www.violet.vn/toan_cap3 .Cỏc chuyờn bi dng hc sinh gii Các bài toán về nghiệm của PT, BPT vô tỉ chứa tham số (Phng phỏp chiu bin thiờn hm s) Bài 1: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm: 2 2 1 1x x x x m+ + + = . Giải: Xét hàm số 2 2 1 1y x x x x= + + + + Miền xác định D= R . + Đạo hàm + = + + + = + + = + + + > + + = + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 ' 2 1 2 1 ' 0 (2 1) 1 (2 1) 1 (2 1)(2 1) 0 (vo nghiem) (2 1) ( 1) (2 1) ( 1) x x y x x x x y x x x x x x x x x x x x x x + y(0)=1>0 nên hàm số ĐB + Giới hạn + = = + + + = 2 2 2 lim lim 1 1 1 lim 1. x x x x y x x x x y + BBT x - + y + y 1 -1 Vậy phơng trình có nghiệm khi và chỉ khi -1<m<1. Bài 2: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm thực 2 1x x m+ = + Giải: - Đặt 1; 0t x t= + . Phơng trình đã cho trở thành: 2t=t 2 -1+m m=-t 2 +2t+1 - Xét hàm số y=-t 2 +2t+1; t0; y=-2t+2 x 0 1 + y + 0 - y 2 1 www.violet.vn/toan_cap3 .Cỏc chuyờn bi dng hc sinh gii - Theo yêu cầu của bài toán đờng thẳng y=m cắt ĐTHS khi m2. Bài 3: Tìm m để phơng trình sau có đúng 2 nghiệm dơng: 2 2 4 5 4x x m x x + = + . Giải: - Đặt 2 2 2 ( ) 4 5; '( ) ; '( ) 0 2 4 5 x t f x x x f x f x x x x = = + = = = + . Xét x>0 ta có BBT: x 0 2 + f(x) - 0 + f(x) 5 + 1 - Khi đó phơng trình đã cho trở thành m=t 2 +t-5 t 2 +t-5-m=0 (1). - Nếu phơng trình (1) có nghiệm t 1 ; t 2 thì t 1 + t 2 =-1. Do đó (1) có nhiều nhất 1 nghiệm t1. - Vậy phơng trình đã cho có đúng 2 nghiệm dơng khi và chỉ khi phơng trình (1) có đúng 1 nghiệm t (1; 5) . - Đặt g(t)=t 2 +t-5. Ta đi tìm m để phơng trình g(t)=m có đúng 1 nghiệm t (1; 5) . f(t)=2t+1>0 với mọi t (1; 5) . Ta có BBT sau: t 1 5 g(t) + g(t) 5 -3 Từ BBT suy ra -3<m< 5 là các giá trị cần tìm. Bài 4: Xác định m để phơng trình sau có nghiệm 2 2 4 2 2 ( 1 1 2) 2 1 1 1m x x x x x+ + = + + . Giải: - Điều kiện -1x1. Đặt 2 2 1 1t x x= + . - Ta có 2 2 2 4 1 1 0; 0 0 2 2 1 2 2; 2 1 x x t t x t x t t x + = = = = = 2 www.violet.vn/toan_cap3 .Cỏc chuyờn bi dng hc sinh gii - Tập giá trị của t là 0; 2 (t liên tục trên đoạn [-1;1]). Phơng trình đã cho trở thành: 2 2 2 ( 2) 2 (*) 2 t t m t t t m t + + + = + + = + - Xét 2 2 ( ) ;0 2. 2 t t f t t t + + = + Ta có f(t) liên tục trên đoạn 0; 2 . Phơng trình đã cho có nghiệm x khi và chỉ khi phơng trình (*) có nghiệm t thuộc 0; 2 0; 2 0; 2 min ( ) max ( )f t m f t . - Ta có 2 2 0; 2 0; 2 4 '( ) 0, 0; 2 ( ) 0; 2 . ( 2) Suy ra min ( ) ( 2) 2 1;ma x ( ) (0) 1 t t f t t f t NB t f t f f t f = + = = = = . - Vậy 2 1 1.m Bi 5: Tỡm m bt phng trỡnh 3 1mx x m + (1) cú nghim. Gii: t 3; [0; )t x t= + . Bt phng trỡnh tr thnh: 2 2 2 1 ( 3) 1 ( 2) 1 2 t m t t m m t t m t + + + + + + (2) (1)cú nghim (2) cú nghim t0 cú ớt nht 1 im ca THS y= 2 1 2 t t + + vi t0 khụng phớa di ng thng y=m. Xột y= 2 1 2 t t + + vi t0 cú 2 2 2 2 2 ' ( 2) t t y t + = + t 1 3 0 1 3 + + y - 0 + | + 0 - y 3 1 4 + T Bng bin thiờn ta cú m 3 1 4 + . Bi 6: Tỡm m phng trỡnh 3 6 (3 )(6 )x x x x m+ + + = cú nghim. Gii: 3 www.violet.vn/toan_cap3 .Các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Đặt ( ) 3 6t f x x x= = + + − với [ 3;6]x ∈ − thì 6 3 ' '( ) 2 (6 )(3 ) x x t f x x x − − + = = − + Bảng biến thiên: x -3 3/2 6 +∞ f’(x) ║ + 0 - ║ f(x) | 3 2 | 3 3 Vậy t [3;3 2]∈ . Phương trình (1) trở thành 2 2 9 9 2 2 2 t t t m t m − − = ⇔ − + + = (2). Phương trình (1) có nghiệm Phương trình (2) có nghiệm t [3;3 2]∈  đường thẳng y=m có điểm chung với đồ thị y= 2 9 2 2 t t− + + với t [3;3 2]∈ . Ta có y’=-t+1 nên có t 1 3 3 2 y’ + 0 - | - | y 3 9 3 2 2 − Bài 7: Cho bất phương trình 2 1 (4 )(2 ) (18 2 ) 4 x x a x x− + ≥ − + − . Tìm a để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x ∈ [-2;4]. Giải: Đặt 2 (4 )(2 ) 2 8; [0;3]t x x x x t= − + = − + + ∈ . Bất phương trình trở thành: 2 2 1 (10 ) 4 10 4 t a t a t t≥ − + ⇔ ≥ − + .(2) (1)ghiệm  (2) có nghiệm mọi t ∈ [0;3] đường thẳng y=a nằm trên ĐTHS y=t 2 -4t+10 với t ∈ [0;3] y’=2t-4; y’=0t=2 t 0 2 3 y’ | - 0 + | y 10 7 6 Vậy m≥10. 4 www.violet.vn/toan_cap3 .Các chun đề bồi dưỡng học sinh giỏi Bài 8: Cho phương trình 4 2 2 2 ( 1)x x x m x+ + = + (1). Tìm m để PT có nghiệm. Giải: Phương trình đã cho tương đương 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4( ) 4 ( 1) 4 2 2 4 2. ( ) 4 (1 ) (1 ) 1 1 x x x x x x x x m m m x x x x + + + + = ⇔ = ⇔ + = + + + + Đặt t= 2 2 1 x x+ ; t ∈ [-1;1]. Khi đó phương trình (1) trở thành 2t+t 2 =4m. (1) có nghiệm  (2) có nghiệm t ∈ [-1;1] Xét hàm số y=f(t)=t 2 +2t với t ∈ [-1;1]. Ta có f’(t)=2t+2≥0 với mọi t ∈ [-1;1]. t -1 1 f’ 0 + | f 3 -1 Từ BBT -1≤4m≤3 1 3 4 4 m⇔ − ≤ ≤ . Bµi 9: Cho PT 1) 1 3 ( 1)(3 )x x x x m + + − − + − = a) Giải pt khi m=2 b) Tìm m pt có nghiệm. HDĐS: ĐK: . 1 3 ; 2 2 2 : 2( ) t x x t vi a b a b a b = + + − => ≤ ≤ + ≤ + ≤ + 2 0( ) 1) 2 : 2 0 1, 3 2 t l m t t x x t =  = − = <=> => = − =  =  2) f(t) = -t 2 /2 + t +2 = m (1) . Lập bảng biến thiên : Tacó : 2 2 2 2.m− ≤ ≤ Bµi 10. T×m m ®Ĩ ph¬ng tr×nh sau cã nghiƯm: 2 9 9x x x x m + − = − + + HD: Bình phương : Đặt t= (9 ) 0 9/ 2x x t− => ≤ ≤ KSHS 2 ( ) 2 9 ; 9/ 2 9/ 4 10f t t t o t Ds m = − + + ≤ ≤ − ≤ ≤ d) Bµi 11. T×m m ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã nghiƯm: 4 4 4 4 4 6x x m x x m + + + + + = HDĐS: Đặt 4 2 4 4 0 : 6 0t x x m pt t t= + + ≥ + − = 5 www.violet.vn/toan_cap3 .Cỏc chuyờn bi dng hc sinh gii 44 4 3 ( ) 2 4 2 4 16 loạit PT t x x m m x x = = => + + = <=> = + Laọp BBT : m>19VN; m=19: 1 nghim ; m<19 : pt 2 nghim. Bài 12: Tìm m để bất phơng trình sau có nghiệm với mọi x thuộc [-1/2;3] )352()3).(21( 2 ++>+ xxmxx HD: Đặt t= )3).(21( xx + Từ miền xác đinh của x suy ra 4 27 ;0t . Biến đổi thành f(t) = t 2 + t > m + 2. Tìm miền giá trị của VT m < -6. Bài 13: Tìm a nhỏ nhất để bất phơng trình sau thoả mãn với mọi x thuộc [0;1] 222 )1()1.( +++ xxxxa HD: Đặt t = x 2 + x dùng miền giá trị suy ra a = -1. Bài 14: Tìm m để bất phơng trình sau có nghiệm 2 2 1 1x x x x m+ + + + = HD: m 2. Bài 15: Tìm m để bất phơng trình sau có nghiệm với mọi x 4 2 2 3cos 5.cos3 36.sin 15cos 36 24 12 0x x x x m m + + HD: Đặt t = cosx BBT 0 m 2. Bài 16: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm trên [- /2; /2] 2 )cos1(2sin22 xmx +=+ 6 . sinh gii Các bài toán về nghiệm của PT, BPT vô tỉ chứa tham số (Phng phỏp chiu bin thiờn hm s) Bài 1: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm: 2 2 1 1x x x x. (1) có nghiệm  (2) có nghiệm t ∈ [-1;1] Xét hàm số y=f(t)=t 2 +2t với t ∈ [-1;1]. Ta có f’(t)=2t+2≥0 với mọi t ∈ [-1;1]. t -1 1 f’ 0 + | f 3 -1 Từ BBT -1≤4m≤3