TÍNH NHANH CỰC TRỊ SỐ PHỨC DẠNG ĐOẠN THẲNG VÀ ELIP Bài viết vận dụng khả sử dụng máy tính cầm tay để giải tốn max – với dạng toán xuất đề tham khảo BGD dạng toán mở rộng Xét toán: z  z1  z  z2  k Tìm max P  z  z3 Khi ta có trường hợp sau: - Nếu z1  z2  k ta có quỹ tích z đoạn thẳng - Nếu z1  z2  k ta có quỹ tích z elip (chưa chuẩn hóa) - Nếu z1  z2  k ta không xét đến trường hợp Để biết tốn thuộc dạng trước tiên ta phải kiểm tra trước z1  z2 Bài tốn 1: Quỹ tích đoạn thẳng Ta xét lại toán: z  z1  z  z2  k Tìm max P  z  z3 Khi đó: MA  MB  k với M điểm biểu diễn số phức z vào M thuộc AB nằm A B , A điểm biểu diễn z1 , B điểm biểu diễn z2 Quy trình thực hiện: Tính tốn mơi trường số phức w2 - Bước 1: Gán số phức z1 , z2 , z3 vào biến A, B, C máy tính Quy ước z1  z2 - Bước 2: Kiểm tra z1  z2  k (Bước để kiểm tra dạng nào) - ax2  b  y1 Bước 3: Viết phương trình đoạn thẳng AB Sử dụng nhanh w51 giải hệ  với ax2  b  y2 z1  x1  y1i, z2  x2  y2i Khi đó:  max P  z2  z3 Nếu A, B nằm bên Oy  min P  z1  z3  max P  z2  z3 Nếu A, B nằm hai bên Oy  min P  dC  AB Một toán tương tự z  z1  z  z2  k Tìm max P  z  z3 Khi đó: MA  MB  k M khơng thuộc đoạn AB nên khơng tồn max Khi P  z2  z3 Xét ví dụ: VD [Đề MH lần – 2017] Cho số phức z thỏa mãn z   i  z   7i  Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ P  z   i Tính M  m 13  73 A B  73 C  73 D  73 Vào w2 gán số phức z1  2  i  A, z2   7i  B, z3   i  C Tiếp theo: ta kiểm tra điều kiện z1  z2 Ở ta thấy z1  z2  k suy toán đoạn thẳng max P  z2  z3 Để ý: hai điểm A, B nằm hai bên Oy  min P  dC  AB Tìm max: Tìm min: Phương trình đoạn thẳng AB : x  y    P  dC  AB Nhập X Y  r1=p1= Vậy ta có: Chọn C VD [Thầy Lê Bá Bảo] Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z   i  z   2i  Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ P  z  2i Tính M  m  10 A B 10  C 10  D  13 Vào w2 gán số phức z1   i  A, z2   2i  B, z3  2i  C Tiếp theo: ta kiểm tra điều kiện z1  z2 Ở ta thấy z1  z2  k suy toán đoạn thẳng  max P  z2  z3 Để ý: hai điểm A, B nằm bên Oy  min P  z1  z3 Tìm max: Tìm min: Vậy ta có: Chọn B VD [Facebook] Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z   2i  z   3i  34 Tìm giá trị nhỏ z 1 i A B D C Vào w2 gán số phức z1   i  A, z2   2i  B, z3  2i  C Tiếp theo: ta kiểm tra điều kiện z1  z2 Ở ta thấy z1  z2  k suy toán đoạn thẳng Tuy nhiên, ta phải để ý tốn có dạng MA  MB  k M không thuộc đoạn AB nên khơng tồn max Khi P  z2  z3 Chọn D Vận dụng: Câu [Thầy Lê Bá Bảo] Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z   i  z   2i  Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ z Tính M  m A  13 B  13 C  13 D  13 Câu [Thầy Lê Bá Bảo] Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z   i  z   3i  Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ z Tính M  m A 1C  13 2A B  13 C  13 D  13 Chính tắc hóa phương trình elip – xoay elip dạng chuẩn u  a  u  a  2c Ta xét toán: z  z1  z  z2  k Với z1  z2  k ta có quỹ tích z elip (chưa chuẩn hóa) Ta tiến hành chuẩn hóa elip để elip chuẩn Với elip chuẩn ta thường có: Tâm đối xứng O  0;0  hai tiêu điểm F1  c;0  , F2  c;0  thỏa mãn E : MF1  MF2  2a x2 y F1F2  2c  z1  z2  2c  với a  c Phương trình tắc   a b Đặt z  z z z z  u    u  z1  z2  z     EC  : u  2c  u  2c  4ac 2  z1  z2  - Bước 1: Gán số phức z1 , z2 vào biến A, B máy tính - Bước 2: Kiểm tra z1  z2  k - Bước 3: Tính z1  z2 tâm elip: - Bước 4: Tính a  - z z u A B ta có: z   2 z1  z2 A B k , c 2 Bước 5: Suy elip VD Chuyển elip sau dạng tắc: z   4i  z   2i  Gán số phức z1  3  4i  A, z2   2i  B kiểm tra z1  z2  k Tính z1  z2 tâm elip: A B Suy z  u 1 i 4  6i Ta có: a   4, c  13 Khi chuẩn hóa elip ta  EC  : u  2c2  u  2c2  4ac  u  26  u  26  16 13  zz  z  z2  k  , Làm nhanh ta cần nhớ cách sau: z z  z z  Elip sau chuẩn hóa có dạng EC : u  z1  z2   z1   u  z1  z2   z2   k z1  z2     Ta gán