Trang 1 / 4 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO  ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2009 Môn: TOÁN; Khối: D (Đáp án - thang điểm gồm 04 trang) ĐÁP ÁN − THANG ĐIỂM Câu Đáp án Điểm I (2,0 điểm) 1. (1,0 điểm) Khảo sát… Khi m = 0, y = x 4 − 2 x 2 .  Tập xác định: D = \ .  Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: y ' = 4 x 3 − 4 x; y ' = 0 ⇔ x = ±1 hoặc x = 0. 0,25 Hàm số nghịch biến trên: (− ∞ ; − 1) và (0;1); đồng biến trên: (− 1; 0) và (1; + ∞). - Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại x = ±1, y CT = − 1; đạt cực đại tại x = 0, y CĐ = 0. - Giới hạn: lim y = lim y = +∞. x→− ∞ x→+∞ 0,25 - Bảng biến thiên: x − ∞ − 1 0 1 +∞ y' − 0 + 0 − 0 + +∞ 0 +∞ y − 1 − 1 0,25  Đồ thị: y 8 − 1 O 1 − 2 − 1 2 x 0,25 2. (1,0 điểm) Tìm m . Phương trình hoành độ giao điểm của (C ) và đường thẳng y = − 1: x 4 − (3m + 2) x 2 + 3m = − 1. m Đặt t = x 2 , t ≥ 0; phương trình trở thành: t 2 − (3m + 2)t + 3m + 1 = 0 0,25 ⇔ t = 1 hoặc t = 3m + 1. 0,25  0 < 3m + 1 < 4 Yêu cầu của bài toán tương đương:   3m + 1 ≠ 1 0,25 ⇔ − 1 < m < 1, m ≠ 0. 3 0,25 II (2,0 điểm) 1. (1,0 điểm) Giải phương trình… Phương trình đã cho tương đương: 3 cos 5x − (sin 5x + sin x) − sin x = 0 ⇔ 3 cos 5x − 1 sin 5x = sin x 2 2 0,25 ⇔ sin   − 5x  = sin x 0,25 Câu Đáp án Điểm ⇔  − 5x = x + k 2  hoặc  − 5x =  − x + k 2  . 3 3 0,25 Vậy: x =  + k  hoặc x  + k  ( k ∈ ] ). = − 18 3 6 2 0,25 2. (1,0 điểm) Giải hệ phương trình…  x + y + 1 − 3 = 0 Hệ đã cho tương đương:  x  ( x + y) 2 − 5 + 1 = 0   x 2 0,25  x + y = 3 − 1  x + y = 3 − 1  x    x ⇔  2 ⇔    3 − 1  − 5 + 1 = 0  4 − 6 + 2 = 0    x  x 2   x 2 x   0,25  1  1 = 1 = 1  ⇔  x hoặc  x 2    x + y = 2  x + y = 1   2 0,25  x = 1  x = 2 ⇔  hoặc  3   y = 1  y = − . Nghiệm của hệ: ( x; y) = (1;1) và ( x; y) =  2; − 3  .  2    0,25 III (1,0 điểm) Tính tích phân… Đặt t = e x , dx = dt ; x = 1, t = e; x = 3, t = e 3 . t 0,25 e 3 dt e 3 1 1   I = ∫ t (t − 1) = ∫  t − 1 − t  dt e e   0,25 3 3 = ln | t − 1 | e − ln | t | e e e 0,25 = ln(e 2 + e + 1) − 2. 0,25 IV (1,0 điểm) Tính thể tích khối chóp . M Hạ IH ⊥ AC (H ∈ AC ) ⇒ IH ⊥ ( ABC ) ; IH là đường cao A' ' của tứ diện IABC. ⇒ IH // AA ' ⇒ IH = CI = 2 ⇒ IH = 2 AA ' = 4a . AA ' CA ' 3 3 3 2a AC = A 'C 2 − A ' A 2 = a 5, BC = AC 2 − AB 2 = 2a. Diện tích tam giác ABC : S = 1 AB.BC = a 2 . A C ⊗ ABC 2 1 4a 3 Thể tích khối tứ diện IABC : V = IH .S ⊗ ABC = . B 3 9 0,50   2 C I K B' 3a H a Câu Đáp án Điểm Hạ AK ⊥ A ' B (K ∈ A ' B). Vì BC ⊥ ( ABB ' A ') nên AK ⊥ BC ⇒ AK ⊥ ( IBC ). Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( IBC ) là AK . 0,25 AK = 2S ⊗ AA ' B = AA '.AB = 2a 5 . A ' B A ' A 2 + AB 2 5 0,25 V (1,0 điểm) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất… Do x + y = 1, nên: S = 16 x 2 y 2 + 12( x 3 + y 3 ) + 9 xy + 25 xy = 16x 2 y 2 + 12  ( x + y) 3 − 3xy( x + y)  + 34xy = 16 x 2 y 2 − 2 xy + 12.   0,25 2 ( x + y) 2 1  1  Đặt t = xy, ta được: S = 16t − 2t + 12; 0 ≤ xy ≤ 4 = 4 ⇒ t ∈  0; 4  .   Xét hàm f ( t ) = 16 t 2 − 2 t + 12 trên đoạn  0; 1   4    f '( t ) = 32t − 2; f '( t ) = 0 ⇔ t = 1 ; f (0) = 12, f  1  = 191 , f  1  = 25 . 