Mục lục Dạng Dạng Dạng Dạng Dạng Dạng Biểu diễn véc-tơ Ba điểm thẳng hàng Quỹ tích Tỷ lệ Min - Max Tích vô hướng 10 12 14 19 MỤC LỤC Dạng Biểu diễn véc-tơ Câu Cho tam giác ABC biết AB = 3, BC = 4, AC = 6, I tâm đường tròn nội tiếp #» #» #» #» tam giác ABC Gọi x, y, z số thực dương thỏa mãn xIA + y IB + z IC = Tính x y z P = + + y z x 41 23 A P = B P = C P = D P = 12 12 (Vũ Ngọc Thành-daytoan2018@gmail.com) LATEX by Nhóm W-T-Tex-Beginning Câu Cho hình bình hành ABCD Gọi I trung điểm CD, G trọng tâm tam # » #» # » giác BCI Đặt #» a = AB, b = AD Hãy tìm đẳng thức đẳng thức sau? #» #» #» #» # » # » # » # » A AG = #» a + b B AG = #» a + b C AG = #» a + b D AG = #» a + b 6 3 (Nguyễn Thị Tiết Hạnh-tiethanh.78@gmail.com) Câu Cho tam giác ABC với cạnh AB = c, BC = a, CA = b Gọi nội tiếp tam giác ABC Đẳng thức sau đúng? #» #» # » #» #» #» #» A aIA + bIB + cIC = B bIA + cIB + aIC = #» #» # » #» #» #» #» C cIA + bIB + aIC = D cIA + aIB + bIC = I tâm đường tròn #» #» (Dương Bảo Trâm-ilovemath.ddt@gmail.com) Câu Cho hình thang cân ABCD có CD đáy lớn, ADC = 30◦ Biết DA = a, DC = b, # » # » # » biểu diễn DB theo hai √ véc-tơ DA DC # » # » # » # » # » b−a 3# » DC B DB = DA + DC A DB = DA + b # » # » b−a# » # » # » # » C DB = DA + DC D DB = bDA + aDC b (Đỗ Thị Hồng Anh-honganh161079@gmail.com) # » # » #» Câu Cho hình bình hành ABCD, M điểm thỏa mãn 5AM + 2CA = Trên cạnh AB, BC lấy diêm P , Q cho M P ∥ BC, M Q ∥ AB Gọi N giao điểm AN CN AQ CP Giá trị tổng + AQ CP 25 21 24 23 A B C D 19 19 19 19 (Kim Duyên Nguyễn-kimduyenhtk@gmail.com) # » Câu Cho tứ giác ABCD, M điểm tùy ý K điểm cố định thỏa mãn đẳng thức M A + # » # » # » # » M B + M C + 3M D = xM K Giá trị x A B C D (Phạm Thị Ngọc - thuangiaoyen@gmail.com) Câu Cho tam giác ABC, cạnh AC, BC lấy điểm M , N cho AM = 3M C, N C = 2N B Gọi O giao điểm AN BM Tính diện tích tam giác ABC biết diện tích tam giác OBN A 30 B 24 C 20 D 45 (Nguyễn Thanh Hoài-ngthhoai1705@gmail.com) Câu Cho tam giác ABC, gọi I điểm BC kéo dài cho IB = 3IC Gọi J, K # » #» # » điểm cạnh AC, AB cho JA = 2JC, KB = 3KA Khi đó, BC = mAI + nJK Tính tổng P = m + n A −34 B 34 C −14 D 14 MỤC LỤC (Trần Ngọc Uyên-ngocuyen203@gmail.com) # » Câu Cho hình bình hành ABCD, lấy M cạnh AB N cạnh CD cho AM = 1# » # » 1# » #» # » #» #» AB, DN = DC Gọi I J điểm thỏa mãn BI = mBC, AJ = nAI Khi J trọng tâm tam giác BM N tích m · n bao nhiêu? A B C D 3 (Phạm Văn Huấn-huanpv@dtdecopark.edu.vn) Câu 10 Cho tam giác ABC, cạnh AB lấy điểm M , cạnh BC lấy N cho AM = 3M B, N C = 2BN Gọi I giao điểm AN với CM Tính diện tích tam giác ABC biết diện tích tam giác ICN 33 A B C 11 D 2 11 (Hứa Nguyễn Tường Vy-FB:nguyennga-namlongkontum@gmail.com) # » # » #» Câu 11 Cho ABC có trọng tâm G hai điểm M , N thỏa mãn 3M A − 2CM = , # » # » #» N A − 2N B = Chọn mệnh đề # » # » # » # » # » # » # » # » A N G = 4GM B N G = 5GM C N G = 6GM D N G = 7GM (Trần Công Sơn-congsondienan@gmail.com) # » # » #» Câu 12 Cho tam giác ABC Gọi A , B , C điểm xác định 2018A B +2019A C = , # » # » #» # » # » #» 2018B C + 2019B A = , 2018C A + 2019C B = Khi đó, mệnh đề sau đúng? A ABC A B C có trọng tâm B ABC = A B C C ABC ∼ A B C D ABC A B C có trực tâm (tranminhthao@2011gmail.com) Câu 13 Cho tam giác ABC cạnh a Gọi điểm M trung điểm BC Tính độ dài 1# » # » véc-tơ AB + 2AC 2√ √ √ √ a 21 a 21 a 21 a 21 A B C D Câu 14 Cho ABC có M trung điểm BC, H trực tâm, O tâm đường tròn ngoại # » # » # » # » tiếp Tìm x để HA + HB + HC = xHO A x = B x = −2 C x = D x = (Tran Quoc An) Câu 15 Cho tam giác ABC có đường trung tuyến CM vng góc với phân giác AL a + bk Giả sử có CM = kAL Biết cos A = Tính a + b + c + d c + dk A 18 B C 26 D 17 (Bùi Duy Nam) # » # » #» Câu 16 Cho tam giác ABC Gọi M , N , P điểm thỏa mãn M A + 3M B = , # » 1# » # » # » #» AN = AC, 2P B + 3P C = Gọi K giao điểm AP M N Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? # » # » #» # » # » #» A 4KA + 5KP = B 3KA + 2KP = # » # » #» # » # » C KA + KP = D KA = KP (Pham Thanh My) MỤC LỤC Câu 17 Cho hình thang ABCD, (AB ∥ CD) có hai đường chéo vng góc với Biết # » # » AB + CD = 20cm Tìm AC + BD A 40cm B 20cm C 30cm D 10cm (Nguyễn Yến) Câu 18 Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = Gọi AD đường phân giác góc # » # » # » A Biết AD = mAB + nAC Khi tổng m + n có giá trị 1 A B −1 C D − 7 (Thanh Lâm Lê) Câu 19 Cho tam giác ABC bất kì, gọi M , N , P trung điểm cạnh AB, BC, CA H, H trực tâm tam giác ABC, M N P Khẳng định khẳng định sau? # » # » # » # » # » # » # » # » A HA + HB + HC = 3HH B HA + HB + HC = 2HH # » # » # » # » #» # » # » # » C HA + HB + HC = D HM + HN + HP = 3HH LATEX by Nhóm W-T-Tex-Beginning (Huỳnh Kim Linh-kimlinhlqd@gmail.com) Câu 20 Cho tam giác ABC tâm O M điểm bên tam giác Gọi D, E, F hình chiếu M lên BC, CA, AB Với giá trị k ta có hệ thức # » # » # » # » M D + M E + M F = k M O B k = C k = D k = A k = 2 (Huỳnh Kim Linh-kimlinhlqd@gmail.com) Câu 21 Một giá đỡ hình tam giác gắn vào tường (như hình vẽ) Tam giác ABC vng cân B Người ta treo vào điểm A vật nặng 10 N Tính độ lớn lực tác động vào tường B C? (Bỏ qua khối lượng giá đỡ) √ √ B FB = 10 N, FC = 10 √ N A FB = 10 N, FC = 10 N C FB = FC = 10 N D FB = 10 N, FC = −10 N B C A 10N (Nguyễn Thanh Dũng-thanhdungtoan6@gmail.com) # » # » # » #» Câu 22 Cho ba điểm A, B, C thuộc đường tròn tâm O, thỏa mãn OA + OB + OC = Tính góc AOB? B AOB = 90◦ C AOB = 150◦ D AOB = 30◦ A AOB = 120◦ (Trần Gia Chuân-giachuan85@gmail.com) 1# » 2# » # » Câu 23 Cho tam giác ABC Điểm M cạnh BC thỏa mãn AM = AB + AC, khẳng 3 định sau khẳng định đúng? # » # » # » # » A M B = 2M C B M B = 2M C C M C = 2M B D M C = −3M B (Trần Gia Chuân-giachuan85@gmail.com) Câu 24 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, M điểm tùy ý nằm bên tam giác cho; gọi A , B , C theo thứ tự hình chiếu vng góc M lên cạnh # » # » # » k # » BC, CA AB Khi ta có đẳng thức vectơ k M A + M B + M C = lM O, kl = 0, l phân số tối giản Tính 2k − l2 A 2k − l2 = B 2k − l2 = −1 C 2k − l2 = 14 D 2k − l2 = −5 (Cao Văn Tùng-FB: Cao Tung-cvtung.lg2@bacgiang.edu.vn) MỤC LỤC 1# » # » 1# » # » Câu 25 Cho hình vng ABCD, E, F thõa mãn BE = BC; CF = − CD; AE ∩ BF = I #» # » # » Ta có AI = k AB + lAD Khi tỉ số k, l thỏa mãn cặp sau 6 B k = ; l = C k = ; l = D k = − ; l = A k = ; l = 5 5 6 (Nguyễn Thị Trang-Fb:Trang Nguyen-trang145@gmail.com) Câu 26 Cho tam giác ABC, cạnh AC lấy điểm M , cạnh BC lấy điểm N cho AM = 3M C, N C = 2N B, gọi O giao điểm AN BM Tính diện tích ABC biết diện tích OBN A 10 B 20 C 25 D 30 (Nguyễn Thị Phương Thảo) Câu 27 Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G tâm đường tròn ngoại tiếp O Chọn khẳng định đúng? # » # » # » # » # » # » # » # » A HA + HB + HC = 4HO B HA + HB + HC = 2HO # » # » # » 2# » # » # » # » # » C HA + HB + HC = HO D HA + HB + HC = 3HO Câu 28 Cho tam giác ABC có D trung điểm BC, O điểm đoạn AD cho AO = 4OD Gọi {E} = CO ∩ AB, {F } = BO ∩ AC, {M } = AD ∩ EF Khẳng định sau đúng? # » # » # » 1# » # » 2# » # » 1# » B M O = AD C M O = AD D EM = BC A M O = AD 15 (Tác giả: Nguyễn Đặng) Câu 29 Cho hình thang ABCD có AB ∥ CD Gọi M , N trung điểm AC, BD Kẻ N H ⊥ AD (H ∈ AD) M E ⊥ BC (E ∈ BC) Gọi {I} = M E ∩ N H, kẻ IK ⊥ DC (K ∈ DC) Khi tam giác M N K hệ thức đúng? #» # » # » #» A M K · IN + N K · IM + M N · IK = #» # » # » #» B IN · tan N + IM · tan M + IK · tan K = #» # » # » #» C IN · cot N + IM · cot M + IK · cot K = # » # » # » #» D IN + IM + IK = (Tác giả: Nguyễn Văn Toản, Email: nguyenvantoannbk@gmail.com) Câu 30 Cho ABC, điểm M thuộc cạnh BC cho 2018 · S ABM = 2019 · S ACM Đẳng thức sau sai? # » # » #» A 2018 · S ABC = 4037 · S ACM B 2018 · BM + 2019 · CM = 2019 # » 4037 # » · BM D S ABM = · S ABC C BC = 2018 4037 (Tác giả: Nguyễn Văn Phùng, gmail: nvpmaster0808@gmail.com) Câu 31 Cho ABC, điểm M thuộc cạnh BC cho S = 3·S ACM Một đường thẳng AB AC AM cắt cạnh AB, AM , AC B , M , C phân biệt Biết +2 = k· AB AC AM Tìm số k A k = B k = C k = D k = ABC (Tác giả: Nguyễn Văn Phùng, gmail: nvpmaster0808@gmail.com) Câu 32 Cho n điểm phân biệt mặt phẳng Bạn An kí hiệu chúng A1 , A2 , , An # » # » # » Bạn Bình kí hiệu chúng B1 , B2 , , Bn (A1 = Bn ) Vectơ tổng A1 B1 + A2 B2 + · · · + An Bn # » # » # » #» A B A1 An C B1 Bn D A1 Bn LATEX by Nhóm W-T-Tex-Beginning (Nguyễn Văn Quân-FB:Quân Nguyễn-Quanvan09@gmail.com) MỤC LỤC Câu 33 Trong đường tròn (O) với hai dây cung AB CD cắt M Qua trung điểm AK AM S BD kẻ SM cắt AC K cho = a Tính CK CM D a A 2a B a2 C a 2# » # » # » Câu 34 Cho tam giác ABC Gọi D, E điểm thỏa mãn BD = BC, AE = 1# » AK AC Điểm K AD cho điểm B, K, E thẳng hàng Xác định tỉ số AD 1 1 A B C D (Facebook: Lê Văn Kỳ, Email: lethithuy@thpthv.vn) Câu 35 Cho tam giác ABC vng C, có AC = b, BC = a D chân đường cao hạ tự đỉnh C Khẳng định sau đúng? b2 # » a2 # » b2 # » a2 # » # » # » CA + CB B CD = CA − CB A CD = a + b2 a2 + b a2 + b a2 + b a2 # » b2 # » a2 # » b2 # » # » # » C CD = AC + BC D CD = AC − BC a + b2 a2 + b a2 + b a2 + b #» # » # » #» Câu 36 Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi I điểm xác định 5IA−7IB − IC = EA Gọi E giao điểm AI BG Tính tỷ số EI 1 A B C D (Tác giả: Nguyễn Thị Thu Huyền Tên FB: Thu Huyen Nguyen) Câu 37 Cho hai tia Ox, Oy vng góc Trên tia Ox lấy điểm A, B cho OA = OB = C điểm thuộc đoạn OA, N điểm thuộc đoạn OB dựng hình vng OCM N Trên đoạn CM lấy điểm Q dựng hình vng ACQP Ç Gọi å S giao điểm AM P N Giả sử 13 a # » # » #» # » # » # » OC = k OA, AS = xAM , N S = y N P với k ∈ ; Khi x + y = k = với a, b ∈ N 10 b a, b nguyên tố a · b A B C D 12 (Ngỗ Quang Nghiệp) Câu 38 Cho tam giác ABC Giả sử điểm M nằm cạnh BC thỏa mãn tam giác M AB M AC có diện tích S1 S2 Khẳng định sau đúng? # » # » # » # » # » # » A (S1 + S2 ) AM = S2 AB + S1 AC B (S1 + S2 ) AM = S1 AB + S2 AC # » # » # » # » # » # » C (S2 − S1 ) AM = S2 AB + S1 AC D (S2 − S2 ) AM = S1 AB + S2 AC (Nguyễn Đức Duẩn) #» Câu 39 Cho tam giác ABC có M trung điểm BC, giả sử điểm I thỏa mãn AI = m# » 1# » # » CK, tính − M I, điểm K thuộc cạnh AC cho B, I, K thẳng hàng Khi KA = n S = 25m + 6n + 2019 A 2019 B 2068 C 2018 D 2020 (Nguyễn Quang Huy) #» #» #» Câu 40 Cho tam giác ABC có trọng tâm G, lấy điểm I J cho IA = 2IB 3JA + #» #» #» 500 2IC = thỏa mãn đẳng thức IJ = k IG Giá trị biểu thức P = (25k − 36) (k + k + 1) A P = 1235 B P = C P = D P = (Nguyễn Thị Trà My) MỤC LỤC Câu 41 Cho tam giác ABC, gọi M điểm cạnh BC cho SABC = 3SAM C Một đường AB AC AM thẳng cắt cạnh AB, AM, AC điểm B , M , C phân biệt Biết +m =n AB AC AM Tính m + n A B C D (Nguyễn Thị Trà My) Câu 42 Cho tam giác ABC có D trung điểm BC, O điểm đoạn AD cho AO = 4OD Gọi {E} = CO ∩ AB, {F } = BO ∩ AC, {M } = AD ∩ EF Khẳng định sau đúng? # » # » # » 1# » # » 2# » # » 1# » B M O = AD C M O = AD D EM = BC A M O = AD 15 (Nguyễn Đặng) (Nguyễn Thi Tiết Hạnh) Câu 44 Một đường thẳng cắt cạnh DA, DC đường chéo BD hình bình hành # » # » # » # » ABCD điểm E, F M Biết DE = mDA, DF = nDC với m, n > Khẳng định m # » # » # » m+n# » DB B DM = DB A DM = mn m+n mn # » n # » # » # » DB D DM = DB C DM = m+n m+n (Lê Đức Lộc) √ Câu 45 Hình thang cân ABCD có độ dài đường cao AH = a, AB ∥ CD, AB = a 3, AD = √ √ #» x+y z# » a 2, AB < DC, AC cắt BH I Biết AI = AC, x, y, z, m ∈ N m Tính tổng T = x + y + z + m A 18 B 20 C 17 D 21 (tambc3vl@gmail.com) Câu 46 Cho hình thang ABCD với O giao điểm hai đường chéo AC BD Qua O vẽ đường thẳng song song với đáy hình thang, đường thẳng cắt cạnh bên AD BC # » theo thứ tự M N Với AB = a, CD = b Tính M N # » # » # » # » # » # » # » a · AB + b · DC b · AB + a · DC a · AB − b · DC b · AB − a · DC A B C D a+b a+b a+b a+b (Nguyễn Thanh Tâm) Câu 47 Cho tam giác ABC tâm O; điểm M thuộc miền tam giác OBC; D, E, F hình chiếu vng góc M BC, CA, AB Khẳng định sau đúng? # » # » # » 1# » # » # » # » # » A M D + M E + M F = M O B M D + M E + M F = M O # » # » # » # » # » # » # » 3# » C M D + M E + M F = 3M O D M D + M E + M F = M O (Phan Minh Tâm) LATEX by Nhóm W-T-Tex-Beginning Câu 43 Cho hình thang ABCD có AB ∥ CD Gọi M , N trung điểm AC, BD Kẻ N H ⊥ AD (H ∈ AD) M E ⊥ BC (E ∈ BC) Gọi {I} = M E ∩ N H, kẻ IK ⊥ DC (K ∈ DC) Khi tam giác M N K hệ thức đúng? #» # » # » #» A M K · IN + N K · IM + M N · IK = #» # » # » #» B IN · tan N + IM · tan M + IK · tan K = #» # » # » #» C IN · cot N + IM · cot M + IK · cot K = # » # » # » #» D IN + IM + IK = MỤC LỤC Dạng Ba điểm thẳng hàng Câu 48 Cho hình bình hành ABCD có điểm M , I, N thuộc cạnh AB, BC, 1 CD cho AM = AB, BI = kBC, CN = CD Gọi G trọng tâm tam giác BM N Xác định k để AI qua G 12 B C D A 13 11 13 (Phùng Hằng) Câu 49 Cho tam giác ABC Gọi M điểm thuộc cạnh AB, N điểm thuộc cạnh AC cho AM = AB, AN = AC Gọi O giao điểm CM BN Trên đường thẳng BC lấy # »3 # » E Đặt BE = xBC Tìm x để A, O, E thẳng hàng A B C D 13 11 (Nguyễn Thanh Dũng) Câu 50 Cho tam giác ABC Gọi I trung điểm BC; P điểm đối xứng với A qua B; R điểm cạnh AC cho AR = AC Khi đường thẳng AR qua điểm điểm sau đây? A Trọng tâm tam giác ABC B Trọng tâm tam giác ABI C Trung điểm AI D Trung điểm BI (Phùng Hằng) Câu 51 Cho ∆ABC có H trung điểm AB G ∈ AC : GC = 2AG Gọi F giao điểm CH BG Tìm điểm I BC cho I, F , A thẳng hàng #» #» #» #» #» #» A IC = −2IB B IB = −2IC C IB = IC D IC = −3IB (Hoàng Thị Trà) Câu 52 Cho tam giác ABC I trung điểm BC Gọi M , N , P điểm xác # » # » # » #» # » # » định AM = mAB; AN = nAI; AP = pAC, với mnp = Tìm điều kiện m,n,p để M , N , P thẳng hàng A mp = mn + np B 2mp = mn + np C 2np = mn + mp D 2mn = mp + np (Phùng Hằng) Câu 53 Cho tam giác ABC Gọi G trọng tâm tam giác, I trung điểm BC, M N điểm xác định  # » # »  CN = BC Gọi P giao điểm AC M N Tính tỉ số diện tích tam giác AN P  # » #»  # » 3M A + 4M B = tam giác CN P A B C D 2 (Phùng Hằng) 2# » # » # » Câu 54 Cho tam giác ABC Gọi D, E điểm thỏa mãn: BD = BC; AE = 1# » a # » a# » AC Điểm K AD thỏa mãn AK = AD (với phân số tối giản) cho điểm B, b b K, E thẳng hàng Tính P = a2 + b2 A P = 10 B P = 13 C P = 29 D P = (themhaitotoanyp1@gmail.com) #» #» # » #» Câu 55 Cho tam giác ABC, I điểm thỏa mãn: 2IA − IB + 4IC = , K điểm thỏa mãn: # » # » # » # » # » # » #» #» KA + 2KB + 3KC = , P điểm thỏa mãn: P A + mP B + nP C = Có cặp (m,n), m, n ∈ Z, m, n ∈ [−10; 10] cho I, K, P thẳng hàng? A B C D (boyhanam@gmail.com) # » # » # » # » Câu 56 Cho tam giác ABC, M N hai điểm thỏa mãn: BM = BC − 2AB, CN = # » # » xAC − BC Xác định x để A, M, N thẳng hàng 1 C D − A B − (Huonghungc3@gmail.com) Câu 57 Cho tam giác ABC có G trọng tâm, I trung điểm AG, lấy K thuộc cạnh AC # » # » ch AKơ = k AC Nếu I, B, hàng giáÇtrị Ç K thẳng å å k nằm khoảng? Ç å 1 1 B 0; C ; D ;1 A 0; 5 (Trần Văn Luật) # » # » Câu 58 Cho tam giác ABC, M điểm thuộc cạnh AC cho M A = −2M C, N thuộc # » # » BM cho N B = −3N M , P điểm thuộc BC Biết ba điểm A, N , P thẳng hàng # » # » P B = k P C đúng? Ç Khẳngåđịnh sau Ç å Ç å Ç å 5 1 A k ∈ −3; − B k ∈ − ; −1 C k ∈ −1; − D k ∈ − ; 2 2 (Hoàng Thị Kim Liên) Câu 59 Cho tam giác ABC Gọi M , N , P nằm đường thẳng BC, CA, AB # » # » # » # » # » # » cho M B = mM C, N C = nN A, P A = k P B Tính tích mnk để M , N , P thẳng hàng A B −1 C D −2 (thuhangnvx@gmail.com) Câu 60 Cho hình bình hành ABCD gọi M trung điểm cạnh CD, N điểm thuộc cạnh AD cho AN = AD Gọi G trọng tâm tam giác BM N , đường thẳng AG cắt # » m# » m BC K Khi BK = BC ( tối giản) Tính S = m + n n n A S = 16 B S = 17 C S = 18 D S = 19 (Phùng Hằng-builoiyka@gmail.com) Câu 61 Cho hình thang ABCD có đáy AB, CD, CD = 2AB M , N điểm thuộc cạnh AD BC cho AM = 5M D, 3BN = 2N C Gọi P giao điểm AC QN a a PM M N ; Q giao điểm BD M N Khi + = , với phân số tối giản Khi PN QM b b a + b A 386 B 385 C 287 D 288 (Bùi Thị Lợi) Câu 62 Cho tam giác ABC, cạnh AC lấy điểm M , cạnh BC lấy điểm N cho AM = 3M C, N C = 2BN Gọi I giao điểm AN BN Tính diện tích tam giác ABC biết diện tích tam giác BN I A S ABC = 110 B S ABC = 115 C S ABC = 125 D S ABC = 120 (Vũ Thị Hằng) # » # » Câu 63 Cho tam giác ABC, M thuộc cạnh AC cho M A = −2M C, N thuộc BM # » # » # » # » cho N B = −3N M , P thuộc BC cho P B = k P C Tìm giá trị k để ba điểm A, N , P thẳng hàng 1 A k = B k = −2 C k = − D k = 2 (Nguyễn Khắc Sâm) LATEX by Nhóm W-T-Tex-Beginning MỤC LỤC 10 MỤC LỤC Dạng Quỹ tích #» # » # » #» Câu 64 Cho tam giác ABC với J điểm thoả mãn 2JA + 5JB + 3JC = , gọi E điểm # » # » thuộc AB thoả mãn AE = k AB Giá trị k làm cho C, E J thẳng hàng thỏa mãn điều kiện đây? A k ∈ (−2; −1) B k ∈ (−1; 0) C k ∈ (0; 1) D k ∈ (1; 2) (Nguyễn Văn Dũng) Câu 65 Cho hình vng ABCD tâm O cạnh Biết tập hợp điểm M thỏa mãn 2M A2 + M B + 2M C + M D2 = đường tròn có bán kính R Khẳng định sau đúng? å Ç å Ç 3 ; D R ∈ ;2 A R ∈ (0; 1) B R ∈ (1; 2) C R ∈ 2 (Lê Hồ Quang Minh) # » # » # » Câu 66 Cho tam giác ABC Tập hợp điểm M thỏa mãn 4M A + M B + M C = # » # » # » 2M A − M B − M C A đường thẳng qua A B đường thẳng qua B C C đường tròn D điểm (Viet Hung) Câu 67 Cho tam giác ABC có hai đỉnh B, C cố định với BC = 2a Gọi H trực tâm tam giác ABC M trung điểm đoạn BC Nếu đỉnh A thay đổi thỏa mãn # » # » M A · M H + M A2 = 4a2 điểm √ tròn cố định có bán kính √ A ln thuộc đường A 2a B a C a D a (Ngô Lê Tạo) Câu 68 Cho hai điểm A B cố định Tìm giá trị k > để tập hợp điểm M thỏa mãn điều kiện M A2 + M B = k đường tròn 2 2 A k < AB B k = AB C k ≤ AB D k > AB 3 3 (Liêm Phạm) Câu 69 Cho tam giác vuông ABC A Tập hợp điểm M thỏa mãn M B +M C = M A2 A đường thẳng B đường tròn C đoạn thẳng D điểm (thachtv.tc3@nghean.edu.vn) Câu 70 Cho tam giác ABC vng cân A có AB = cm Gọi (S) tập hợp điểm M # » # » # » # » mặt phẳng thỏa mãn hệ thức: M A · M B + M A · M C = 25 Gọi I trung điểm BC Kết luận sau đúng? A (S) đường thẳng trung trực đoạn thẳng AI B (S) đoạn thẳng AI √ 10 C (S) đường tròn cố định bán kính R = √4 D (S) đường tròn tâm I bán kính R = (Trịnh Văn Thạch) 80 MỤC LỤC Gọi M, N, P trung điểm cạnh AB, AC, BC # » # » # » Do tam giác ABC nên BM , CP , AN hình # » # » # » chiếu BC, CA, AB lên cạnh BA, CB, AB Áp dụng công thức chiếu, ta có M A B P N  # » # »  AB  · BC       a2 a # » # » # » # » = −BA · BC = −BA · BM = −BA · BM = −a · = − 2 a a2 # » # » # » # » # » # » BC · CA = −CB · CA = −CB · CP = −CB · CP = −a · = −   2     a2 a # » # » # » # » # » # »   CA · AB = −AC · AB = −AC · AN = −AC · AN = −a · = − 2 C 3a2 # » # » # » # » # » # » Cộng vế theo vế ta AB · BC + BC · CA + CA · AB = − Cách # »# » # »# » # »# » Vì tam giác ABC nên AB,BC = BC,CA = CA,AB = 120◦ Do  Ç å a2 # »# » # » # »  AB  AB, BC = a · a · − · BC = AB · BC · cos = −    2   å Ç  # » # » a2 # »# » = − BC · CA = BC · CA · cos BC, CA = a · a · −  2    Ç å    a2 # » # » # »# »   =− CA · AB = CA · AB · cos CA,AB = a · a · − 2 3a # » # » # » # » # » # » ⇒ AB · BC + BC · CA + CA · AB = − Chọn đáp án A Câu 140 BM CN Trước hết ta chứng minh + =1 (1) AM AN BM PG    =  BP ∥ M N AG Thật vậy, kẻ ⇒  AM CN QG CQ ∥ M N    = AN AG Do P G QG + = ⇔ P G + QG = AG (1) ⇔ AG AG A N M G ⇔ (GD − P D) + (GD + DQ) = AG ⇔ 2GD = AG (luôn đúng) B BM CN Vậy ta có + = nên AM AN D C Q BM · AN + CN · AM = AM · AN # » # » # » # » # » # » AN · M B AM · N C AM · AN ⇔ + = cos A cos A cos A # » # » # » # » # » # » ⇔ AM · AN = AN · M B + AM · N C (Do cos A = 0) Chọn đáp án B Câu 141 Ta có #» #» #» #» #» a + b + #» c = ⇔ #» a + b = −3 #» c ⇔ #» a+ b P = #» c2 #»2 #» #» 9c2 − a2 − b2 ⇔ #» a + b + #» a · b = #» c ⇔ #» a· b = MỤC LỤC 81 Tương tự, ta có #» #» b + #» c = − #» a ⇔ b + #» c a2 − b2 − 9c2 #»2 #» #» = #» a ⇔ b + #» c + b · #» c = #» a ⇔ b · #» c = Và ta lại có b2 − a2 − 9c2 #» #»2 #»2 #» a + #» c = − b ⇔ ( #» a + #» c )2 = b ⇔ #» a + #» c + · #» a · #» c = b ⇔ #» a · #» c = 9c2 − a2 − b2 a2 − b2 − 9c2 b2 − a2 − 9c2 3c2 − a2 − b2 + + = 6 Chọn đáp án A Suy A = # » 1# » Câu 142 Từ giả thiết M điểm đoạn BC cho M B = 2M C nên ta có BM = BC Đặt AB = x; AC = y ta có x2 + y = 4a2 (1)(Tam giác ABC vuông A) 2# » 1# » # » # » # » # » 1# » # » # » # » Mặt khác từ AM = AB + BM = AB + BC = AB + (AC − AB) = AB + AC 3 3 2# » 1# » # » # » # »2 # »2 # » # » 2 Nên có AM · BC = a ⇔ ( AB + AC)(AC − AB) = a ⇔ AC − AB = a2 3 √ 2 a 33 # » # » (Do AB · AC = 0) ⇔ y − x = a2 (2) Từ (1) (2) ta có y = 3 Chọn đáp án A # » # » # » Câu 143 Từ AM = x · AB + y · AC ⇒ AM = x2 AB + y AC ⇒ = x2 + 4y # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » Và AM ·BC = x·AB·BC+y·AC·BC ⇒ = x·AB(AC−AB)+y·AC(AC−AB) ⇒ = −x+4y Ta có hệ:   2 x2 = 144 x + 4y = 20 ⇔ − x + 4y =  x = 4y Suy T = x2 + y = 153 20 Câu 144 Yêu cầu toán trở thành # » # » # » # » # » # » (M A + AB) · (M A + AC) = M A · BC + M A2 # » # » # » # » # » # » # » ⇔ M A2 + M A(AB + AC) + AB · AC = M A · BC + M A2 # » # » # » # » # » ⇔ M A · (AB + AC) = M A · BC # » # » # » # » # » # » ⇔ M A · AB + AC − BC = ⇔ · M A · AB = Vậy điểm M thuộc đường thẳng vng góc với AB Chọn đáp án B Câu 145 A N P 60◦ B M C 82 MỤC LỤC 2# » 1# » # » # » # » # » 1# » # » # » # » Ta có AM = AB + BM = AB + BC = AB + AC − AB = AB + AC 3 3 x # » # » # » # » 1# » Ta có P N = AN − AP = AC − AB 3a Để AM ⊥ P N # » # » AM · P N = ⇔ 2# » 1# » 1# » x # » AB + AC AC − AB = 3 3a x # » # » # » # » 2x # »2 # »2 ⇔ AB · AC − AB + AC − AB · AC = 9a 9a 2x x ⇔ AB · AC · cos 60◦ − (3a)2 + (3a)2 − AB · AC · cos 60◦ = 9a 9a 2x x ⇔ · 3a · 3a · − · 9a2 + 9a2 − · 3a · 3a · = 9a 9a 4a ⇔ 2a2 − ax = ⇔ x = Ç åÇ å 4a AM ⊥ P N Chọn đáp án B Vậy x = Câu 146 Gọi N trung điểm BC Ta có P # » # » #» #» #» #» #» #» 2IM + AC = IA + IB + IC − IA = IB + IC = 2IN D C H # » # » Do 2IM + AC đạt giá trị nhỏ I hình chiếu vng góc N M C Dựng hình vuông ABCD Gọi P trung điểm CD H giao điểm AP với DN Dễ dàng chứng minh DN ⊥ CM ⇒ I ∈ DN Lại có tứ giác AM CP hình bình hành, suy AP ∥ CM Do AP ⊥DI H trung điểm DI Suy tam giác AID cân A √ AC AC = = Vậy AI AD Chọn đáp án B N A M Câu 147 Gọi I trung điểm cạnh BC # » # »2 Suy M A + GC = −x Dấu “=” xảy x = Chọn đáp án D B A # » # » # » # » # » # » # » 2#» M A + GC = M C + CG + GA + GC = M C + IA # » # » #» # » = BC − BM + IH + HA # » # » 1# » 2# » = BC − xBC + · CB + HA Ç å # » 2# » = − x BC + HA Ç I å2 4 BC + HA2 ≥ HA2 9 G B H I M C MỤC LỤC 83 Câu 148 Áp dụng quy tắc trọng tâm quy tắc trung điểm ta có # » # » # » # » # » # » OA + OB + OC # » OB + OC OG = , OM = # » # » # » # » # » # » # » Khi OG⊥OM ⇒ OG · OM = ⇔ OA + OB + OC OB + OC = # » # » # » # » # » # » ⇔ OA · OB + OA · OC + 2OB · OC + 2R2 = #»2 #» #» #» a + b − a − b 1 #» ⇔ (2R2 − AB )+ (2R2 − AC )+2R2 −BC +2R2 = (chú ý #» a·b = ) 2 2 2 ⇔ AB + AC + 2BC = 12R Chọn đáp án C # » # » # » # » # » # » # » # » Câu 149 Ta có N E = N M + M E = k M P − M N , M F = (M P + M N ) # » # » # » # » N E⊥M F ⇔ M P + M N k M P − M N = # » # » # » # » # » # » MN MP + MN MN · MP + MN2 16 + 16 ⇔k= # » # » # » = # » # » # » = = 64 + 16 MN · MP + MP MP · MP + MN Chọn đáp án B # » # » # » # » Câu 150 Đẳng thức M A · AD= M B · BC với điểm M # » # » AB · BC = AB⊥BC Cho M trùng với A, B ta  # » # » ⇒ AB⊥AD BA · AD = # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » Cho M trùng với C ta CA · AD = CB · BC ⇒ CB + BA · AD = CA + AB · BC # » # » # » # » # » # » # » # » ⇒ CB · AD = CA · BC (vì BA · AD = AB · BC = 0) # » # » # » # » # » # » # » # » # » ⇒ CB · AD + CA · CB = ⇒ CB · AD + CA = ⇒ CB · CD = ⇒ CB⊥CD Vậy tứ giác ABCD hình chữ nhật Chọn đáp án B # » # » # » # » 1# » Câu 151 Ta có AM = AB + BM = AB + BC # » # » # » # » AC = Từ CN = k AN N nằm hai điểm A, C nên suy k < AN = 1−k 1 # » # » # » # » # » # » # » # » AB + AD DN = DA + AN = DA + AB + AD 1−k Ç å1 Ç− k å # » # » # » 1# » # » # » # » DA + AM ⊥DN ⇔ AM · DN = ⇔ AB + BC AB + AD = 1−k 1# » # » 1 # » # » # » # » # » # » # » # » # » AB + AB · AD + BC · DA + BC · AB + BC · AD = ⇔ AB · DA + 1−k 4 (1 − k) 5a2 a2 ⇔ − = ⇔ k = −4 (1 − k) Chọn đáp án B  #»2 #» #» a =1   + b − #» a · b =7   #»  #» #» Câu 152 Ta có  ⇔  #» a + b + #» a · b = ⇔ b =       #» #» #» #» #»   #»2  (3 #»  #» a· b = a − b − #» a · b =0 a + b ) · ( #» a − b) = √ #» #» a · b #» Suy cos #» a ; b = #» #» = |a| · b       √ #» #» a −2b = #» #» a + b =2  #»  a2    Chọn đáp án B Câu 153 Áp dụng tính chất đường phân giác vào phân giác OA, OB, OC ta có # » # » # » a · OA + b · OB + c · OC = 84 MỤC LỤC # » # » # » Từ a · OA + b · OB + c · OC =0 # » # » # » # » # » # » ⇔ a OA + b OB + c OC + · a · bOA · OB + 2b · c · OB · OC + · c · a · OC · OA = # » # » # » # » # » # » # » Vì OA − OB = BA ⇒ OA − OB = c2 ⇒ · OA · OB = OA2 + OB − c2 Tương tự ta có a2 OA2 +b2 OB +c2 OC +ab (OA2 + OB − c2 )+bc (OB + OC − a2 )+ca (OC + OA2 − b2 ) = ⇔ (a + b + c) (aOA2 + bOB + cOC ) = abc (a + b + c) OA2 OB OC ⇔ + + = bc ac ab Chọn đáp án C 2 2 2 # » # » #» Câu 154 Đặt AB = #» a , AD = b Ta có å Ç 2k − #» #» #» #» # » # » # » # » # » # » # » # » #» a +k b BE = BA + AE = BA + k AN = BA + k AD + DN = − a + k b + a = 3 # » # » # » #» #» AM = AB + BM = a + b 3 2k − # » # » + k=0⇔k= Khi BE⊥AM ⇔ BE · AM = ⇔ 3 Chọn đáp án A #» # » # » #» # » − #» a +3b Câu 155 Đặt AD = #» a , AB = b Khi M B = #» b # » # » #» #» # » # » #» #» # » # » # » #» a + b , AN = AD + DN = a + ⇒ M N = AC = 3a + b AM = AC = 4 4 1 #» #» #» #» # » # » Ta có M B · M N = − #» a + b #» a+ b = −3 #» a + b + #» a · b = ⇒ M B⊥M N 16 16 (1) 1 #»2 #» #» #» # » M B2 = − #» a +3b = a + b − #» a · b = #» a 16 16 1 #» #» #» # » MN2 = #» a+ b = #» a + b + #» a · b = #» a 16 16 Suy M B = M N (2) Vậy M B vng góc với M N M B = M N , tam giác BM N vuông cân đỉnh M Chọn đáp án D Câu 156 Gọi AD đường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC # » # » # » Chứng minh tứ giác BHCD hình bình hành Nên HB + HC = HD # » # » # » Ta có O trung điểm đoạn AD nên HA + HD = 2HO # » # » # » # » Suy HA + HB + HC = 2HO # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » # » Ta có OB + OC = 2OM = AH; tương tự OA+ OC = BH; OA+ OB = CH; OA+ OB + OC = # » OH Gọi M , N , P trung điểm cạnh BC, CA AB # » # » # » # » # » # » # » OH⊥AM ⇔ OH · AM = ⇔ (OA + OB + OC) · (AB + AC) = # » # » # » # » # » ⇔ (3OA + AB + AC) · AB + AC = # » # » # » # » # » ⇔ 3OA · AB + AC + AB + AC = # » # » # » # » # » # » # » # » ⇔ 3OA · AB + 3OA · AC + AB + 2AB · AC + AC = # » # » ⇔ −3AB · AP − 3AC · AN + AB + 2AB · AC + AC = 3c2 3b2 # » # » ⇔− − + c2 + 2AB · AC + b2 = #2 » # » # » # » # » # » # » Lại có a2 = BC = (AC − AB)2 = b2 + c2 − 2AB · AC ⇔ 2AB · AC = b2 + c2 − a2 Suy 2a2 = b2 + c2 Chọn đáp án A MỤC LỤC 85 Câu 157 BM CN Trước hết ta chứng minh + = AM AN   BM = P G   BP ∥ M N AG ⇒  AM Thật vậy, kẻ QG CN CQ ∥ M N    = AN AG (1) A G P D M B N C Q Do P G QG + = ⇔ P G + QG = AG AG AG ⇔ (GD − P D) + (GD + DQ) = AG ⇔ 2GD = AG (ln đúng) (1) ⇔ Vậy ta có CN BM + = ⇔ BM · AN + CN · AM = AM · AN AM AN # » # » # » # » # » # » AN · M B AM · N C AM · AN ⇔ + = cos A cos A cos A # » # » # » # » # » # » ⇔ AM · AN = AN · M B + AM · N C (Do cos A = 0) Chọn đáp án B # » # » #» Câu 158 Đặt AB = #» a , AD = b Ta có #» # » # » # » # » 1# » CM = CB + BM = −AD − AB = − b − #» a 2 #» # » # » # » # » # » BN = BA + AN = −AB + k AD = − #» a +kb Theo giả thiết ta có 1 #» #» # » # » CM · BN = ⇔ − b − #» a · − #» a + k b = ⇔ −16k + · = ⇔ k = 2 Ç å Chọn đáp án D Câu 159 Ta có: M # » # » # » # » # » N E = N M + M E = kM P − M N # » # » # » M F = (M P + M N ) E N F Khi đó, # » # » # » # » N E ⊥ M F ⇔ (M P + M N ) · (k M P − M N ) = # » # » # » # » # » # »2 MN · MP + MN 16 + 16 M N · (M P + M N ) ⇔ k = # » # » # » = # » # » # »2 = = 64 + 16 M P · (M P + M N ) MN · MP + MP Chọn đáp án B P 86 MỤC LỤC Câu 160 Vì M trung điểm BC nên # » # » # » AM = AB + AC Suy # » # » # » AB + AC AM = # » # » Ta lại có AB · AC = (c2 + b2 − a2 ) nên 2 = # »2 # »# » # » AB + 2AB AC + AC ä 1Ä 2 (b2 + c2 ) − a2 # » AM = c +2· c + b − a2 + b = 4 Ç å BD AB c Theo tính chất đường phân giác = = DC AC b # » BD # » b # » DC = DC (∗) Suy BD = # » DC# » # c» # » # » # » Mặt khác BD = AD − AB DC = AC − AD thay vào (∗) ta # » # » b # » # » # » # » # » AD − AB = AC − AD ⇔ (b + c)AD = bAB + cAC c # » # »# » # » 2 # »2 ⇔ (b + c) AD = bAB + 2bcAB AC + cAC ä 1Ä # » c + b − a2 + c b ⇔ (b + c)2 AD2 = b2 c2 + 2bc · bc # »2 ⇔ AD = (b + c − a) (b + c + a) (b + c)2 # » Hay AD2 = 4bc p (p − a) (b + c)2 Chọn đáp án D Câu 161 Ta có: # » # » # » # » # » # » # » # » # » M C = −2M B ⇔ AC − AM = −2(AB − AM ) ⇔ 3AM = 2AB + AC # » # » # » Tương tự ta có: 3CN = 2CA + CB Vậy: # » # » # » # » # » # » AM ⊥ CN ⇔ AM · CN = ⇔ (2AB + AC)(2CA + CB) = # » # » # » # » # » # » ⇔ (2AB + AC)(AB − 3AC) = ⇔ 2AB − 3AC − 5AB · AC = 5bc = ⇔ 4c2 − 6b2 − 5bc = ⇔ 2c2 − 3b2 − Chọn đáp án D Câu 162 Ta có A # » #» OM ⊥ BI ⇔ 2OM · BI = # » # » # » # » # » ⇔ 2OA + OB + 2OC BA + BC = # » # » # » ⇔ 5OB + 2BA + 2BC = # » # » # » # » # » # » ⇔ 5OB · BA+5OB · BC + BA + BC = M H I O Gọi H, K tương ứng trung điểm đoạn AB, BC Khi B K C MỤC LỤC 87 # » # » # » # » # » # » 5OB · BA+5OB · BC + BA + BC = # » # » # » # » # » # » # » # » ⇔ OH + HB · BA + OK + KB · BC + BA + BC 5 # » # » ⇔ − BC − BC + 2BA2 + 2BC + 2.2BA · BC = 2 Ä ä 1 ⇔ − BA − BC + AB + BC − AC = 2 ä 3Ä ⇔ AC = AB + BC 4 AC − AC BA2 + BC − AC Do cos ABC = = Suy ABC = 60◦ 2BA · BC AC Chọn đáp án C Câu 163 Ta có A # » # » AM ⊥ BD ⇔ 2AM · BD = # » # » # » ⇔ AB + AC BD = # » # » # » # » # » ⇔ AB + AD + DC AD − AB = # » # » ⇔ −AB + AD2 − DC · AB = ⇔ h2 − a2 − ab = =0 B a M h D b C Chọn đáp án B Câu 164 #» # » # » # » 2x # » # » • I ∈ CN ⇒ ∃x, y ∈ R : BI = xBN + y BC, x + y = ⇒ BI = BN + 3y BC, x + y = 2x # » 2x # » # » • I ∈ AM nên từ BI = BA + 3y BC ta có + 3y = 3   x + y =1 # » 4# » 1# » •  2x ⇒ x = , y = ⇒ BI = BA + BC 7 7  + 3y = # » 2# » 1# » Từ giả thiết ta có CN = CA + CB 3 A # ằ #ằ CN ầ ã BI å Ç å 2# » 1# » 4# » 1# » N = CA + CB · BA + BC 3 7 # » # » # » # » # » # » # » # » = BA · CA + BA · CB + BC · CA + BC · CB = 21 21 21 21 I ⇒ ∆BIC vuông I # » 4# » 1# » • BI = BA + BC ⇒ BI = 7 Ç 4# » 1# » BA + BC 7 å2 21 a 49 √ 21 28 • IC = BC − BI = a2 − a2 = a2 ⇒ IC = a 49 49 = B M C 88 MỤC LỤC √ a2 Vậy SIBC = BI · IC = Chọn đáp án A Câu 165 Ta có A P • # » # » # » # » # » # » BM = k BC ⇔ AM − AB = k(AC − AB) # » # » # » ⇔ AM = (1 − k)AB + k AC N B M C # » 1# » # » # » # » • P N = AN − AP = − AB + AC 15 Để AM vng góc với P N # » # » AM · P N = ⇔ # » 1# » # » # » (1 − k)AB + k AC · − AB + AC = 15 Ç å −4(1 − k) k − k 4k # » # » 2 ⇔ AB + AC + − AB · AC = 15 3 15 Ç å −4(1 − k) k − k 4k ⇔ + + − cos 60◦ = 15 3 15 ⇔ k= Chọn đáp án A Ç å Câu 166 Áp dụng tính chất đường phân giác vào phân giác OA, OB, OC ta ln có # » # » # » aOA + bOB + cOC = Từ suy # » # » # » aOA + bOB + cOC =0 # » # » # » # » # » # » ⇔ a OA + b OB + c OC + 2ab · OA · OB + 2bc · OB · OC + 2ca · OC · OA = # » # » # » # » # » # » # » Vì OA − OB = BA ⇒ OA − OB = c2 ⇒ · OA · OB = OA2 + OB − c2 Tương tự ta có # » # » · OB · OC = OB + OC − a2 # » # » · OC · OA = OC + OA2 − b2 2 2 Do (1) viết thành a2 OA2 + b2 OB + c2 OC + ab (OA2 + OB − c2 ) 2 + bc (OB + OC − a ) + ca (OC + OA2 − b2 ) = (2) Ä ä (2) ⇔ (a + b + c) aOA2 + bOB + cOC = abc (a + b + c) ⇔ OA2 OB OC + + = bc ac ab Do K = Chọn đáp án C √ # » #» # » #» Câu 167 Từ giả thiết a − b = 15 ⇔ a − b Ta có #» • #» u · #» v = #» a+ b #» 2k #» a − b = 3k − 2 #» = 15 ⇒ #» a· b = (1) MỤC LỤC 89 √ √ • | #» u | = #» u = √ √ • | #» v | = #» v = 4k − 2k + Khi ( #» u , #» v ) = 60◦ 3k − ⇔ √ √ 2 = · 4k − 2k + √ ⇔ k =4+ Chọn đáp án A Câu 168 A ? Phân tích Ta thấy # » # » • M N ⊥ BD nên M N · BD = # » # » • DBC = BD; BC # » # » • ADC = AD; BD D M N B # » # » nên cần phân tích M N theo hai vec-tơ AD # » BC Quay trở lại toán LỜI GIẢI CHI TIẾT Ta có biểu diễn # » # » # » 2# » # » M N = M A + AN = BA + AN # » # » # » 2# » 1# » BN + N A + AN = BN + AN = 3 # » # » # » # » 2# » 1# » = BC + CN + AD + DN = BC + AD 3 3 # » 2# » 1# » Vậy M N = BC + AD 3 Do M N ⊥ BD ⇔ # » # » # » 2BC + AD · BD = ⇔ 2BC · cosDBC + AD · cosADB = Suy cosDBC cosADB Chọn đáp án B =− AD x =− 2BC Câu 169 # » # » # » 2# » # » • CM = AM − AC = AB − AC # » # » # » # » # » • BN = AN − AB = k AC − AB C 90 MỤC LỤC Suy # » # » CM · BN = Ç 2# » # » 2k # » # » # »2 # » # » # » # » # » AB − AC · k AC − AB = AB · AC − AB − k AC + AB · AC 3 å # » # » # » AB + AC − BC = CB ⇔ AB · AC = = 6 Khi BN ⊥ CM ⇔ k = − Theo giả thiết, ta có a = 6; b = nên T = 2018 · − 2019 · + = −2020 Chọn đáp án B # » # » Mặt khác AB − AC Câu 170 Ta có # » # » # » # » # » # » M C = −2M B ⇔ AC − AM = −2 AB − AM # » # » # » ⇔ 3AM = 2AB + AC # » # » # » Tương tự ta có 3CN = 2CA + CB Vậy # » # » AM ⊥ CN ⇔ AM · CN = # » # » # » # » ⇔ 2AB + AC · 2AC + CB = # » # » # » # » ⇔ 2AB + AC · AB − 3AC = # » # » ⇔ 2AB − 3AC − · AB · AC = 5bc =0 ⇔ 2c2 − 3b2 − ⇔ 4c2 − 6b2 − 5bc = Chọn đáp án C Câu 171 Ta có # » # » # » # » 1# » • CM = CB + BM = −AD − AB # » # » # » # » 1# » • BN = BA + AN = −AB + AD k Để CM ⊥ BN # » # » CM · BN = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ Vậy k = CM ⊥ BN Chọn đáp án B # » 1# » # » 1# » −AD − AB −AB + AD = k 1# » # » # » # » # » 1# » AD · AB − AD2 + AB − AB · AD = k 2k # »2 # »2 − AD + AB = k 1 − (2a) + a2 = k − + =0 k k = Ç åÇ å MỤC LỤC 91 Câu 172 Vì E, F hình chiếu vng góc C AB, AD nên ta có # » # » # » # » • AB · AE = AC · AB # » # » # » # » • AD · AF = AC · AD Suy # » # » # » # » # » # » # » # » AB · AE + AD · AF = AC AB + AD = AC F D (∗) Do AC đường chéo lớn nên ABC ≥ 90◦ B nằm hai điểm A, E # » # » Suy AB · AE = AB · AE # » # » Tương tự ta có D nằm hai điểm A, F Suy AD·AF = AD · AF Vậy đẳng thức (*) trở thành AB · AE + AD · AF = AC Chọn đáp án B Câu 173 # » # » # » Thay AM = (AB + AC), ta có # » # » 2# » # » AM ⊥ BD ⇔ AM · BD = # » # » # » ⇔ (AB + AC) · BD = # » # » # » # » ⇔ AB · BD + AC · BD = · (1) Mặt khác # » # » # » # » # » # » AB · BD = AB · (AD − AB) = −AB = −a2 # » # » # » # » # » # » AC · BD = (AD + DC) · (AD − AB) # » # » # » = AD2 − DC · AB = h2 − ab nên (1) ⇔ h2 = a(a + b) Chọn đáp án A Câu 174 Ta có # » # » 2M O · M A# =»M A2 # » MA = MA ⇒ 2M O · MA # » # » MA ⇒ sin A · M O · = sin A · M A MA Tương tự # » # » MB = sin B · M B sin B · M O · M B # » # » MC sin C · M O · = sin C · M C MC Từ (1), (2) (3) suy − sin A · M A + sin B · M B + sin C · M C Ñ # » # » # »é MA MB MC # » =2M O − sin A · + sin B · + sin C · MA MB MC # » #» =2M O · = # » # » MA MB Ta chứng minh − sin A · + sin B · + sin C · MA MB Thật C H A B A a E B M h D b C A B (1) (2) O C M (3) # » MC #» = MC (∗) 92 MỤC LỤC # » # » # » #» (∗) ⇔ − M B · M C · sin A · M A + M A · M C · sin B · M B + M B · M A · sin C · M C = 2 # » # » # » #» ⇔ −Sa M A + Sb M B + Sc M C = (đúng) ( với Sa , Sb , Sc diện tích tam giác M BC, M AC, M AB) Vậy −M A · sin A + M B · sin B + M C · sin C = ⇔ M A · sin A = M B · sin B + M C · sin C.(∗∗) Theo sin A = sin 90◦ = thay vào (∗∗) ta M A = M B · sin B + M C · sin C Chọn đáp án C Câu 175 A Vì M trung điểm BC nên # » # » # » AM = (AB + AC) Suy # » # » # » # » # »# » # » AM = (AB + AC)2 = (AB +2AB AC + AC ) 4 Ta có # » # » # »2 # »2 # » # » AB · AC = AB + AC − (AB − AC)2 B D M = [AB + AC − CB ] = (c2 + b2 − a2 ) 1 2(b2 + c2 ) − a2 # » AM = (c2 + · (c2 + b2 − a2 ) + b2 ) = 4 AB c BD = = Theo tính chất đường phân giác DC AC b # » BD # » c # » Suy BD = DC = DC # » DC# » # b» # » # » # » Mặt khác BD = AD − AB DC = AC − AD thay vào (*) ta # » # » # » # » # » c # » # » AD − AB = (AC − AD) ⇔ (b + c)AD = bAB + cAC b # » # » # » # » # » ⇔ (b + c)2 AD2 = (bAB)2 + 2bcAB · AC + (cAC)2 # » ⇔ (b + c)2 AD2 = b2 c2 + 2bc · (c2 + b2 − a2 ) + c2 b2 bc # »2 ⇔ AD = (b + c − a)(b + c + a) (b + c)2 4bc # » p(p − a) Hay AD2 = (b + c)2 Chọn đáp án D Câu 176 Đặt OB = x; OA = y (x,y > 0) Khi theo định lý cơsin ta có √ AB = x2 + y − 2xy cos 30◦ = x2 + y − 3xy √ Do ta có hệ thức x2 + y − √3xy = Xét phương trình bậc hai: y − 3xy + x2 − = Phương trình có nghiệm y ∆ = 3x2 − 4(x2 − 1) ≥ ⇔ < x ≤ Vậy vị trí xa mà học sinh đạt cách O khoảng m Chọn đáp án B LB AB c Câu 177 Ta có L chân đường phân giác góc A nên = = LC AC b c# » # » # » # » # » # » #» LB, LC ngược hướng suy LB = − LC ⇔ b · LB + c · LC = b b # » c # » # » Suy AL = AB + AC b+c b+c C (∗) MỤC LỤC 93 # » # » # » # » AB − 2AC # » CA + CB Vì CM trung tuyến nên CM = = 2 Theo giả thiết # » # » AL ⊥ CM ⇔ AL · CM = # » # » # » # » ⇔ (bAB + cAC) · (AB − 2AC) = ⇔ bc2 + bc2 cos A − 2cb2 cos A − 2cb2 = ⇔ (c − 2b)(1 + cos A) = ⇒ c = 2b (do cos A > −1) Khi b2 + a2 c2 a2 − b CM = − = # » # » # » # » AL2 = (AB + AC)2 = (AB + AC + 2AB · AC) = (9b2 − a2 ) 9√ 9 CM CM a2 − b = ⇔ = · = ⇔ a2 = 3b2 AL AL2 9b − a2 b + c − a2 5b2 − a2 cos A = = = 2bc 4b2 Chọn đáp án D Câu 178 # » # » # » Ta có BD = (BA + BC) m BN BN m = ⇔ = n NC BC m+n m # » # » # » BC = k BC ⇔ BN = m+n Ç å # » # » # » # » # » # » M N = M A + AB + BN = k − BC + AB Do M N ⊥ BD nên å Ç m = 11 11 11 # » # » = ⇒ =0⇔k= BD· M N = ⇔ −1+9 k − 18 11 + n = A M N D Chọn đáp án B DB AB c Câu 179 Ta có D chân đường phân giác góc A nên = = DC AC b # » # » Do DB, DC ngược hướng nên c# » b # » c # » # » # » # » #» # » DB = − DC ⇒ b · DB + c · DC = ⇒ AD = AB + AC b b+c b+c # » # » # » # » AB − 2AC # » CA + CB = Vì CM trung tuyến nên CM = 2 Theo giả thiết # » # » AD ⊥ CM ⇔ AD · CM = # » # » # » # » ⇔ (bAB + cAC) · (AB − 2AC) = ⇔ bc2 + bc2 cos A − 2cb2 cos A − 2cb2 = ⇔ (c − 2b)(1 + cos A) = ⇒ c = 2b (do cos A > −1) Vậy c = 2b Chọn đáp án B B C 94 Câu 180 Ta có # » # » # » # » R2 = OA2 = (OM + M A)2 = R2 + M A2 + 2OM · OA # » # » # » # » MA ⇒ M A + · OM · M A = ⇒ M A + · OM · = MA # » # » # » MB # » MC Tương tự ta có M B + · OM · = 0, M C + · OM · = MB Ñ # » M C é # » # » MA MB MC # » + + = Suy −M A + M B + M C + 2OM · − MA MB MC # » # » # » MA MB MC Vì − ; ; véc tơ đơn vị đôi tạo với M A M B M C# » # » # » MA MB MC #» ◦ + + = góc 120 nên − MA MB MC Do −M A + M B + M C = ⇔ M A = M B + M C Chọn đáp án A MỤC LỤC C M A B ... đều, có cạnh a Khi tập hợp điểm M cho # » # » # » # » # » # » a2 MA · MB + MB · MC + MC · MA = a a A đường tròn có bán kính R = B đường tròn có bán kính R = 3√ 2√ a a C đường tròn có bán kính... E cho CE = 3EA Gọi M trung điểm DE Tia AM cắt BC N Tỉ số BN có giá trị CN A B C D (Khuyết Danh) Câu 82 [Bài toán tổng quát toán 79] Cho tam giác ABC Gọi I điểm chia BC theo AB AC tỉ số k... sợi giây vòng qua cột có gốc O Người tham dự thi đứng vị trí điểm B để kéo vật thể chuyển động Oy Người thắng người kéo vật thể xa so với điểm gốc O Hãy dùng kiến thức toán học để tính tốn vị trí