Đang tải... (xem toàn văn)
Bài toán ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phânBài toán ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phânBài toán ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phânBài toán ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phânBài toán ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phânBài toán ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phânBài toán ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phânBài toán ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phânBài toán ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phânBài toán ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phânBài toán ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phânBài toán ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phânBài toán ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phânBài toán ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phânBài toán ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phânBài toán ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phânBài toán ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phânBài toán ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phânBài toán ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LÊ CAO KIÊN BÀI TỐNỔN ĐỊNH HỮU HẠN HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC THÁI NGUN – 2014 Số hóa Trung tâm Học lieäu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LÊ CAO KIÊN BÀI TOÁNỔN ĐỊNH HỮU HẠN HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số : 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH VŨ NGỌC PHÁT THÁI NGUN – 2014 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Lời cam đoan Tơi xin cam đoan kết nghiên cứu luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Thái Nguyên, tháng năm 2013 Người viết Luận văn Lê Cao Kiên i Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Lời cảm ơn Để hồn thành luận văn cách hồn chỉnh, tơi ln nhận hướng dẫn giúp đỡ nhiệt tình GS.TSKH Vũ Ngọc Phát (Viện Tốn học Việt Nam) Tơi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy xin gửi lời tri ân điều thầy dành cho Tôi xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo phòng sau Đại học, quý thầy cô giảng dạy lớp Cao học K20 (2012- 2014) Trường Đại học Sư Phạm - Đại học Thái Nguyên tận tình truyền đạt kiến thức quý báu tạo điều kiện cho hồn thành khóa học Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người động viên, hỗ trợ tạo điều kiện cho tơi suốt q trình học tập thực luận văn Xin trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, tháng năm 2014 Người viết Luận văn Lê Cao Kiên ii Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Mở đầu Kí hiệu toán học 1 Cơ sở toán học 1.1 Hệ phương trình vi phân 1.2 Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân 1.2.1 Ổn định Luyapunov hệ phương trình vi phân 1.2.2 Ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân Các tiêu chuẩn ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân 2.1 2.2 Tính ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân tuyến tính 9 2.1.1 Sự ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân có nhiễu 12 2.1.2 Ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân có trễ 18 Ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân tuyến tính có nhiễu có trễ 21 Kết luận chung 25 Tài liệu tham khảo 26 iii Soá hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mở đầu Lý thuyết ổn định hữu hạn phận quan trọng lý thuyết định tính phương trình vi phân Bài toán ổn định hữu hạn khởi xướng từ năm 1970 nghiên cứu tính ổn định chuyển động, hệ thống mô tả hệ phương trình vi phân Một cách hình tượng, hệ thống gọi ổn định hữu hạn nhiễu nhỏ kiện cấu trúc ban đầu hệ bị chặn tồn hệ bị chặn Do đó, lý thuyết ổn định hữu hạn nghiên cứu xuất phát từ thực tiễn nhu cầu phát triển số ngành khoa học thực tế: toán kinh tế, toán thống kê, vật lý tốn, Đã nửa kỷ trơi qua lý thuyết ổn định lĩnh vực toán học nghiên cứu sôi đạt nhiều kết sâu sắc phong phú ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực học, vật lý toán, kinh tế, khoa học kỹ thuật, sinh thái học môi trường, Nội dung luận văn trình bày hai chương Chương trình bày kiến thức sở hệ phương trình vi phân, khái niệm tính ổn định hữu hạn nghiệm hệ phương trình vi phân Chương giới thiệu tiêu chuẩn ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới GS.TSKH Vũ Ngọc Phát người thầy tận tình bảo cho tơi q trình làm luận văn thày cô trường Đại Học Sư Phạm- ĐHTN thầy cô giảng dậy lớp cao học khóa 2012-2014 Mặc dù cố gắng nhiều luận văn tránh khỏi thiếu sót Tơi mong có ý kiến đóng góp thày ban Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Kí hiệu tốn học Tập số thực R R+ Tập số thực không âm n R Không gian véctơ Euclide n chiều Rn×n Khơng gian ma trận thực I AT P >0 λ(P ) λ(Q) λmax (P ) λmin (P ) C([a; b], Rn ) Ma trận đơn vị Ma trận chuyển vị ma trận A Ma trận xác định dương Các giá trị riêng thực ma trận P Các giá trị riêng ma trận Q Giá trị riêng lớn ma trận P Giá trị riêng thực nhỏ ma trận Q Không gian hàm liên tục từ [a; b] vào Rn Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương Cơ sở tốn học Trong chương chúng tơi trình bày kiến thức sở hệ phương trình vi phân nhằm mục đích sử dụng cho chương sau Nội dung chương bao gồm định nghĩa, khái niệm định lý hệ phương trình vi phân, giới thiệu lý thuyết ổn định Lyapunov tính ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân Những nội dung chương trình bày từ [1] − [3] 1.1 Hệ phương trình vi phân Hệ phương trình vi phân dạng tổng qt có dạng x(t) ˙ = f (t, x), x(t0 ) = x0 , t≥0 t0 ≥ (1.1) f : R+ × Rn −→ Rn Nếu vế phải (1.1) khơng phụ thuộc t ta nói hệ (1.1) hệ ơtơnơm, ngược lại ta nói hệ khơng ơtơnơm Nghiệm hệ phương trình vi phân (1.1) hàm số x(t) khả vi liên tục thỏa mãn: i) (t, x(t)) ∈ R+ × Rn ii) x(t) thỏa mãn hệ phương trình vi phân (1.1) Khi hàm f(t,x) liên tục I × D nghiệm x(t) cho dạng tích phân sau: t x(t) = x0 + f (s, x(s))ds t0 Định lý sau khẳng định tồn nghiệm hệ phương trình vi phân (1.1) Định lý 1.1 (Định lý Picard-Lindeloff ) Xét hệ phương trình vi phân (1.1) D tập tất x ∈ Rn cho ||x − x0 || < a với a > , Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ f : R+ × D −→ Rn liên tục theo t thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x: ∃K > : ||f (t, x1 ) − f (t, x2 )|| ≤ K||x1 − x2 ||, ∀t ≥ Khi đó, với (t0 , x0 ) ∈ I × D tìm số d > cho hệ phương trình vi phân (1.1) có nghiệm khoảng [x0 − d, x0 + d] Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính ơtơnơm dạng x(t) ˙ = Ax(t) + g(t), x(t0 ) = x0 , t ≥ 0, t0 ≥ (1.2) A ∈ Rn×n g : [0; +∞) −→ Rn hàm liên tục Hệ phương trình (1.2) ln có nghiệm (duy nhất) xác định [0, +∞) cho công thức Cauchy t x(t) = x0 e A(t−t0 ) eA(t−s) g(s)ds + t0 Đối với hệ phương trình vi phân khơng ơtơnơm tuyến tính dạng x(t) ˙ = A(t)x(t) + g(t), x(t0 ) = x0 , t≥0 t0 ≥ A(t) ∈ Rn×n hàm số liên tục R+ g : R+ −→ Rn hàm liên tục Khi A(t) hàm liên tục ||A(t)|| ≤ m(t) g(t) m(t) hàm khả tích hệ (1.3) có nghiệm (duy nhất) [0; ∞) Nghiệm hệ biểu diễn thông qua ma trận nghiệm φ(t, s) hệ x(t) ˙ = A(t)x(t), t ≥ 0, cho công thức : t x(t) = φ(t, t0 )x0 + φ(t, s)g(s)ds t0 Trong ma trận nghiệm φ(t, s) hệ tuyến tính thỏa mãn hệ phương trình d dt φ(t, s) = A(t)φ(t, s), t ≥ s ≥ φ(t, t) = I Ví dụ 1.1 Xét hệ phương trình vi phân x˙1 = 1, x˙2 = 2tx1 + et , t≥0 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Ta có 0 2t A(t) = , g(t) = et ma trận nghiệm t −s φ(t, s) = nghiệm tổng quát hệ có dạng x(t) = t 2 t − t0 1 t −s x0 + t0 et ds, với x(0) = Vậy nghiệm tổng quát hệ cho biểu diễn dạng x(t) = 1.2 1.2.1 3t t+2 + 2t2 + et Bài tốn ổn định hệ phương trình vi phân Ổn định Luyapunov hệ phương trình vi phân Xét hệ phương trình vi phân : x(t) ˙ = f (t, x), t ≥ 0, (1.3) f : R+ × Rn −→ Rn thỏa mãn điều kiện cho hệ (1.3) với điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 , t0 ≥ ln có nghiệm [0; ∞) Điều kiện ban đầu thường có cách đo lường nên tránh khỏi việc phạm sai số Một câu hỏi đặt sai số ảnh hưởng hay nhiều đến nghiệm phải tìm ? Nếu ảnh hưởng nhiều tức thay đổi bé điều kiện ban đầu lại gây nên thay đổi lớn nghiệm tìm nghiệm nói chung có giá trị phương diện ứng dụng dùng để mô tả gần tượng xét Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 4a1 − a2 2a2 10a3 − Theo điều kiện (2.2) định lý ta có a1 < 0, (10a3 − 5)(4a1 − 2) − 10a22 > a1 = 14 a1 = 14 a =2 a3 = a1 < 0, ⇔ 5a22 > − 5a3 a1 = 14 lấy A= Khi λmax (Q) = 5, λmin (Q) = c2 = 6, c1 = 2e−1 Khi hệ x˙1 (t) = 14 x1 (t) x˙2 (t) = 2x1 (t) + 5x2 (t) ổn định hữu hạn (2e−1 , 6, 1, I) 2.1.1 Sự ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân có nhiễu Xét hệ phương trình tuyến tính x(t) ˙ = Ax(t) + Gw(t), x(0) = x0 , w(t) ˙ = F w(t), w(0) = w0 , (2.11) (2.12) A ∈ Rn×n , G ∈ Rn×r , F ∈ Rr×r Định nghĩa 2.1 Hệ (2.11) gọi hệ ổn định hữu hạn (c1 , δ, c2 , T, R) với nhiễu thỏa mãn (2.12) xT0 Rx0 ≤ c1 , w0T Rw0 ≤ δ suy xT (t)Rx(t) < c2 , ∀t ∈ [0; T ] Định lý 2.2 .Hệ (2.11) ổn định hữu hạn (c1 , δ, c2 , T, R) tồn số α ≥ 0, số thực λi i = 1, 2, 3, hai ma trận đối xứng xác định dương Q1 ∈ Rn×n Q2 ∈ Rr×r cho thỏa mãn điều kiện sau AT Q˜1 + Q˜1 A − αQ˜1 Q˜1 G giải bất đẳng thức ma trận tuyến tính (2.13) phương pháp LMI Control Toolbox [5] Xác định ma trận A, P, A1 , Q, sau tìm λi từ (2.14)-(2.17) Ví dụ 2.3 Xét hệ phương trình x(t) ˙ = Ax(t) + Gw(t) Lấy R = I, α = 1, T = 1, chọn R = I Q˜1 = Q1 , Q˜2 = Q.Giả sử Q1 = 0 a1 a2 a3 ,A = Xét AT Q1 + Q1 A − Q1 < có a1 a2 a3 · 0 0 + a1 a2 a3 · 2a1 − 3a2 3a2 6a3 − Theo điều kiện (2.13) định lý ta có 2a1 < (2a1 − 1)(2a3 − 1) − 3a22 > a1 = −2 − a1 < 0, ⇔ 3a22 < − 10a3 a1 = −2 −2 −3 15 Soá hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN = Khi lấy A= 0 http://www.lrc.tnu.edu.vn/ lấy λ1 = 4, λ3 = 0, Ta tìm ma trận F Gọi Q2 = 0 f1 f2 f3 ,F = Xét F T Q2 + Q2 F − Q2 < có f1 f2 f3 · 0 0 + f1 f2 f3 · 6f1 − 4f2 4f2 8f3 − Theo điều kiện (2.13) định lý ta có 6f1 − < 3(2f1 − 1)(2f3 − 1) − 4f22 > f1 = −3 − 0 = f1 < 0, ⇔ f22 < 3(7 − 14f3 ) f1 = −3 Khi lấy lấy −3 −1 √ √ λ¯0 = −4 − 13 suy λ0 = −4 − 13, λ2 = 5, λ4 = 2, chọn F = G= −2 −5 −1 Ta cho c1 = δ = chọn c2 = 100e5 Khi hệ x˙1 (t) = −2x1 (t) − 2w1 (t) x˙2 (t) = 3x1 (t) + 3x2 (t) − 5w1 (t) − w2 (t) ổn định hữu hạn (1, 1, 100e5 , 1, I) w˙1 (t) = −3w1 (t) w˙2 (t) = 3w1 (t) − w2 (t) Ví dụ 2.4 Xét hệ phương trình x(t) ˙ = Ax(t) + Gw(t) Lấy R = I, α = 2, T = 1, chọn R = I Q˜1 = Q1 , Q˜2 = Q.Giả sử Q1 = 0 ,A = a1 a2 a3 a4 Xét AT Q1 + Q1 A − 2Q1 < 16 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ có a1 a3 a2 a4 · 0 0 + a1 a2 a3 a4 · 2a1 − 5a3 + a1 a2 + 5a3 10a4 − 10 −2 0 = Theo điều kiện (2.13) định lý ta có 2a1 − < 0, 20(a1 − 1)(a4 − 1) − (5a3 + a1 )(a2 + 5a3 ) > a1 = −2 a1 a2 ⇔ a3 a4 = −2 =1 =1 = −1 Khi lấy −2 1 −1 A= lấy λ1 = 6, λ3 = 0, Ta tìm hai ma trận F Gọi Q2 = 0 f1 f2 f3 ,F = Xét F T Q2 + Q2 F − 2Q2 < có f1 f2 f3 · 0 0 + · f1 f2 f3 4f1 − 4f2 4f2 8f3 − Theo điều kiện (2.13) định lý ta có 4f1 < 2(f1 − 1)(f3 − 1) > f22 f1 = −2 −2 0 f1 = −2 ⇔ f3 = −3 f2 = Khi lấy lấy −2 −3 √ √ λ¯0 = −5 − 17 suy λ0 = −5 − 17, λ2 = 5, λ4 = 1, chọn F = G= −3 −4 −1 Ta cho c1 = δ = chọn c2 = 920 Khi hệ x˙1 (t) = −2x1 (t) + x2 (t) − 3w1 (t) x˙2 (t) = x1 (t) − x2 (t) − 4w1 (t) − w2 (t) ổn định hữu hạn (1, 1, 920, 2, I) 17 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ = 2.1.2 Ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân có trễ Xét hệ phương trình sau x(t) ˙ = Ax(t) + A1 x(t − τ ), ∀t ∈ [0; T ], (2.24) với điều kiện ban đầu −τ ≤ t ≤ 0, x(t) = ψ(t), (2.25) A ∈ Rn×n A1 ∈ Rn×n ma trận thực, Ψ(t) : [−τ ; 0] −→ Rn hàm liên tục cho trước, τ > số cho trước Định nghĩa 2.2 Hệ (2.24) ổn định hữu hạn (c1 , c2 , T, R) max ΨT (t)RΨ(t) ≤ c1 −τ ≤t≤0 suy xT (t)Rx(t) < c2 , ∀t ∈ [0; T ] Định lý 2.3 Hệ (2.24) ổn định hữu hạn (c1 , c2 , T, R) tồn số α > hai ma trận đối xứng xác định dương P > 0, Q > cho điều kiện sau thỏa mãn AT P + P A − αP P A1 < 0, AT1 P −Q (2.26) ¯ λmax (P¯ ) + τ λmax (Q) c2 −αT, < e c1 λmin (P¯ ) (2.27) −1 ¯ = R− 12 QR− 12 P¯ = R− P R , Q Chứng minh Xét hàm t V (x(t)) = eαt P x(t), x(t) + eαt Qx(s), x(s) ds t−τ lấy đạo hàm theo t hai vế ta có: V˙ (x(t)) = eαt [ (AT P + P A + Q − αP )x(t), x(t) + P A1 x(t − τ ), x(t) ] −eαt [ Qx(t − τ ), x(t − τ ) ] + αV (x(t)) 18 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Ta có T x(t) V˙ (x(t)) = eαt x(t − τ ) AT P + P A + Q − αP P A1 AT1 P −Q x(t) x(t − τ ) +αV (x(t)) Từ điều kiện (2.26) suy V˙ (x(t)) < V (x(t)), t ∈ [0; T ], từ V˙ (x) < α, ∀t ∈ [0; T ] V (x) Lấy tích phân hai vế từ đến t ta V (x(t)) < eαt V (x(0)), ∀t ∈ [0; T ] (2.28) Mặt khác ta có V (x(t)) ≥ eαt P x(t), x(t) ≥ P x(t), x(t) 1 1 = xT (t)R R− P R− R x(t) (2.29) 1 Đặt P¯ = R− P R− ta có 1 ≥ xT (t)R P¯ R x(t) ≥ λmin (P¯ )xT (t)Rx(t) V (x(t)) (2.30) Hơn ta có đánh giá ¯ max ΨT (t)RΨ(t), t ∈ [0; T ] V (x(0)) ≤ [λmax (P¯ ) + τ λmax (Q)] −τ ≤t≤0 (2.31) ¯ = R− 12 QR− 12 Theo định nghĩa Q max ΨT (t)RΨ(t) ≤ c1 −τ ≤t≤0 từ (2.30) (2.31) ta có ¯ eαT λmin (P¯ )xT Rx(t) ≤ V (x(t)) ≤ V (x(0))eαt ≤ [λmax (P¯ ) + τ λmax (Q)]c Vì t ≤ T theo điều kiện (2.27) ta có T αT x (t)Rx(t) ≤ e ¯ λmax (P¯ ) + τ λmax (Q) c1 < c2 λmin (P¯ ) Định lý chứng minh 19 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Ví dụ 2.5 Xét hệ x(t) ˙ = Ax(t) + A1 x(t − τ ) với R = I, α = 1, T = 1, gọi a1 a2 a3 A= 0 ,Q = ,P = 0 Ta xét AT P + P A − P < Có a1 a2 a3 · 0 + 0 · a1 a2 a3 6a1 − 3a2 3a2 6a3 − Theo điều kiện (2.26) định lý ta có 2a1 < (2a1 − 1)(2a3 − 1) − 3a22 > a1 = −2 − 0 = a1 = −2 ⇔ a3 = −4 a2 = Vậy A= −2 −4 0 ,Q = ,P = 0 −3 −4 −1 Vì R = I , suy Tương tự ta tìm ma trận A1 = ¯ = Q, P¯ = P, Q λmax (P ) = λmin (P ) = λmax (Q) = lấy τ = 0, ta chọn c1 = e−1 , c2 = Như hệ x˙1 (t) = −2x1 (t) + 3x2 (t) − 3x1 (t − 0, 5) x˙2 (t) = −4x2 (t) − 4x1 (t − 0, 5) − x2 (t − 0, 5) ổn định hữu hạn (e−1 , 6, 1, I) Ví dụ 2.6 Xét hệ x(t) ˙ = Ax(t) + A1 x(t − τ ) với R = I, α = 6, T = 1, gọi A= a1 a2 a3 a4 0 ,Q = ,P = 0 Ta xét AT P + P A − 6P < 20 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Có a1 a3 a2 a4 · 0 0 + a1 a2 a3 a4 · 6a1 − 18 a3 + 3a2 3a2 + a3 2a4 − −6 0 = Theo điều kiện (2.26) định lý ta có a1 < a1 = 2 (a3 + 3a2 ) < 12(3 − a4 ) ⇔ (a3 + 3a2 )2 < 12(3 − a4 ) a1 = a4 < Vậy A= 0 ,Q = ,P = Tương tự ta tìm ma trận A1 = 0 −3 −4 −1 Vì R = I , suy ¯ = Q, P¯ = P, Q λmax (P ) = λmin (P ) = λmax (Q) = lấy τ = 0, ta chọn c1 = e−6 , c2 = Như hệ x˙1 (t) = 