Nguyễn Đức Thụy ****** *** Tiếp tuyến với đồ thị hàm số " Biết phải mà cho là sai đó là sai. Biết sai mà cho là sai đó là phải". Lão Tử 1. Ph ơng pháp: Cho hàm số ( ) y f x= , có đồ thị (C). Xét các bài toán sau: 1.1. Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) tại điểm ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 ;M x y f x C= . 1.2. Viết phơng trình đờng thẳng đi qua điểm ( ) ( ) 1 1 1 ;M x y C và tiếp xúc với (C). 1.3. Viết phơng trình đờng thẳng có hệ số góc k và tiếp xúc với (C). Lời giải 1.1. Phơng trình tiếp tuyến với (C) tại ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 ;M x y f x C= là: ( ) ( ) ( ) 0 0 0 'y f x x x f x= + 1.2. Đờng thẳng (d) đi qua điểm ( ) ( ) 1 1 1 ;M x y C và có hệ số góc k có phơng trình dạng: ( ) 1 1 y k x x y= + . Đờng thẳng (d) tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phơng trình sau có nghiệm: ( ) ( ) ( ) 1 1 ' f x k x x y f x k = + = (Giải hệ này tìm k từ đó viết đợc phơng trình đờng thẳng d). 1.3. Giả sử ( ) 0 0 0 ;M x y là tiếp điểm của đờng thẳng (d) và (C). Đờng thẳng (d) có hệ số góc k là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi: ( ) 0 'k f x= (*) Giải (*) tìm hoành độ các tiếp điểm 0 1 ; ; .x x suy ra ( ) ( ) 0 1 ; ; .f x f x Phơng trình tiếp tuyến là: ( ) ( ) ( ) 0 0 0 'y f x x x f x= + ; . 2. Một số bài toán liên quan: 2.1. Cho hàm số 3 3 1y x x= + , có đồ thị (C). Lập PTTT với (C) biết nó đi qua điểm 2 ; 1 3 A ữ . ĐS: 1; 3 1y y x= = + 2.2. Cho hàm số 3 2 y x x= + , có đồ thị (C). Lập PTTT với (C) biết nó đi qua điểm ( ) 2; 4A . 2.3. Cho hàm số 3 2 5y x x= + + , có đồ thị (C). Lập PTTT với (C) biết nó đi qua điểm ( ) 1;4A . ĐS: 5 21 3; 4 4 y x y x= + = + 2.4. Cho hàm số 2 2 2 1 x x y x + + = + , có đồ thị (C). Lập PTTT với (C) tại điểm ( ) 5 1; 2 A C ữ . ĐS: ( ) 3 5 1 4 2 y x= + ______________________________________________________________ "Nớc lã mà vã lên hồ. Tay không mà nổi cơ đồ mới ngoan". Ngạn ngữ Việt Nam Nguyễn Đức Thụy ****** *** Tiếp tuyến với đồ thị hàm số " Bạn sẽ biết thế nào là niềm vui sớng khi bạn hiểu đợc giá trị của mồ hôi và nớc mắt". GabơriơPalan 2.5. Cho hàm số 2 2 1 x x y x + = + , có đồ thị (C). Lập PTTT với (C) tại điểm ( ) 3 1; 2 A C ữ . ĐS: 5 1 4 4 y x= + 2.6. Cho hàm số 3 2 3y x x= , có đồ thị (C). Lập PTTT với (C) biết nó song song với đờng thẳng 9 1y x= + . ĐS: 9 5; 9 27y x y x= + = 2.7. Cho hàm số 3 3y x x= + , có đồ thị (C). Lập PTTT với (C) biết nó song song với đờng thẳng 9 1y x= + . ĐS: 9 16y x= 2.8. Cho hàm số 3 2 1 2 3 1 3 y x x x= + + , có đồ thị (C). Lập PTTT với (C) biết nó vuông góc với đờng thẳng 8 16 0x y+ = . ĐS: 11 97 8 ; 8 3 3 y x y x= + = 2.9. Cho hàm số 3 1 2 3 3 y x x= + , có đồ thị (C). Lập PTTT với (C) biết nó vuông góc với đờng thẳng 1 2 3 3 y x= + . 2.10. Cho hàm số 3 2 6 9y x x x= + a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b. Từ đồ thị (C) của hàm số trên, hãy biện luận theo m số nghiệm của phơng trình 3 2 6 9 1 0x x x m + + = . c. Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C), biết tiếp tuyến qua gốc toạ độ. d. Chứng minh rằng đồ thị (C) có tâm đối xứng. e. Viết phơng trình tiếp tuyến tại điểm uốn của (C). f. Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(1; 4). g. Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) biết nó song song với 9 1y x= + . h. Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) biết nó vuông góc với 1 19 24 8 y x= + . 2.11. Cho hàm số 3 2 3y x x mx= + + , có đồ thị ( ) m C . Viết PTTT của ( ) m C tại điểm uốn. Chứng minh rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm M(1; 0) khi và chỉ khi m = 4. 