Chuyên đề Chuỗi số chuỗi hàm Bài 03.04.1.001  Tìm bán kính hội tụ chuỗi lũy thừa  n2 2n n   1 n n n xn Lời giải: Có lim n  n an  lim n n n 2/3  n1/2  1 1     2 n  lim n Vậy bán kính hội tụ R  n n n 2/3  n1/2   1  1          n  2 Bài 03.04.1.002  Tìm bán kính hội tụ chuỗi lũy thừa  n  1   2n !!  x   n 1 n0 Lời giải: an n   2n  !! n 1  lim  2n     Có lim n1  lim n a n  2n !! n n n Vậy bán kính hội tụ R   Bài 03.04.1.003 Tìm bán kính hội tụ chuỗi lũy thừa    1 n 1 Lời giải: Có lim n an n  n 1  lim 1 an1 n n n  Vậy bán kính hội tụ R  n 1  2 n 1   x  n Bài 03.04.1.004  x2n Tìm bán kính hội tụ chuỗi lũy thừa  n n 1 n Lời giải:   x2n Có  n   a n x n ,ta xét: lim  lim3 n n   R  n  n n a n 1 n n 1 n Vậy bán kính hội tụ R  Bài 03.04.1.005  n2 xn Tìm bán kính hội tụ chuỗi lũy thừa  n1  31ln n n2 Lời giải: 1/ n ln n   8  n  n n 1  3ln n   lim  lim  Có lim n n n n n an n n n 8.80  8 Vậy bán kính hội tụ R  Bài 03.04.1.006  n 1  Tìm bán kính hội tụ chuỗi lũy thừa    n2  n    n2  n 1 Lời giải: lim n  n n2  lim   an n   n   n  n 1 n     lim 1   n    n 1  n 1 3    lim 1   n   n 1     n  n 1 n 1 n  e6 n  n 1 n xn Vậy bán kính hội tụ R  e6 Bài 03.04.1.007  Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa xn  n 1 n Lời giải: an an 1  n 1  2:  1   nlim  a an 1 n  n  1  n  n 1 R  1, chuỗi hội tụ với x  , phân kì với x  x2 Tại x  có  mặt khác n n  n n 1 hội tụ Do chuỗi lũy thừa hội tụ x  Vậy miền hội tụ  1;1 Bài 03.04.1.008 Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa n2 n x n n0   Lời giải: an a n2 n3 n2  n : n 1   lim n  n  a an 1 3 n3 n 1 R  3, chuỗi hội tụ x  3, phân kì x  Tại x  có    a x    n  2 phân kỳ n n0 Tại x  3 có n n0    a x    1  n  2 phân kỳ n n0 n n0 n Miền hội tụ  3;3 Bài 03.04.1.009  xn Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa  n0 n  Lời giải: an a 1 n2  :   lim n  n  a an 1 n  n  n  n 1 R  1, chuỗi hội tụ với x  1, phân kỳ với x  Khi x  có   n  phân kỳ n 1 Khi x  1 có   1 n  n 1 chuỗi đan dấu hội tụ n 1 Miền hội tụ [  1; 1) Bài 03.04.1.010  x2n Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa   1  2n ! n0 n Lời giải: Không thể dùng công thức nửa hệ số chuỗi 0: a2 n 1  Đặt y  x  1 y n có chuỗi lũy thừa:  n   2n !  n   n  1 !  2n  2n  a  1 :  1 Có n      an 1  2n !   n  1 !  