Giáp văn tớc Trờng THPT lục ngạn số 2 I. Cơ sở lý thuyết. 1. Độ dài véctơ. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, véctơ 1 1 ( ; )x x y= r có độ dài là 2 2 1 1 | |x x y = + r Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, véctơ 1 1 1 ( ; ; )x x y z= r có độ dài 2 2 2 1 1 1 | |x x y z= + + r 2. Các phép toán véctơ biểu thị qua tọa độ. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, hai véctơ 1 1 2 2 ( ; ); ( ; )u x y v x y= = r r Khi đó ta có 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 ( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ) . | | .| | cos( , ) . . . u v x x y y u v x x y y ku kx ky k u v u v u v u v x x y y + = + + = = = = + r r r r r Ă r r r r r r r r Chú ý: Trong không gian các phép toán giữa các véctơ tơng tự nh trong mặt phẳng. 3. Bất đẳng thức véctơ. Cho hai véctơ ,a b r r (Trong mặt phẳng hoặc không gian). Khi đó ta có | | | | | | (1)a b a b+ + r r r ur Dấu = xảy ra * :a b k a kb + = r r r r Z Z Ă hoặc một trong hai véctơ bằng 0 r . Tổng quát: * 1 1 | | | | ( ) n n i i i i a a n + = = ur ur  | | | | | | (2)a b a b + r r r ur Dấu = xảy ra * :a b k a kb = r r r r Z [ Ă hoặc một trong hai véctơ bằng 0 r . | | .| | . | |.| | (3)u v u v u v r r r r r r Dấu = thứ nhất xảy ra * :a b k a kb = r r r r Z [ Ă hoặc một trong hai véctơ bằng 0 r . Dấu = thứ hai xảy ra * :a b k a kb + = r r r r Z Z Ă hoặc một trong hai véctơ bằng 0 r . II. ứng dụng của bất đẳng thức véctơ. 1. ứng dụng để giải phơng trình, bất phơng trình, hệ phơng trình. 1.1.Phơng pháp: Ta biến đổi phơng trình đã cho sau đó xét các véctơ có tọa độ thích hợp rồi áp dụng một trong ba BĐT véctơ trên và xét trờng hợp dấu bằng xảy ra để đa ra nghiệm của phơng trình đã cho. Chuyên đề bất đẳng thức véctơ và ứng dụng 1 Giáp văn tớc Trờng THPT lục ngạn số 2 1.2. Ví dụ. Ví dụ 1: Giải phơng trình sau 2 1 3 2 1 0 (1.1)x x x x+ + + = Giải ĐK: 1 3x Khi đó ta có 2 (1.1) 1 3 2 1x x x x + + = + xét hai véctơ ( ;1); ( 1; 3 )u x v x x= = + r r Ta có 2 . 1 3 ; | |.| | 2 1u v x x x u v x= + + = + r r r r Mà theo BĐT (3 ) ta có 2 . | |.| | 1 3 2 1u v u v x x x x + + + r r r r Vì cả ha véctơ đều khác véctơ 0 r nên dấu = xảy ra 2 0 1 1 0 1 0 1 2 1 (3 ) 1 3 1 2 1 2 x x x x x x u v x x x x x x x = = + = = = + = + = + r r Z Z Cả hai nghiệm trên đều thoả mãn phơng trình đã cho. Vậy phơng trình (1.1) có hai nghiệm phân biệt 1; 1 2x = + . Ví dụ 2: Giải phơng trình sau 2 2 2 5 2 10 29 (1.2)x x x x + + + + = Giải Phơng trình đã cho xác định với mọi x. Ta có 2 2 (1.2) ( 1) 4 ( 1) 9 29 x x + + + + = xét hai véctơ ( 1;2); ( 1;3)u x v x= = r r Khi đó 2 2 ( 2;5);| | 2 5;| | 2 10;| | 29u v u x x v x x u v+ = = + = + + + = r r r r r r Mà theo BĐT (1 ) ta có 2 2 | | | | | | 2 5 2 10 29u v u v x x x x+ + + + + + r r r r Vì hai véctơ ta xét đều khác véctơ 0 r nên dấu = xảy ra 1 2 1 1 3 5 x u v x x = = r r Z Z Ta thấy 1 5 x = thoả mãn phơng trình đã cho. Vậy phơng trình (1.2) có một nghiệm duy nhât 1 5 x = . Ví dụ 3: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm 2 4 (1.3)x x m + = Giải Chuyên đề bất đẳng thức véctơ và ứng dụng 2 Giáp văn tớc Trờng THPT lục ngạn số 2 ĐK: 2 4x Xét hai véctơ ( 2; 4 ); (1;1)u x x v= = r r Ta có | | 2;| | 2; . 2 4u v u v x x= = = + r r r r Mà theo BĐT (3) ta có . | | .| | 2 4 2u v u v x x + r r r r từ đây và phơng trình đã cho ta suy ra phơng trình (1.3) có nghiệm 0 2x < . Ví dụ 4: Giải hệ phơng trình sau 2 2 2 3 3 3 3 3 (1.4) 3 x y z x y z x y z + + = + + = + + = Giải Ta xét hai véctơ ( ; ; ); (1;1;1)u x y z v= = r r Khi đó ta có 2 2 2 | | 3;| | 3; . 3u x y z v u v x y z = + + = = = + + = r r r r Từ trên ta thấy . | | .| | 0 0 1 1 1 x y z u v u v u v x y z= = = > = = > r r r r r r Z Z Kết hợp với hệ đã cho ta có nghiệm duy nhất của hệ (1.4) là x =y =z=1. Ví dụ 5: Giải bất phơng trình sau 2 1 3 2( 3) 2 2 (1.5)x x x x + + Giải ĐK: 1x Xét hai véctơ ( 3; 1); (1;1)u x x v= = r r Khi đó ta có 2 | | ( 3) 1;| | 2; . 1 3u x x v u v x x= + = = + r r r r Từ trên và bất phơng trình (1.5) ta thấy . | | .| | (*)u v u v r r r r Mà theo BĐT (3) ta có . | | .| | (2*)u v u v r r r r Từ (*) và (2*) suy ra 2 7 10 0 . | | .| | 3 1 5 3 x x u v u v u v x x x x + = = = = r r r r r r Z Z (Vì hai véctơ ta xét đều khác véctơ 0 r ). Vậy x =5 là nghiệm duy nhất của bất phơng trình (1.5). 1.3. Bài tập tự luyện. Bài 1. Giải phơng trình sau 2 2 2 2 2 4 12 25 9 12 29x x x x x x + + + + = + + Bài 2. Giải phơng trình sau 2 2 cos 2 cos cos 2 cos 3x x x x+ + = Bài 3. Giải phơng trình sau Bài 4. Giải phơng trình sau Chuyên đề bất đẳng thức véctơ và ứng dụng 3 Giáp văn tớc Trờng THPT lục ngạn số 2 Bài 5. Giải bất phơng trình sau 1 2 3 50 3 12x x x+ + + Bài 6. Giải bất phơng trình sau 5 4 5 4 4x x + + Bài 7. Giải hệ phơng trình sau 2 ( ) 1 3 2 ( ) 1 2 2 1 x y x y x y x y x y x y + + + + = + + + = Bài 8. Chứng minh rằng hệ phơng trình sau vô nghiệm 4 4 4 2 2 2 1 2 7 x y z x y z + + = + + = Bài 9. Giải hệ phơng trình sau 2 2 2 2009 2009 2009 3 3 3 x y z x y z x y z + + = + + = + + = Bài 10. Giải hệ phơng trình sau 1 2 2008 1 2 2008 2009 1 1 . 1 2008 2008 2007 1 1 . 1 2008 2008 x x x x x x + + + + + + = + + + = 2. ứng dụng trong bài toán chứng minh bất đẳng thức. 2.1. Phơng pháp: Ta biến đổi BĐT đã cho sau đó xét các véctơ có tọa độ thích hợp rồi áp dụng một trong ba BĐT véctơ trên và xét trờng hợp dấu bằng xảy ra để chứng minh BĐT đã cho. 2.2. Ví dụ. Ví dụ 1: Chứng minh rằng ,x y Ă ta có 2 2 2 2 2 2 4cos cos sin ( ) 4sin sin sin ( ) 2 (2.1)x y x y x y x y+ + + Giải Xét hai véctơ (2cos cos ;sin( )); (2sin sin ;sin( ))u x y x y u x y x y= = r r Khi đó ta có 2 2 2 2 2 2 | | 4cos cos sin ( );| | 4sin sin sin ( )u x y x y v x y x y= + = + r r (2cos( );2sin( ));| | 2u v x y x y u v+ = + = r r r r Mà theo BĐT (1) ta có 2 2 2 2 2 2 | | || | | 4cos cos sin ( ) 4sin sin sin ( ) 2u u v x y x y x y x y + + + + + r r r Vậy BĐT (2.1) đợc chứng minh. Chuyên đề bất đẳng thức véctơ và ứng dụng 4 Giáp văn tớc Trờng THPT lục ngạn số 2 Ví dụ 2: Chứng minh rằng , ,x y z Ă ta có 2 2 2 2 2 2 (2.2)x xy y x xz z y yz z + + + + + + + Giải Ta có 2 2 2 2 2 2 1 3 1 3 (2.2) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 x y y x z z y yz z + + + + + + + xét hai véctơ 1 3 1 3 ; ; ; 2 2 2 2 u x y y v x z z = + = ữ ữ r r Khi đó ta có 2 2 2 2 | | ;| |u x xy y v x xz z = + + = + + uur r 2 2 1 1 3 3 ; ;| | 2 2 2 2 u v y z y z u v y yz z + = + + = + + ữ r r r r Mà theo BĐT (1) ta