Bộ Môn Toán Tr-ờng ĐHXD Đề thi môn Giải tích K58 Thời gian làm 90 phút Đề số Không sử dụng tài liệu phòng thi Câu (2.0đ) Tìm số thực a b để hµm sè ax2 sin x12 + b sin x1 x > f (x) = ax2 + b x khả vi R Câu (2.0đ) Viết công thức khai triển Mac-Laurin hàm số f (x) = xsin3 x lân cận x = tíi x6 Tõ ®ã suy f (6) (0) x = t2 Câu (3.0đ) Cho ®-êng cong d-íi d¹ng tham sè y = 3t − t3 a) Khảo sát vẽ đồ thị đ-ờng cong b) Hãy tìm diện tích miền phẳng giới hạn đ-ờng cong Câu (3.0đ) a) Chứng minh tích ph©n suy réng +∞ dx héi tơ H·y tÝnh tÝch phân + 1) x2(x b) Tìm thể tích diện tích vật thể tròn xoay quay đ-ờng trßn x2 + (y − 2)2 = quay quanh trục Ox Bộ Môn Toán Tr-ờng ĐHXD Đề thi môn Giải tích K58 Thời gian làm 90 phút Đề số Không sử dụng tài liệu phòng thi Câu (2.0đ) Tìm số thực a b để hàm số ax2 cos x12 + b cos x1 x > f (x) = x ax2 + bx khả vi R Câu (2.0đ) Viết công thức khai triển Mac-Laurin hàm số f (x) = xcos3x lân cận ®iĨm x = tíi x5 Tõ ®ã suy f (5) (0) x = + t3 C©u (3.0đ) Cho đ-ờng cong d-ới dạng tham số y = 3t t3 a) Khảo sát vẽ đồ thị đ-ờng cong b) Hãy tìm diện tích miền phẳng giới hạn đ-ờng cong trục Ox Câu (3.0đ) a) Chứng minh tích phân suy rộng + dx hội tụ Hãy tính tích phân x(x + 1)2 b) Tìm thể tích diện tích vật thể tròn xoay quay đ-ờng tròn (x 3) + y = quay quanh trôc Oy Bộ Môn Toán Tr-ờng ĐHXD Đề thi môn Giải tích K58 Thời gian làm 90 phút Đề số Không sử dụng tài liệu phòng thi Câu (1.0®) Chøng minh d·y sè thùc {un }, n ∈ N∗ héi tô, biÕt cos n2 cos n−1 cos nn cos n1 n + + + + víi n ∈ N∗ un = 1.2 2.3 (n − 1).n n.(n + 1) √ √ − sin x − x Câu (2.0đ) Tìm giới hạn lim x0 x2 e2x sin x Câu (3.0đ) a) Phát biểu định lý Rolle b) Sử dụng Định lý Lagrange định lý Rolle để chứng minh rằng: với mäi x ≥ 1, ta lu«n cã x−1 ≤ ln x x x Câu (2.0đ) Viết khai triển Taylor (dạng Peano) hàm f (x) = (x 2) ln(4x x2 ) lân cận điểm x = đến cấp n = tính f (5) (2) Câu (2.0đ) Tính tích phân suy rộng + Bộ Môn Toán Tr-ờng ĐHXD x2 − dx ln x5 x2 + §Ị thi môn Giải tích K58 Thời gian làm 90 phút Đề số Không sử dụng tài liệu phòng thi Câu (1.0đ) Chứng minh dãy số thùc {un }, n ∈ N∗ héi tô, biÕt sin n−1 sin n1 sin 11 sin 12 + + + + víi n ∈ N∗ un = 1.2 2.3 (n − 1).n n.(n + 1) √ √ + sin x + x Câu (2.0đ) Tìm giới hạn lim x0 x cos 2x sin2 x Câu (2.0đ) a) Phát biểu định lý Rolle b) Sử dụng Định lý Lagrange định lý Rolle để chøng minh r»ng: víi mäi x ≥ 0, ta lu«n cã x ≤ arctan x ≤ x + x2 Câu (2.0đ) Viết khai triển Taylor (dạng Peano) hàm f (x) = (x + 1) ln(3 + 2x + x2 ) lân cận điểm x = đến cÊp n = vµ tÝnh f (5)(−1) +∞ x2 + dx ln Câu (2.0đ) Tính tích phân suy rộng x2 3 x Đề thi môn Giải tích K58 Bộ Môn Toán Tr-ờng §HXD Thêi gian lµm bµi 90 §Ị sè Không sử dụng tài liệu phòng thi Câu (2.0đ) a) Phát biểu định lý Lagrange b) Sử dụng ®Þnh lý Lagrange chøng minh r»ng: víi mäi a, b ∈ R, ta cã ln √ a + + a2 √ b + + b2 ≤ |a − b| Câu (2.0đ) Viết khai triển Mac-Laurin hàm số f (x) = x + 4x2 lân cận điểm x = tới x5 Tõ ®ã suy f (5) (0) an , víi a số thực n+ + an Câu (2.0đ) Tìm giới hạn lim + dx hội tụ Hãy tính tích phân x 1+x x2 y + z = Câu (2.0đ) TÝnh thĨ tÝch cđa vËt thĨ giíi h¹n bëi mặt z = Câu (2.0đ) Chứng minh tích phân Bộ Môn Toán Tr-ờng ĐHXD Đề thi môn Giải tích K58 Thời gian làm 90 phút Đề số Không sử dụng tài liệu phòng thi Câu (2.0đ) a) Định nghĩa hàm số biến liên tục điểm liên tục đoạn b) Chứng minh rằng: với a, b, c R, n N , ph-ơng trình x2n + axn + bx2 + cx − = cã Ýt nhÊt nghiƯm thùc ph©n biƯt √ Câu (2.0đ) Viết khai triển Mac-Laurin hàm số f (x) = x 4x2 lân cận cđa ®iĨm x = tíi x5 Tõ ®ã suy f (5) (0) + an , víi a số thực Câu (2.0đ) Tìm giới h¹n lim n→+∞ + an +∞ dx héi tơ Hãy tính tích phân x 9+x x2 y + z = Câu (2.0đ) TÝnh thĨ tÝch cđa vËt thĨ giíi h¹n bëi mặt z = 16 Câu (2.0đ) Chứng minh tích phân Đề thi môn Giải tích K58 Bộ Môn Toán Tr-ờng ĐHXD Đề số Không sử dụng tài liệu phòng thi Thời gian làm 90 √ 7xn − 12 Chøng minh d·y sè Câu (2.0đ) Cho dãy số {xn } n xác ®Þnh bëi x1 = a; (a > 3); xn+1 = hội tụ tìm giới hạn dãy Câu (2.0đ) Xét tính khả vi điểm x = cđa hµm sè √ x sin(x sin( x1 )) f (x) = víi x = víi x = Câu (2.0đ) Tính giíi h¹n lim ( x6 + x5 − x4 + 2x3 ) x+ Câu (2.0đ) Tính tích phân +∞ arctan x a) −∞ (x2 + 1)3 x−2 dx x1 b) dx Câu (2.0đ) Tính ®é dµi ®-êng cong    x(t) =   y(t) = t t sin u du u cos u du, u (1 ≤ t ≤ π ) Đề thi môn Giải tích K58 Bộ Môn Toán Tr-ờng ĐHXD Đề số Không sử dụng tài liệu phòng thi Thời gian làm 90 phút Câu (2.0đ) Cho dãy số {xn } n xác định x1 = a; (a > 3); xn+1 = hội tụ tìm giới hạn dãy Câu (2.0đ) Xét tính khả vi điểm x = cđa hµm sè √ x2 tan(x sin( x1 )) f (x) = √ víi x = víi x = √ √ C©u (2.0đ) Tính giới hạn lim ( x5 + 3x4 x4 x3) x+ Câu (2.0đ) Tính tích ph©n +∞ a) arctan2 x dx x2 + x+1 dx 1x b) Câu (2.0đ) Tính độ dài đ-ờng cong x(t) =   y(t) = t t cos u du u sin u du, u (1 ≤ t ≤ π ) 8xn − 15 Chøng minh d·y sè Đáp án thang điểm Đề thi môn Giải tích K58-Đề số Câu Dễ thấy hàm số kh¶ vi víi x ∈ R\{0} 1.0 ® Do lim sin x1 không tồn lim x2 sin x12 = nên để f (x) liên tục x = th× b = Thay b = x→0+ x→0+ vào ta đ-ợc f (0) = f + (0) = Do để f (x) khả vi R b = 0; a R 1.0 đ x Câu Để ý sin3 x = 14 (3 sin x − sin 3x) Ta cã: sin x = x − x6 + 120 + o (x5) sin 3x = 3x − 9x2 + 81x + o (x5 ) Do ®ã f (x) = 14 x (3 sin x − sin 3x) = 14 x (4x3 − 2x5 + o (x5)) = x4 12 x6 + o (x6) 1.0 đ 40 Vì vËy f (6) (0) = −1 6! = −360 1.0 đ Câu a) Đạo hàm x (t) = −2t = ⇔ t ∈ {0}; y (t) = − 3t2 = ⇔ t ∈ {1; 1} Đạo hàm cấp 2: 3(t2 +1) (t)x (t) = − 1.0 ® y (x) = y (t)x (t)−y 4t3 [x (t)] Bảng biến thiên đồ thị 1.0 ® √ √ b) T×m diƯn tÝch S = (3t − t3)2tdt = |y(t)x (t)| dt = +∞ √ 24 1.0 ® 1 + dx = − ln 1.5 ® − x 1+x 1+x b) Cắt vật thể mặt phẳng vuông góc với Ox, thiết diện vành khuyên với bán kính lớn lµ R = 2+ √ √ √ √ 2 (2 + − x2 ) − (2 − − x2 ) dx = 8π x2, bán kính nhỏ r = x2 Do V = Câu a) Ta cã I = −1 VËy, ta cã S = 2π 1 (R + r)ds = 2π −1 4ds = 16π 1.5 ® −1 Đáp án thang điểm Đề thi môn Giải tích K58-Đề số Câu Dễ thấy hàm số kh¶ vi víi x ∈ R\{0} 1.0 ® Do lim cos x1 không tồn lim x2 cos x12 = nên để f (x) liên tục x = th× b = Thay b = x→0+ x→0+ vào ta đ-ợc f (0) = f + (0) = Do để f (x) khả vi R b = 0; a R 1.0 đ Câu Để ý cos3 x = 14 (3 cos x + cos 3x) Ta cã: cos x = − x2 + x24 + o (x4 ) cos 3x = + o (x4 ) Do ®ã, f (x) = 14 x (3 cos x + cos 3x) = x − 32 x3 + 78 x5 + o (x5) 1.0 ® − 9x2 + 27x V× vËy f (5) (0) = 78 5! = 105 1.0 đ Câu a) Đạo hàm x (t) = −2t = ⇔ t ∈ {0}; y (t) = − 3t2 = ⇔ t ∈ {1; 1} Đạo hàm cấp 2: 3(t2 +1) (t)x (t) = − 1.0 ® y (x) = y (t)x (t)−y 4t3 [x (t)] Bảng biến thiên đồ thị 1.0 ® √ b) T×m diƯn tÝch S = √ 3 (3t − t3)3t2 dt = |y(t)x (t)| dt = +∞ 27 1.0 ® 1 1 − − dx = ln − 1.5 ® x + x (1 + x) b) Cắt vật thể mặt phẳng vuông góc với Oy, thiết diện vành khuyên với bán kính lớn R = 3+ Câu a) Ta có I = − y , b¸n kÝnh nhá r = y Do V = π (3 + − y 2) − (3 − − y 2) dy = 12π −1 VËy, S = 2π 1 (R + r)ds = 2π −1 −1 6ds = 24π 1.5 đ Đáp án thang điểm Đề thi môn Giải tích K58-Đề số Câu Dãy {un } tăng 1.0 đ ) nên dãy cho héi tô 1.0 đ Dãy bị chặn (un n+1 Câu Bằng nhân liên hợp thay t-ơng đ-ơng 1.0 ® Sư dụng quy tắc Lopital ta tính đ-ợc giới hạn L = 1.0 đ 12 Câu a) Phát biểu định lý Rolle 1.0 đ b) Với x = 1, bất đẳng thức Với x > 1, xét hàm số f (x) = ln x [1; x] Sử dụng Định lý ln x 1 Lagrange, tån t¹i c ∈ (1; x) cho = Ta cã, ≤ ≤ 1.0 đ c x1 x c Sử dụng Định lý Rolle cho hàm số f (x) đoạn [1, 2], [2, 3] [c1, c2 ] Khi đó, tồn c1 ∈ (1, 2), c2 ∈ (2, 3), c ∈ (c1 , c2 ) cho f (c1) = 0, f (c2 ) = vµ f (c) = 1.0 ® (x − 2)3 (x − 2)5 (x − 2)2 ]} = (x − 2) ln + + + o(x − 2)5 1.0 ® C©u Ta cã, f (x) = (x − 2) ln{4.[1 − 4 32 5! Suy ra, f (5) (2) = 1.0 ® 32 1 x2 − 8x , dv = dx ⇒ du = dx, v = − + 1.0 đ Câu Đặt u = ln x +2 x x −4 4x 16 +∞ 1 x −2 +∞ ln − 1.0 ® Suy ra, I = ( − ) ln − √6 dx = √ 16 4x x +2 2x 16 24 Đáp án thang điểm Đề thi môn Giải tích K58-Đề số Câu Chứng minh dãy {un } tăng 1.0 ® ) (Sv cã thể chứng minh dãy Cauchy.) 1.0 đ Chứng minh dãy bị chặn (un n+1 Câu Nhân liên hợp thay t-ơng đ-ơng 1.0 ® Sử dụng quy tắc Lopital, ta tính đ-ợc giới h¹n L = − 1.0 đ 12 Câu a) Phát biểu định lý Rolle 1.0 đ b) Với x = 0, bất đẳng thức Với x > 0, xét hàm số f (x) = arctan x trªn [0; x] Sư dơng arctan x 1 Ta cã, = ≤ 1.0 đ Định lý Lagrange, tån t¹i c ∈ (0; x) cho 2 1+c x 1+x + c2 Sử dụng Định lý Rolle cho hàm số f (x) đoạn [3, 2], [2, 1] [c1 , c2] Khi đó, tồn t¹i c1 ∈ (1, 2), c2 ∈ (2, 3), c ∈ (c1 , c2) cho f (c1 ) = 0, f (c2 ) = vµ f (c) = 1.0 ® (x + 1)3 (x + 1)5 (x + 1)2 ]} = (x + 1) ln + − + o(x + 1)5 1.0 đ Câu Ta có, f (x) = (x + 1) ln{2.[1 + 2 5! Suy ra, f (5) (−1) = − 1.0 ® 1 x2 + −12x , dv = dx ⇒ du = dx, v = − + 1.0 đ Câu Đặt u = ln x −3 x x −9 4x 36 +∞ 1 x2 + +∞ ln + 1.0 ® Suy ra, I = ( − ) ln − dx = 36 4x x 3 3x3 81 54 Đáp án thang điểm Đề thi môn Giải tích K58-Đề số Câu a) Phát biểu định lý Lagrange √ √ b) XÐt hµm sè f (x) = ln(x + + x2 Víi mäi x ∈ R, ta cã x + + x2 > 0, f (x) = √ + x2 √ a + + a2 √ = f (c)(a − b) Víi mäi, a, b ta cã f (a) − f (b) = ln b + + b2 √ a + + a2 √ Suy ln ≤ |f (c)(a − b)| ≤ |a − b| b + + b2 √ t t2 C©u Ta cã + t = + − + o(t2 ) √ Suy x + 4x = x +2x3 − 2x5 + o(x5 ) VËy f ( 5)(0) = −25! = −240 − < a <      a2 a = C©u lim = n→+∞ + an   < |a|    kh«ng tån a = + dx Câu a) So sánh với tích phân Suy hội tụ x2 +∞ √ √ du = ln(1 + 2) b) Đặt u = + x2 , I = √ (u − 1)(u + 1) 1.0 ® 1.0 ® 1.0 ® 1.0 ® 2.0 đ 1.0 đ 1.0 đ Câu Cắt khối V mặt phẳng vuông góc với trục Oz z, ta đ-ợc thiết diện elip có diện tích S(z) = 6πz 1.0 ® Suy ra, V = √ 6πzdz = 48π 1.0 đ Đáp án thang điểm Đề thi môn Giải tích K58-Đề số Câu a) Định nghĩa hàm liên tục 1.0 đ b) Hàm số f (x) = x2n + axn + bx2 + cx − liªn tơc trªn R Ta cã f (0) = −1 < lim Suy tồn x < 0, β > c cho f (α) > 0, f() > Suy điều phải chứng minh 1.0 ® √ t t2 C©u Ta cã + t = + − + o(t2 ) √ Suy x − 4x = x −2x3 − 2x5 + o(x5 ) VËy f ( 5)(0) = −25! = −240   − < a <     2 a a = C©u lim = n→+∞ + an    < |a| không tồn a = + dx Câu a) So sánh với tích ph©n Suy héi tơ x2 +∞ √ √ du = ln(3 + 10) b) §Ỉt u = x2 + 9, I = √ (u − 3)(u + 3) 10 1.0 ® 1.0 ® 2.0 đ 1.0 đ 1.0 đ Câu Cắt khối V mặt phẳng vuông góc với trục Oz z, ta đ-ợc thiết diện elip có diện tích S(z) = 8πz 1.0 ® Suy ra, V = √ 8πzdz = 144π 1.0 đ Đáp án thang điểm Đề thi môn Giải tích K58-Đề số Câu - Nếu a < dãy {xn } đơn điệu tăng bị chặn 4, suy hội tụ - Nếu a dãy {xn } dãy giảm bị chặn d-ới 4, suy hội tụ 1.0 ® lim xn = 1.0 ® n+ Câu Hàm số khả vi x = vµ f (0) = 2.0 ® √ √ 6 C©u Ta cã A = lim ( x6 + x5 − x4 + 2x3) = lim x( + − + ) 1.0 ® x→+∞ x→+∞ x x t t √ √ (1 + + o(t)) − (1 + + o(t)) 1 + t − + 2t = = − 1.0 đ Đặt t = A = lim+ x x→0 t t +∞ arctan x C©u a) Đổi biến x = tan t, ta tính đ-ợc I = 2 x−2 √ dx = x−1 b) Ta cã J = −∞ √ x − 1dx + (x2 + 1)3 π t cos t dt = 1.0 ® dx = −π 2 √ dx = 2/3 + x−1 √ dx x−1 2 −1 √ dx = lim+ (x − 1) = ⇒ J = 1.0 ® →0 1+ x−1 1 C©u Ta cã x 2(t) + y 2(t) = 1.0 ® t π dt π = ln 1.0 đ Vậy độ dài cung l = t Đáp án thang điểm Đề thi môn Giải tích K58-Đề số Câu - Nếu a < dãy {xn } đơn điệu tăng bị chặn 5, suy hội tơ - NÕu a ≥ d·y {xn } lµ dãy giảm bị chặn d-ới 5, suy héi tô 1.0 ® lim xn = 1.0 đ n+ Câu Hàm số khả vi x = f (0) = 2.0 ® √ √ 5 C©u Ta cã B = lim ( x5 + 3x4 − x4 − x3) = lim x( + − − ) 1.0 ® x→+∞ x→+∞ x x 3t t √ √ (1 + + o(t)) − (1 − + o(t)) 17 1 + 3t − − t ⇒ A = lim = = 1.0 đ Đặt t = + x→0 x t t 20 +∞ C©u a) Đổi biến x = tan t, ta tính đựợc I = b) Ta cã J = 1 x+1 √ dx = − 1−x −∞ √ − xdx + arctan2 x dx = x2 + π t2dt = −π 2 √ dx = −2/3 + 1−x π3 1.0 ® 12 √ dx 1−x 1− −1 √ dx = lim+ 2(1 − x) = →0 1−x 0 10 ⇒ J = 1.0 đ Câu Ta cã x 2(t) + y 2(t) = 1.0 ® t π dt π = ln 1.0 đ Vậy độ dài cung lµ l = t ...Bộ Môn Toán Tr-ờng ĐHXD Đề thi môn Giải tích K58 Thời gian làm 90 phút Đề số Không sử dụng tài liệu phòng thi Câu (1.0®) Chøng minh... tính f (5) (2) Câu (2.0đ) Tính tích phân suy rộng + Bộ Môn Toán Tr-ờng ĐHXD x2 − dx ln x5 x2 + §Ị thi môn Giải tích K58 Thời gian làm 90 phút Đề số Không sử dụng tài liệu phòng thi Câu (1.0đ)... (5)(−1) +∞ x2 + dx ln Câu (2.0đ) Tính tích phân suy rộng x2 3 x Đề thi môn Giải tích K58 Bộ Môn Toán Tr-ờng §HXD Thêi gian lµm bµi 90 §Ị sè Không sử dụng tài liệu phòng thi Câu (2.0đ) a) Phát biểu