2n ! n  lim n  an  an 1 n 1 Miền hội tụ  ;   Bài 03.04.1.011  x  2  5 Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa n 1 n3 n * 3n  Lời giải: Ta đặt X  x  2, an  Ta có:  n3 3n  chuỗi (*) trở thành a X n n n 1 n  n 31/3 n n1/3  5  n 5n 3n  an n Nên bán kính hội tụ R = X   5;5  x    5;5  x   3;7  Xét x  3 chuỗi (*) trở thành 5 n3 n 1 Xét x  chuỗi (*) trở thành  5 n 1 an  3n  1 3n1/ (   5   3n   5 n3 n n 3 n0  3n  3 n0  1 n 3n  1 3n  1  1) Vậy miền hội tụ [  3, 7) Bài 03.04.1.012 Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa   n 1  x  5 n  * 3n n! Lời giải: Ta đặt X  x  5, an  n chuỗi (*) trở thành n!  a X n 1 n n hội tụ theo Leibniz phân kỳ  n  1! a n  Ta có: n    n  1   n an 1 n! n 1 Khi X  x    ,    x   ,   Vậy miền hội tụ chuỗi Bài 03.04.1.013 Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa tính tổng   n0 2n  x  2 n Lời giải:  Đặt X  , an  2n (1) trở thành x2   a X n0 n n (2) an 2n 1 Ta có lim  lim n 1   R  n  a n  2 n 1 n    1 Tại X    2n X n   2n    1n phân kỳ   n0 n0 n0 n    n n n n 1 Tại X     X         1 phân kỳ   n0 n0 n0  1 Do miền hội tụ (2)   ,   2 x  1 Ta có:     x2  x  4 Vậy miền hội tụ (*)  , 4   0,    Tính tổng: 1   n0 n0 Xét (2) có S  x    2n X n    2X    2X   S  x     2X     2X   n  S  x   lim Sn  x   lim n   S  x    2X  n  a  b2  2X Xét (1): Thay X  n n 1  2X n 1   2X  1 (Vì X    ,  )  2X  2  * vào (*): x2  S  x  1 x2    2X  x x2 Bài 03.04.1.014 n2   n  n Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa    x n 1  n   * Lời giải: Xét an  n n3 Ta có: lim n  n 1  n  an  lim   lim   R  e3  n n  n  e   n   n      n   n2  n  n   n  Tại x  e     x    n 1  n   n 1  n    lim n an   n  n2  e  n   n     1    n  3 n 1 n n2 e  n Vậy miền hội tụ chuỗi D   e3 , e3  Bài 03.04.1.015  n 1  Tìm miền hội tụ chuỗi    n   2n    n2  x  2 * 2n Lời giải: Đặt X   x   , X   n 1  n Ta tìm miền hội tụ chuỗi    X n   2n   n  Xét an  n 1 n 1 có lim n an  lim  R2 n  n  2n  2n  n  2n    n 1  n  Tại X  2 chuỗi (*) thành   1      1    2n    2n   n0 n0  n n 2n    nên chuỗi phân kỳ n  2n   lim n un  lim n  Vậy miền hội tụ theo X  2,   miền hội tụ x      x   Bài 03.04.1.016 Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa   n  x  2 * n n n 1 Lời giải: Ta đặt X  x  2, a n  nn chuỗi (*) thành  a X n 1 n n n n  an n nn  n   0  R n Khi X  x    x  Vậy miền hội tụ chuỗi cho {2} Bài 03.04.1.017 Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa   x  1 2 n 1 n n  *  3n Lời giải:  Ta đặt X  x  1, an  n chuỗi (*) thành  3n Ta có: n  n 2n  3n n a X n n n 1 n  3n  3 an Suy bán kính hội tụ R   X   3, 3  Tại X  3 chuỗi (*) trở thành:  n 1  3 n 2n  3n    un chuỗi phân kỳ n 1 3n n  Vì un  n  1   lim un  n x  3 Vậy miền hội tụ  2,  Bài 03.04.1.018 n2 Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa    n 1  n    n  n 1 xn Lời giải: n2 Đặt an     n 1  n    n  n 1 (*) trở thành  a x n 1 n n * Ta có lim n  n   an  lim 1   n   n 1  n2 Tại x       e n 1  n    lim n  n n  n 1 n 1 e R e n n n 1 n     n1  1            1   