (0, 1), {rk } ⊂ (0, +∞) thỏa mãn lim inf rk > k−→∞ Khi {xk }, {uk }, {zk } hội tụ z0 = PCk ∩Qk (x0 ) Nếu đặt G(u, v) = với u, v ∈ C T (s) = T với s > ta nhận thuật tốn tìm điểm bất động nửa nhóm ánh xạ khơng giãn Hệ 2.2 Cho C tập lồi, đóng khơng gian Hilbert H {T (s) = T, ∀s > 0} nửa nhóm ánh xạ khơng giãn C thỏa mãn F = ∅ Giả sử {xk }, {uk }, {zk } dãy xây dựng thuật toán: 28 x0 ∈ H, uk = PC (xk ), zk = (1 − αk )xk + αk T uk , Ck = {z ∈ H : zk − z ≤ xk − z }, (2.17) Qk = {z ∈ H : xk − x0 , z − xk ≥ 0}, xk+1 = PCk ∩Qk (x0 ), ∀k ≥ 0, {αk } ⊂ [a, 1], a ∈ (0, 1), Tk xác định bởi: Tk x = T (sk )x, ∀x ∈ C, lim inf sk = 0, lim sup sk > 0, k−→∞ k−→∞ (2.18) lim (sk+1 − sk ) = 0, k−→∞ Tk x = sk sk T (s)xds, lim sk = ∞ k−→∞ Khi {xk }, {uk }, {zk } hội tụ z0 = PF (x0 ) 29 (2.19) Kết luận Luận văn trình bày vấn đề sau: Một số khái niệm vấn đề không gian Hilbert Bài toán cân Bài toán tìm điểm bất động nửa nhóm ánh xạ khơng gian khơng gian Hilbert Các định lí hội tụ mạnh giải toán cân điểm bất động nửa nhóm ánh xạ khơng giãn khơng gian Hilbert 30 Tài liệu tham khảo [1] A.S.Antipin, Computational Equilibrium programming: Mathematics and Proximal methods, Mathematical Physics, v.37(11),pp.1285-1296,1997 [2] E.Blum and W Oettli, From optimization and variational inequalities to equilibrium problems, Mathematics Student, v.63, pp.123145, 1994 [3] Nguyen Buong and Nguyen Dinh Duong, Amethod for a Solution of Equilibrium Problem and Fixed Point Problem of a Nonexpansive Semi-group in Hilbert’s Spaces Hội thảo quốc gia lần thứ XV Một số vấn đề chọn lọc CNTT TT- Hà Nội, 03-04/12/2012 [4] E.F Brouwer, Fixed-proint theorems for noncompact mappings in Hilbert spaces, Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, v.53, pp 1272-1276, 1965 [5] C.Martinez-Yanes and H.K.Xu.Strong convergence of the CQ method for fixed iteration processes, Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications, v.64, pp.2400-2411, 2006 [6] H.K Xu, An iterative approach to quadratic optimization, Journal of Optimization Theory and Applications, v.116, pp.659-678, 2003 31 ... tài "Bài toán cân điểm bất động nửa nhóm khơng giãn khơng gian Hilbert" Luận văn tổng hợp từ báo "Các định lí hội tụ mạnh giải toán cân điểm bất động nửa nhóm ánh xạ khơng giãn không gian Hilbert" ... luận văn giới thiệu định lí hội tụ mạnh giải toán cân điểm bất động nửa nhóm ánh xạ khơng giãn khơng gian Hilbert Trong giới thiệu hai phương pháp lặp để tìm nghiệm toán cân điểm bất động nửa nhóm. .. Tada, Takahashi Bố cục luận văn gồm chương: Chương I Một số khái niệm vấn đề Chương II Nghiệm toán cân điểm bất động nửa nhóm ánh xạ không giãn không gian Hilbert Luận văn hoàn thành trường Đại
- Xem thêm -

Xem thêm: (Luận văn thạc sĩ) Bài toán cân bằng và điểm bất động của nửa nhóm không giãn trong không gian Hilbert, (Luận văn thạc sĩ) Bài toán cân bằng và điểm bất động của nửa nhóm không giãn trong không gian Hilbert

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn