đề thi thử vaò lớp 10 chuyên năm học 2008 - 2009 Môn thi : toán Thời gian làm bài : 150 phút Câu I: ( 2.0 điểm ) Tính giá trị của biểu thức : P = (4 )(4 ) (4 )(4 ) (4 )(4 )x y z y z x z x y xyz + + Trong đó x , y , z là các số thực dơng thỏa mãn : 4x y z xyz+ + = Câu II: (1.5 điểm) Chứng minh rằng nếu x 0 là nghiệm của phơng trình : 2 ( 1) 0x a x b+ + + = thì : 2 2 0 2( 1)x a b a< + + + . Câu III: (2.5 điểm ) Giải hệ phơng trình : ( ) 4 2 2 697 81 4 3 4 x y x y xy x y + = + + = + + Câu IV: ( 3 điểm) Cho tam giác ABC không cân , đờng tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh AB , AC , BC tơng ứng tại D , E , F . Đờng phân giác của góc B cắt đờng thẳng DE tại H . Gọi K là hình chiếu của F trên DE 1) Chứng minh : ã 0 90BHC = 2) Chứng minh : ã ã BKF CKF= Câu V: ( 1.0 điểm ) Tìm các cặp số ( x;y) nguyên thỏa mãn : x 4 + 2x 3 + 3x 2 + 2x = y 2 + y sở giáo dục và đào tạo Hải Dơng kì thi chọn học sinh giỏi lớp 9 năm học 2008 - 2009 Môn thi : toán Hớng dẫn chấm H ớng dẫn chấm đề số 1 Câu Nội dung Điểm Câu I 2 điểm có 4x y z xyz+ + = 4 4 4 4 16x y z xyz + + + = Nên : ( ) ( ) 2 (4 )(4 ) (16 4 4 ) (4 4 4 4 4 4 ) (4 4 ) 2 2 x y z x z y yz x x y z xyz z y yz x x xyz yz x x yz x x yz = + = + + + + = + + = + = + ( vì x, y, z là các số dơng) 2x xyz= + Biến đổi tơng tự ta đợc : (4 )(4 )y z x = 2 y xyz+ (4 )(4 )z x y = 2z xyz+ Vậy : 2 2 2 2( ) 2.4 8 P x xyz y xyz z xyz xyz x y z xyz = + + + + + = + + + = = 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 CÂU 2 1.5 điểm Trớc hết ta chứng minh bất đẳng thức: ( ) 2 2 2 2 2 ( )( ) , (1)ax by a b x y+ + + Thật vậy (1) 2 2 2 2 2 2 ( ) 0abxy a y b x ay bx + ( đúng ) Đẳng thức xảy ra khi ay = bx Vì x 0 là nghiệm của phơng trình : x 2 + (a+1)x + b = 0, nên ta có : [ ] 2 0 0 2 4 0 0 ( 1) ( 1) x a x b x a x b = + + = + + áp dụng BĐT (1) ta có : [ ] 2 4 2 2 2 0 0 0 ( 1) ( 1) ( 1)x a x b a b x = + + + + + 4 2 2 2 0 0 2 2 2 0 2 2 2 0 2 2 0 1 ( 1) ( 1) 1 ( 1) 2( 1) 2( 1) x a b x x a b x a b a x a b a < + + + < + + < + + + < + + + Hệ phơng trình: 4 2 2 2 697 ,(1) 81 3 4 4 0 ,(2) x y x y xy x y + = + + + = 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 Câu III 2.5điểm Nếu có (x;y) thỏa mãn (2) thì phơng trình bậc hai ẩn x sau : x 2 + (y-3)x + y 2 - 4y +4 = 0 phải có nghiệm: 2 2 2 ( 3) 4( 4 4) 0 3 10 7 0 7 1 ,(3) 3 y y y y y y = + + Tơng tự xét điều kiện phơng trình bậc hai ẩn y 2 2 ( 4) 3 4 0y x y x x+ + + = có nghiệm ta đợc : 4 0 ,(4) 3 x Từ (3) và (4) 4 2 4 2 4 7 697 3 3 81 x y + + = ữ ữ Nên : 4 2 697 81 x y+ = khi x 4 3 = và y 7 3 = Vậy hệ phơng trình có nghiệm duy nhất (x;y) = 4 7 ; 3 3 ữ 0.25 0.5 0.5 0.5 0.5 0.25 Câu IV 3điểm K Q P H D E O A B C F 1) Do tam giác ABC không cân ,gọi O là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC . Theo định lí tổng 3 góc trong các ,BOC ABC ã à à à à 0 0 0 0 180 180 180 90 2 2 2 B C A A BOC + = = = + Từ đó suy ra : ã ã à 0 0 180 90 2 A HOC BOC= = ,(1) Ta có : ADE cân tại A do AD = AE ( theo tính chất tiếp tuyến) ã à à 0 0 180 90 2 2 A A AED = = ,(2) Mà ã ã HEC AED= (đối đỉnh) , (3) Từ (1), (2), (3) ã ã .HEC HOC = Suy ra tứ giác HEOC nội tiếp Mà ã 0 90OEC = ( theo tính chất tiếp tuyến ) ã ã 0 0 90 90OHC Hay BHC = = 2) Hạ ,BP DE CQ DE ta có BP// FK // CQ 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 Theo định lí Ta - let : BF PK FC QK = . Theo tính chất của tiếp tuyến : BF = BD , CF = CE nên ta có BD PK CE QK = , (4) Mặt khác : ã ã ã ã .BDP ADE AED QEC= = = Suy ra : BPD CQE : Từ đó ta có : BP PD BD CQ EQ CE = = ,(5) Từ (4) và (5) BD PK PD BP CE QK EQ CQ = = = Mà : ã ã 0 90BPK CQK= = Nên BPK CQK : ã ã PKB QKC = mà ã ã 0 90 .PKF QKF= = Vậy ã ã .BKF CKF= 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 Câu v 1.0 điểm Có x 4 + 2x 3 + 3x 2 + 2x = y 2 + y x 4 + 2x 3 + 3x 2 + 2x + 1 = y 2 + y +1 (x 2 + x +1) 2 = y 2 + y +1 , ( 1) Do x,y là số nguyên nên từ (1) suy ra : y 2 + y +1 phải là số chính phơng - Nếu y > 0 2 2 2 1 ( 1)y y y y < + + < + - Nếu y < -1 2 2 2 ( 1) 1y y y y + < + + < Cả hai trờng hợp này 2 1y y + + không thể là số chính phơng Nên từ (1) y = 0 hoặc y = -1 và (x 2 + x + 1) 2 = 1 , (2) Do x 2 + x + 1 = 2 1 3 0 , 2 4 x x + + > ữ (x 2 + x + 1) 2 = 1 x 2 + x + 1 = 1 x = 0 hoặc x = -1 Vậy các cặp số ( x;y ) nguyên thỏa mãn đề bài là : (0;0) , ( 0;-1) , ( -1;0) ,(-1;-1) 0.25 0.25 0.25 0.25 . đề thi thử va lớp 10 chuyên năm học 2008 - 2009 Môn thi : toán Thời gian làm bài : 150 phút. tại D , E , F . Đờng phân giác của góc B cắt đờng thẳng DE tại H . Gọi K là hình chiếu của F trên DE 1) Chứng minh : ã 0 90BHC = 2) Chứng minh : ã ã BKF