Luyện tập Toán Chủ đề : Lợng giác Một số công thức lợng giác 1.Công thức lợng giác cơ bản: a. sin tan cos = b. cos cot , ( k , k ) sin tan = = 1 2 c. sin( k ) sin + = 2 ; cos( k ) cos + = 2 d. =+=+ kkk ,cot)cot(;tan)tan( e. cos sin + = 2 2 1 g. )0cos(, cos 1 tan1 2 2 =+ khi h. )0sin(, sin 1 cot1 2 2 =+ khi 2.Giá trị LG của các góc có liên quan đặc biệt Hai góc đối nhau: góc và - sin(- ) = - sin cos(- ) = cos tan(- ) = - tan cot(- ) = - cot Hai góc bù nhau góc và góc - sin( - ) = sin cos( - ) = - cos tan( - ) = - tan cot( - ) = - cot Hai góc hơn kém nhau và góc + sin( + ) = - sin cos( + ) = - cos tan( + ) = tan cot( + ) = cot Hai góc phụ nhau:góc góc 2 - sin( 2 - )= cos ;cos( 2 - ) = sin tan( 2 - ) = cot ;cot( 2 - ) = tan 3.Công thức cộng :cos =+ )( cos . cos - sin . sin (1) cos( - ) = cos . cos + sin .sin (2) sin( + ) = sin cos + cos sin (3) sin( - ) = sin . cos - cos . sin (4) ( ) tan tan tan tan tan + + = 1 (5) ( ) tan tan tan tan tan = + 1 (6) 4.Công thức nhân đôi: cos2 = cos 2 -sin 2 (7a) sin2 = 2.sin cos (8). tan2 = 2 tan1 tan2 (9) = 2cos 2 -1 (7b) = 1- 2sin 2 (7c). Lu ý: sin3a = 3sin a -4sin 3 a ; cos3a = 4cos 3 a -3cosa 5.Công thức hạ bậc: cos cos cos ; 2 sin + = = 2 1 2 1 2 2 2 (10-11) 6.Công thức biến đổi tích thành tổng: )]cos()[cos( 2 1 cos.cos ++= )]cos()[cos( 2 1 sin.sin += )]sin()[sin( 2 1 cos.sin ++= 7.CT biến đổi tổng thành tích: 2 cos 2 cos2coscos yxyx yx + =+ ; 2 sin 2 sin2coscos yxyx yx + = ; 2 cos 2 sin2sinsin yxyx yx + =+ ; x y x y sin x sin y cos sin + = 2 2 2 Chú ý: Sinx+cosx= sin x + ữ 2 4 sin x cosx sin x = ữ 2 4 8.Bảng GTLG của một số góc đặc biệt 0(0 0 ) 6 (30 0 ) 4 (45 0 ) 3 (60 0 ) 2 (90 0 ) 2 3 (120 0 ) 3 4 (135 0 ) 5 6 (150 0 ) (180 0 ) sin 0 2 1 2 2 2 3 2 4 2 3 2 2 2 1 2 0 2 cos 4 2 3 2 2 2 1 2 0 2 - 1 2 - 2 2 - 3 2 - 4 2 tan 0 3 3 1 3 P - 3 -1 - 3 3 0 Bài 1: Góc và cung lợng giác GV: Vũ Hoàng Sơn 1 Luyện tập Toán Chủ đề : Lợng giác Giá trị lợng giác của góc ( Cung) lợng giác 1.đổi số đo radian của cung tròn sang số đo độ. a) 3 4 ;b) 2 3 ; c) 11 6 ; d) 3 7 ; e) 2,3; f) 4,2 2. Đổi số đo độ của cung tròn sang số đo radian a) 45 0 ; b) 150 0 ; c) 72 0 ; d) 75 0 3. Trên đờng tròn lợng giác hãy tìm các điểm xác định bởi các số: K 4 2 + ( ) K ; K 3 ( ) K ; K 2 5 ( ) K . 4. Tìm GTLG sin, côsin, tang của các góc LG có số đo sau *) 120 0 ; -30 0 ;-250 0 ,750 0 ,510 0 . *) ; ; ; ; 5 7 5 4 17 4 2 3 3 3 . 5.Xác định dấu của sin ,cos , tan , biết : a) 3 2 < < . b) ; 3 7 7 c) 2 2 4 4 < < < < . 6.Tính các giá trị lợng giác còn lại của , biết a)cos 5 13 = và 3 2 2 < < . b) sin = 0,8 và 2 < < . c) tan = 15/8 và 3 2 < < . d) cot = -3 và 3 2 2 < < . 7.Cho tan =3.Tính sin cos a) sin cos sin cos 3 3 2 3 3sin -2cos b) 4 5 5 4 + + . 8.Chứng minh các đẳng thức : a) tan sin tan . cot cos 2 2 6 2 2 = b) sin cos tan tan tan cos 2 3 3 1 + = + + + . c) ( ) ( ) sin cot cos tan sin cos . 2 2 1 1 + + + = + d) sin 2 x.tan 2 x +4sin 2 x tan 2 x +3 cos 2 x = 3. 9.Cho sinx + cosx = m ,hãy tính theo m a) sinxcosx. b) sin x cos x c) sin 3 x + cos 3 x d) sin 6 x +cos 6 x . Bài 2. Giá trị LG của các góc (cung) có liên quan đặc biệt. 1.Đơn giản biểu thức GV: Vũ Hoàng Sơn 2 Luyện tập Toán Chủ đề : Lợng giác ( ) a)cos sin 2 + ữ b) cos( ) sin( ) 2 + + c) cos( ) sin( ) cos( ) sin( ) 2 2 2 2 + + + d) cos( ) sin( ) cos( ) sin( ) 3 3 7 7 2 2 2 2 + e) cos( ) cos( ) cos( ) cos( ) 3 2 2 2 + + + f) sin( ) cos( ) sin( ) sin cos . 5 13 3 5 2 2 2 g) cos( ) sin( ) sin( ) 11 11 5 2 2 2 + + 2.Chứng minh rằng : a) sin sin 5 3 4 4 + = ữ ữ . b) cos cos 2 3 3 = + ữ ữ . c) cos cos 2 4 3 3 = + ữ ữ Bài 3. Công thức cộng cung và hệ quả Ví dụ 1.đơn giản biểu thức GV: Vũ Hoàng Sơn 3 Luyện tập Toán Chủ đề : Lợng giác a) A = cos sin 4 2 + ữ ĐS: cos2 4 2 + ữ b) B = sin sin cos 2 1 2 4 2 4 2 + ữ ĐS: sin 2 c) C = sin sin .cos cos tan 4 4 2 2 1 + ĐS: cos2 Ví dụ 2: chứng minh các đẳng thức. a) ( ) tan sin cot sin 1 4 2 + ữ = b) cos .cos .cos 4 5 1 7 7 7 8 = Ví dụ 3.đơn giản biểu thức a) cos .cos .cos .cos .2 4 2 ĐS: 1 nếu sin 2 = 0; sin sin 8 16 2 nếu sin 2 0. b) ( ) ( ) sin cos cos tan . sin tan + + + ữ ữ + 2 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 1 2 ĐS: -1. Ví dụ 4.Không dùng bảng số hãy tính : A = cos36 0 sin18 0 ĐS: 1/2. Ví dụ 5.Các cạnh và các góc của tam giác ABC thoả mãn hệ thức cosB a c . sin B a c + + = 2 2 1 2 4 chứng minh tam giác ABC cân *Phép biến đổi hàm số y = asinx + bcosx (a 2 +b 2 0) y = asinx + bcosx = a b a b sin x cos x a b a b + + ữ + + 2 2 2 2 2 2 = ( ) ( ) a b cos .sin x sin .cos x a b .sin x , + + = + + 2 2 2 2 với tg b a = . Ta cũng có thể biến đổi: y = ( ) ( ) a b sin .sin x cos .cos x a b .cos x , + + = + 2 2 2 2 với tg a b = . Đặc biệt : sin x cos x sin x sin x cos x sin x + = + ữ = ữ 2 4 2 4 Bài 4. Công thức biến đổi tổng thành tích ,tích thành tổng áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích ta có ngay các công thức quen thuộc GV: Vũ Hoàng Sơn 4 Luyện tập Toán Chủ đề : Lợng giác sina + cosa = sina +sin a ữ 2 = . = cos(a ) 2 