2x1 (t) + x2 (t) − 3x1 (t − 0, 2) x˙2 (t) = 3x1 (t) + x2 (t) − 4x1 (t − 0, 2) − x2 (t − 0, 2) ổn định hữu hạn (e−6 , 6, 1, I) 2.2 Ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân tuyến tính có nhiễu có trễ Sau ta xét tính ổn định hữu hạn cho hệ phương trình vi phân tuyến tính có nhiễu dạng x(t) ˙ = Ax(t) + A1 x(t − τ ) + Bw(t), x(t) = Ψ(t), t ∈ [−τ ; 0] (2.32) nhiễu w(t) ∈ Rn thỏa mãn điều kiện T ∃d > wT (t)w(t)dt ≤ d : 21 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ (2.33) Định nghĩa 2.3 Hệ (2.32) ổn định hữu hạn (c1 , c2 , T, R) với nhiễu thỏa mãn (2.33) từ max ΨT (t)RΨ(t) ≤ c1 −τ ≤t≤0 suy xT (t)Rx(t) < c2 ∀t ∈ [0; T ] Ta có định lý sau cho điều kiện đủ tính ổn định hữu hạn hệ (2.32) Định lý 2.4 .Hệ (2.32) ổn định hữu hạn (c1 , c2 , T, R) tồn số α > 0, ma trận đối xứng xác định dương P > 0, Q > cho điều kiện sau thỏa mãn AT P + P A − αP + Q P A1 P B AT1 P −Q < 0, BT P −I ¯ 1+d [λmax (P¯ ) + τ λmax (Q)]c < c2 e−αT ¯ λmin (P ) (2.34) (2.35) Chứng minh Xét hàm t V (x(t)) = e αt αt P x(t), x(t) + e Qx(s), x(s) ds t−τ Lấy đạo hàm hai vế theo t đánh chứng minh định lý (2.1.7) ta thu sau V˙ (x(t)) ≤ eαt [ (AT P + P A − αP + Q)x(t), x(t) + P A1 x(t − τ ), x(t) ]+ 2eαt [ P Bw(t), x(t) ] + αV (x(t)) Cộng trừ vế trái với eαt wT (t)w(t) ta V˙ (x(t)) ≤ eαt [ (AT P + P A − αP + Q)x(t), x(t) + P A1 x(t − τ ), x(t) ]+ eαt [2 P Bw(t), x(t) − wT (t)w(t)] + eαt wT (t)w(t) + αV (x(t)) = T AT P + P A − αP + Q P A1 P B x(t) x(t) αt T x(t − τ ) x(t − τ ) e A1 P −Q T w(t) w(t) B P −I +eαt wT (t)w(t) + αV (x(t)) Theo điều kiện (2.34) ta có V˙ (x(t)) < αV (x(t)) + eαt wT (t)w(t), ∀t ∈ [0; T ] 22 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ nhân hai vế với e−αt ta eαt V˙ (x(t)) − αe−αt V (x(t)) < wT (t)w(t), suy d −αt (e V (x(t))) < w(t), w(t) , dt Lấy tích phân hai vế từ đến t ta −αt e ∀t ∈ [0; T ] t wT (s)w(s)ds ∀t ∈ [0; T ] V (x(t)) < V (x(0)) + Vì t ≤ T suy V (x(t)) < eαT [V (x(0)) + d] Tương tự chứng minh định lý (2.1.7) ta có đánh giá sau V (x(t)) ≥ λmin (P¯ )xT Rx(t), ∀t ∈ [0; T ], ¯ max ΨT (t)RΨ(t) V (x(0)) ≤ [λmax (P¯ ) + τ λmax (Q)] −τ ≤t≤0 Từ định nghĩa max ΨT (t)RΨ(t) ≤ c1 , −τ ≤t≤0 ta có λmin (P¯ )xT Rx(t) ≤ V (x(t)) < eαT [V (x(0)) + d] ¯ + d) < eαT ([λmax (P¯ ) + τ λmax (Q)]c theo điều kiện (2.35) ta có ¯ 1+d [λmax (P¯ ) + τ λmax (Q)]c x (t)Rx(t) ≤ eαT < c2 ¯ λmin (P ) T Định lý chứng minh Nhận xét 2.2.2 Điều kiện ổn định hữu hạn hệ (2.32) xác định nghiệm bất đẳng thức ma trận (2.34) Để tính nghiệm (2.34) người ta cố định số α > giải bất phương trình ma trận phương pháp LMI Control Toolbox[5] Để tìm ma trận A, P, A1 , Q, B sau tìm số λi từ (2.35) Ví dụ 2.7 Xét hệ phương trình x(t) ˙ = Ax(t) + A1 x(t − τ ) + Bw(t), 23 Soá hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ A = (a), B = (b), A1 = (a1 ), Q = (2), P = (2), chọn α = 1, τ = 0, 5, T = Xét điều kiện AT P + P A − αP + Q P A1 P B −X = AT1 P −Q < 0, T B P −I hay X= −4a −2a1 −2b −2a1 −2b > 0, để X > hệ sau tỏa mãn −4a > a < −8a − 4a1 > ⇔ a21 + 2a < −8a − 4a21 − 8b2 > a1 + 2a + 2b2 < chọn a = −3 tính tốn ta chọn a1 = 2, b = 12 Khi chọn R = I d = 2e−1 , c1 = e−1 , chọn c2 = Vậy hệ x(t) ˙ = −3x(t) + 2x(t − 0, 5) + w(t) , ổn định hữu hạn (e−1 , 3, 1, I) 24 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Kết luận chung Tính ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân vấn đề nhiều nhà tốn học quan tâm đặc biệt quan tâm tới tính ứng dụng thực tế vai trò với nhiều ngành khoa học Tính ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân, cụ thể lớp hệ phương trình vi phân tuyến tính, hệ phương trình vi phân tuyến tính có nhiễu, hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ tốn khó hướng nghiên cứu nhiều nhà toán học quan tâm nội dung trình bày luận văn Những vấn đề luận văn • Nhắc lại số khái niệm tính chất hệ phương trình vi phân nghiệm hệ , ổn định theo Lyapunov, ổn định hữu hạn, , đồng thời trình bày số kiến thức xét ổn định hữu hạn hệ • Trình bày số kết giải toán ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân tuyến tính: Hệ phương trình vi phân tuyến tính, hệ phương trình vi phân tuyến tính có nhiễu, hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ 25 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Tài liệu tham khảo Tài liệu Tiếng Việt [1] Nguyễn Thế Hồn , Phạm Phu, Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định, NXB Giáo dục (2003) [2] Vũ Ngọc Phát,Nhập môn lý thuyết điều khiển toán học, NXB Đại Học Quốc Gia(2001) Tài liệu Tiếng Anh [3] F Amato, R Ambsosion, M Ariola, Finite-Time Stability and Control, Springer, Berlin (2013) [4] Gu G., Kharitonov V., Chen J., Stability of Time-delay Systems, Birkhauser, Berlin (2003) [5] Gahinet P., Nemirovskii A., Laub A.J., Chilali M., LMI Control Toolbox For use with MATLAB, the Math Works, Inc, (1995) [6] Dragutin L.E., Buzurovic I.M., Nestorovic T.P.,On Finite Time Stability and Asymptotic Practical Stability of Time Delayed Systems: New Delay Dependent Criteria In: Proc 30th Chinese Control Conference July 2224, Yantai, China, 1058-1065 (2011) 26 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ... trình vi phân Các tiêu chuẩn ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân 2.1 2.2 Tính ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân tuyến tính 9 2.1.1 Sự ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân. .. 1.1 Hệ phương trình vi phân 1.2 Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân 1.2.1 Ổn định Luyapunov hệ phương trình vi phân 1.2.2 Ổn định hữu hạn hệ phương trình. .. Trình bày số kết giải toán ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân tuyến tính: Hệ phương trình vi phân tuyến tính, hệ phương trình vi phân tuyến tính có nhiễu, hệ phương trình vi phân tuyến tính có