Sở GD-ĐT Phú Yên Trường Phổ thông Xuân Phước TÀI LIỆU ÔN TẬP LÝ THUYẾT ĐẠI SỐ 9 Học sinh thực hiện: Trần Hồng Hải lớp 9A(2008-2009) Nguồn t i lià ệu: GV Nguyễn Khắc Ho ng Tôn à Violet.vn T i lià ệu lưu h nh nà ội bộ Biến đổi đồng nhất A. Kiến thức cần nhớ I. Tìm ĐKXĐ: Tìm các gía trị của biến thoả mãn đồng thời các ĐK: - Các biểu thức dới dấu căn bậc chẵn không âm. - Các biểu thức dới dấu mẫu khác 0. II. Phân tích đa thức thành nhân tử: 1) Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử: - Phơng pháp đặt nhân tử chung. - Phơng pháp dùng hằng đẳng thức. - Phơng pháp nhóm nhiều hạng tử. - Phơng pháp tách, thêm bớt. (Chú ý các cách tách đa thức bậc hai, đa thức bậc cao) - Phơng pháp đặt biến phụ. - Phơng pháp xét gía trị riêng. 2) Chú ý: - Kết quả phân tích phải là tích các nhân tử. - Phân tích phải triệt để. III. Rút gọn biểu thức: (Tuỳ theo đặc điểm mỗi biểu thức mà thực hiện) - Sử dụng các phép biến đổi đa thừa số ra ngoài dấu căn, khử mẫu của biểu thức lấy căn, trục căn thức ở mẫu, đa các căn thức về các căn thức đồng dạng (nếu có thể) rồi cộng trừ các căn thức đồng dạng. - Rút gọn các phân thức trớc khi tính. - Qui đồng mẫu, thực hiện các phép tính trong ngoặc trớc. - Rút gọn kết quả. - Sử dụng hằng đẳng thức = A IV. Tìm gía trị nguyên của biến để biểu thức có gía trị nguyên. - Tách phần nguyên. - Lập luận tìm gía trị nguyên của biến để phân thức kèm theo có gía trị nguyên. V. Chứng minh gía trị của biểu thức không phụ thuộc vào gía trị của biến: Rút gọn biểu thức, kết quả không chứa biến. VI. Chứng minh đẳng thức: - Biến đổi vế phức tạp về vế đơn giản. - Biến đổi cả vế về cùng một biểu thức. - Biến đổi tơng đơng. VII. Căn bậc hai. 1. Định nghĩa căn bậc hai. Căn bậc hai của số a không âm là số x sao cho x 2 = a. 2. Số căn bậc hai của một số. - Số âm không có căn bậc hai. - Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0. - Số dơng a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau: Số dơng kí hiệu là và số âm kí hiệu là - . 3. Định nghĩa căn bậc hai số học. Với số dơng a, số đợc gọi là căn bậc hai số học của a. Số 0 cũng đợc gọi là căn bậc hai số học của 0. 4. Chú ý. Với a 0, ta có: + Nếu x = thì x 0 và x 2 = a. + Nếu thì x 0 và x 2 = a thì x = . 5. Định nghĩa phép khai phơng. Phép toán tìm căn bậc hai số học của số không âm gọi là phép khai phơng (gọi tắt là khai phơng) 6. So sánh các căn bậc hai số học. Định lí: Với hai số a và b không âm, ta có a < b < . 7. Định nghĩa căn thức bậc hai. Với A là một biểu thức đại số, ngời ta gọi là căn thức bậc hai của A, còn A đ- ợc gọi là biểu thức lấy can hay biểu thức dới dấu căn. 8. Điều kiện để có nghĩa (hay xác định) có nghĩa (hay xác định) khi A lấy gía trị không âm. 9. Hằng đẳng thức 2 A = A . a. Định lí: Với mọi số a, ta có = a b. Chú ý: với A là một biểu thức ta có 2 A = A , có nghĩa là: 2 A = A nếu A 0 2 A = - A nếu A < 0. 10. Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phơng. a. Định lí: Với hai số a và b không âm, ta có = . . * Chú ý: + Định lí trên có thể mở rộng cho tích của nhiều số không âm. + Với hai biểu thức A và B không âm ta có = . Đặc biệt, với biểu thức A không âm ta có () 2 = 2 A = A. b. Qui tắc khai ph ơng một tích. Muốn khai phơng một tích của các số không âm, ta có thể khai phơng từng thừa số rồi nhân các kết quả với nhau. c. Qui tắc nhân các căn bậc hai. Muốn nhân các căn bậc hai của các số không âm, ta có thể nhân các số dới dấu căn với nhau rồi khai phơng kết quả đó. 11. Liên hệ giữa phép chia và phép khai phơng. a. Định lí: Với số a không âm và số b dơng, ta có: a b = a b b. Qui tắc khai ph ơng một th ơng. Muốn khai phơng một thơng , trong đó số a khong âm và số b dơng, ta có thể khai phơng lần lợt số a và số b, rồi lấy kết quả thứ nhất chia cho kết quả thứ hai. c. Qui tắc chia hai căn thức bậc hai. Muốn chia căn bậc hai của số a không âm cho căn bậc hai của số b dơng, ta có thể chia số a cho số b rồi khai phơng kết quả đó. d. Chú ý: Với biểu thức A không âm và biểu thức B dơng, ta có A B = A B 12. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai. a. Đ a thừa số ra ngoài dấu căn . Với a 0; b 0 ta có : = a * Tổng quát: Với hai biểu thức A, B mà B 0, ta có = A Nếu A 0 và B 0 thì = A Nếu A < 0; B 0 thì = - A b. Đ a thừa số ra ngoài dấu căn. Nếu A 0 và B 0 thì A = Nếu A < 0; B 0 thì - A = c. Khử mẫu của biểu thức lấy căn. Với các biểu thức A, B mà A.B 0 và B 0 thì A B = AB B d. Trục căn thức ở mẫu. + Với các biểu thức A, B mà B > 0 ta có A A B = B B + Với các biểu thức A, B, C mà A 0 và A B 2 , ta có m 2 C C( A B) = A B A- B + Với các biểu thức A, B, C mà A 0 và A B, ta có m 2 C C( A B) = A - B A B 13. Căn bậc ba. a. Định nghĩa. Căn bậc ba của một số a là số x sao cho x 3 = a. b. Chú ý: + Mỗi số a đều có duy nhất một căn bậc ba. + ( ) 3 3 3 3 a = a = a c. Nhận xét. - Căn bậc ba của số dơng là số dơng. - Căn bậc ba của số âm là số âm. - Căn bậc ba của số 0 là chính số 0. d. Tính chất. 3 3 3 3 3 3 3 3 a < b a < b ab = a b a a = (b 0) b b Phơng trình A. Kiến thức cần nhớ I. Ph ơng trình một ẩn. 1. Định nghĩa: Khi nói A(x) = B(x) là một phơng trình thì ta hiểu rằng cần tìm gía trị của x để gía trị của hai biểu thức A(x) và B(x) bằng nhau. x là ẩn, gía trị tìm đợc của x là nghiệm của phơng trình, mỗi biểu thức A(x); B(x) là một vế của phơng trình. 2. Tập nghiệm của phơng trình: Là tập tất cả các nghiệm của phơng trình. 3. Giải phơng trình: Là tìm tập hợp nghiệm của phơng trình đó. 4. Số nghiệm của phơng trình: Một phơng trình có thể có một, nhiều hay vô số nghiệm, phơng trình cũng có thể không có nghiệm nào (phơng trình vô nghiệm). II. Ph ơng trình ax + b = 0 1. Phơng trình bậc nhất một ẩn số. a. Định nghĩa: Phơng trình bậc nhất một ẩn số là phơng trình có dạng ax + b = 0. Trong đó x là ẩn, a và b là các số đã biết, a khác 0. b. Số nghiệm của ph ơng trình bậc nhất một ẩn số : Một phơng trình bậc nhất một ẩn số bậc nhất một ẩn số luôn có một nghiệm duy nhất x = - 2. Cách giải phơng trình ax + b = 0. + Nếu a = 0; b = 0 thì phơng trình nghiệm dúng với mọi x + Nếu a = 0; b 0 thì phơng trình vô nghiệm. + Nếu a 0 thì phơng trình có một nghiệm duy nhất x = - III. Ph ơng trình bậc nhất hai ẩn. 1. Định nghĩa: Phơng trình bậc nhất hai ẩn là phơng trình có dạng ax + by = c trong đó x và y là ẩn, a và b là các số đã cho, a và b không đồng thời bằng 0. 