n   e    e n 1     an  lim 1   n   n 1 n 1 1  e   e e  1 Vậy miền hội tụ D    ,   e e Bài 03.04.1.019 n  n 1  Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa     x  2 n 1  3n    n  * Lời giải:  n 1  Đặt X  x  2, an    chuỗi (*) trở thành n    Xét lim n an  lim n  n   a X n 1 n n (**) n 1  R3 3n   n n  n 1   3n   Tại X  3 ta     3      1 n 1  3n   n 1  3n    Có lim n un  lim n  n  n 3n    nên X  3 chuỗi không hội tụ 3n  Vậy miền hội tụ chuỗi (**)  3, 3 miền hội tụ chuỗi (*)  1, 5 Bài 03.04.1.020 n Do 1), từ bất đăng thức ta có R '  R, từ bất đẳng thức sau ta có R  R ' Vì R  R ' 3) a) un  x   an x n an  Đặt bn  , ta có: en lim n chn 2en Ta có: an ~ n  n n   sh n e e bn1  bn e Vậy R  e n      b) un  x   an x n , an  arccos 1   Khi  đó:   arccos    n      n          2    arccos 1   ~ sin  arccos 1      cos arccos 1    1  1     n   n   n    n    2 2 2          ~    n  2n  n  4n  n  n Bằng quy tắc D’Alembert, dễ dàng nhận thấy bán kính hội tụ chuỗi lũy  thừa  n 1 n x 1, n Vậy bán kính hội tụ chuỗi cho c) un  x   an x n , đó:  n   1n ln n  1n ln1 1n   an  n   n  n  n  1  e  e  1   n     n n n ln n  1 Khi n  , ln n   e n  Vì ln 1    n  , nên: n n  n e  1 ln 1  n  n 1 ~  1 ln 1   ~ n  n  n2 Vậy an ~ n  , mà bán kính hội tụ chuỗi n  xn  n 1 n Vậy bán kính hội tụ chuỗi cho 1   1   n  d) un  x   an x , đó: an  cos  n  n   cos  n 1       n n       Mà: 2   1 2  1 1  1 1     1     1                     2 n n  8 n n  2n 8n  n   n n   n n     3 n 1 3   Do an  cos   n   n       ~  1 8n 8n  n    Bán kính hội tụ chuỗi lũy thừa   1 n 1 n 1 3 1, bán kính hội tụ 8n chuỗi cho Bài 03.04.1.073.A751 Tìm biểu thức chuỗi lũy thừa hàm f  x   tìm miền hội tụ chuỗi 1 x Lời giải:   1 n n f  x       x     1 x n ,  x   x  1  x    x  n 0 n 0 Vậy bán kính hội tụ R  1, miền hội tụ I   1, 1 Bài 03.04.1.074.A751 Tìm biểu thức chuỗi lũy thừa hàm f  x   chuỗi Lời giải: tìm miền hội tụ  4x Có f  x       n   x  4n x n      2   4x   x  n 0 n 0 Chuỗi hội tụ x   x  1  x  1 Vậy R  , I    ,   2 Bài 03.04.1.075.A751 Tìm biểu thức chuỗi lũy thừa hàm f  x   tìm miền hội tụ chuỗi 3 x Lời giải: 2    x  f  x         x   x /  n 0   Chuỗi hội tụ n x 1 x  3 Vậy R  3, I   3, 3 Bài 03.04.1.076.A751 Tìm biểu thức chuỗi lũy thừa hàm f  x   tìm miền hội tụ chuỗi x  10 Lời giải:    x n 1 f  x          hay x  10 10     x / 10   10 n0  10  Chuỗi hội tụ x   x  10 10 Vậy R  10, I   10, 10  Bài 03.04.1.077.A751    1 n 0 n n x 10n1 Tìm biểu thức chuỗi lũy thừa hàm f  x   x tìm miền hội tụ chuỗi  x2 Lời giải:  x x x 1 f  x      2 9 x 1   x / 3  1    x / 32        n 2n n 1  x  x  x  n x n x           1 n    1 n1 n0     n0 9 n 