có 2 2 2 2 2 2 | | | | | | u v u v x xy y x xz z y yz z+ + + + + + + + + r r r r Vậy BĐT (2.2) đợc chứng minh. Ví dụ 3: Cho các số thực dơng a, b, c thoả mãn ab + bc + ca = abc Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 a b b c c a ab bc ca + + + + + Giải Ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 3 3 a b b c c a ab bc ca b a c b a c + + + + + + + + + + xét ba véctơ 1 2 1 2 1 2 ; ; ; ; ;u v w b a c b a c = = = ữ ữ ữ r r ur Khi đó ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 | | ;| | ;| | a b b c c a u v w ab bc ca + + + = = = r r ur 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 ; ;| | 3 3u v w u v w a b c a b c a b c + + = + + + + + + = + + = ữ ữ r r ur r r ur Vì 1 1 1 1ab bc ca abc a b c + + = + + = Mà theo BĐT (1) ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 | | | | | | | | 3 a b b c c a u v w u v w ab bc ca + + + + + + + + + r r ur r r ur Vì ba véctơ ta xét đều khác véctơ 0 r nên dấu = xảy ra u v w a b c = = r r ur Z Z Z Z mà ab + bc + ca =abc suy ra a = b = c =3. Chuyên đề bất đẳng thức véctơ và ứng dụng 5 Giáp văn tớc Trờng THPT lục ngạn số 2 Vậy BĐT (2.3) đợc chứng minh và dấu = xảy ra khi và chỉ khi a = b = c =3. 2.3. Bài tập tự luyện. Bài 1. Chứng minh rằng * , ,x y z + Ă ta có 2 2 2 2 2 2 3( )x xy y x xz z y yz z x y z+ + + + + + + + + + Bài 2. Chứng minh rằng , , ,a b c d Ă ta có 2 2 2 2 2 2 ( ) ( )a c b d a b c d + + + + + + Bài 3. Chứng minh rằng ,x y Ă ta có 2 2 ( )(1 ) 1 (1 )(1 ) 2 x y xy x y + + + Bài 4. Chứng minh rằng , , , , ,a b c x y z Ă ta có a) 2 2 2 2 2 2 | | .ax by cz a b c x y z + + + + + + b) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( )a b c x y z a x b y c z+ + + + + + + + + + c) 2 2 1 3 1 2a a a a + + + Bài 5. Chứng minh rằng , , 0, 1x y z x y z > + + ta có 2 2 2 2 2 2 1 1 1 82x y z y z x + + + + + (Đề thi ĐH năm 2003) Bài 6. Cho ba số thực , ,x y z đôi một khác nhau. Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2 | | | | | | 1 1 1 1 1 1 x y y z z x x y y z z x + > + + + + + + Bài 7. Chứng minh rằng với mọi số thực a, b ta luôn có a) 2 2 2 2 2 2 37 6 6 18 5a b a b a b a b+ + + + + + b) 2 2 2 2 4 2 1 6 10 5a a a b b b+ + + + + + Bài 8. Chứng minh rằng , ,a b c Ă ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5 2 1 2 1 2 1 10 26 6 2 a a a ab b b bc c c cd d d d + + + + + + + + + + + + + Bài 9. Chứng minh rằng , , , 1a b c abc =Ă ta có 2 2 2 2 2 2 3 2 bc ca ab a b a c b c b a c a c b + + + + + (Đề thi ĐH NNI_2000) Bài 10. Cho 2 2 2 2 , , , : 1x y u v u v x y + = + =Ă . Chứng minh rằng | ( ) ( ) | 2u x y v x y + + Chuyên đề bất đẳng thức véctơ và ứng dụng 6 Giáp văn tớc Trờng THPT lục ngạn số 2 Bài 11. Chứng minh rằng ,x y Ă ta có a) 4 4 2 2 cos cos sin sin 2x y x y+ + + b) 2 2 | sin 2 sin sin 2 sin | 3x x x x+ + Bài 12. Chứng minh rằng , 0a b c ta có ( ) ( )c a c c b c ab + Bài 13. Chứng minh rằng , ,a b c Ă ta có a) 2 2 2 ( )a b c abc a b c+ + + + b) 2 2 2 a b c ab bc ca+ + + + Bài 14. Chứng minh rằng 2 2 2 2 3 , , : 16 x xy y x y z y yz z + + = + + = Ă ta có 8xy yz zx+ + Bài 15. Cho 1 2 1 2 2 ; , , ., , , , ., n n n a a a b b b  à . Chứng minh rằng 2 2 2 2 1 1 1 n n n i i i i i i i a b a b = = = + + ữ ữ Bài 16 * . Chứng minh rằng [ ] 0;1x ta có 4 4 4 1 1 2 8x x x x+ + + + Bài 17 * . Chứng minh rằng , ,a b c Ă ta có 2 2 2 2 2 2 | | | | | | 2009 . 