2.12. Cho hàm số 3 2 2 3 5y x x= + , có đồ thị (C). Chứng minh rằng từ điểm ( ) 1; 4A có ba tiếp tuyến với đồ thị (C). " Giá trị đích thực của một ngời là ở nhân cách chứ không ở của cải". Balaxkiơ ______________________________________________________________ "Nớc lã mà vã lên hồ. Tay không mà nổi cơ đồ mới ngoan". Ngạn ngữ Việt Nam Nguyễn Đức Thụy ****** *** Tiếp tuyến với đồ thị hàm số " Học tập là hạt giống của kiến thức, kiến thức là hạt giống của hạnh phúc". Ngạn ngữ Gioócđani 2.13. Cho hàm số 3 2 3y x x= , tìm trên đờng thẳng x = 2 những điểm từ đó có thể kẻ đúng ba tiếp tuyến đến đồ thị (C) của hàm số. 2.14. Cho hàm số 3 2 3 2y x x= + , có đồ thị (C). Tìm các điểm trên (C) mà qua đó kẻ đợc một và chỉ một tiếp tuyến với (C). 2.15. Cho hàm số 3 2 3 2y x x= + . a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Xác định các giao điểm của (C) với trục hoành. b. Viết PTTT kẻ đến đồ thị (C) từ 23 ; 2 9 A ữ c * . Tìm trên đờng thẳng y = -2 các điểm từ đó có thể kẻ đến đồ thị (C) hai tiếp tuyến vuông góc với nhau. ĐS: b. 5 61 2; 9 25; 3 27 y y x y x= = = + ; c. 55 ; 2 27 M ữ 2.16. Cho hàm số 3 2 2 x y x + = + , có đồ thị (C). Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của (C) đi qua giao điểm của hai đờng tiệm cận của đồ thị đó. 2.17. Cho hàm số 1 1 y x x = + , có đồ thị (C). Chứng minh rằng trên (C) tồn tại những cặp điểm mà tiếp tuyến tại đó song song với nhau. 2.18. Cho hàm số 3 2 3 3 5y x x x= + + + . a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b. Chứng minh rằng trên (C) không tồn tại hai điểm sao cho hai tiếp tuyến tại hai điểm đó vuông góc với nhau. c. Xác định k để trên (C) có ít nhất một điểm mà tại đó tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng .y kx= 2.19. Cho hàm số 2 2 x y x = + , có đồ thị (C). Lập PTTT với (C) biết nó song song với phân giác của góc phần t thứ nhất tạo bởi các trục toạ độ. ĐS: 1; 7y x y x= = + 2.20. Cho hàm số 2 3 1 2 x x y x + = , có đồ thị (C). Viết PTTT với (C), biết tiếp tuyến đó : a. Có hệ số góc là 2. b. Song song với đờng thẳng 1.y x= c. Vuông góc với đờng thẳng 4 7. 5 y x= + ĐS: a. 2 1; 2 5.y x y x= = b. không có. c. 5 5 5 1 ; 4 2 4 2 y x y x= = " Học tập là một nghĩa vụ". V.I. Lê-Nin ______________________________________________________________ "Nớc lã mà vã lên hồ. Tay không mà nổi cơ đồ mới ngoan". Ngạn ngữ Việt Nam Nguyễn Đức Thụy ****** *** Tiếp tuyến với đồ thị hàm số " Cơ sở của bất kỳ một nền giáo dục nào cũng là lòng tin vào thầy giáo". D. I. Men-đê-lê-ep. 2.21. Cho hàm số 3 2 3 9 5y x x x= + + . a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b. Trong tất cả các tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số, hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất. 2.22. Cho hàm số ( ) 3 2 2 3 3 1y x mx m x m= + + , m là tham số. a. Với giá trị nào của m thì hàm số đạt cực tiểu tại x = 2. b. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1. c. Viết PTTT với (C) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm A(0; 6). ĐS: a. m = 1; c. y = 9x+6. 2.23. Cho hàm số ( ) 3 2 3 2 1 2y mx mx m x= + + . a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b. Viết PTTT tại điểm uốn. c. Chứng tỏ rằng trong các tiếp tuyến của đồ thị (C) thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất. ______________________________________________________________ "Nớc lã mà vã lên hồ. Tay không mà nổi cơ đồ mới ngoan". Ngạn ngữ Việt Nam . biết nó song song với đờng thẳng 9 1y x= + . ĐS: 9 5; 9 27y x y x= + = 2.7. Cho hàm số 3 3y x x= + , có đồ thị (C). Lập PTTT với (C) biết nó song song với. những cặp điểm mà tiếp tuyến tại đó song song với nhau. 2.18. Cho hàm số 3 2 3 3 5y x x x= + + + . a. Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị (C) của hàm số.