Đang tải... (xem toàn văn)
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA CẤP TỈNH NĂM HỌC 2012 - 2013 Môn TOÁN Lớp 8 - SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề thi có 01 trang KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH NĂM HỌC 2012-2013 MÔN THI: TOÁN; LỚP: 8 PHỔ THÔNG Ngày thi: 30/3/2013 Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1. (4,5 điểm) 1) Phân tích biểu thức sau thành nhân tử: 3 2 2 3 2 7 7 2P a a b ab b= + + + . 2) Cho 2 1x x+ = . Tính giá trị biểu thức 6 5 4 3 2 2 2 2 2 2 1Q x x x x x x= + + + + + + . Câu 2. (4,5 điểm) 1) Cho biểu thức: 2 2 3 1 1 4 4026 : 2 2 4 x x R x x x x x x x − + = + − ÷ − + − . Tìm x để biểu thức xác định, khi đó hãy rút gọn biểu thức. 2) Giải phương trình sau: ( ) ( ) ( ) 2 1 1 2 4x x x x− − + + = . Câu 3. (4,0 điểm) 1) Cho n là số tự nhiên lẻ. Chứng minh 3 n n− chia hết cho 24. 2) Tìm số tự nhiên n để 2 4 2013n n+ + là một số chính phương. Câu 4. (6,0 điểm) 1) Cho hình thang ABCD vuông tại A và D. Biết CD=2AB=2AD và 2BC a= . a. Tính diện tích hình thang ABCD theo a . b. Gọi I là trung điểm của BC, H là chân đường vuông góc kẻ từ D xuống AC. Chứng minh · 0 45HDI = . 2) Cho tam giác ABC có , ,BC a CA b AB c= = = . Độ dài các đường phân giác trong của tam giác kẻ từ các đỉnh A, B, C lần lượt là , , a b c l l l . Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 a b c l l l a b c + + > + + Câu 5. (1,0 điểm) Cho hai số không âm a và b thoả mãn 2 2 a b a b+ = + . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 1 1 a b S a b = + + + ---------------Hết---------------- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: .Số báo danh: . Giám thị 1 (Họ tên và ký) Giám thị 2 (Họ tên và ký) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH NGÀY THI 30 /3/2013 MÔN THI: TOÁN; LỚP: 8 PHỔ THÔNG Bản hướng dẫn chấm có 04 trang Câu 1 Hướng dẫn giải (4.5 điểm) 1 (2.5 điểm) Ta có ( ) ( ) 3 3 2 7P a b ab a b= + + + 0,5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 7 2 2 5 a b a ab b ab a b a b a b ab = + − + + + = + + + 0.5 ( ) ( ) 2 2 2 4 2a b a ab b ab= + + + + 0.5 ( ) ( ) ( ) 2 2 2a b a a b b b a= + + + + 0.5 ( ) ( ) ( ) 2 2a b a b a b= + + + Kết luận ( ) ( ) ( ) 2 2P a b a b a b= + + + 0.5 2 (2.0 điểm) Ta có ( ) ( ) 2 4 3 2 4 3 2 2 2 2 1Q x x x x x x x x x x= + + + + + + + + + 0.5 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2x x x x x x= + + + + + 0.5 2 3 4x x= + + = 0.5 Vậy 4Q = 0.5 Câu 2 (4.5 điểm) 1 (2.5 điểm) Ta có ( ) ( ) ( ) 2 1 1 4 . 2 2 4026 4 x x x R x x x x x x − + = + − − + − ĐK: ( ) 2 4 0x x − ≠ 0.5 0 2 x x ≠ ⇔ ≠ ± 0.5 Khi đó: 2 1 1 1 4 4026 2 2 4 x x R x x x − + = + − ÷ − + − ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 2 4 1 . 4026 4 x x x x x − + + + − − = − 0.5 ( ) 2 2 2 4 1 1 . 4026 4 2013 x x − = = − 0.5 Vậy R xác định khi 0 2 x x ≠ ≠ ± và 1 2013 R = 0.5 ĐỀ CHÍNH THỨC 2 + Nếu 2x ≥ , phương trình đã cho trở thành ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 2 4x x x x− − + + = 0.5 (2 điểm) ( ) ( ) 2 2 1 4 4x x⇔ − − = ( ) 4 2 2 2 5 0 5 0x x x x⇔ − = ⇔ − = ( ) ( ) ( ) 0 5 5 x l x tm x l = ⇔ = = − 0.5 Nếu 2x ≥ , phương trình đã cho trở thành ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 2 4x x x x− − + + = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 2 4x x x x⇔ − − + + = − ( ) ( ) 2 2 1 4 4x x⇔ − − = − 4 2 5 8 0x x⇔ − + = 0.5 2 2 5 7 0 2 4 x ⇔ − + = ÷ vô nghiệm 0.25 KL: Phương trình có một nghiệm 5x = . 