Giải tích 12 CHƯƠNG I:ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1.SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 1) Xét tính đơn điệu của hàm số a) y = f(x) = x 3 −3x 2 +1. b) y = f(x) = 2x 2 −x 4 . c) y = f(x) = 2x 3x + − . d) y = f(x) = x1 4x4x 2 − +− . e) y = f(x) = x+2sinx trên ( −π ; π). f) y = f(x) = xlnx. g) 1x 3x3x f(x) y 2 − +− == . h) y= f(x) = x 4 −2x 2 . i) y = f(x) = sinx trên đoạn [0; 2π]. 2) Tìm các điểm tới hạn của hàm số :y = f(x) = 3x+ 5 x 3 + . 3) Cho hàm số y = f(x) = x 3 −3(m+1)x 2 +3(m+1)x+1.Đònh m để hàm số: a) Luôn đồng biến trên khoảng xác đònh của nó.Kq:1 ≤ m ≤ 0 b) Nghòch biến trên khoảng ( −1;0). Kq: m ≤ 3 4 − c) Đồng biến trên khoảng (2;+∞ ). Kq: m ≤ 3 1 4) Đònh m∈Z để hàm số y = f(x) = mx 1mx − − đồng biến trên các khoảng xác đònh của nó. Kq: m = 0 5) Đònh m để hàm số y = f(x) = 2x 2x6mx 2 + −+ nghòch biến trên nửa khoảng [1;+∞). Kq: m ≤ 5 14 − 6) Chứng minh rằng : x1e x +> , ∀x > 0. 7) Chứng minh rằng : hàm số luôn luôn tăng trên từng khoảng xác đònh của nó : a) y = x 3 −3x 2 +3x+2. b) 1x 1xx y 2 − −− = . c) 1x2 1x y + − = . 8) Tìm m để hàm số ( ) ( ) x7mx1m 3 x y 2 3 −−−−= : 1 Trần Duy Thái 1 Giải tích 12 a) Luôn luôn đồng biến trên khoảng xác đònh của nó. b) Luôn luôn đồng biến trên khoảng (2;+∞) c) Luôn nghòch biến trên khoảng (1;+ ∞). 9)Tìm m để hàm số : mx 2mmx2x y 2 − ++− = luôn đồng biến trên từng khoảng xác đònh của nó. 10) Tìm m để hàm số : mx 1mx)m1(x2 y 2 − ++−+ = luôn đồng biến trên khoảng (1;+∞). Kq: 223m −≤ 11) Tìm m để hàm số y = x 2 .(m −x) −m đồng biến trên khoảng (1;2). Kq: m≥3 12) Chứng minh rằng : a) ln(x+1) < x , ∀ x > 0. b) cosx >1 − 2 x 2 , với x > 0 . 2. CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU 1) Tìm các điểm cực trò của hàm số bằng đạo hàm cấp 1: a) y = x 3 . b) y = 3x + x 3 + 5. c) y = x.e − x . d) y = x xln . 2) Tìm các điểm cực trò của hàm số bằng đạo hàm cấp 2: a) y = sin 2 x với x∈[0; π ] b) y = x 2 lnx. c) y = x e x . 3) Xác đònh tham số m để hàm số y=x 3 −3mx 2 +(m 2 −1)x+2 đạt cực đại tại x=2. Kq: m=11 4) Đònh m để hàm số y = f(x) = x 3 −3x 2 +3mx+3m+4 a.Không có cực trò. Kq: m ≥1 b.Có cực đại và cực tiểu. Kq: m <1 c. Có đồ thò (C m ) nhận A(0; 4) làm một điểm cực trò . Hd: M(a;b) là điểm cực trò của (C): y =f(x) khi và chỉ khi: 2 Trần Duy Thái 2 Giải tích 12      = ≠ = b)a(f 0)a(''f 0)a('f Kq: m=0 d.Có cực đại và cực tiểu và đường thẳng d qua cực đại và cực tiểu đi qua O. Kq : d:y = 2(m−1)x+4m+4 và m= −1 5) Chứng tỏ rằng với mọi m hàm số y = mx 1mx)1m(mx 422 − +−−+ luôn có cực trò. 6) Đònh m để hàm số y = f(x) = x1 mx4x 2 − +− a. Có cực đại và cực tiểu. Kq: m>3 b.Đạt cực trò tại x = 2. Kq: m = 4 c.Đạt cực tiểu khi x = −1 Kq: m = 7 7) Cho hàm số y = f(x) = 3 1 x 3 −mx 2 +(m 2 −m+1)x+1. Có giá trò nào của m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 không? kq : Không 8) Cho hàm số y = f(x) = 3 1 x 3 −mx 2 +(m+2)x−1. Xác đònh m để hàm số: a) Có cực trò. Kq : m <−1 V m > 2 b) Có hai cực trò trong khoảng (0;+∞). Kq: m > 2 c) Có cực trò trong khoảng (0;+∞). Kq: m <−2 V m > 2 9) Biện luận theo m số cực trò của hàm số y = f(x) = −x 4 +2mx 2 −2m+1. Hd và kq : y’=−4x(x 2 −m)  m ≤ 0: 1 cực đại x = 0  m > 0: 2 cực đại x= m ± và 1 cực tiểu x = 0 10) Đònh m để đồ thò (C) của hàm số y = f(x) = 1x mxx 2 + +− có hai điểm cực trò nằm khác phía so với Ox. Kq: m > 4 1 11) Đònh m để hàm số y = f(x) = x 3 −6x 2 +3(m+2)x−m−6 có 2 cực trò và hai giá trò cực trò cùng dấu. Kq: 4 17 − < m < 2 3 Trần Duy Thái 3 Giải tích 12 12) Chứùng minh với mọi m hàm số y =2x 3 −3(2m+1)x 2 +6m(m+1)x+1 luôn đạt cực trò tại hai điểm x 1 và x 2 với x 2 −x 1 là một hằng số. 13) Tìm cực trò của các hàm số : a) x 1 xy += b) 6x2 4 x y 2 4 ++−= c) y = 21x 3 +− 14) Đònh m để hàm số y = f(x) = 3 x 3 −mx 2 +(m+3)x−5m+1 đạt cực đại tại x=1. Kq: m = 4 15) Đònh m để hàm số có cực trò : a) 2mxx3xy 23 −+−= . Kq: m<3 b) 1x 2mmxx y 22 − −++− = . Kq: m<−2 V m>1 16) Cho hàm số : f(x)= 3 1 − x 3 −mx 2 +(m−2) x−1. Đònh m để hàm số đạt cực đại tại x 2 , cực tiểu tại x 1 mà x 1 < −1 < x 2 < 1. Kq: m>−1 3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT- NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 1) Tìm giá trò nhỏ nhất của hàm số y=f(x)=x 2 −2x+3. 2) Tìm giá trò lớùn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = f(x) = x 2 −2x+3 trên [0;3]. Kq: ]3;0[ Min f(x)=f(1)=2 và ]3;0[ Max f(x)=f(3)=6. 3) Tìm giá trò lớùn nhất của hàm số y = f(x) = 1x 4x4x 2 − +− với x<1. Kq: )1;( Max −∞ f(x) = f(0) = −4 4) Muốn xây hồ nước có thể tích V = 36 m 3 , có dạng hình hộp chữ nhật (không nắp) mà các kích thước của đáy tỉ lệ 1:2. Hỏi: Các kích thước của hồ như thế nào để khi xây ít tốn vật liệu nhất? Kq: Các kích thước cần tìm của hồ nước là: a=3 m; b=6 m và c=2 m 4 Trần Duy Thái 4 Giải tích 12 5) Tìm giá trò lớn nhất của hàm số y = 1xx x 24 2 ++ . Kq : R Max y = f(±1) = 3 1 6) Đònh m để hàm số y = f(x) = x 3 −3(m+1)x 2 +3(m+1)x+1 nghòch biến trên khoảng( −1;0). Kq: m ≤ 3 4 − 7) Tìm trên (C): y = 2x 3x 2 − − điểm M sao cho tổng các khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là nhỏ nhất. Kq:M(0; 2 3 ) 8) Tìm giá trò nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số y = 3 sinx – 4 cosx. 9) Tìm GTLN: y=−x 2 +2x+3. Kq: R Max y=f(1)= 4 10) Tìm GTNN y = x – 5 + x 1 với x > 0. Kq: );0( Min ±∞ y=f(1)= −3 11) Tìm GTLN, GTNN y = x – 5 + 2 x4 − . kq: 522)2(fyMax ]2;2[ −== − ; 7)2(fyMin ]2;2[ −=−= − 12) Tìm GTLN, GTNN của hàm số y=2x 3 +3x 2 −1 trên đoạn       − 1; 2 1 kq: 4)1(fyMax ]1; 2 1 [ == − ; 1)0(fyMin ]1; 2 1 [ −== − 13) Tìm GTLN, GTNN của hàm số: a) y = x 4 -2x 2 +3. Kq: R Min y=f(±1)=2; Không có R Max y b) y = x 4 +4x 2 +5. Kq: R Min y=f(0)=5; Không có R Max y c) 2xcos 1xsin22 y + − = . Kq: R Min y= 3 7 − ; R Max y=1 5 Trần Duy Thái 5 Giải tích 12 d) 1xx 3x3x y 2 2 ++ ++ = . Kq: R Min y= 3 1 ; R Max y=3 14) Cho hàm số 2xx 1x3 y 2 ++ + = . Chứng minh rằng : 1y 7 9 ≤≤− 15) Đònh x để hàm số sau đạt giá trò nhỏ nhất và tính giá trò nhỏ nhất : y =f(x)= lg 2 x + 2xlg 1 2 + Hướng dẫn và kq: Txđ: (0; +∞ ) . Đặt t= lg 2 x, t≥0, ⇒ hàm số y=g(t)=t+ 2t 1 + xác đònh trên [0; +∞), dùng đạo hàm đưa đến y’=0 ⇔ t=−3 ∉[0; +∞ ) V t=−1 ∉[0; +∞ ) ⇒ hàm số y=g(t) đồng biến trên [0;+∞ ) ⇒ );0[ Min +∞ g(t) = g(0) = 2 1 ⇒ );0( Min +∞ f(x) = f(1) = 2 1 16) Tìm GTLN và GTNN của hàm số y=2sinx− xsin 3 4 3 trên đoạn [0;π] Kq: ];0[ Max π f(x)=f(π /4)= f(3π /4)= 3 22 ; ];0[ Min π f(x)=f(0)=f(π )=0 17) Tìm GTLN và GTNN của hàm số : a) y=x 2 + 1x + kq: Minf(x)=f(0)=1, Không có GTLN b) y=-x 6 +6x 3 -3kq : Maxf(x)=f( 3 3 )=6, Không có GTNN 4.TÍNH LỒI, LÕM - ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1) Tìm các khoảng lồi, lõm và điểm uốn của đồ thò các hàm số : a) y = f(x) = x 4 −6x 2 +1 b) y = f(x) = x 4xx 2 +− 2) Đònh m để đồ thò (C m ):y = f(x) = x 3 −3(m−1)x 2 +m 2 x−3 nhận I(1;−1) làm điểm uốn. Kq: m = 2 . 3) Đònh m để đồ thò (C m ):y = f(x) = x 4 −6mx 2 + 3 6 Trần Duy Thái 6 Giải tích 12 a) Có hai điểm uốn. Kq: m > 0 b) Không có điểm uốn. Kq: m ≤ 0 4) Chứng minh rằng đồ thò (C): 1xx 1x2 y 2 ++ + = có 3 điểm uốn thẳng hàng. Viết phương trình đường thẳng đi qua 3 điểm uốn này. Hướng dẫn và kq: (C) có 3 điểm uốn A(−2;−1), B(− 2 1 ;0), C(1;1). →−→− = AC 2 1 AB ⇒ A, B, C thẳng hàng. Đường thẳng d qua A, B, C qua C(1;1) có hệ số góc 3 2 xx yy k AC AC = − − = nên có d: y = k(x-x C )+y C = 3 2 (x-1)+1⇔ y= 3 2 x + 3 1 . 5) Tìm điểm uốn và xét tính lồi, lõm của (C):y = f(x) = x 2 −3x+2 Kq: Lõm trên các khoảng (−∞;1) và (2; +∞). Lồi trên khoảng (1;2). Điểm uốn : I 1 (1;0) và I 2 (2;0) 6) Biện luận theo m số điểm uốn của (C m ) :y=x 4 +mx 2 +m−2 . 7) a) Chứng minh rằng nếu (C): y = f(x) = ax 3 +bx 2 +cx+d (a≠0) cắt Ox tại 3 điểm cách đều nhau thì điểm uốn của (C) nằm trên Ox. b) Tìm m để (C m ):y = x 3 −3mx 2 +2m(m−4)x+9m 2 −m cắt trục hoành tại 3 điểm cách đều nhau (có hoành độ lập thành một cấp số cộng). Hd và kq: a) Cho y = 0⇔ ax 3 +bx 2 +cx+d = 0 có 3 nghiệm x 1 , x 2 , x 3 , lập thành cấp số cộng ⇒ 2x 2 = x 1 +x 3 ⇒ 3x 2 = x 1 +x 2 +x 3 = a b − ⇒ x 2 = a3 b − . Vậy điểm uốn I(x 2 ;0)∈Ox. b)Tìm điểm uốn I(m;m 2 −m). Điều kiện cần : I∈Ox ⇒ m 2 −m = 0 ⇒ m = 0 V m = 1. Điều kiện đủ : Chọn m = 1. 8) Tìm khoảng lồi, lõm và điểm uốn của (C) : a) y=x 3 −3x 2 +2. b) 2x 4xx y 2 + +− = . 9) Chứng minh rằng đồ thò của các hàm số sau có phần lồi, lõm nhưng không có điểm uốn: 7 Trần Duy Thái 7 Giải tích 12 a) 2x 1x y − + = . b) y = x + x 1 . 10) Tìm tham số để: a) (C m ) : y=x 3 −3x 2 +3mx+3m+4 nhận I(1;2) làm điểm uốn. b) (C a,b ) : y=ax 3 +bx 2 +x+1 nhận I(1;−2) làm điểm uốn. 11) Tìm m để đồ thò (C m ):y = f(x) = x 3 −3x 2 −9x+m cắt Ox tại 3 điểm theo thứ tự có hoành độ lập thành cấp số cộng. Kq: m = 11. 12) Tìm điều kiện của a và b để đường thẳng (d): y = ax+b cắt đồ thò (C) : y=x 3 −3x 2 −9x+1 tại ba điểm phân biệt A, B, C và AB = BC. Hd và kq: • Lập phương trình hoành độ giao điểm : ax+b = x 3 −3x 2 −9x+1⇔ f(x) = x 3 −3x 2 −(a+9)x+1−b = 0.(1) • Điều kiện cần: Điểm uốn của đồ thò hàm số (1) là I(1;−a−b−10)∈Ox ⇒ −a−b−10 = 0 ⇒ a+b = −10. • Điều kiện đủ : a+b = −10 ⇒ f(x) = (x−1).g(x) = 0 với g(x) = x 2 −2x+b−1. YCBT ⇔    ≠−= >−=∆ 02b)1(g 0b2 g ⇔ b<2 Kết luận :    < −=+ 2b 10ba 13) Viết phương trình đường thẳng đi qua 3 điểm uốn của đồ thò (C):y= 1x 1x 2 + + . Kq:y = 4 3 x 4 1 + 14) Tìm m để (C m ):y = x 3 −3mx 2 +2m(m−4)x+9m 2 −m có điểm uốn : a) Nằm trên đường thẳng (d) : y = x. Kq: m = 0 V m = 2 . b) Đối xứng với M(−3;−6) qua gốc tọa độ O. Kq: m= 3 . c) Đối xứng với N(5;−20) qua Ox. Kq: m= 5 . d) Đối xứng với P(−7;42) qua Oy. Kq: m= 7 . 5. TIỆM CẬN 8 Trần Duy Thái 8 Giải tích 12 1)Tìm các đường tiệm cận của đồ thò các hàm số : a) y = 2x3x 1x2 2 2 +− − . Kq: x = 1; x = 2 và y = 2 b) y = 2x 1xx 2 + +− . Kq : x = −2 và y = x−3 2) Tìm các đường tiệm cận ngang của đồ thò các hàm số : a) y = 1+ x 2 e − . Kq: y = 1 b) y = x 1xx 2 ++ . Kq: y = ±1 3) Tìm các đường tiệm cận xiên của đồ thò hàm số y = 1x 2 + . Kq : y = ±x 4) Tìm các tiệm cận của đồ thò các hàm số: y = 3 32 xx3 − . Kq: y = −x+1. 5) Cho (C m ) : ( ) 1x mmx1mx y 222 + ++++ = . a) Biện luận m số tiệm cận của đồ thò (C m ). b) Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thò (C m ) đi qua I(1;2). 6)Tìm trên đồ thò (C):y = 1x 2x + + điểm M có tổng các khoảng cách từ đó đến hai tiệm cận là nhỏ nhất. 7) Lấy một điểm bất kỳ M∈(C):y = f(x) = 2x 1x3x 2 − −+ . Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận của (C) luôn không đổi. Kq: d 1 .d 2 = 2 9 . 8) Tìm m để đồ thị hàm số 2 1 1 + − = − x mx y x có tiệm cận xiên tạo với hai trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 8. 9) Tìm m để đồ thị hàm số 2 − + + = + x x m y x m có tiệm cận xiên đi qua điểm A(2;0). 9 Trần Duy Thái 9 Giải tích 12 10) Tìm m để đồ thò hàm số 2 = − x y x m có tiệm cận. 11) Cho hàm số 2 3 1 2 + − = − x x y x .Chứng minh rằng tích khoảng cách từ một điểm M bất kỳ trên đồ thị hàm số đến hai đường tiệm cận luôn không đổi. 12) Cho hàm số 2 2 3 2 1 − + = − x x y x . a.Chứng minh rằng tích khoảng cách từ một điểm M bất kỳ trên đồ thị hàm số đến hai đường tiệm cận luôn không đổi. b.Tìm M thuộc đồ thị hàm số để tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận đạt GTNN. 13) Cho hàm số 2 2 2 1 + − = − x x y x .Tìm điểm M trên đồ thị hàm số sao cho khoảng cách từ M đến giao hai đường tiệm cận đạt GTNN. 14) Cho hàm số 2 (2 1) 3 , 1 2 mx m x m y m x + + + + = ≠ − + và 0m ≠ . CMR tiệm cận xiên của đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm cố định. 6. KHẢO SÁT HÀM SỐ 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số: a) y = x 3 -3x+1 b) y = 3x 2 -x 3 c) y = x 3 +3x−4 d) y = (1-x) 3 e) y = 2 1 x 2 x 2 4 +− f) y = x 4 +x 2 -2. g) y=2x 2 −x 4 -1 h) y=x 4 -1 i) y = 1x 1x − + j) y = 2x x2 + k) y = 1x x 2 − l) y = 2x 4 1x + −− m) y = x1 )2x( 2 − − n) y = 2x 1 2x + +−− 10 Trần Duy Thái 10 [...]... (P) c) Khi d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B Tìm tập hợp trung điểm M của đoạn AB Hd : c) Lập pthđgđ – sử dụng công thức trung điểm M của AB và đlí Viet với hoành độ A, B là nghiệm pthđgđ 7) Cho hàm số y = x +1 , có đồ thi (H) x −1 a) Khảo sát và vẽ đồ thò (H) b) Cho đường thẳng d: y= −2x+m Giả sử d cắt (H) tại hai điểm M và N Tìm tập hợp trung điểm I của MN 11 11 Trần Duy Thái Giải tích 12 8)... tạo bởi 2 tiệm cận là trục đối xứng của (C) Chứng minh hai đường thẳng này là hai trục đối xứng của (C) 11) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C): y = đã vẽ, hãy suy ra đồ thò của các hàm số: x −2 a) (C1) : y = f1(x) = x +2 b) (C2): y = f2(x) = x −2 c) (C3): y = f3(x) = x +2 e) (C5): y = f5(x) = x −2 Từ đồ thò (C) x +2 d) (C4): |y| = f4(x) = x −2 x +2 x −2 x +2 x −2 x +2 x −2 f) (C6): |y| = f6(x) = . khoảng( −1;0). Kq: m ≤ 3 4 − 7) Tìm trên (C): y = 2x 3x 2 − − điểm M sao cho tổng các khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là nhỏ nhất. Kq:M(0; 2 3 ) 8). Điều kiện đủ : a+b = −10 ⇒ f(x) = (x−1).g(x) = 0 với g(x) = x 2 −2x+b−1. YCBT ⇔    ≠−= >−=∆ 02b)1(g 0b2 g ⇔ b<2 Kết luận :    < −=+ 2b 10ba