TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP Khoa sư phạm Toán học HỆ THỐNG BÀI TẬP CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN Sinh viên: Nguyễn Phú Quý Lớp: ĐHSTOÁN16B Tháng năm 2019 Mục lục Cấp số cộng 1.1 Dạng tốn chứng minh tính chất cấp số cộng 1.2 Dạng toán chứng minh ba số lập thành cấp số cộng 1.3 Dạng tốn tìm điều kiện tham số để số lập thành cấp số cộng 1.4 Bài tốn tìm điều kiện tham số cho phương trình bậc ba lập thành CSC 1.5 Bài tốn tìm điều kiện tham số để phương trình trùng phương ax4 + bx2 + c = 0(a = 0) (*) có bốn nghiệm phân biệt lập thành CSC 1.6 Dạng tốn tìm phần tử cấp số cộng 1.7 Dạng tốn tính tổng CSC 1 Cấp số nhân 2.1 Dạng tốn chứng minh tính chất cấp số nhân 2.2 Dạng toán chứng minh số lập thành cấp số nhân 2.3 Dạng tốn tìm điều kiện tham số để số lập thành cấp số nhân 2.4 Dạng tốn tìm phần tử cấp số nhân 2.5 Dạng tốn tính tổng cấp số nhân 13 13 13 3 14 16 17 1.1 Cấp số cộng Dạng tốn chứng minh tính chất cấp số cộng Phương pháp: Với toán: Cho ba số a, b, c lập thành cấp số cộng, chứng minh tính chất K, ta thực theo bước sau: Bước 1: Từ giả thuyết a, b, c lập thành cấp số nhân ta được: a + c = 2b biểu thức tương đương a − b = b − c = (a − c) Bước 2: Chứng minh tính chất K Ví dụ 1: Cho ba số a, b, c lập thành CSC Chứng minh rằng: a2 + 2bc = c2 + 2ab Giải Từ giả thuyết a, b, c lập thành cấp số cộng Ta a + c = 2b Khi đó: a2 + 2bc = a2 + (a + c)c = a2 + ac + c2 = a(a + c) + c2 = 2ab + c2 Vậy: a2 + 2bc = c2 + 2ab Ví dụ 2: Cho (an ) cấp số cộng Chứng minh rằng: an = (an−k + an+k ) với n > k Giải Ta có: an = an−k + (n − n + k)d = an−k + kd an+k = an−k + (n + k − n + k)d = an−k + 2kd Suy ra: (an−k + an+k ) vơi n > k 1.2 Dạng toán chứng minh ba số lập thành cấp số cộng Phương pháp: Để chứng minh ba số a, b, c lập thành CSC, ta chứng minh: a + c = 2b a − b = b − c Ví dụ 3: Cho ba số a, b, c lập thành CSC Chứng minh ba số (a2 + ab + b2 ), (a2 + ac + c2 ), (b2 + bc + c2 ) lập thành CSC Giải Từ giả thiết a, b, c lập thành CSC Ta được: a + c = 2b Ta có: (a2 + ab + b2 ) + (b2 + bc + c2 ) = a2 + (ab + bc) + 2b2 + c2 = a2 + b(a + c) + 2b2 + c2 = a2 + ab2 + c2 = a2 + (a + c)2 + c2 = 2(a2 + ac + c2 ) Vậy: ba số (a2 + ab + b2 ), (a2 + ac + c2 ), (b2 + bc + c2 ) lập thành cấp số cộng Ví dụ 4: Cho ba số dương a, b, c lập thành CSC Chứng minh ba 1 √ lập thành CSC số √ √ ,√ √ ,√ b+ c c+ a a+ b Giải Từ giả thiết a, b, c lập thành CSC Ta được: a + c = 2b ⇒ a − b = b − c = (a − c) Ta có: √ √ √ √ b− c a− b √ √ = + √ +√ b−c a−b b+ c a+ b √ √ √ √ b− c a− b = + a − b a −√ b √ √ √ b− c+ a− b = √ √a − b a− c = (a − c) =√ √ c+ a 1 √ lập thành CSC Vậy: ba số √ √ ,√ √ ,√ b+ c c+ a a+ b 1.3 Dạng tốn tìm điều kiện tham số để số lập thành cấp số cộng Phương pháp: + Để ba số a, b, c lập thành CSC, điều kiện là: a + c = 2b, toán chuyển việc giải phương trình + Để bốn số a, b, c, d lập thành CSC, điều kiện là: a + c = 2b b + d = 2c, toán chuyển việc giải hệ phương trình Ví dụ 5: Tìm x để ba số x2 + 1, x − 2, − 3x lập thành CSC Giải Để ba số x2 + 1, x − 2, − 3x lập thành CSC, điều kiện là: (x2 + 1) + (1 − 3x) = 2(x − 2) ⇒ x2 − 5x + = ⇒ x = x = Vậy: x = x = ba số x2 + 1, x − 2, − 3x lập thành CSC 1.4 Bài tốn tìm điều kiện tham số cho phương trình bậc ba lập thành CSC Phương pháp giải: Điều kiện cần: Giả sử phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt thành cấp số cộng, đó: x1 + x3 = 2x2 Theo định lý Viet phương trình bậc ba b b b Ta có: x1 + x2 + x3 = − ⇔ 3x2 = − ⇔ x2 = − a a 3a b Với x2 = − thay vào phương trình (*), ta được: 3a b b b a − +b − +c − + d = ⇔ 2b3 − 9abc + 27a2 d = 3a 3a 3a Đó điều kiện cần để phương trình (*) có nghiệm lập thành cấp số cộng Điều kiện đủ: Từ 2b3 − 9abc + 27a2 d = 0, suy phương trình (*) có b b b −b nghiệm x2 = − KHi đó: x1 + x2 + x3 = − ⇔ x1 + x3 − = ⇔ 3a a 3a a 2b x1 + x3 = − =2x2 ⇔ x1 , x2 , x3 lập thành CSC 3a Vậy với điều kiện cần đủ để phương trình bậc ba ax3 + bx2 + cx + d = 0, với a = có nghiệm lập thành CSC là: 2b3 − 9abc + 27a2 d = Với tốn có tham số, điều kiện đủ ta khẳng định việc nghiệm cụ thể phương trình, điều quan trọng ta phải khẳng định phương trình cho có nghiệm phân biệt Ví dụ 6: Xác định tham số m để phương trình x3 − 3x2 − 9x + m = 0(1) có ba nghiệm phân biệt lập thành CSC Điều kiện cần: Giả sử phương trình có ba nghiệm phân biệt thành cấp số cộng, đó: x1 + x3 = 2x2 Ta có: x1 + x2 + x3 = ⇔ 3x2 = ⇔ x2 = Với x2 = −1 thay vào (1) ta được: 11 − m = ⇔ m = 11 Đó điều kiện cần để (1) có nghiệm lập thành CSC Điều  kiện đủ: √ Với m = 11, ta được: x − 3x − 9x + 11 =  x1 = − 12 ⇔ x2 = , thỏa mãn điều kiện x1 + x3 = 2x2 √   x3 = + 12 Vậy: với m = 11, phương trình: x3 − 3x2 − 9x + m = có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng Bài tốn giải phương pháp số bất định, sau: + Phương trình (1) có nghiệm phân biệt lập thành CSC phương trình (1) có nghiệm x0 − d, x0 , x0 + d với d = Khi đó: x3 − 3x2 − 9x + m = [x − (x0 − d)](x − x0 )[x − (x0 ) + d] = x3 − 3x0 x2 + (3x02 − d )x + d x0 − x0    −3 = −3x  x0 = √ ⇔ −9 = 3x02 − d ⇔ d = ±2     m = 11 m = −x03 + d x0 Vậy với m = 11, phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng 1.5 Bài tốn tìm điều kiện tham số để phương trình trùng phương ax4 +bx2 +c = 0(a = 0) (*) có bốn nghiệm phân biệt lập thành CSC Phương pháp giải: Đặt t = x2 , điều kiện t ≥ Khi đó, phương trình (*) biến đổi dạng: at + bt + c = 0(1) Phương trình (*) có bốn nghiệm phân biệt ⇔ (1) có hai nghiệm phân biệt dương < t1 < t2   ∆ >0    b ⇔ − > 0(2)   ca   >0 a √ √ √ √ Khi tồn nghiệm (*) − t2 , − t1 , − t1 , t2 Bốn nghiệm lập thành CSC khi: √ √ √ √ √ − t2 + t1 = −2 t1 ⇔ t2 = t1 ⇔ t2 = 9t1 (3) √ √ √ − t1 + t2 = t1 Theo  định lý Viet ta có:  t1 + t2 = − b a (4) b  t1t2 =− a   t1 + 9t1 = − b t1 = − b 10a a⇔ Thay (3) (4) t1 (9t1 ) = c t = c 9a a c b ) = (5) ⇒ (− 10a 9a Kết hợp (5) (2) ta điều kiện tham số Ví dụ 7: Với giá trị a, ta tìm giá trị x để a số: 5x+1 + 51−x ; ; 25x + 25−x lập thành cấp số cộng Giải Để số hạng lập thành cấp số cộng, ta có: (5x+1 + 51−x ) + 25x + 25−x = a 1 ⇔ 5(5x + x ) + (52x + 2x ) 5 1 Theo bất đẳng thức Cô-si: 5x + x ≥ 52x + 2x ≥ ⇒ a ≥ 12 5 Vậy: a ≥ 12 1.6 Dạng tốn tìm phần tử cấp số cộng Phương pháp: Thơng thường tốn chuyển xác định u1 cơng sai d Ví dụ 8: Cho cấp số cộng (un ) thỏa mãn u2 − u3 + u5 = 10 u1 + u6 = 17 a Tìm số hạng công sai CSC b Tính tổng 20 số hạng CSC c Tính tổng S = u5 + u6 + + u24 Giải a Gọi d công sai CSC (un ), ta có: u2 − u3 + u5 = 10 (u1 + d) − (u1 + 2d) + (u1 + 4d) = 10 ⇔ u1 + u6 = 17 u1 + (u1 + 5d) = 17 u1 + 3d = 10 u1 = ⇔ 2u1 + 5d = 17 d=3 Vậy: CSC (un ) có u1 = d d = ⇔ 20 20 [2u1 + (20 − 1)d] = [2.1 + (20 − 1).3] = 590 2 20 20 c Ta có: S = [2u5 + (20 − 1)d] = [2(1 + 4.3) + (20 − 1).3] = 830 2 u7 + u15 = 60 Ví dụ 9: Tìm số hạng đầu u1 công sai d CSC (un ), biết u4 + u1 22 = 1170 b Ta có: S20 = Ta biến đổi: (u1 + 6d) + (u1 + 14d) = 60 (u1 + 3d)2 + (u1 + 11d)2 = 1170 ⇔ u1 + 10d = 30 u21 + 14du1 + 65d = 585 ⇔ u1 = 30 − 10d (30 − 10d)2 + 14d30 − 10d + 65d = 585 u1 = 30 − 10d 5d − 36d + 63 =      u1 = 30 − 10d  d = ⇔ ⇔    d = 21 ⇔ d=3 u1 = 21 d= u1 = −12 Vậy: tồn CSC (un ) có u1 = d = u1 = −12 d = yêu cầu toán 21 thỏa mãn 1.7 Dạng tốn tính tổng CSC Phương pháp: Tổng n số hạng CSC có số hạng u1 n cơng sai d xác định công thức: Sn = u1 +u2 + +un = (u1 +un ) = n [2u1 + (n − 1)d] Ví dụ 10: Tính tổng S = 105 + 110 + 115 + + 995 Giải Xét cấp số cộng (un ) có u1 = 105 cơng sai d = 5, ta có: 995 = un = u1 + (n − 1)d = 105 + 5(n − 1) ⇔ n = 179 179 179 (u1 ) + u179 ) = (105 + 995) = 98450 S = S179 = 2 Ví dụ 11: Tính tổng S = 1002 − 991 + 982 − 972 + + 22 − 12 Viết lại tổng S dạng : S = 199 + 195 + + Giải Xét cấp số cộng (un ) có u1 = 199 cơng sai d = −4, ta có: = un = u1 + (n − 1)d = 199 − 4(n − 1) ⇔ n = 50 50 50 S = S50 = (u1 + u5 0) = (199 + 3) = 5050 2 Ví dụ 12: Q muốn mua vài quà tặng mẹ chị nhân ngày 8/3 Bạn định bỏ ống heo 500 đồng, ngày tháng năm Tiếp theo ngày sau cao ngày trước 500 đồng Hỏi đến ngày lễ 8/3 Việt có đủ tiền mua q cho mẹ chị khơng? Biết q Q dự định mua giá khoảng 800.000 đồng Giải Từ ngày tháng đến ngày tháng số ngày có là: 31 + 28 + = 67 (ngày) Số tiền bỏ ống Q ngày tăng theo cấp số cộng với công sai 500 đồng Do tổng số tiền có Việt đến ngày tháng là: 67.34000 67 (2.500 + (67 − 1).500) = = 1.139.000 đồng 2 Vậy Q có đủ tiền mua quà sinh nhật cho mẹ chị Ví dụ 13: Khi ký hợp đồng dài hạn (10 năm) với kỹ sư tuyểndụng Công ty liên doanh A đề xuất hai phương án trả lương để người lao động chọn, cụ thể là: Phương án 1: người lao động nhận 36 triệu đồng cho năm làm việc kể từ năm thứ hai, mức lương tăng thêm triệu đồng năm Phương án 2: người lao động nhận nhận triệu đồng cho quí kể từ quí làm việc thứ hai mức lương tăng thêm 500.000 đồng quí Nếu bạn người lao động bạn chọn phương án nào? Giải Vấn đề đặt ra: Chon hai phương án để nhận lương Ta thấy việc người lao động chọn hai phương án nhận lương phải vào số tiền mà họ đuợc nhận 10 năm Phương án giải quyết: Ta nhận thấy hai phương án số tiền nhận sau 1năm (1 quí) tuân theo quy luật định: Phương án 1: cấp số cộng với số hạng đầu u1=36 triệu công sai d = triệu Phương án 2: cấp số cộng với số hạng đầu u1 = triệu công sai d = 0, triệu Vậy theo phương án 1: tổng số tiền người lao động nhận là: S10 = (72 + 9.3).5 = 195 triệu Theo phương án 2: tổng số tiền mà người lao động nhận S4 = (14 + 39.0, 5)20 = 670 triệu Vậy: nguời lao động chọn phương án để nhận lương số tiền lương cao Ví dụ 14: Nước ta có 84 triệu người đứng thứ 13 giới, bình quân dân số tăng triệu người (bằng dân số tỉnh) với tốc độ tăng dân Liệu đến năm 2020 dân số nước ta bao nhiêu? Giải Vấn đề đặt ra: Dự đoán số dân nước ta năm 2020 Do điều quan tâm dân số tốc độ tăng dân.(tỉ lệ tăng dân số) Phương án giải quyết: Theo giả thuyết tốn cho tốc độ tăng dân ln ổn định qua năm Tuy nhiên thực tế không Trong trường hợp thực tốt chương trình kế hoạch hóa gia đình tốc độ trì ổn định xem số không đổi d = triệu Do số dân năm lập thành cấp số cộng với công sai d = triệu, u1 = 84 Nên dân số năm 2020 tức u13 = 84 + (13 − 1) = 96 triệu Ví dụ 15: Sinh nhật Q vào ngày 14 tháng Bạn muốn mua máy tính hiệu casio fx580vnx giá 600.000 đồng để làm q sinh nhật cho Bạn định bỏ ống heo 100 đồng vào ngày 14 tháng năm đó, sau liên tục ngày sau cao ngày trước 100 đồng Hỏi đến sinh nhật mình,Q có đủ tiền mua q khơng? Giải Từ ngày 14 tháng đến ngày 14 tháng số ngày có là: 31 + 28 + 31 + 30 = 120 (ngày) Số tiền bỏ ống An ngày tăng theo cấp số cộng với công sai 100 đồng Do tổng số tiền có An đến ngày 14 tháng là: 120 120.121.100 (2.100 + (120 − 1)100) = = 726000 (đồng) 2 Vậy: Q có đủ tiền mua máy tính Casio Ví dụ 16: Một cơng ty trách nhiệm hữu hạn thực việc trả lương cho kĩ sư theo phương thức sau: Mức lương quý làm việc cho công ty 4,5 triệu đồng/quý kể từ quý làm việc thứ hai, mức lương tăng thêm 0,3 triệu đồng quý Hãy tính tổng số tiền lương kĩ sư nhận sau năm làm việc cho công ty Giải Với số nguyên dương n, kí hiệu un (triệu đồng) mức lương người kĩ sư quý làm việc thứ n cho cơng ty Theo giả thiết tốn ta có: u1 = 4, 5; un+1 = un + 0.3 với n ≥ Do đó, dãy số (un ) cấp số cộng với công sai d = 0, Vì năm có q nên năm có 12 quý Như theo yêu cầu tốn ta phải tính tổng 12 số hạng cấp số cộng (un ) 10 Ta có: u12 = 4, + (12 − 1).0, = 7, 12.(4, + 7, 8) = 73, (triệu đồng) Vậy: S12 = Ví dụ 17: Cho dãy số có số hạng 1,8,22,43, Hiệu số hạng liên tiếp dãy số lập thành cấp số cộng: 7,14,21, 7n Số 35351 số hạng thứ cấp số cho? Giải Theo đề ta có: u2 − u1 = u3 − u2 = 14 u4 − u3 = 21 Theo quy nạp: un − un−1 = 7(n − 1) Cộng vế theo vế ta được: un − u1 = + 14 + 21 + + 7(n − 1) Ta tính tổng + 14 + 21 + + 7(n − 1) (dãy số có n - số hạng) (n − 1)(7 + 7(n − 1)) 7n(n − 1) Sn = = = un − u1 (1) 2 7n(n − 1) Đặt un = 35351 u1 = thay vào (1) ta được: 3535 − = ⇔ 7n2 − 7n − 70700 = ⇔ n = 101 n = −100 (loại) Vậy: số 35351 số hạng thứ 101 cấp số Ví dụ 18: Cho cấp số cộng (un ) có u1 = tổng 100 số hạng đầu 24850 1 Tính S = + + + u1 u2 u2 u3 u49 u50 Giải Gọi d công sai cấp số cộng cho 100(2u1 + 99d) Ta có: S100 = = 24850 ⇒ d = 11 ⇒ 5S = = = = = ⇒S= 5 + + + u1 u2 u2 u3 u49 u50 u2 − u1 u3 − u2 u50 − u49 + + + u1 u2 u2 u3 u49 u50 1 1 1 − + − + + − u1 u2 u2 u3 19 1 − u1 50 245 = u1 + 49d 246 49 246 Ví dụ 19: Một CSC có số hạng Biết tổng số hạng đầu số hạng cuối 30, tổng số hạng thứ ba thứ sáu 35 Số hạng thứ bảy CSC bao nhiêu? Giải Theo đề bài: u1 + u7 = 2u1 + 6d = 30 u3 + u6 = 2u1 + 7d = 35 u1 = d = u7 = u1 + 6d = + 6.5 = 30 Ví dụ 20: Một CSC có 12 số hạng Biết tổng 12 số hạng 144, số hạng thứ 12 23 Công sai CSC bao nhiêu? Giải Áp dụng cơng thức tính tổng: 12(u1 + 23) = 144 ⇒ u1 = S12 = 12(2.u1 + (12 − 1)d) S12 = ⇒d=2 12 Cấp số nhân 2.1 Dạng tốn chứng minh tính chất cấp số nhân Phương pháp: Với toán: Cho ba số a, b, c lập thành cấp số nhân, chứng minh tính chất K, ta thực theo bước: Bước 1: Từ giả thuyết a, b, c lập thành cấp số nhân, ta được: ac = b2 Bước 2: Chứng minh tính chất K Ví dụ 21: Cho ba số a, b, c lập thành cấp số nhân Chứng minh rằng: (a2 + b2 )(b2 + c2 ) = (ab + bc)2 Giải Từ giả thuyết a, b, c lập thành cấp số nhân Ta ac = b2 Khi đó: (a2 +b2 )(b2 +c2 ) = a2 b2 +a2 c2 +b4 +b2 c2 = a2 b2 +2ab2 c+b2 c2 = (ab + bc)2 = (ab + bc)2 Vậy: (a2 + b2 )(b2 + c2 ) = (ab + bc)2 Ví dụ 22: Cho (an ) cấp số nhân Chứng minh rằng: a1 an = ak ak+1 với k = 1, 2, 3, , n Giải Ta có: VT = a1 an = a1 a1 qn−1 = a21 qn−1 VP = ak an−k+1 = a1 qk−1 a1 qn−k = a21 qn−1 Suy VT = VP, hay a1 an = ak an−k+1 với k = 1, 2, , n 2.2 Dạng toán chứng minh số lập thành cấp số nhân Phương pháp: Để chứng minh ba số a,b,c lập thành cấp số nhân, ta chứng minh: ac = b2 2 , , lập thành cấp số cộng Chứng b−a b b−c minh ba số a, b, c lập thành cấp số nhân Ví dụ 23: Cho ba số Giải 13 2 , , lập thành cấp số cộng Ta được: b−a b b−c 2 + = ⇔ b(b − c + b − a) = (b − a)(b − c) ⇔ b2 = ac b−a b−c b Vậy: ba số a, b, c lập thành cấp số nhân Từ giả thiết ba số 2.3 Dạng tốn tìm điều kiện tham số để số lập thành cấp số nhân Phương pháp: Để ba số a, b, c lập thành cấp số nhân, điều kiện là: ac = b2 , tốn chuyển việc giải phương trình ac = b2 Để bốn số a, b, c, d lập thành cấp số nhân, điều kiện là: toán bd = c2 chuyển việc giải hệ phương trình Ví dụ 24: Tìm x để ba số x − 2, x − 4, x + lập thành cấp số nhân Giải Để ba số x − 2, x − 4, x + lập thành cấp số nhân, điều kiện là: (x − 4)2 = (x − 2) (x + 2) ⇔ 8x = 20 ⇔ x = Vậy: x = thỏa mãn u cầu tốn Bài tốn: Tìm điều kiện tham số cho phương trình bậc ba: ax3 + bx2 + cx + d = 0(∗), với a = có nghiệm x1 , x2 , x3 lập thành cấp số nhân Điều kiện cần: Giả sử phương trình có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số nhân, đó: x1 x3 = x22 b Áp dụng định lý Viet phương trình bậc ba, ta có: x1 + x2 + x3 = − a c c c x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 = ⇔ x1 x2 + x2 x3 + x2 = ⇔ x2 (x1 + x2 + x3 ) = ⇔ a a a c x2 = − b c c c c Với x2 = − thay vào (*) ta được: a +b − +c − +d = ⇔ b b b b ac3 = b3 d Đây điều kiện cần để phương trình (*) có nghiệm lập thành cấp số nhân 14 c Điều kiện đủ: Từ ac3 = b3 d suy phương trình (*) có nghiệm x2 = − b c b c Khi đó: x2 (x1 + x2 + x3 ) = − − = = x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 ⇔ x1 x3 = b a a x2 ⇔ x1 , x2 , x3 lập thành cấp số nhân Vậy điều kiện cần đủ để (*) có nghiệm lập thành cấp số nhân là: ac3 = b3 d Với toán chứa tham số, điều kiện đủ ta khẳng định việc nghiệm cụ thể phương trình Hãy nhớ điều quan trọng ta phải khẳng định phương trình cho có nghiệm phân biệt Ví dụ 25: Xác định m để phương trình x3 + 2x2 + (m + 1) x + (m + 1) = (1) có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số nhân Điều kiện cần: Giả sử phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số nhân, đó: x1 x3 = x22 Ta có: x1 + x2 + x3 = −2 x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 = m + ⇔ x1 x2 + x2 x3 + x22 = m + ⇔ x2 (x1 + x2 + x3 ) = m + m+1 ⇔ x2 = − m+1 m+1 m+1 + Với x2 = − thay vào (1) ta được: − +2 − +(m + 1) − m+1 2 2 (m + 1) =  m = −1 ⇔ (m + 1) (m + 2m − 15) = ⇔  m = m = −4 Đó điều kiện cần để (1) có nghiệm lập thành cấp số nhân Điều kiện đủ: x=0 không thỏa mãn x = −2 + Với m = 3, ta được: (1) ⇔ x3 + 2x2 + 4x + = ⇔ x = −2 không thỏa mãn + Với m = −5, ta được: (1) ⇔ x3 + 2x2 − 4x − = ⇔ x = không thỏa mãn Vậy: không tồn giá trị m thỏa mãn yêu cầu đề + Với m = −1, ta được: (1) ⇔ x3 + 2x2 = ⇔ 15 2.4 Dạng toán tìm phần tử cấp số nhân Phương pháp: Thơng thường tốn chuyển xác định u1 cơng bội q Ví dụ 26: Tìm số hạng đầu u1 công bội q cấp số nhân (un ) biết: u4 − u2 = 72 u5 − u3 = 144 Giải Ta biến đổi: u1 q3 − u1 q = 72 ⇔ u1 q4 − u1 q2 = 144 u1 q(q2 − 1) = 72 u1 q2 (q2 − 1) = 144 144 = ⇒ u1 = 12 72 Vậy: cấp số nhân (un ) có u1 = 12 q = ⇒q= Ví dụ 27: Cho cấp số nhân (un ) thỏa mãn u4 − u2 = 72 u5 − u3 = 144 a Tìm số hạng cơng bội cấp số nhân b Tính tổng số 10 số hạng cấp số nhân c Tính tổng S = u3 + u6 + + u12 Giải a Gọi q công bội cấp số nhân (un ), ta có: u4 − u2 = 72 u1 q3 − u1 q = 72 u1 (q3 − q) = 72 ⇔ ⇔ u5 − u3 = 144 u1 q4 − u1 q2 = 144 u1 (q4 − q2 ) = 144 q3 − q = ⇔ q = ⇒ u1 = 12 ⇒ q − q2 Vậy: Cấp số nhân (un ) có u1 = 12 q = q10 − 210 − b Ta có: S20 = u1 + u2 + + u10 = u1 = 12 = 12276 q−1 2−1 q10 − 210 − c Ta có: S = u3 + u6 + + u12 = u3 = 12.2 = 49104 q−1 2−1 16 Ví dụ 28: Cho ba số a, b, c lập thành cấp số nhân Chứng minh rằng: (a + b + c)(a − b + c) = a2 + b2 + c2 Áp dụng: Tìm ba số liên tiếp cấp số nhân biết tổng chúng 21 tổng bình phương chúng 189 Giải Từ giả thiết ba số a,b,c lập thành cấp số nhân, ta được: ac = b2 Khi đó: (a + b + c) (a − b + c) = (a + c)2 − b2 = a2 + 2ac + c2 − b2 = a2 + 2b2 + c2 − b2 = a2 + b2 + c2 Áp dụng: với ba số a, b, c lập thành cấp số nhân, biết a + b + c = 21 a2 + b2 + c2 = 189, suy ra:     b = a =  b=6 189 ⇒ b=6 a−b+c = =9⇒ ⇒ a + c = 15   21 a + c = 15   c = 12 a + c2 = 153 Vậy: ba số cần tìm 3, 6, 12 2.5 Dạng tốn tính tổng cấp số nhân Phương pháp: Nếu (un ) cấp số nhân với cơng bội q = tổng n số u1 (1 − qn ) hạng cấp số nhân tính theo cơng thức: Sn = 1−q Ví dụ 29: Tính tổng sau: a S = + + 18 + + 13122 b S = + 2.2 + 3.22 + + 100.299 Giảit a Xét CSN (un ) có u1 = cơng bội q = 3, ta có: 13122 = un = u1 qn−1 = 2.3n−1 ⇔ n = q9 − 39 − Suy ra: S = S9 = u1 =2 = 19682 q−1 3−1 b Ta có: 17 S = (2 − 1) S = 2S − S = 1.2 + 2.22 + 3.23 + + 100.2100 − − 2.2 − 3.22 − − 100.299 = 100.2100 − + (1.2 − 2.2) + 2.22 − 3.22 + + 99.299 − 100.299 = 100.2100 − − − 22 − − 299 = 100.2100 − + + 22 + + 299 Xét cấp số nhân (un ) có u1 = 1, công bội q = 1 − 2100 99 = 2100 − Ta có: + + + + = 1−2 Suy ra: S = 100.2100 − 2100 − = 99.2100 + Ví dụ 30: Tính tổng S = + 11 + 111 + + 11 n chữ số Giải Xét hai dãy số: + Cấp số nhân (u bội q = 10 n ) có (u1 ) = công    + Dãy số (sn ) = 1, 11, 111, , 11   n chữ số Suy (sn ) tổng n số hạng đầu cấp số nhân (un ), tức là: sn = (10n − 1) Khi ta nhận được: n n S = s1 +s2 + .+sn = ∑ sk = ∑ k=1 k=1 n n+1 10 − 10 − 9n = 81 10n − = 10 − 1 n n 10n − k 10 − = ∑ 10 − = 10 − k=1 10 − k Ví dụ 31: Đầu mùa thu hoạch xồi, bác nơng dân bán cho người thứ nhất, nửa số xoài thu hoạch nửa quả, bán cho người thứ hai nửa số lại nửa quả, bán cho người thứ ba nửa số xoài lại nửa v.v Đến lượt người thứ bảy bác bán nửa số xồi lại nửa khơng Hỏi bác nông dân thu họach xoài đầu mùa? Giải Gọi x số Xoài thu hoạch đầu mùa người nông dân x x+1 Người khách hàng thứ mua: + = quả; 2 18 x+1 x+1 Người thứ mua: (x − ) + = quả; 2 x x+1 x+1 x+1 x+1 Người khác thứ mua: (x − − ) + = quả; 2 x x+1 Và người thứ mua: Ta có phương trình: x+1 x+1 x+1 1 − + + = x ⇔ (x + 1)( + + + ) = x(∗) 2 2 2 Tính tổng số hạng dựa vào cơng thức tính tổng cấo số nhân: 27 = 127 128 11− 1 + + + = 2 2 127 = x ⇔ x = 127 128 Vậy bác nông dân thu hoạch 127 Xồi đầu mùa Do phương trình (*) ↔ (x + 1) Ví dụ 32: Qua điều tra chăn ni bò huyện X cho thấy nhiều năm qua, tỉ lệ tăng đàn hàng năm 2% Tính xem, sau kế hoạch năm, với số lượng đàn bò thống kê huyện vào ngày 1/1/2006 18.000 con, với tỉ lệ tăng đàn đây, đàn bò đạt tới con? Giải Phân tích tốn: Thơng thường tốn giải sau: Sau năm đàn bò huyên tăng được: 18000 × 2% = 360 (con) Nên tổng số đàn bò sau năm thứ (cuối năm 2006) là: 18.000 + 360 = 18.360 (con) Sau năm đàn bò lại tăng thêm: 18.360 × 2% = 367 (con) Nên tổng số bò sau năm thứ (cuối năm 2007) là: 18.360 + 367 = 18.727 (con) Sau năm đàn bò lại tăng thêm: 18.727 × 2% = 375 (con) Như tổng đàn bò cuối năm thứ (cuối 2008) là: 18.727 + 375 = 19.102 (con) Bài toán giải xong Tuy nhiên ta nhận thấy u cầu tính số đàn bò sau nhiều năm cách tính bước vất vả, chậm nhầm lẫn Bằng kiến thức cấp số nhân ta tìm cách tính tổng quát 19 Gọi S0 tổng số đàn gia súc theo thống kê ban đầu; q tỉ lệ tăng hàng năm; n số năm phát triển (n ∈ N∗ ) Si(i = n) tổng số đàn gia súc sau i năm Số gia súc sau năm phát triển là: S1 = S0 + S0 q = S0 (1 + q) Số gia súc sau năm phát triển là: S2 = S1 + S1 q = S0 (1 + q) + S0 (1 + q)q = S0 (1 + q)2 Số gia súc sau năm phát triển là: S3 = S2 +S2 q = S0 (1+q)2 +S0 (1+q)2 q = S0 (1 + q)3 Như vậy, tổng số bò đàn sau năm phát triển lập thành cấp số nhân với công bội (1 + q) S1 = S0 (1 + q) Vậy sau n năm tổng số đàn gia súc là: Sn = S1 (1 + q)n − = S0 (1 + q).(1 + q)n−1 = S0 (1 + q)n Áp dụng cơng thức cho tốn ta có: S3 = 18.000(1 + 0, 02)3 = 19.102 (con) Ví dụ 33: Kết kiểm kê vào cuối năm 2006, cho biết tổng đàn bò vùng Y 580 năm qua tỉ lệ tăng đàn đạt 12% năm Hãy tính xem vào đầu năm 2004 (cách năm trước) đàn bò có con? Giải Thơng thường tốn giải sau: Coi số bò mẹ đầu năm 2006 100%, với tỉ lệ tăng đàn 12%, số 580 bò mẹ cuối năm 2006 so với đầu năm là: 100% + 12% = 112% Nghĩa 112% số bò ứng với 580 Vậy số bò đầu năm 2006 là: 580 × 100 580 × 100 580 = = (con) 112 (1 + 0, 12) × 100 + 0, 12 Tương tự trên, số bò đầu năm 2005(trước năm) là: 580 × 100 580 580 × 100 = = (con) (1 + 0, 12) × 112 (1 + 0, 12)(1 + 0, 12) × 100 (1 + 0, 12)2 Tiếp tục lập luận ta có số bò mẹ đầu năm 2004 (trước năm) là: 580 × 100 580 × 100 580 = = = 413 (con) (1 + 0, 12)2 × 112 (1 + 0, 12)(1 + 0, 12) × 100 (1 + 0, 12)3 Nếu gặp phải yêu cầu tính số bò đàn vào đầu năm cách xa thời điểm rõ ràng cách tính "lùi" gặp khó khăn Ta nhận thấy, số bò năm trước thời điểm thống kê lập thành cấp 20 số nhân với §1 = 580 cơng bội nên trước n năm, số bò + 0, 12 + 0, 12 là: Sn = 580 580 ( )n−1 = + 0, 12 + 0, 12 (1 + 0, 12)n Nếu gọi S tổng số bò đàn thời điểm thống kê; n số năm trước thời điểm thống kê; q tỉ lệ tăng đàn hàng năm Thì tổng số bò cách thời điểm thống kê n năm trước là: Sn = S (1 + q)n Ví dụ 34: Một dự án đầu tư đòi hỏi chi phí 100 triệu đồng sau năm đem lại 150 triệu đồng Với lãi suất 8% năm, đánh giá xem có nên thực dự án hay khơng? Giải Bn (1 + r)n Nếu gửi ngân hàng, để sau năm bạn có 150 triệu đồng phải có số tiền là: 150 A= ≈ 119, 075(triệu đồng) (1 + 0, 08)3 Ta có: A = Như vậy, việc thực dự án đem lại khoản lợi 19,075 triệu đồng Đó việc nên làm Ví dụ 35: Bạn định mua xe máy theo phương thức trả góp Theo phương thức sau tháng kể từ nhận xe bạn phải trả đặn tháng lượng tiền định đó, liên tiếp 24 tháng Giả sử giá xe máy thời điểm bạn mua 16 triệu đồng giả sử lãi suất ngân hàng 1% tháng Với mức phải trả hàng tháng việc mua trả góp chấp nhận được? Giải Gọi khoản tiền phải trả hàng tháng a đồng Nếu gửi vào ngân hàng giá trị tồn khoản tiền trả góp thời điểm nhận hàng là: a a a a + + + + + 0, 01 (1 + 0, 01)2 (1 + 0, 01)3 (1 + 0, 01)24 100 100 24 1− 101 101 = a ≈ 21, 24a đồng Như vậy, việc mua trả góp tương 100 1− 101 21 đương với mua trả (bằng cách vay ngân hàng) nếu: 24, 21a = 16.000.000 (đồng) ⇔ a = 660.883, (đồng) Chắc hẳn, bạn lòng mua trả góp số tiền phải trả hàng tháng 660.883,9 (đồng), khơng vay ngân hàng để trả 16.000.000 (đồng) Ví dụ 36: Người ta dự định xây dựng tòa tháp 11 tầng ngơi chùa nọ, theo cấu trúc diện tích mặt sàn tầng nửa diện tích mặt sàn tầng dưới, biết diện tích mặt đáy tháp 12,28m2 Hãy giúp nhà chùa ước lượng số gạch hoa cần dùng để lát nhà Để cho đồng nhà chùa yêu cầu nhà phải lót gạch hoa cỡ 30x30cm Giải Vấn đề đặt ra: Tính số lượng gạch hoa cần dùng để lát nhà Mà số lượng gạch lại phụ thuộc vào tổng diện tích mặt sàn 11 tầng tháp Do vấn đề phải tính tổng diện tích sàn nhà 11 tầng tháp Phương án giải quyết: Nếu gọi S1 diện tích mặt đáy tháp S1 = 12, 28m2 Si diện tích mặt tầng thứ i i = 1, 2, , 11 Ta thấy Si lập thành cấp số nhân với công bội q = Tổng diện tích mặt 11 tầng tháp tổng 11 số hạng cấp số nhân 1− 11 S1 (1 − q ) T11 = = 12, 28 1−q 1− 11 = 24564(m2 ) Diện tích viên gạch 30 × 30 = 900 cm2 = 0, 09m2 Vậy số lượng gạch cần dùng là: N = 24564 ÷ 0, 09 = 272.934 (viên) Trong q trình xây dựng viên gạch hoa cắt nên ta nên mua số lượng nhiều số liệu tính tốn ra, chẳng hạn mua 273000 viên 22 Ví dụ 37: Một lọ thủy tinh có dung tích 1000 (ml) chứa đầy dung dịch chất độc nồng độ 10% chuyển sang bình chứa khác, dung dịch chất độc sau đổ sang bình chứa khác dính lại lọ cũ 0,1% Để chất độc lọ 0,001 µ gam (microgam) người ta dùng 1000ml nước cất để rửa lọ lần? Giải Trong 1000ml dung dịch gồm nước chất độc, nồng độ chất độc 10% ⇒ Lượng chất độc bình chưa chuyển sang bình khác 100g ta phải chia cho dung tích bình nghĩa 100g ÷ 1000 = gam 10 Lượng chất độc mà đề yêu cầu ≤ 0, 001µ (gam) = 10−9 (gam) Mỗi lần rửa với 1000ml nước cất dính ỏ lọ 0, 1% lần, hay lần 10 Lần 0: gam 10 1 Lần 1: 10 10 1 Lần 2: 10 103 103 1 1 Lần 3: ≤ 10−9 3 10 10 10 10 Vậy: rửa với 1000ml nước cất cần rửa lần Nhận xét: Đây dãy CSN với công sai q = 10 23 Ví dụ 38: Tính tổng n số hạng: Sn = + 33 + 333 + Giải Ta có: Sn = + 33 + 333 + = 3(1 + 11 + 111 + ) 10 − 102 − 103 − 10n − = 3( + + + + ) 9 9 = (10 + 102 + 103 + + 10n − n) Ta tính tổng riêng S∗ = 10 + 102 + 103 + + 10n có u∗1 = 10 q∗ = 10 u ∗1 (1 − qn ) 10(1 − 10n ) Áp dụng cơng thức tính tổng cấp số nhân: S∗n = = 1−q − 10 Vậy: Sn = − (−10n+1 + 9n + 10) 27 Hết./ 24