Gán số phức z1  3  4i  A, z2   2i  B kiểm tra z1  z2  k z z  Tính z1  z2   z1    Bấm: qcq22QzpQx)(aQz+Qx$2$pQz)= Tính k z1  z2 Bấm: 8qcq22QzpQx)= Khi ta có u  26  u  26  16 13 phương trình elip chuẩn hóa Cách có ba bước bấm hồn tồn, khơng cần nhiều Việc xoay elip dạng chuẩn, giúp ta dễ dàng đưa phương trình elip tắc – dạng mà quen thuộc nhiều Đồng thời xoay elip cách để giải toán max – elip đề cập phần sau Vận dụng: Câu Chuẩn hóa elip sau: z   i  z   i  10 Câu Chuẩn hóa elip sau: iz  2  iz   1 i 1 i Đáp án: Câu u  10  u  10  20 Câu u   u   Bài tốn 2: Quỹ tích elip Xét tốn: z  z1  z  z2  k Tìm max P  z  z3 Với z1  z2  k ta có quỹ tích z elip Quy trình giải: Cách 1: Chuẩn hóa elip - z z  u  z1  z2   z3    Bước 1: Chuẩn hóa elip dạng chuẩn Chuẩn hóa mơđun cần tính P  k z1  z2 Bước 2: Viết phương trình elip dạng tắc Sau chuẩn hóa elip dạng chuẩn: z  c  z  c  2a Ta có a, c a  c b  a  c x2 y   Chính phương trình elip tắc cần tìm Giả sử với a độ dài a b2 trục lớn nên max z  a , b nửa độ dài trục bé nên z  b Khi ta thu được: - Bước 3: Tìm max – z z  u  z1  z2   z3    Từ P  kết hợp với k z1  z2  max z  a   min z  b a  max P  k z1  z2   b min P   k z1  z2  Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay Quy trình thực hiện: Tính tốn mơi trường số phức w2 - Bước 1: Gán số phức z1 , z2 , z3 vào biến A, B, C máy tính - Bước 2: Kiểm tra z1  z2  k (Bước để kiểm tra dạng elip) - -  a    Bước 3: Tính đại lượng c   b    Bước 4: Xét max – k A B a2  c2   max z  a Đối với z :   min z  b   A B max z  z3  IC  a   C  a  Đối với z  z3 :  min z  z  IC  a  A  B  C  a  VD [Facebook] Cho số phức z thỏa mãn z   4i  z   2i  Tìm giá trị lớn P  z   i A B C D Cách 1: Gán số phức z1  3  4i  A, z2   2i  B, z3  1  i  C  A B  u  A B C u   Chuẩn hóa elip: u  26  u  26  16 13 Chuẩn hóa mơđun P   k.A  B 13 Viết phương trình elip tắc: Ta có: a    16 13  13, c  26 13  26  b  8 13   26  39 x2 y2    max u  13 Suy phương trình elip cần tìm là: 832 156  max P  max u 13  13  Chọn A 13 Cách 2: Vẫn gán số phức vào biến Kiểm tra: z1  z2  k  a    Tính c   b    k A B a    c  13  b 2  a c Khi đó: max z   i  IC  a  A B  C  a    Chọn A VD [Facebook] Cho số phức z thỏa mãn  z 1  i    z 1  i   Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ z Tính M  m A M  m   B M  m   C M  m   2 Chia hai vế cho  i :  z 1  i    z 1  i    z   i  z   i  Gán số phức vào biến: z1  1  i  A, z2   i  B Kiểm tra: z1  z2  k  a    Tính c   b    k A B a    c  2  b  a2  c2 max z  a   M  m   Chọn B Khi đó:  min z  b  D M  m   2 Vận dụng: Câu [Facebook] Cho số phức z thỏa mãn z   i  z   i  10 Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ z   3i Tính M  m2 B 60 A 10 D 60 C Câu [THCN – ĐHTN] Cho số phức z thỏa mãn iz  2  z  Gọi M , m giá trị lớn 1 i i 1 giá trị nhỏ z Tính M m A M m  Đáp án: 1D B M m  C M m  2 D M m  2C Ý tưởng CASIO: Bình Hồng (Đoạn thẳng) Hiura Kirina (Dũng – Elip) Rewrite: Bình Hồng Tài liệu tham khảo - Tư siêu nhanh giải Casio max số phức - Phát triển thêm tẹo đề minh họa lần số phức Link driver: https://goo.gl/bHQuQk Link driver: https://goo.gl/hR4F6r Trong q trình gõ lại khơng thể tránh khỏi sai sót Kính mong bạn đọc phát góp ý! Xin cảm ơn! ... 10 Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ z   3i Tính M  m2 B 60 A 10 D 60 C Câu [THCN – ĐHTN] Cho số phức z thỏa mãn iz  2  z  Gọi M , m giá trị lớn 1 i i 1 giá trị nhỏ z Tính M m A M m... [Thầy Lê Bá Bảo] Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z   i  z   2i  Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ P  z  2i Tính M  m  10 A B 10  C 10  D  13 Vào w2 gán số phức z1   i  A, z2... [Thầy Lê Bá Bảo] Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z   i  z   2i  Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ z Tính M  m A  13 B  13 C  13 D  13 Câu [Thầy Lê Bá Bảo] Cho số phức z thỏa mãn điều