0  x2  x Chuỗi hội tụ      1 x   x  3 Vậy R  3, I   3,  Bài 03.04.1.078.A751 Tìm biểu thức chuỗi lũy thừa hàm f  x   x 2x  tìm miền hội tụ chuỗi Lời giải:    n   f  x  x  x  x   hay tương đương     2 x   2x  n 0   x Chuỗi hội tụ 2x   x  Vậy R     1 n 2n x n1 n 0 1 x 2 1   , I   ,  2 2  Bài 03.04.1.079.A751 Tìm biểu thức chuỗi lũy thừa hàm f  x   Lời giải: 1 x tìm miền hội tụ chuỗi 1 x f  x       1 x   n n n 1 n  1  x     x x  x  x   x  xn         1 x 1 x  n 0 n 0 n 0 n 1 n 1    2 x n n 1 Cách f  x      x  1  x     n   1      x   xn    1 x 1 x 1 x  n 0 n 1 Cách f  x   1 x    1  x     1  x  1  x  x  x   1 x 1 x   1  x  x  x3     x  x  x3  x      x  x  x3    2 x n n 1 Chuỗi hội tụ x  Vậy R  1, I   1, 1 Bài 03.04.1.080.A751 Tìm biểu thức chuỗi lũy thừa hàm f  x   x2 tìm miền hội tụ a3  x3 chuỗi Lời giải: n  x2 x2 x   x3  x3n2 f  x        a  x a  x / a a n   a  n  a n 3 x3 Chuỗi hội tụ   x3  a  x  a a Vậy R  a , I    a , a  Bài 03.04.1.081.A752 Tìm biểu thức chuỗi lũy thừa hàm f  x   ln   x  tìm bán kính hội tụ Lời giải: dx dx f  x   ln   x         5 x 1 x / 5    x n      dx  n0      x n1 xn C   n C n n0  n  1 n 1 n5 Chọn x   C  ln Chuỗi hội tụ x /   x  nên R  Bài 03.04.1.082.A752 Tìm biểu thức chuỗi lũy thừa hàm f  x   x tan 1  x3  tìm bán kính hội tụ Lời giải: f  x   x tan 1 x   x  x       2n     1 n 1   n n 0 n n 0 n 5 x6 n32  n x    1 2n  n  2n  Chuỗi hội tụ x3   x  nên R  Bài 03.04.1.083.A752 Tìm biểu thức chuỗi lũy thừa hàm f  x   x 1  x  tìm bán kính hội tụ Lời giải: Ta có  1 n     4x   x   4 x  n0 Mặt khác f  x  4  1  x  x 1  x  2    4  nx n 1 n n 1     4  n 1  n  1 x n nên: n 0  x 4 x  n 1 n n    4   n  1 x    1 4n  n  1 x n1  1  x  n 0 n 0 Chuỗi hội tụ 4 x   x  1 nên R  4 Bài 03.04.1.084.A752  x  Tìm biểu thức chuỗi lũy thừa hàm f  x     tìm bán kính hội tụ 2 x Lời giải: n  1   x d   d   n Có        n1 x n    x   x 1  x /  n0   n0 dx   x  dx  n0 2n1     d   1 d   n 1 nx     n1 nx n1    n 1 dx    x   dx  n1 n 1   2  x    n   n  1 x n n2   n1 n  n  1 x   n 3 n2 n 0  2  x Do đó, x3 x3 x3   n   n  1 n   n   n  1 n3  x  f  x      x  x     x 3 n0 n 3 2n    x  2  x n 0 Với x   x  nên R  2 Bài 03.04.1.085.A752 1 x Tìm biểu thức chuỗi lũy thừa hàm f  x   1  x  tìm bán kính hội tụ Lời giải: Ta có  1  x    x  3x    nx 2 Do đó, f  x   n 1 n 1 1 x 1  x   1  x      n  1 x n n 0  x 1  x       n  1 x    n  1 x n1 n n 0 n 0   n 0 n 1    n  1 x n   nx n    n 1 n 1 n 0     n  1  n  x n     2n  1 x n    2n  1 x n Vậy R  Bài 03.04.1.086.A752 Tìm biểu thức chuỗi lũy thừa hàm f  x   x2  x 1  x  tìm bán kính hội tụ Lời giải: Ta có 1  x    n 1 n 0   x  3x    nx n1    n  1 x n  d   