2. Nghiệm của phơng trình bậc nhất hai ẩn: - Nghiệm của phơng trình bậc nhất hai ẩn là cặp gía trị (x; y) thoả mãn phơng trình. - Phơng trình bậc nhất hai ẩn luôn có vô số nghiêm, khi biểu diễn tập nghiệm của phơng trình bậc nhất một ẩn trên mặt phẳng toạ độ ta đợc một đờng thẳng gọi là đờng thẳng ax + by = c. + Nếu a = 0; b 0 thì đờng thẳng ax + by = c song song với trục hoành. + Nếu a 0; b = 0 thì đờng thẳng ax + by = c song song với trục tung. + Nếu a 0; b 0 thì đờng thẳng ax + by = c cắt hai trục toạ độ. IV. Ph ơng trình bậc hai một ẩn. 1. Định nghĩa: Phơng trình bậc hai một ẩn là phơng trình có dạng ax 2 + bx + c = 0 trong đó a; b; c là các số đã cho, a 0. 2. Cách giải phơng trình bậc hai một ẩn. - Đối với phơng trình bậc hai khuyết b hoặc c ta thờng đa về phơng trình tích hoặc sử dụng tính chất của BĐT, so sánh gía trị hai vế. - Đối với phơng trình bậc hai đầy đủ: . Nếu a + b + c = 0 thì phơng trình có hai nghiệm là 1; . . Nếu a - b + c = 0 thì phơng trình có hai nghiệm là 1; - . . Nhẩm theo hệ thức Vi ét: Nếu phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x 1 ; x 2 thì x 1 + x 2 = - ; x 1 . x 2 = . Nếu b = 2b' thì sử dụng công thức nghiệm thu gọn: ' = b' 2 - ac Nếu ' < 0 thì phơng trình vô nghiệm. Nếu ' = 0 thì phơng trình có 1 nghiệm kép x = - b' a . Nếu ' > 0 thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt x 1; 2 = ' -b ' a . . Trong trờng hợp tổng quát thì sử dụng công thức nghiệm tổng quát : = b 2 - 4ac Nếu < 0 thì phơng trình vô nghiệm. Nếu = 0 thì phơng trình có 1 nghiệm kép x = - . Nếu > 0 thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt x 1; 2 = 2 4 2 b b ac a Cũng có thể đa về phơng trình tích. V. Cách giải ph ơng trình chứa ẩn ở mẫu. Cách 1: + Tìm ĐKXĐ. + Qui đồng mẫu rồi khử mẫu. + Giải phơng trình tìm đợc. + Trong các gía trị tìm đợc của ẩn, gía trị nào thoả mãn ĐKXĐ là nghiệm của phơng trình, gía trị nào không thoả mãn ĐKXĐ thì loại rồi kết luận. Cách 2: Đặt ẩn phụ đa về phơng trình bậc hai (nếu có thể) VI. Cách giải ph ơng trình chứa dấu gía trị tuyệt đối. Cách 1: Xét khoảng để bỏ dấu gía trị tuyệt đối (lu ý đối chiếu gía trị tìm đợc của ẩn với khoảng đang xét). Cách 2: Đa về phơng trình tích. Cách 3: Bình phơng hai vế (Lu ý: Phép biến đổi này chỉ tơng đơng khi và chỉ khi cả hai vế cùng dấu) Cách 4: Đặt ẩn phụ. Cách 5: Biến đổi tơng đơng a = b a = b b 0 a = b a = b Cách 6: Sử dụng tính chất BĐT: 0 a a . Dấu "=" xảy ra a = 0. a a với mọi a. Dấu "=" xảy ra a 0. a - a với mọi a. Dấu "=" xảy ra a 0. +a + b a b . Dấu "=" xảy ra ab 0. VII. Cách giải ph ơng trình bậc cao. Cách 1: Đa về phơng trình tích. Cách 2: Đặt ẩn phụ. Cách 3: Sử dụng tính chất của BĐT, so sánh gía trị hai vế. VIII. Giải ph ơng trình vô tỉ. Cách 1: Bình phơng hai vế (Lu ý: Phép biến đổi này chỉ tơng đơng khi và chỉ khi cả hai vế cùng dấu) Cách 2: Đa về phơng trình chứa dấu gía trị tuyệt đối. Cách 3: Biến đổi tơng đơng = 2 a b 0 b a = b a = b a = b 0 Cách 4: Đặt ẩn phụ. Cách 5: Sử dụng tính chất BĐT. IX. Ph ơng trình nghiệm nguyên. Cách 