ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC 2007 – 2008 TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU MÔN TOÁN AB (Chung cho các lớp Toán, Tin, Lý, Hoá , Sinh) Thời gian làm bài: 150 phút Câu 1. Cho phương trình:     = − −++− x mmmxx (1) a) Tìm m để x = –1 là một nghiệm của phương trình (1). b) Tìm m để phương trình (1) vô nghiệm. Câu 2. a) Giải bất phương trình:   −<−−−+ xxxx . b) Giải hệ phương trình:      −=+ −=+   yyyxxy xxxyyx Câu 3. a) Cho a, b là hai số thoả mãn điều kiện:   =+−+−=−++− babababababa . Chứng tỏ rằng:  =+− baab b) Cho:    − +−++++−+ = xxx xxxxxx A Hãy tìm tất cả các giá trò của x để  ≥ A . Câu 4. Cho tam giác ABC nhọn có trực tâm H và ·  BAC = . Gọi M, N, P lần lượt là chân đường cao kẻ từ A, B, C của tam giác ABC và I là trung điểm của BC. a) Chứng minh rằng tam giác INP là tam giác đều. b) Gọi E và K lần lượt là trung điểm của PB và NC. Chứng minh các điểm I, M, E, K cùng thuộc một đường tròn. c) Giả sử IA là phân giác của góc NIP. Hãy tính số đo của · BCP . Câu 5. Một công ty may giao cho tổ A may 16800 sản phẩm, tổ B may 16500 sản phẩm và bắt đầu thực hiện công việc cùng lúc. Nếu sau 6 ngày, tổ A được hỗ trợ thêm 10 công nhân may thì họ hoàn thành công việc cùng lúc với tổ B. Nếu tổ A được hỗ trợ thêm 10 công nhân may ngay từ đầu thì họ sẽ hoàn thành công việc sớm hơn tổ B 1 ngày. Hãy xác đònh số công nhân ban đầu của mỗi tổ. Biết rằng, mỗi công nhân may mỗi ngày được 20 sản phẩm. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----- ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC 2007 – 2008 TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU Môn thi: TOÁN NĂNG KHIẾU Thời gian làm bài: 150 phút) Câu 1. a) Giải hệ phương trình:      =+ =+ xyy xyx     b) Cho  −=+= ba . Chứng minh rằng a, b là 2 nghiệm của một phương trình bậc hai với hệ số nguyên. c) Cho   −=+= dc . Chứng minh rằng c 2 , d 2 là 2 nghiệm của một phương trình bậc hai với hệ số nguyên. Câu 2. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (C). P là một điểm di động trên cung BC không chứa A. Hạ AM, AN lần lượt vuông góc với PB và PC. a) Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố đònh; b) Xác đònh vò trí của điểm P sao cho biểu thức PCANPBAM  + đạt giá trò lớn nhất. Câu 3.a) Cho a, b, c, d là các số dương thoả mãn điều kiện  == cdab . Chứng minh bất đẳng thức  dcbadcba +++≥+++ . b) Cho a, b, c, d là các số dương thoả mãn điều kiện  = abcd . Chứng minh bất đẳng thức  dcbabcadbdac ++≥++ . Câu 4. Cho hình thang ABCD có đáy AB và CD. Biết rằng đường tròn đường kính CD đi qua trung điểm các cạnh bên AD, BC và tiếp xúc với AB. Hãy tìm số đo các góc của hình thang. Câu 5.a) Cho a, b, c là các số thực dương phân biệt có tổng bằng 3. Chứng minh rằng trong 3 phương trình   =+−=+−=+− acxxcbxxbaxx và có ít nhất một phương trình có 2 nghiệm phân biệt và ít nhất một phương trình vô nghiệm. b) Cho S là một tập hợp gồm 3 số tự nhiên có tính chất: tổng hai phần tử tuỳ ý của S là một số chính phương (Ví dụ { } { }  hoặc == SS là các tập hợp thoả mãn điều kiện trên). Chứng minh rằng trong tập S có không quá 1 số lẻ. ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HỒ CHÍ MINH ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC 2008 - 2009 TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU MÔN TOÁN AB (Chung cho các lớp Toán, Tin, Lý, Hoá, Sinh) Thời gian làm bài: 150 phút Câu 1. Cho phương trình:        x mx m m x x m + − = − + + (1) a) Giải phương trình (1) khi m = − . b) Tìm tất cả các giá trò của m để phương trình (1) có nghiệm. Câu 2. a) Giải phương trình:     x x− − − = − . b) Giải hệ phương trình:        x x y xy x xy  − + =   + =   Câu 3. a) Chứng minh rằng biểu thức sau đây không phụ thuộc vào biến x (với x > 1)          x x x x x x A x x x x x x + + − = − + + + b) Cho  a b c là các số thực khác 0 và thoả mãn điều kiện:       a b c bc ca ab + − =   + − =  .Chứng minh rằng: a b c = = Câu 4. Cho tứ giác nội tiếp ABCD có góc A nhọn và hai đường chéo AC, BD vuông góc nhau. Gọi M là giao điểm của AC và BD, P là trung điểm của CD và H là trực tâm của tam giác ABD. a) Hãy xác đònh tỷ số PM DH . b) Gọi N và K lần lượt là chân đường cao kẻ từ B và D của tam giác ABD; Q là giao điểm của hai đường thẳng KM và BC. Chứng minh rằng MN MQ = . c) Chứng minh rằng tứ giác BQNK nội tiếp được. Câu 5. Một nhóm học sinh cần chia đều một lượng kẹo thành các phần quà để tặng cho các em nhỏ ở một đơn vò nuôi trẻ mồ côi. Nếu mỗi phần quà giảm 6 viên kẹo thì các em sẽ có thêm 5 phần quà nữa, còn nếu mỗi phần quà giảm 10 viên kẹo thì các em sẽ có thêm 10 phần quà nữa. Hỏi nhóm học sinh trên có bao nhiêu viên kẹo? ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HỒ CHÍ MINH KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM 2008-2009 TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU Môn thi: TOÁN CHUYÊN (Thời gian làm bài: 150 phút) Câu I. 1) Cho phương trình    x mx m − + − = . a) Chứng minh rằng (1) không thể có hai nghiệm đều âm. b) Giả sử   x x là hai nghiệm phân biệt của (1). Chứng minh rằng biểu thức               x x x x x x − + − + + không phụ thuộc vào giá trò của m. 2) Giải hệ phương trình:       x y z y z x z x y  = +  = +   = +  Câu II. Cho tam giác ABC không cân. Đường tròn nội tiếp tâm I tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Đường thẳng EF cắt AI tại J và cắt BC nối dài tại K. 1) Chứng minh các tam giác IDA và IJD đồng dạng. 2) Chứng minh rằng KI vuông góc với AD. Câu III. Cho góc xAy vuông và hai điểm B và C lần lượt trên các tia Ax, Ay. Hình vuông MNPQ có các đỉnh M thuộc cạnh AB, đỉnh N thuộc cạnh AC và các đỉnh P, Q thuộc cạnh BC. 1) Tính cạnh hình vuông MNPQ theo cạnh BC = a và đường cao AH = h của tam giác ABC. 2) Cho B và C thay đổi lần lượt trên các tia Ax, Ay sao cho