4 hoặc sina + cosa = sina +sin a + ữ 2 = . = sin(a ) + 2 4 Ví dụ 1.chứng minh đẳng thức a) cos 2 a + cos 2 (60 0 +a) + cos 2 (60 0 -a) = 3/2. b) x y sin sin x sin y x y cosx.cos y sin x.sin y sin = + + 2 2 Ví dụ 2.chứng minh đẳng thức a) sin a.sin a sin a sin a + = ữ ữ 4 3 3 3 . b) cosa.cos a .cos a cos a + = ữ ữ 4 3 3 3 . c) sin a sin a sin a tan a cosa cos a cos a + + = + + 3 5 3 3 5 Ví dụ 3.Chứng minh tam giác ABC vuông nếu : cos 2 A+cos 2 B+cos 2 C=1. Ví dụ 4 không dùng máy tính ,hãy tính giá trị biểu thức. a) M sin sin = 0 0 1 2 70 2 10 ĐS: 1. b) N cos cos cos = + 2 3 7 7 7 . nhân thêm 2 vế 2cos 14 ĐS: 1/2 Ví dụ 5.chứng minh đẳng thức a) sin 2 (a+b) sin 2 a sin 2 b = 2sina sinb cos(a+b) b) sin a sin a sin a cosa cos a cos a = + + 2 4 2 2 2 3 5 Ví dụ 6.biểu diễn các tổng sau thành tích a) 3 cot 2 a b) 1+sin2a-cos2a-tan2a Ví dụ 7.trong tam giác ABC chứng minh: a) sin 2 A+sin 2 B+sin 2 C = 2 + 2cosAcosBcosC b) cosA+cosB +cosC = 1+ A B C sin sin sin .4 2 2 2 Bài tập GV: Vũ Hoàng Sơn 5 Luyện tập Toán Chủ đề : Lợng giác 1.Chứng minh các đẳng thức a) cos 2 (a+b) +cos 2 (a-b) = 1 +cos2a.cos2b b) cos a cos a cos a + + + = ữ ữ 2 2 2 2 2 3 3 3 2 2.biến đổi tổng thành tích a) 1 +sinx +cosx +tanx b) 1 4cos 2 a c) sina + sinb +sin(a+b) d) 3 - 2sina 3.Rút gọn a) cos 2 a sin 2 (a+ 4 ) + sin a.cos a ữ 2 4 . b) ( ) sin a sin a tan sin a.cos a + ữ ữ 2 2 2 3 3 3 4. Trong tam giác ABC chứng minh: a) A B C sin A sin B sin C cos cos cos + + = 4 2 2 2 b) cos 2 A +cos 2 B+ cos 2 C = 1 2cosA.cosB.cosC. c) A B B C C A tan tan tan tan tan tan + + = 1 2 2 2 2 2 2 d) cotA.cotB+cotB.cotC+cotC.cosA=1 e) cos 2 A cos 2 B = sin(B A).sinC. Phơng trình lợng giác cơ bản GV: Vũ Hoàng Sơn 6 Luyện tập Toán Chủ đề : Lợng giác 1. Ph ơng trình bậc nhất ,bậc hai với một giá trị l ợng giác : * Phơng pháp giải (SGK) Vídụ1:Giải các phơng trình : a. 3tgx + 3 = 0 b. 2 cos 2 x + 2 cosx 2 = 0 G iải a. tgx = - 3 3 x =- 6 + k b. Đặt cosx = t ( t 1 ) PT 2t 2 + 2 t- 2 = 0 có : =18 t 1 = 2 2 ; t 2 =- 2 (loại ) khi t = 2 2 cosx = 2 2 x = 4 +k2 Ví dụ 2 : giải phơng trình 8cos 2 x +6sinx -3 = 0 Giải : Thay cos 2 x = 1- sin 2 x ta đợc 8 sin 2 x -6 sinx -5 = 0 Đặt u = sinx , u 1 phơng trình có dạng 8u 2 -6u -5 =0 u u = = 1 2 5 4 a) sinx =- 1 2 = sin (- 6 ) x k = + 2 6 ; x= k + 7 2 6 b) sinx = 5 4 . phơng trình vô nghiệm do -1 sinx 1 Ví dụ 3 : Tìm nghiệm trong khoảng(0, ) của phơng trình 3 cotg 4 x - sin x + = 2 4 5 0 Giải : Thay cot g x sin x = + 2 2 1 1 ta đợc 3cotg 4 x 4(1+cotg 