1: Biến đổi về phơng trình có 1 vế là tích các nhân tử chứa ẩn có gía trị nguyên, 1 vế là 1 hằng số. Cách 2: Rút ẩn. Cách 3: Biến đổi về phơng trình có 1 vế là tổng các bình phơng, các lập phơng của các hạng tử chứa ẩn có gía trị nguyên, 1 vế là 1 hằng số. Cách 4: Xem phơng trình là phơng trình bậc hai một ẩn. Cách 5: Sử dụng tính chất BĐT: Cách 6: Sử dụng tính chất chia hết. Cách 7: Phơng pháp xuống thang. Cách 8: Sử dụng liên phân số. X. Giải bài toán bằng cách lập ph ơng trình + Lập phơng trình. - Chọn ẩn, xác định đơn vị và điều kiện cho ẩn. (Có thể chọn bất kì 1 số liệu cha biết nào làm ẩn cũng đợc, chú ý chọn thích hợp để phơng trình lập đợc đơn giản, thờng ta dựa vào điều đòi hỏi của bài toán để chọn ẩn). - Biểu diễn các số liệu cha biết qua ẩn. (Chú ý về quan hệ giữa các đại lợng trong bài toán). - Dựa vào mối quan hệ giữa các đại lợng để lập phơng trình. + Giải phơng trình. + Chọn kết quả thích hợp và trả lời. XI. Dạng toán về số nghiệm của ph ơng trình ax 2 + bx + c = 0. - Xét trờng hợp a = 0. - Trờng hợp a 0 . Nếu ac < 0 thì phơng trình có hai nghiệm. . Phơng trình vô nghiệm khi và chỉ khi ' < 0 hoặc < 0. 9 . Phơng trình có nhiệm kép khi và chỉ khi ' = 0 hoặc = 0. . Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi ' = 0 hoặc = 0. XII. Dạng toán về dấu các nghiệm của ph ơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0. - Phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 vô nghiệm khi và chỉ khi ' < 0 hoặc < 0. - Phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm trái dấu khi và chỉ khi P < 0. - Phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm cùng dấu khi và chỉ khi ' > 0 hoặc > 0 và P > 0. Khi đó 2 nghiệm cùng dơng khi và chỉ khi S > 0; 2 nghiệm cùng âm khi và chỉ khi S < 0. - Phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 có 1 nghiệm kép dơng khi và chỉ khi ' = 0 hoặc = 0 và - > 0, có 1 nghiệm kép âm khi và chỉ khi ' = 0 hoặc = 0 và - < 0. XIII.Tính gía trị của biểu thức chứa x 1 ; x 2 là 2 nghiệm của ph ơng trình bậc hai. Cách 1: + Chỉ ra điều kiện để phơng trình có nghiệm. + Biểu diễn biểu thức chứa x 1 ; x 2 qua x 1 + x 2 ; x 1 x 2 rồi sử dụng hệ thức Vi ét. Cách 2: Giải phơng trình, tìm x 1 ; x 2 rồi tính. XIV.Chứng minh biểu thức chứa x 1 ; x 2 là 2 nghiệm của ph ơng trình bậc hai thoả mãn một điều kiện cho tr ớc. + Chỉ ra điều kiện để phơng trình có nghiệm. + Biểu diễn biểu thức chứa x 1 ; x 2 qua x 1 + x 2 ; x 1 x 2 rồi sử dụng hệ thức Vi ét, tính gía trị của biểu thức theo tham số. + Chứng minh biểu thức chứa x 1 ; x 2 là 2 nghiệm của phơng trình bậc hai thoả mãn điều kiện cho trớc. XV.Tìm gía trị của tham số để biểu thức chứa x 1 ; x 2 là 2 nghiệm của ph ơng trình bậc hai thoả mãn một điều kiện cho tr ớc. + Chỉ ra điều kiện để phơng trình có nghiệm. + Sử dụng hệ thức Vi ét và điều kiện cho trớc để tìm gía trị của tham số. XVI. Tìm hệ thức liên hệ giữa x 1 ; x 2 không phụ thuộc vào tham số. + Chỉ ra điều kiện để phơng trình có nghiệm. + Sử dụng hệ thức Vi ét biểu diễn x 1 + x 2 ; x 1 x 2 qua tham số. + Khử tham số bằng phơng pháp cộng hoặc phơng pháp thế. XVII. Lập