tích AB.AC = k 2 (k không đổi). Tìm giá trò lớn nhất của diện tích hình vuông MNPQ. Câu IV. Một số nguyên dương n được gọi là số bạch kim nếu n bằng tổng bình phng các chữ số của nó. 1) Chứng minh rằng không tồn tại số bạch kim có 3 chữ số. 2) Tìm tất cả các số nguyên dương n là số bạch kim. Câu V. Trong một giải vô đòch bóng đá có 6 đội tham gia. Theo điều lệ của giải, hai đội bóng bất kỳ thi đấu với nhau đúng một trận, đội thắng được 3 điểm, đội hòa được 1 điểm và đội thua 0 điểm. Kết thúc giải, số điểm của các đội lần lượt làD 1 , D 2 , D 3 , D 4 , D 5 , D 6 (D 1 ≥ D 2 ≥ D 3 ≥ D 4 ≥ D 5 ≥ D 6 ). Biết rằng đội bóng với số điểm D 1 thua đúng một trận và D 1 = D 2 + D 3 = D 4 + D 5 + D 6 . Hãy tìm D 1 và D 6 . Bộ Giáo dục và Đào tạo Trường ĐHSP Tp. HCM KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN Năm học 2007 - 2008 Môn thi: TOÁN (Đề chung cho các lớp chuyên Toán, Văn, Pháp) Thời gian làm bài: 150 phút. Câu 1: 1. Rút gọn biểu thức: 4.x 0;x với ≠≥ + − − − + + − − =       x x x x x xx A 2. Không giải phương trình   =−+ xx , hãy tính giá trò của biểu thức:           xxxx xxxx S + ++ = trong đó x 1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình đã cho. Câu 2: 1. Vẽ đồ thò (P) của hàm số   x y = . 2. Tìm giá trò của m để đường thẳng (D) là đồ thò hàm số 0)(m ≠+= xmy tiếp xúc với đồ thò (P). Tìm toạ độ tiếp điểm. Câu 3: Giải các phương trình và hệ phương trình sau: 1.      = +− −− xx xx 2.        = − − + = − + +         y y x x y y x x Câu 4: Tìm số tự nhiên bé nhất biết rằng khi chia số đó cho 2005 thì được dư là 23 còn khi chia cho 2007 thì được dư 32. Câu 5:Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R. Điểm M di động trên cung nhỏ BC, M khác B và C. Dây AM cắt dây BC tại D. 1.Chứng minh AM =BM + CM. 2.Chứng minh tích AD.AM là một hằng số. 3.Xác đònh vò trí điểm M sao cho độ dài đoạn DM lớn nhất. Tính giá trò lớn nhất này theo R. 4.Tia CM cắt tia AB tại K. Chứng minh rằng BC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ∆BKM. Bộ Giáo dục và Đào tạo Trường ĐHSP Tp. HCM KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN - Năm học 2007 - 2008 Môn thi: TOÁN CHUYÊN (Thời gian làm bài: 150 phút.) Bài 1: a) Giải phương trình   −+−=+− xxxx b) Cho phương trình   =++−−+ mxmxm (1). Tìm tất cả các số nguyên m sao cho phương trình (1) có hai nghiệm x 1 , x 2 và     xxxx + là một số nguyên. Bài 2: Cho a > b > c > 0. Chứng minh rằng:  accbbaaccbba ++>++ Bài 3: Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương thoả mãn:      + + + yzx xyz zxy       Bài 4: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi (O’) là đường tròn bất kỳ tiếp xúc ngoài với (O) tại D trên cung BC không chứa A. Các đường thẳng AD, BD, CD kéo dài cắt đường tròn (O’) lần lượt tại A’, B’, C’. a) Chứng minh rằng: CD CC BD BB AD AA  == . b) Chứng minh rằng: CDABBDACBCAD  += . c) Gọi AA 1 , BB 1 , CC 1 là các tiếp tuyến