2 x) + 5 = 0 hay 3u 2 4u + 1 = 0 , với u cotg 2 x>0 u = 1, u = 1 3 a) cotg 2 x = 1 cotgx = 1 x k m = + = + 4 4 2 (1) b) cotg 2 x = cot gx = 1 3 3 3 x k = + 3 (2) bằng cách biểu diễn các họ nghiệm (1) và (2) trên đờng tròn lợng giác ta đợc nghiệm trong khoảng(0, )là ; ; ; 2 3 4 3 3 4 2. P h ơng trình : asinx + b cosx =c ( a 2 + b 2 0 ) GV: Vũ Hoàng Sơn 7 Luyện tập Toán Chủ đề : Lợng giác Cách 1: - chia a - Đặt b/a = tg -phơng trình sin (x + )= c a cos C ách 2 :- chia 2 vế cho : 2 2 a b+ -Đặt : 2 2 a a b+ = cos 2 2 b a b+ = sin -Phơng trình trở thành : Sin (x+ ) = 2 2 c a b+ Cách 3: -Đặt tg 2 x = t -Phơng trình trở thành bậc hai với ẩn t Ví dụ 1: a) gpt : Sinx + 3 cosx =1 Giải : pt sin (x+ 3 ) = sin 6 6 2 x k x k = + = + b). 3sinx +4cosx =5 3 5 sinx + 4 5 cosx =1 sin(x+ ) =1(Với sin = 3 5 và cosx = 4 5 ) x= 2 - + k2 3. Ph ơng trình thuần nhất *Dạng asin 2 x +bsinx cosx + c cos 2 x =0 *Cách giải : C1: -thử cosx =0 -Chia hai vế cho cos 2 x -Giải phơng trình bậc hai với ẩn tgx=t C2:-Hạ bậc -giải phơng trình dạng 2 Ví dụ : giải phơng trình : a) 2sin 2 x+3sinxcosx+cos 2 x=0 2tan 2 x+3tanx+1=0 += += kx kx 4 2 1 arctan b) 2sin 2 x -5sinx cosx cos 2 x = -2 Giải: Pt 4sin 2 x +cos 2 x -5sinx cosx = 0 Nhận thấy cosx =0không nghiệm đúng phơng trình . pt 4tg 2 x -5tgx + 1=0 1 4 1 4 tgx x k tgx x k = = + = = + 4. Ph ơng trình đối xứng với sinx và cosx. GV: Vũ Hoàng Sơn 8 Luyện tập Toán Chủ đề : Lợng giác *Dạng : a(sinx+cosx) +bsinx cosx= c ( a, b, c R) *Cách giải: Đặt : sinx + cosx = t ( t 2 ) sinx cosx = 2 1 2 t Pt trở thành bậc hai với ẩn t Ví dụ :a) Giải phơng trình: (2+ 2 )(sinx +cosx) -2sinxcosx =2 2 +1 Giải : Đặt : sinx + cosx = t ( t 2 ) sinx cosx = 2 1 2 t Pt trở thành : (2+ 2 ) t (t 2 -1) = 2 2 +1 t 2 (2+ 2 ) t +2 2 =0 2 2 t t = = t= 2 sinx + cosx = 2 sin(x+ 4 ) =1 x+ 4 = 2 +k b). sinx cosx +4sinx cosx -1 = 0 Đặt : sinx - cosx = t ( t 2 ) sinx cosx = - 2 1 2 t Pt trở thành :2t 2 t 1 =0 1 3 ( ) 2 t t loai = = cos( x+ 4 ) =cos 3 4 2 x k x k = + = + là nghiệm c.Giải phơng trình sau: sin2x-2 2 (sinx + cosx) -5 = 0. 5.Một số ph ơng trình l ợng giác khác Bài1) Giải phơng trình : sin2x + sin 2 x = 1 2sinx cosx = cos 2 x cos 0 1 2 x tgx = = 2 x k x k = + = + ( Với tg = 1 2 ) Bài2) Giải phơng trình sin2x+sin 2 x= 2 1 2sin2x-cos2x=1 Cos(2x- ) = 5 1 x= 2 +arccos 5 1 +k Bài 3) giải pt: sin 4 x +cos 4 x =cos 2x Giải : áp dụng bđt a 2 +b 2 =(a+b) 2 -2ab Ta có sin 4 x +cos 4 x= (sin 2 x+cos 2 x) 2 -2sin 2 xcosx 2 x = 1- 1 2 sin 2 2x = 1 2 (1+cos 2 2x) phơng trình đã cho có dạng cos 2 2x 2cos2x +1= 0 (cos2x -1 ) 2 = 0 cos2x = 1 x= k Bài 4) Giải phơng trình: x x x x 2cos1 2sin cos 2cos1 = + GV: Vũ Hoàng Sơn 9 Luyện tập Toán Chủ đề : Lợng giác Giải: ĐK: + kx kx x x 2 12cos 0cos x x x x 2cos1 2sin cos 2cos1 = + sin 2 2x=sin2xcosx Sin2xcosx(2cosx-1)=0 cosx= 2 1 x= 2 3 k + Bài 5) : Giải phơng trình: a. cosx cos7x = cos3x cos5x b.sin2x + sin4x = sin6x Giải a. pt cos8x + cos6x = cos8x + cos2x cos6x = cos2x 2 4 k x l x = = x = 4 l (l Z ) b.Pt sin6x sin2x = sin4x 2sin2x cos4x = 2sin2x cos2x sin2x ( cos4x cos2x ) = 0 sin2x = 0 V cos4x = cos2x 2 2 2 3 3 m x k x k x l x l x = = = = = Là nghiệm phơng trình Bài 6) giải phơng trình : sin 2 4x + sin 2 3x = sin 2 2x + sin 2 x Giải. 1- cos8x + 1 cos6x = 1 cos4x + 1- cos2x cos8x + cos6x = cos4x + cos2x 2cos7x cosx = 2cos3x cosx cosx (cos7x cos3x ) =0 cosx =0 V cos7x = cos3x 2 2 2 5 5 x k k x k x k x k x = + = = = = Bài7) Giải phơng trình : Sin 3 x + cos 3 x = cos2x Giải : (sinx + cosx)(1-sinxcosx- cosx+sinx ) = 0 sinx +cosx = 0 Hoặc (1-sinxcosx cosx+sinx ) = 0 * sinx +cosx = 0 sin (x+ 4 )=0 x = - 4 + k (k Z ) * t 2 + 2t +1 =0 (Với t = sinx cosx = 2 sin(x- 4 ) , t 2 ) t = -1 sin(x- 4 ) = 2 2 2 6 2 4 x k x l = = + GV: Vũ Hoàng Sơn 10 [...]... cosx) :(1-sinx) π Gi¶i: (§K: x ≠ + kπ ) 2 ⇔ (1- cosx ) (cosx –sinx) =0 ⇔ cosx = 1 V PT cosx = sinx b tg2x = sin2x - 2sin2x GV: Vò Hoµng S¬n (§K: x ≠ 11 Lun tËp To¸n π +k π 4 PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC -§Ị thi ®¹i häc I.Phương trình đưa về phương trình một hàm số lượng giác 1 2sin 2 x − 5sin x + 2 = 0 ⇔ x = 2k π V Chđ ®Ị : Lỵng gi¸c x= 5 =0 2 cos 2 x + 3cos x + 2 = 0 3.ĐHĐNẵng 97 4 ĐHQGHN 97D 2 + cos 2 x... x 61.ĐHNNgữ HN 97 62 ĐHY Hnội 2001: cos3 x + sin 3 x = cos 2 x 63.ĐHQG HCM 2000: cos 3 x − sin 3 x =− 1 64.ĐHCSND 2000 : cos3 x + sin 3 x = 2sin 2 x + sin x + cos x Bµi tËp Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh LG (§Ị thi ®¹i häc n¨m 2002-2007) 1 ( 1 + sin2x) cosx + ( 1 + cos2x)sinx = 1 + sin2x 2 2sin22x +sin7x -1 = sinx 2 3 x x   sin + cos ÷ + 3 cos x = 2 2 2  4 Sin2x +sinx - 1 1 − = 2cot g 2 x 2sin x sin 2 x . To¸n Chđ ®Ị : Lỵng gi¸c ⇔ x = 2k π V x = 4 π +k π PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC -§Ị thi ®¹i häc I.Phương trình đưa về phương trình một hàm số lượng giác. 1. 2 2sin. cos sin 2sin 2 sin cosx x x x x + = + + Bài tập Giải các phơng trình LG (Đề thi đại học năm 2002-2007) 1. ( 1 + sin 2 x) cosx + ( 1 + cos 2 x)sinx = 1 +