ph ơng trình bậc hai. - Phơng trình bậc hai có hai nghiệm x 1 ; x 2 là (x - x 1 )(x - x 2 ). Sau đó, đa về dạng chính tắc. - Nếu x 1 + x 2 = S; x 1 x 2 = P thì x 1 ; x 2 là hai nghiệm của phơng trình bậc hai x 2 - Sx + P = 0 Hệ phơng trình A. kiến thức cần nhớ I. Hệ ph ơng trình bậc nhất hai ẩn. 1. Khái niệm hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn. Cho hai phơng trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c và a'x + b'y = c'. Khi đó ta có hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn (I) ax+ by = c a'x + b'y = c' . 2. Định nghĩa nghiệm của hệ phơng trình. Nếu hai phơng trình ấy có nghiệm chung (x 0 ; y 0 ) thì (x 0 ; y 0 ) đợc gọi là một nghiệm của hệ phơng trình (I). Nếu hai phơng trình không có nghiệm chung thì ta nói hệ ph- ơng trình (I) vô nghiệm. 3. Định nghĩa về giải hệ phơng trình: Giải hệ phơng trình là tìm tất cả các nghiệm (tìm tập nghiệm) của nó. 4. Minh hoạ tập nghiệm của hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn. Trên mặt phẳng toạ độ, nếu gọi (d) là đờng thẳng ax + by = c và (d') là đờng thẳng a'x + b'y = c' thì điểm chung (nếu có) của hai đờng thẳng ấy có toạ độ là nghiệm chung của hai phơng trình của (I). Vậy, tập nghiệm của hệ phơng trình (I) đợc biểu diễn bởi tập hợp các điểm chung của (d) và (d'). 5. Số nghiệm của hệ phơng trình (I). - Nếu (d) cắt (d') thì hệ phơng trình (I) có một nghiệm duy nhất. - Nếu (d) // (d') thì hệ phơng trình (I) vô nghiệm. - Nếu (d) (d') thì hệ phơng trình (I) có vô số nghiệm. [...]... khi vẽ đồ thị của hàm số này, ta chỉ cần tìm một số điểm ở bên phải trục Oy rồi lấy các điểm đối xứng với chúng qua Oy - Đồ thị minh hoạ một cách trực quan tính chất của hàm số VI Cách giải dạng toán: Kiểm tra điểm A(xA; yA) có thuộc đồ thị hàm số y = f(x) hay tìm điều kiện để đồ thị hàm số y = f(x) đi qua điểm A(xA; yA): Sử dụng kíên thức điểm A(xA; yA) thuộc đồ thị hàm số y = f(x) khi và chỉ khi yA... của hệ bằng nhau hoặc đối nhau 2) áp dụng qui tắc cộng đại số để đợc hệ phơng trình mới, trong đó có một phơng trình một ẩn 3) Giải phơng trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm của hệ phơng trình đã cho 9 Giải bài toán bằng cách lập hệ phơng trình + Lập hệ phơng trình - Chọn ẩn, xác định đơn vị và điều kiện cho ẩn (Có thể chọn bất kì 1 số liệu cha biết nào làm ẩn cũng đợc, chú ý chọn thích hợp để phơng... nhất cũng đợc thay thế bởi hệ thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia có đợc ở bớc 1) Chú ý: Nếu trong qui tắc giải hệ phơng trình bằng phơng pháp thế, ta thấy xuất hiện phơng trình có các HS của cả hai ẩn đều bằng 0 thì hệ phơng trình đã cho có thể vô nghiệm hoặc vô số nghiệm b Tóm tắt cách giải hệ phơng trình bằng phơng pháp thế 1) Dùng qui tắc thế biến đổi hệ phơng trình đã cho để đợc một hệ phơng trình . thông Xuân Phước TÀI LIỆU ÔN TẬP LÝ THUYẾT ĐẠI SỐ 9 Học sinh thực hiện: Trần Hồng Hải lớp 9A(2008-20 09) Nguồn t i lià ệu: GV Nguyễn Khắc Ho ng Tôn à Violet.vn. minh hoạ một cách trực quan tính chất của hàm số. VI. Cách giải dạng toán: Kiểm tra điểm A(x A ; y A ) có thuộc đồ thị hàm số y = f(x) hay tìm điều kiện