0.25 Câu 3 (4 điểm) 1 (2 điểm) Ta có ( ) ( ) 3 1 1n n n n n− = − + 0.5 Vì 1; ; 1n n n− + là ba số tự nhiên liên tiếp nên có một trong ba số đó chia hết cho 3. Do đó ( ) 3 3n n− M (1) 0.5 Vì n là số tự nhiên lẻ nên 1n − và 1n + là hai số tự nhiên chẵn liên tiếp. Do đó ( ) ( ) ( ) 3 1 1 8 8n n n n− + ⇒ −M M (2) 0.5 Vì 3 và 8 là hai số nguyên tố cùng nhau nên kết hợp với (1), (2) suy ra ( ) 3 24n n− M (đpcm) 0.5 2 (2 điểm) + Giả sử ( ) 2 2 4 2013 ,n n m m+ + = ∈ ¥ + Suy ra ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2009 2 2009n m m n+ + = ⇔ − + = ( ) ( ) 2 2 2009m n m n⇔ + + − − = 0.5 + Mặt khác 2009 2009.1 287.7 49.41= = = và 2 2m n m n+ + > − − nên có các trường hợp sau xảy ra: • TH1: 2 2009 1005 2 1 1002 m n m m n n + + = = ⇔ − − = = 0.5 • TH1: 2 287 147 2 7 138 m n m m n n + + = = ⇔ − − = = • TH3: 2 49 45 2 41 2 m n m m n n + + = = ⇔ − − = = 0.5 Vậy các số cần tìm là: 1002; 138; 2. 0.5 Câu 4 (6 điểm) 1 (4 điểm) a) + Gọi E là trung điểm của CD, chỉ ra ABED là hình vuông và BEC là tam giác vuông cân. 0.5 + Từ đó suy ra ; 2AB AD a BC a= = = 0.5 + Diện tích của hình thang ABCD là ( ) . 2 AB CD AD S + = 0.5 ( ) 2 2 . 3 2 2 a a a a + = = 0.5 b) + · · ADH ACD= (1) (hai góc nhọn có cặp cạnh tương ứng vuông góc) 0.5 + Xét hai tam giác ADC và IBD vuông tại D và B có 1 2 AD IB DC BD = = , do đó hai tam giác ADC và IBD đồng dạng. Suy ra · · ACD BDI= (2) 0.5 + Từ (1) và (2), suy ra · · ADH BDI= 0.5 + Mà · · · · 0 0 45 45ADH BDH BDI BDH+ = ⇒ + = hay · 0 45HDI = 0.5 2 (2 điểm) + Gọi AD là đường phân giác trong góc A, qua C kẻ đường thẳng song song với AD cắt đường thẳng AB tại M. Ta có · · BAD AMC= (hai góc ở vị trí đồng vị) 0.5 · · DAC ACM= (hai góc ở vị trí so le trong) Mà · · BAD DAC= nên · · AMC ACM= hay tam giác ACM cân tại A, suy ra AM AC b= = + Do AD//CM nên AD BA c CM BM b c = = + 0.5 + Mà 1 1 1 1 2 2 2 a c AD CM AM AC b b c b l b c < + = ⇒ > ⇒ > + ÷ + (1) 0.5 + Tương tự ta có 1 1 1 1 2 b l c a > + ÷ (2); 1 1 1 1 2 a l b c > + ÷ (3) Cộng (1), (2), (3) theo vế, ta có đpcm 0.5 Câu 5 1điểm 1 điểm + Ta có 2 2 2 2 1 2 ; 1 2 2 2 2 2a a b b a b a b a b+ ≥ + ≥ ⇒ + + ≥ + ⇒ + ≤ 0.25 + Chứng minh được với hai số dương ,x y thì 1 1 4 x y x y + ≥ + 0.25 + Do đó 1 1 4 2 2 1 1 1 1 1 S a b a b = − + ≤ − ≤ ÷ + + + + + 0.25 + Kết luận: GTLN của S là 1, đạt được khi 1a b = = . 0.25 Điểm toàn bài (20điểm) Lưu ý khi chấm bài: - Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic. Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì cho điểm các phần theo thang điểm tương ứng. - Với bài 4, nếu học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì không chấm. . tại M. Ta có · · BAD AMC= (hai góc ở vị trí đồng vị) 0.5 · · DAC ACM= (hai góc ở vị trí so le trong) M · · BAD DAC= nên · · AMC ACM= hay tam giác ACM cân. 147 2 7 138 m n m m n n + + = = ⇔ − − = = • TH3: 2 49 45 2 41 2 m n m m n n + + = = ⇔ − − = = 0.5 Vậy các số cần t m là: 1002;