d   n     n  1 x      n  1 nx n1 Nên   dx  1  x   dx  n0 n 1  1  x  Do f  x   x2  x 1  x   x2 1  x   x 1  x   x2 x  1  x  1  x 3  n  1 n n1   n  1 n n x2  x   n 1 n 1    n  1 nx    n  1 nx   x  x n1 n1 2 n 1 n 1 n  n  1 n   n  1 n n  x  x 2 n2 n 1     n2  n n n2  n n x x x  x   n2 xn   n2 xn 2 n2 n2 n2 n 1   Vậy R  Bài 03.04.1.087.A752 Tìm biểu thức chuỗi lũy thừa hàm f  x   x tìm bán kính hội tụ x  16 Lời giải:  x   x n x  x x n          1 f  x    x2n n x  16 16     x / 16   16 n0  16  16 n0 16    n1 n    1 x 16n1 n 0 x2 Chuỗi hội tụ    x  16  x  16 Vậy R  Bài 03.04.1.088.A752 Tìm biểu thức chuỗi lũy thừa hàm f  x   ln  x   tìm bán kính hội tụ Lời giải: n 1  x   x n  2x 2x  n x        Ta có: f '  x         22n1 x  4     x /   n 0   n 0   Nên f  x     x n1 x n2 x n2 n n  ln    1  1 n1 dx  C    1 n1  2  2n    n  1 22 n2 n 0 n 0 n 0  n Chọn x   f  0  ln  C  ln x2 Chuỗi hội tụ    x   x  Vậy R  Bài 03.04.1.089.A752 1 x  Tìm biểu thức chuỗi lũy thừa hàm f  x   ln   tìm bán kính hội tụ  x   Lời giải: dx dx dx dx 1 x  f  x   ln       ln 1  x   ln 1  x    1 x 1 x 1 x 1 x 1 x     n      1 x n   x n  dx   1  x  x  x    1  x  x  x    dx n 0  n 0    x n1 2n     x  x   dx    x dx  C   n 0 n 0 2n  1 Chọn x   f    ln   C  x n1 Vậy ta có chuỗi f  x    với R  n 0 2n   Bài 03.04.1.090.A752 Tìm biểu thức chuỗi lũy thừa hàm f  x   tan 1  x  tìm bán kính hội tụ Lời giải: f  x   tan 1  x      C  2 n 0  1 dx  2  4x2    1 n n 0 4x  n dx      1 n 4n x n dx n 0 4n x n1   1 22 n1 x n1  2n  2n  n 0 n n Do chọn x   f    tan 1   C  Chuỗi hội tụ x   x  Vậy R  Bài 03.04.1.091.A752 Áp dụng chuỗi lũy thừa tính tích phân xác đến chữ số thập phân:  0.2 dx  x5 Lời giải:   1 n n Ta có:      x     1 x5n 5  x    x  n 0 n 0 dx    x5  x5 n1  1 x dx  C    1  5n  n 0 n 0  n  n 5n   x x11  0.2    0.2   dx  x     0.2     x5 11 11  0 0.2 Do đó, I   0.2 11 Đây chuỗi Leibnitz, sử dụng hai điều kiện đầu tiên, độ lệch nhiều  0.2  11 / 11  1.9x109 Vậy I  0.2   0.2  /  0.199989 Bài 03.04.1.092.A752 Áp dụng chuỗi lũy thừa tính tích phân xác đến chữ số thập phân:  0.4 ln 1  x  dx Lời giải: Ta có 1    x  x  x3   x 1 x x  nên lấy tích phân vế được: dx   1  x  x  x  dx 1 x n  x x3 x n 1 x  x      C    1 C n n 1 ln 1  x     Chọn x   C   ln 1  x     1 n 1 n 1 xn n x 1 x 1    ln 1  x  dx     1 n 1 n 1  x4n x n1 n 1 dx  C    1 n n  4n  1 n 1 0.4 Do đó, I   0.4  0.4   5  x5 x9 x13 x17  ln 1  x  dx         18 39 68 0  0.4   18  0.4    0.4   13 17 39 68  Đây chuỗi Leibnitz, ta áp dụng hai điều kiện đầu tiên, sai lệch nhiều  0.4  / 68  2.5x109 17  0.4  I Vậy  0.4   18 0.4   13  0.002 034 39 Bài 03.04.1.093.A752 Áp dụng chuỗi