16  16  16  4  2     max f (t) = f  1  = 25 ; min f (t) = f  1  = 191 .      0; 1   4  2  0; 1   16  16   4     4   0,25  x + y = 1 Giá trị lớn nhất của S bằng 25 ; khi  1 ⇔ ( x; y) =  1 ; 1  . 2   xy =  2 2    0,25 191  x + y = 1 Giá trị nhỏ nhất của S bằng ; khi  1 16  xy =  ⇔ ( x; y) =  2 + 3 ; 2 − 3  hoặc ( x; y) =  2 − 3 ; 2 + 3  .  4 4   4 4      0,25 VI.a (2,0 điểm) 1. (1,0 điểm) Viết phương trình đường thẳng…  7 x − 2 y − 3 = 0 Toạ độ A thoả mãn hệ:  ⇒ A (1; 2).  6 x − y − 4 = 0 B đối xứng với A qua M , suy ra B = (3; − 2). 0,25 Đường thẳng BC đi qua B và vuông góc với đường thẳng 6 x − y − 4 = 0. Phương trình BC : x + 6 y + 9 = 0. 0,25  7 x − 2 y − 3 = 0  3  Toạ độ trung điểm N của đoạn thẳng BC thoả mãn hệ:  ⇒ N  0; −  .  x + 6 y + 9 = 0  2  0,25 JJJ G JJJJ G ⇒ AC = 2.MN = ( − 4; − 3 ) ; phương trình đường thẳng AC : 3 x − 4 y + 5 = 0. 0,25 2. (1,0 điểm) Xác định toạ độ điểm D . JJJ G  x = 2 − t AB = ( − 1;1; 2), phương trình AB :  y = 1 + t  z = 2 t .  0,25 JJ G D thuộc đường thẳng AB ⇒ D(2 − t; 1 + t; 2 t ) ⇒ CD = (1 − t; t; 2 t ). 0,25  Câu Đáp án Điểm Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) : n = (1 ; 1;1). C không thuộc mặt phẳng (P). G JJJ G 1 5 1 CD //(P) ⇔ n.CD = 0 ⇔ 1.(1 − t) + 1.t + 1.2t = 0 ⇔ t = − . Vậy D  ; ; − 1  . 2  2 2    0,50 VII.a (1,0 điểm) Tìm tập hợp các điểm… Đặt z = x + yi ( x, y ∈ \ ) ; z − 3 + 4i = ( x − 3 ) + ( y + 4 ) i . 0,25 Từ giả thiết, ta có: ( x − 3 ) 2 + ( y + 4 ) 2 = 2 ⇔ ( x − 3 ) 2 + ( y + 4 ) 2 = 4. 0,50 Tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I ( 3; − 4 ) bán kính R = 2. 0,25 VI.b (2,0 điểm) 1. (1,0 điểm) Xác định toạ độ điểm M . Gọi điểm M ( a ; b ) . Do M ( a ; b ) thuộc (C) nên ( a − 1 ) 2 + b 2 = 1; O ∈ (C ) ⇒ IO = IM = 1. 0,25 Tam giác IMO có O n IM = 120 D nên OM 2 = IO 2 + IM 2 − 2IO.IM .cos120 D ⇔ a 2 + b 2 = 3. 0,25 2  a = 3   ( a − 1 ) + b 2 = 1  2  3 3  Toạ độ điểm M là nghiệm của hệ ⇔ Vậy M = ; ± .  2 2      a + b = 3  b = ± 3 .  2 2    2 0,50 2. (1,0 điểm) Viết phương trình đường thẳng…  x + 2 = y − 2 = z Toạ độ giao điểm I của ⊗ với (P) thoả mãn hệ:  1 1 − 1 ⇒ I ( − 3 ; 1;1).    x + 2 y − 3z + 4 = 0 0,25 G Vectơ pháp tuyến của (P) : n = (1 ; 2 ; − 3); vectơ chỉ phương của ⊗ : u = (1;1; − 1). 0,25 G G G Đường thẳng d cần tìm qua I và có vectơ chỉ phương v =  n, u  = ( 1; − 2; − 1 ) .   0,25  x = − 3 + t Phương trình d :  y = 1 − 2 t  z = 1 − t .  0,25 VII.b (1,0 điểm) Tìm các giá trị của tham số m . x 2 + x − 1 Phương trình hoành độ giao điểm: = − 2 x + m ⇔ 3x 2 + (1 − m) x − 1 = 0 ( x ≠ 0). x 0,25 Phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 khác 0 với mọi m. 0,25 Hoành độ trung điểm I của AB : x = x 1 + x 2 = m − 1 . I 2 6 0,25 I ∈ Oy ⇔ x = 0 ⇔ m − 1 = 0 ⇔ m = 1. I 6 0,25  -------------Hết------------- . GIÁO D C VÀ ĐÀO TẠO  ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2009 Môn: TOÁN; Khối: D (Đáp án - thang điểm gồm 04 trang) ĐÁP. gồm 04 trang) ĐÁP ÁN − THANG ĐIỂM Câu Đáp án Điểm I (2,0 điểm) 1. (1,0 điểm) Khảo sát… Khi m = 0, y = x 4 − 2 x 2 .  Tập xác định: D = .  Sự biến thiên: