SỞ GD-ĐT BÌNH ĐỊNH KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 --------------------- TrườngTHPT Chuyên Lê Qúi Đôn, năm học 2007-2008 Đề chính thức Môn: TOÁN (Chung) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Ngày thi: 21/6/2007. -------------------------------------------------------------- Câu 1: (1,5 điểm). Chứng minh đẳng thức: 3 1 3 1 . 2 2 + + = Câu 2: (3, 0 điểm). Cho phương trình bậc hai: 4x 2 + 2(2m + 1)x + m = 0. a) Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có hai nghiệm phân biệt x 1, x 2 với mọi giá trò của tham số m. b) Tính x 1 2 +x 2 2 theo m. Câu 3 (1, 5 điểm). Cho hàm số y = ax + b. Tìm a và b biết rằng đồ thò của hàm số đã cho song song với đường thẳng y = x + 5 và đi qua điểm M(1; 2). Câu 4: (3, 0 điểm). Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R, M là trung điểm của đoạn AO. Các đường thẳng vuông góc với AB tại M và O cắt nửa đường tròn đã cho lần lượt tại D và C. a) Tính AD, AC, BD và DM theo R. b) Tính số đo các góc của tứ giác ABCD. c) Gọi H là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của AD và BC. Chứng minh rằng HI vuông góc với AB. Câu 5: (1,0 điểm). Tìm tất cả các cặp số nguyên dương a, b sao cho a + b 2 chia hết cho a 2 b – 1. ----------------------Hết------------------------- Tào Quang Sơn - GV Trường THCS Tây Vinh - Tây Sơn- Bình Đònh H I D M O A B C Hướng dẫn giải Câu1: Ta có vế trái: ( ) 2 1 3 3 4 2 3 1 1 1 3 1 1 2 3 3 1 3 2 4 2 2 2 2 + + + + = = + + = + = = Là vế phải . (Vì : 1 3 0+ f ) Vậy đẳng thức được chứng minh. Câu2: a) Chứng minh pt luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trò của m: Pt: 4x 2 + 2(2m + 1)x + m = 0 (1) (a = 4; b’ = 2m +1 ; c = m). ( ) 2 ' 2 1 4m m∆ = + − = 4m 2 + 4m + 1 - 4m = 4m 2 + 1 > 0 với mọi m ( Vì m 2 ≥ 0 với mọi m). Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x 1 ; x 2 với mọi m. b) Tính x 1 2 + x 2 2 theo m: Theo câu a) pt (1) luôn có hai nghiệm x 1 ; x 2 với mọi m Đònh lí Viét ta có: x 1 + x 2 = 2 1 2 m + − ; x 1 x 2 = 4 m . Vậy : x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2 ) 2 - 2x 1 x 2 = 2 2 2 2 1 2 4 4 1 2 4 2 1 2 4 4 4 4 m m m m m m m+ + + + +   − − = − =  ÷   . Câu 3: Vì đthò hàm số y = ax + b // đthò hàm số y = x + 5 . Nên a = 1. Hàm số lúc đó là: y = x + b. Vì đthò hàm số y = x + b đi qua điểm M(1; 2) . Nên : 2 = 1 + b => b = 1 Vậy hàm số cần tìm là: y = x +1. Câu 4: a) Tính AD, AC, BD và DM theo R: Ta có: · · 90ACB ADB= = o (Nội tiếp nửa đường tròn (O)) Xét ABD∆ vuông tại D có DM là đường cao (Vì DM ⊥ AB) Ta có: AD 2 = AB.AM = 2R.(R- 2 R ) = 2R. 2 R = R 2 . 2R => AD = R. Và BD 2 = AB.BM = 2R.(2R - 2 R ) = 2R. 3 2 R = 3R 2 => BD = 3R . Và: DM. AB = AD.BD => DM = .AD BD AB = . 3 3 2 2 R R R R = . Tào Quang Sơn - GV Trường THCS Tây Vinh - Tây Sơn- Bình Đònh Xét ABC∆ vuông tại C, có CO là đường cao (Vì CO ⊥ AB) => AC 2 = AB.OA = 2R.R = 2R 2 . => AC = 2R . b) Tính số đo các góc của tứ giác ABCD : Ta có: ABD∆ vuông tại D => Sin · BAD = · 3 3 60 2 2 BD R BAD AB R = = => = o ABC∆ vuông tại C => Sin · ABC = AC AB = 2 2 2 2 R R = => · 45ABC = o . Mặt khác tứ giác ABCD nội tiếp (Do bốn đỉnh A, B, C, D nằm trên một đường tròn (o) ) Nên từ : · 60BAD = o => · 120BCD = o Và : · 45ABC = o => · 135ADC = o . c) Chứng minh HI ⊥ AB: Xét ABI∆ có AC và BD là đường cao (do · · 90ACB ADB= = o ) => H là trực tâm của ABI∆ => IH là đường cao của ABI∆ => IH ⊥ AB . Câu 5: Nếu a = b = 1 thì a 2 b – 1 = 0, không thoã mãn đề bài. Vậy a, b không đồng thời bằng 1.Vì a,b nguyên dương => a + b 2 và a 2 b – 1 là nguyên dương. Mà: a + b 2 M a 2 b – 1 => tồn tại số nguyên dương q sao cho: a + b 2 = (a 2 b – 1)q <=> a + q = b(a 2 q – b). Vì a,b q nguyên dương => a 2 q – b là nguyên dương . Đặt: m = a 2 q – b, => m là nguyên dương. Vậy: a + q = bm (1) Và a 2 q = b + m (2) Xét: (m – 1)(b -1) = bm – (b + m) + 1 = a + q – a 2 q + 1 = (a + 1)(1 + q – aq). Hay (m – 1)(b -1) = (a + 1)(1 + q – aq). (3). Vì b, m nguyên dương => (m – 1)(b -1) ≥ 0 => (a + 1)(1 + q – aq) ≥ 0 => 1 + q – aq ≥ 0 (Vì a > 0 => a +1 > 0) q(a -1) ≤ 1 . Mà a nguyên dương => a - 1 là số nguyên không âm => q(a – 1) là số nguyên không âm. Tức là: q(a – 1) là số nguyên thoã: 0 ≤ q(a – 1) ≤ 1 => q(a – 1) = 0, hoăc q(a – 1) = 1 => a = 1 (do q > 0) hoặc q = 1; a = 2 + Nếu a = 1 : Từ (3) ta có (m -1)(b -1) = 2 . Vì m, b nguyên dương. Nên các số : m – 1, b -1 nguyên không âm. Vậy : b – 1 = 1 hoặc b – 1 = 2 => b = 2 hoặc b = 3. Vậy : a = 1 a = 1 b = 2 , b = 3 + Nếu q = 1 ; a = 2 : Từ (3) => (m – 1)(b – 1) = 0 => m = 1 , hoặc b = 1. - Khi m = 1 Từ (1) => b = 3 => a = 2 b = 3 - Khi: b = 1 => a = 2 b = 1 Vậy các giá trò cần tìm của a và b là: (a, b) = (1 ; 2) , (1 ; 3) , (2; 3) , (2 ; 1) Tào Quang Sơn - GV Trường THCS Tây Vinh - Tây Sơn- Bình Đònh . SỞ GD-ĐT BÌNH ĐỊNH KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 --------------------- TrườngTHPT Chuyên Lê Qúi Đôn, năm học 2007-2008 Đề chính thức Môn: TOÁN. TOÁN (Chung) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Ngày thi: 21/6/2007. --------------------------------------------------------------