của (O’) lần lượt vẽ từ A, B, C.Chứng minh rằng: ABCCACBBBCAA   += . Bài 5: Chứng minh rằng nếu tứ giác lồi ABCD không là tứ giác nội tiếp thì: BDACBCADCDAB  >+ ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH-TRƯỜNG THPT THỰC HÀNH SƯ PHẠM ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN NĂM HỌC 2008 - 2009 MÔN TOÁN (Chung cho các lớp chuyên Toán, Văn và tiếng Pháp) Câu 1. a) Chứng minh đẳng thức sau:         + − − = b) Cho   + và   − . Chứng minh rằng: A B+ = . c) Cho phương trình:      x m x m m+ + + + + = a) Tìm k sao cho (D) và (P) tiếp xúc với nhau. Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm   x x thoả mãn     x x + = . Câu 2. Cho (P):    y x = − và điểm M(0 ; 2). Gọi (D) là đường thẳng đi qua điểm M và có hệ số góc là k. b) Tìm k sao cho (D) cắt (P) tại hai điểm A, B phân biệt thoả mãn AB = 12 và hoành độ của A và B là các số dương. Câu 3. a) Giải phương trình:       x x x x+ − − = − . b) Giải hệ phương trình sau:         x x y y x y x y  + − − =   + − + =   Câu 4. Tìm các bộ 3 số nguyên dương thoả mãn hệ phương trình sau:    x y z x y z + =   + =  Câu 5. Cho hình thang cân ABCD có hai đáy là AB và CD (AB < CD) nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi PQ là một dây cung vuông góc với AB và CD, P thuộc cung AB, Q thuộc cung CD (P không trùng với A và B, Q không trùng với C và D). Gọi I và K lần lượt là giao điểm của PQ với AB và CD. Gọi P 1 là chân đường vuông góc hạ từ P xuống đường thẳng AD, P 2 là chân đường vuông góc hạ từ P xuống đường thẳng AC, Q 1 là chân đường vuông góc hạ từ Q xuống đường thẳng AD, Q 2 là chân đường vuông góc hạ từ Q xuống đường thẳng AC . a) Chứng minh rằng QKQ 2 C, QKDQ 1 , PP 2 KC, AIQ 2 Q là các tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh rằng Q 1 , K, Q 2 thẳng hàng và P 1 , K, P 2 thẳng hàng. c) Chứng minh rằng PC // IQ 2 , KP 2 //AQ và tứ giác IQ 2 KP 2 nội tiếp. d) Khi PQ là đường kính, hãy chứng minh P 1 Q 1 = BD và P 1 P 2 vuông góc với Q 1 Q 2 . ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---- ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH-TRƯỜNG THPT THỰC HÀNH SƯ PHẠM ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN NĂM HỌC 2008 - 2009 MÔN TOÁN CHUYÊN-Thời gian làm bài: 150 phút. Câu I. Giải phương trình:         x x x x x + + + + + = + Câu II. Xét một số tự nhiên A gồm ít nhất 5 chữ số. Đổi chỗ các chữ số của A theo một cách nào đó ta được số B. Giả sử rằng: A B − = (số tự nhiên gồm n chữ số 1,  n < ∈ ¥ ). Tìm giá trò nhỏ nhất có thể được của n và chỉ rõ một cặp số tự nhiên A, B để n nhận giá trò nhỏ nhất đó. Câu III. Cho số thực a thoả mãn điều kiện  a ≤ ≤ . Tìm giá trò lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:    a a T a a − = + − + Câu IV. 1. Cho tam giác ABC. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho bán kính của các đường tròn nội tiếp hai tam giác ABD và ACD bằng nhau. Chứng minh rằng các đường tròn bàng tiếp góc A của hai tam giác ABD và ACD cũng bằng nhau. 2. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi C là trung điểm cung AB. Trên cung BC lấy điểm D di động. Các đoạn thẳng AD và OC cắt nhau tại E. Tìm quỹ tích tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE.  ! KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUN NĂM HỌC 2007-2008 -KHĨA NGÀY 20-6-2007 MƠN THI: TỐN -Thời gian làm bài: 120 phút (khơng kể thời gian giao đề) Câu 1: (4 điểm) " #$%&'(%#)*('+(,-.#/0123.."456%0789.:;%&.#$0,"5<       x y z t x y z t+ + + ≥ + + ;%&.#$01=2>"?#(%@AB 8#$%&'(%#)*('+(,-.#/0"8?#C0?#6%&."456%0789.:;%&.#$0,"5<        a b a b b a b a + + ≥ + Câu 2 (2 điểm) D'%&#(E'%&52F%120G"H#IJ%&.>D%#,"5<    x xy x y− = − − Câu 3 (4 điểm) #A#EH#IJ%&.>D%#         x y x y xy x y m  + + + =  + + =  "(=(#EH#IJ%&.>D%#?#('K 8D'':L#EH#IJ%&.>D%#07%&#(E' Câu 4 (2 điểm) #A ( ) ( )     x x y y + + + + = Tính S = yx + . Câu 5 (2 điểm) #A"84@0C0,-%&52F%MIJ%&,"50#A  a b a b + + + 0N%&4@,-%&52F%+(M4@I*0,-0#5%&0G"")@8#$%&'(%# d a b ≤ + Câu 6 (6 điểm) #A."'&(C0OP078"&70%#+%%Q(.(RHOPSOC0.(RH.52R%)*(.TP)@0C0%#"5.T(UVMW2 O!,A%&,A%&)*PIX%&.#;%&!U0Y..T(!)@ "#A8(R.      OB NC + = .Z%#:QM@(:AT%P8#$%&'(%# BP CP AC AB + A#$%&'(%#PU)@O:[%&\5( ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THƠNG CHUN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHĨA NGÀY 18-06-2008 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn thi: TỐN - Thời gian làm bài: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Câu 1 (4 điểm): "D'':LH#IJ%&.>D%#1  ]']1]'^K07#"(%&#(E'1  1  .#A=_1  ^1  _K 8D'':L#E89.H#IJ%&.>D%# 2x m 1 mx 1 ≥ −   ≥  07'Q.%&#(E'M52%#9. Câu 2 (4 điểm):#5&+%0C08(L5.#$0,"5< "K a b c (a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b) + + − − − − − − "80?#C0%#"5:6('Q. 8K x 2 x 1 x 2 x 1 x 2x 1 x 2x 1 + − + − − + − − − − 1` Câu 3 (2 điểm):#A"80M4@0C0,-%&52F%.#a""b8b0bM)@"]MK8]0 #$%&'(%#>c%&< ""  ]8  ]0  ]M  4@.d%&0G"8",-0#Z%#H#IJ%& 880`"M Câu 4 (2 điểm):  "#A"84@#"(,-.#/0.#A="]8KP(R.H#IJ%&.>D%#1  ]"1]8K07#"(%&#(E'4@#"(,-%&52F%MIJ%& e2.D'#"(%&#(E' :7 8#A#"(,-.#/0,"A0#A1]21  ]2  1  ]2  4@0C0,-%&52F%#$%&'(%#1  ]2  0N%&4@0C0,-%&52F% Câu 5 (3 điểm):#A:IX%&.>f%:IX%&?Z%#OPg'Q.:(L'.#5Q0:IX%&.>f%?h )56%&&70)*(OP?#C0O)@Pi  .#5Q0OPIX%&.>f%.W'8C%?Z%# 0Y.:IX%&.>f%.T()@j#$%&'(%#j:(\5".>5%&:(L'0G"  Câu 6 (3 điểm):#A."'&(" k 0OP:l5070T%#8c%&>F%0T%#O4920C0:(L'j,"A0#A∠OPK∠PjK  +(!4@ .>5%&:(L'0G"Pj)@U4@:(L'.>F%0T%#P,"APUKP!Z%#.d%&M(F m %.n k 0##"(."'&(" k 0Pj)@."'&(" k 0PjU Câu 7  (2 điểm): #A"84@#"(,-.#/0,"A0#A"  ]8  K#$%&'(%#S"]8b . một số tự nhiên A gồm ít nhất 5 chữ số. Đổi chỗ các chữ số của A theo một cách nào đó ta được số B. Giả sử rằng: A B − = (số tự nhiên gồm n chữ số. IV. Một số nguyên dương n được gọi là số bạch kim nếu n bằng tổng bình phng các chữ số của nó. 1) Chứng minh rằng không tồn tại số bạch kim có 3 chữ số.