LỜI GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA NĂM 2008 Bài 1. Hãy xác định tất cả các nghiệm của hệ phương trình (ẩn x, y) sau: 2 3 3 2 29 (1) log .log 1 (2) x y x y  + =  =  (I) Lời giải: Dễ thấy, nếu (x, y) là các nghiệm của hệ (I) thì x > 1, y > 1 (3) Đặt 3 log , 0x t t= > (do (3)). Ki đó, 3 t x = và từ phương trình (PT) (2) có 1 2 t y = . Vì thế. từ PT (1) ta có PT (ẩn t) sau: 1 9 8 29 t t + = (4) Dễ thấy số nghiệm của hệ (I) bằng số nghiệm dương của PT (4). Xét hàm số 1 29 ( ) 9 8 t t f t − = + trên (0; +∞). Ta có 1 2 8 .ln8 '( ) 9 .ln9 . t t f t t = − Trên (0; +∞), 1 8 .ln8 t y = và 2 1 y t = là các hàm nghịch biến và chỉ nhận giá trị dương. Vì thế, trên khoảng đó, 1 2 8 .ln8 t y t = là hàm đồng biến. Suy ra, f’(t) là hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞). Hơn nữa, do 256 1 ' . '(1) 18(ln9 ln 2 )(ln 27 ln16) 0 2 f f   = − − <  ÷   nên ∃t 0 ∈ (0; 1) sao cho f’(t 0 ) = 0. Do đó, ta có bảng biến thiên của hàm số f(t) trên (0: +∞): t 0 t 0 1 +∞ f’(t) - 0 + f(t) +∞ +∞ -12 f(t 0 ) Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình (4) có đúng hai nghiệm dương. Vì vậy, hệ (I) có tất cả hai nghiệm. Nhận xét: - Bài toán trên là trường hợp riêng của bài toán sau: Bài 1*. Cho số thực a ≥ 17. Hãy xác định tất cả các nghiệm của hệ phương trình (ẩn x, y) sau: 2 3 3 2 (1) log .log 1 (2) x y a x y  + =  =  Cách giải bài toán này tương tự như trên. Trường hợp a = 17 hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (3; 2) và (x; y) = ( 3 2 2; 9 ) (Trích từ báo Toán học và tuổi trẻ số 12/2008) . LỜI GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA NĂM 2008 Bài 1. Hãy xác định tất cả các nghiệm của hệ phương trình. = 0. Do đó, ta có bảng biến thi n của hàm số f(t) trên (0: +∞): t 0 t 0 1 +∞ f’(t) - 0 + f(t) +∞ +∞ -12 f(t 0 ) Từ bảng biến thi n ta thấy phương trình