lũy thừa tính tích phân xác đến chữ số thập phân:  0.1 x arctan  3x  dx Lời giải: Có tan x   1 x3 x5 x dx   1  x  x  x   dx  C  x     x2 x n1 Chọn x   C  tan  nên: tan x    1 2n  n 0 1 Do đó:    1  x arctan  3x  dx   x   1 n 0 n  3x  n n 1 2n  dx  32 n1 x n 32 n1 x n3 n  C    1  1  2n   2n  1 2n  3 n 0 n 0  n 0.1  0.1  3x3 33 x5 35 x 37 x9  243 2187 x arctan  3x  dx            5.7 7.9  1.3 3.5  10 5.10 35.10 63.10 Đây chuỗi Leibnitz, ta áp dụng hai điều kiện đầu tiên, sai lệch nhiều 2187  3.5x108 63.10 Vậy I  243    0.000 983 10 5.10 35.10 Bài 03.04.1.094.A752 Áp dụng chuỗi lũy thừa tính tích phân xác đến chữ số thập phân:  0.3 x2 dx  x4 Lời giải:  0.3 n    0.3 1 x n3  x2  n 4n dx   x   1 x dx      x4 n  n 0 n 0    0.3  1 34 n3  n 3 n 0  n   10  n 33 37 311 =    3.103 7.107 11.1011 Đây chuỗi Leibnitz, ta áp dụng hai điều kiện đầu tiên, sai lệch nhiều 311  0.000 000 16 11.1011 33 37 Vậy I    0.008 969 3.103 7.107 Bài 03.04.1.095.A752  a) Bắt đầu với chuỗi  xn tính tổng chuỗi n 0 b) Tìm tổng chuỗi sau: i    nx n 1 x  n 1   nxn , x  n 1  ii   n 2 n 1 n c) Tìm tổng chuỗi sau:   i   n  n  1 x n2 n , x 1 n2  n  ii   n n2   n2  iii   n n 1 Lời giải:  a)  nx n 1 n 1 b)  i  d n d   n d   1   x   x     1  , x    dx  n0  dx 1  x  n 0 dx 1  x  1  x      x n n 1 nx  x nx  x , x      (từ câu a)   x  x n 1 n 1         ii  Thay x  vào ý  i  : c)  i    n  n  1 x n x n2 n   n 1/ 1  n       n 2  1  /  n 1 n 1    n  n  1 x d   n1  d x nx   x   dx  n1 dx 1  x 2  n2 n2 x 2 1  x   ii  Thay x  vào ý  i  :  x2 1  x  , x 1 1 /  n2  n  1   n  n  1      n   1  /  n2 n2 n  iii  Từ b  ii  c  ii  ta có: n2  n2  n  n   n   n     n 2 n 1 n 1 n 1  Bài 03.04.1.096.A753 Sử dụng chuỗi số nhân tan 1 x chứng minh  tổng chuỗi vô hạn    3 n 0  1 n  2n  1 3n Lời giải: Có tan x   1 x3 x5 x dx   1  x  x  x   dx  C  x     x2  Chọn x   C  tan 1  nên: tan 1 x    1 n 0 n x n1 2n  Chọn x   ta có: n    tan     1    n 0 1  1 /  n 1 2n   n 1 1    1     2n  n 0 n    1  1 (dpcm)      n n n0  2n  1 n 0  2n  1 n n ... với x  x2 Tại x  có  mặt khác n n  n n 1 hội tụ Do chuỗi lũy thừa hội tụ x  Vậy miền hội tụ  1;1 Bài 03.04.1.008 Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa n2 n x n n0   Lời giải: an a n2 n3...  Vậy miền hội tụ chuỗi cho {2} Bài 03.04.1.017 Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa   x  1 2 n 1 n n  *  3n Lời giải:  Ta đặt X  x  1, an  n chuỗi (*) thành  3n Ta có: n  n 2n  3n... 1, 3 Bài 03.04.1.024 n Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa    x  5 * n n2 n0 Lời giải: Có lim n  n an  lim n  n 2n 0 n  2n  lim Khi bán kính hội tụ R  Vậy chuỗi hội tụ 5 Bài 03.04.1.025