2009 2009 . 2009 2009 . 2009 a b b c c a a b b c c a + + + + + + + Bài 18 * . Cho n số thực 1 2 , , ., n a a a . Chứng minh rằng 2 2 2 2 1 1 2 1 (1 ) 1 ( ) 1 . ( ) 1 ( 2 ) 1 ( 1) 2 n n n a a a a a n a n + + + + + + + + + + 3. ứng dụng trong bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số. 3.1. Phơng pháp: Phơng pháp chủ yếu là ta xét các véctơ có tọa độ thích hởpoif sử dụng một trong ba BĐT véctơ trên để tìm giá trị lớn nhất, giái trị nhỏ nhất của hàm số đã cho. 3.2. Ví dụ. Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số sau đây 2 2 ( ) 1 1f x x x x x= + + + + Giải TXĐ: Ă Ta có 2 2 2 1 3 1 3 ( ) 2 2 2 2 f x x x = + + + + + ữ ữ ữ ữ Xét hai véctơ 1 3 1 3 ( ; ); ( ; ) 2 2 2 2 u x v x= + = + r r Khi đó ta có 2 2 | | 1;| | 1; (1; 3);| | 2u x x v x x u v u v= + = + + + = + = r r r r r r Chuyên đề bất đẳng thức véctơ và ứng dụng 7 Giáp văn tớc Trờng THPT lục ngạn số 2 Mà theo BĐT (1) ta có | | | | | | ( ) 2u v u v f x+ + r r r r Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x = 0. Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) đã cho là 2 đạt đợc tại x = 0. Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 2 ( ) cos 2cos 5 cos 4cos 8f x x x x x= + + + + Giải Xét hai véctơ (1 cos ;2); (2 cos ;2)u x v x= = + r r Khi đó ta có 2 2 | | cos 2cos 5;| | cos 4cos 8; (3;4);| | 5u x x v x x u v u v= + = + + + = + = r r r r r r Mà theo BĐT (1) ta có | | | | | | ( ) 5u v u v f x+ + r r r r Dấu = xảy khi và chỉ khi 2 2 ( ) 3 x k k = +  hoặc 2 2 (l ) 3 x l = +  Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) đã cho là 5 đạt đợc tại 2 2 ( ) 3 x k k = +  hoặc 2 2 (l ) 3 x l = +  . Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất trên khoảng [ ] 2000 ;2002 của hàm số 2 2 ( ) cos 6cos 10 cos 2cos 2f x x x x x= + + + + Giải Xét hai véctơ (3 cos ;1); (cos 1;1)u x v x= = + r r Khi đó ta có 2 2 | | cos 6cos 10;| | cos 2cos 2;| | 20u x x v x x u v= + = + + + = r r r r Mà theo BĐT (1) ta có | | | | | | ( ) 20u v u v f x+ + r r r r Dấu = xảy ra khi và chỉ khi 2 ( )x k k =  Xét trên đoạn [ ] 2000 ;2002 ta có k = 1000; 1001 tơng ứng với 2000 ;2002x = Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) đã cho trên đoạn [ ] 2000 ;2002 là 20 đạt đợc tại 2000 ;2002x = . 3.3.Bài tập tự luyện. Bài 1. Cho hàm số 2 2 ( ) sin cos ( 0)f x A x B x A B= + + a) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên. b) Dùng câu a chứng minh rằng 2 cos3 cos3 1 1 1 3 , 2cos3 3 x a x a x a x + + + + Ă Bài 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 2 ( , ) 2 12 37 6 6 18A f x y x y x y x y x y= = + + + + + + + + Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số sau 2 2 ( ) ( 6) 100 ( 1) 4f x x x= + + + + + Bài 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số sau Chuyên đề bất đẳng thức véctơ và ứng dụng 8 Giáp văn tớc Trờng THPT lục ngạn số 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( )y x px p x qx q p q= + + + Bài 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số sau 2 2 2 2 ( )y a x a c x = + + + Chuyên đề bất đẳng thức véctơ và ứng dụng 9