Vũ Đức Cảnh - Chuyên sâu hình học 9- Bài toán diện tích tam giác và ứng dụng Năm học 2006-2007 ================================================================================== A-Đặt vấn đề: Trong chơng trình Toán THCS, khi nói đến bài tập hình học thì học sinh thờng nghĩ đến các bài tập chứng minh quen thuộc nh các quan hệ bằng nhau, đồng dạng, vị trí tơng đối giữa các đối tợng hình học. Những định lý nào đợc áp dụng thờng xuyên thì học sinh nhớ lâu. Những vấn đề khoá và có hàm lợng kiến thức không nhiều dễ bị học sinh lãng quên dẫn đến khi vấp phải các dạng toán đó th- ờng cảm thấy khó khăn và không vợt qua đợc. Một thói quen của giáo vên dạy toán thờng ít khi quan tâm đến việc phát triển các định lý trong sách giáo khoa để đợc các kết quả khác mà nhiều khi chính các kết quả đó giúp cho học sinh giải đợc nhiều bài toán hóc búa. Bản thân tôi là một cán bộ quản lí nhng vẫn trực tiếp đứng lớp và cũng là một giáo viên toán. Qua kinh nghiệm giảng dạy học sinh cuối cấp cũng nh trực tiếp bồi dỡng đội tuyển học sinh giỏi lớp 9, trong những năm qua tôi đã chứng kiến những vớng mắc của học sinh trong việc giải toán. Đặc biệt là những bài toán sử dụng diện tích tam giác cũng nh một số bài toán thi nếu giải bằng phơng pháp sử dụng diện tích tam giác thì sẽ có lời giải đẹp. Nhng vì lí do các em cha đợc tiếp cận các công thức tính diện tích do vậy bài toán tạo thành một trở ngại lớn. Thực hiện kế hoạch của Sở giáo dục và đào tạo Hải phòng về việc tổ chức một số hoạt động trọng tâm bộ môn Toán cấp THCS năm học 2006-2007. Tôi chọn chuyên đề: Diện tích tam giác và ứng dụngnhằm trao đổi cùng các đồng nghiệp về một nội dung hình học cụ thể và thông qua chuyên đề này xin đợc trao đổi cùng các thầy cô giáo để chúng ta cùng hoàn thành tốt nhiệm vụ dạy học. B- nội dung đề tài: 1-Xây dựng nội dung đề tài: Đây là một nội dung không có sẵn trong sách giáo khoa cả phần lý thuyết cũng nh bài tập do vậy việc chọn nội dung để xây dựng thành chuyên đề cần đặc biệt quan tâm. Nội dung đề tài cần có ba phần: Các công thức tính, một số kết quả thờng dùng và một số bài tập điển hình minh hoạ cho ý nghĩa thực tiễn của các công thức cũng nh các kết luận đã nêu ở trên 1.1. Xây dựng công thức tính diện tích tam giác: a.Trong chơng trình lớp 8, học sinh đã chứng minh đợc công thức tính diện tích của một tam giác bất kì: S = 2 1 a.h (1). (trong đó a là cạnh đáy, h là độ dài đ- ờng cao tơng ứng). Trong thực tế tính toán đòi hỏi học sinh cần nắm đợc một số công thức khác. /var/www/html/tailieu/data_temp/document/chuyen-de-hinh-9-vu-duc-canh-- 13776774036425/gzf1372512527.doc- Trang 1 /13 Vũ Đức Cảnh - Chuyên sâu hình học 9- Bài toán diện tích tam giác và ứng dụng Năm học 2006-2007 ================================================================================== Trong tam giác AHC ta có: AH = AC.Sin à C h =b.Sin à C Thay vào (1) ta có công thức (2): à 1 2 S abSinC = . Ta vẽ đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC đờng kính AA=2R. Trong đuờng tròn (O) ta có: ã ACB = ã 'AA B (cùng = 2 1 Sđ ằ AB ). Mà Sin à 'A = 'AA AB = R c 2 = Sin à C . Thay vào (2) ta có công thức (3): S= R abc 4 . Nh vậy, từ một công thức quen thuộc chúng ta đã xây dụng thêm đợc hai công thức mới cho phép ta có thể tính đợc diện tích tam giác khi biết dộ dài ba cạnh của tam giác và bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác.Vấn đề đặt ra là liệu ta có thể tính đợc diện tích tam giác khi chỉ biết độ dài ba cạnh của tam giác.Ta xét bài toán sau: b.Bài toán: Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a,b,c và bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác là r. Gọi p là nửa chu vi tam giác,S là diện tích tam giác, gọi r a ,r b ,r c lần lợt là bán kính các đờng tròn bàng tiếp tam giác lần lợt nội tiếp các gócA,B,C. Hãy chứng minh: S = pr= (p-a)r a =(p-b)r b =(p-c)r c = ))()(( cpbpapp = cba rrrr . . Chứng minh: Gọi I ,O lần lợt là tâm các đờng tròn nội tiếp , bàng tiếp tam giác nội tiếp gócA. Gọi D,E,F là các tiếp điểm của đờng tròn(I) với các cạnh AB,BC,CA. Nh vậy ta có:ID = IE = IF = r và S ABC =S IAB +S IBC +S ICA = 2 1 AB.ID+ 2 1 BC.IE = 2 1 CA.IF = 2 1 a.r + 2 1 b.r + 2 1 c.r = 2 1 (a+b+c).r =p.r . Tức là: .S p r= (4). /var/www/html/tailieu/data_temp/document/chuyen-de-hinh-9-vu-duc-canh-- 13776774036425/gzf1372512527.doc- Trang 2 /13 Vũ Đức Cảnh - Chuyên sâu hình học 9- Bài toán diện tích tam giác và ứng dụng Năm học 2006-2007 ================================================================================== Từ O hạ OH AB, OK AC, khi ấy ta có: OH = OK= r a và S ABC =(S ABO +S ACO ) S BCO =( 2 1 b.r a + 2 1 c.r a ) - 2 1 a.r a = 2 1 (b+c-a). r a = [ 2 1 (b+c+a)- a ] . r a =(p-a). r a . Chứng minh tơng tự ta cũng có S=(p-b). r b và S=(p-c). r c . Nh vậy ta có:S=(p-a).r a =(p-b).r b =(p-c) r c . (5) +Từ (4)và (5) ta có: S 2 = pr(p-a)r a =p(p-a)rr a -Theo tính chất phân giác của hai góc kề bù ta có ã IBO =90 0 ã IBD = ã BOH (cùng phụ với ã HBO ), lại có ã IDB = ã BHO =90 0 . Từ đó suy ra BID ~ OBH(g-g) BH ID = OH BD ID.OH =BD.BH rr a =BD.BH -Ta dễ dàng chứng minh đợc: 2BD = AB+BC AC BD = 2 1 (a+c-b) = 2 1 (a+b+c)-b = p-b.(*) -Ta cũng chứng minh đợc: 2AH =AB+BC+CA AH= 2 1 (a+b+c) =p BH=AH-AB= p-c(**) -Thay (*) và(**)vào ta có rr a =(p-b)(p-c) -Thay vào có:S 2 = p(p-a)(p-b)(p-c) S = ))()(( cpbpapp (6) (công thức Hê -rông) +Từ (4) và (5) ta cũng có: S 4 =pr(p-a)r a (p-b)r b (p-c)r c = p(p-a)(p-b)(p-c). rr a r b r c S 4 =S 2 . rr a r b r c S 2 = rr a r b r c S = cba rrrr . (7). /var/www/html/tailieu/data_temp/document/chuyen-de-hinh-9-vu-duc-canh-- 13776774036425/gzf1372512527.doc- Trang 3 /13 Vũ Đức Cảnh - Chuyên sâu hình học 9- Bài toán diện tích tam giác và ứng dụng Năm học 2006-2007 ================================================================================== Nh vậy sau khi giải đợc bài toán này, các em đợc tiếp cận với 4 công thức nữa. Trong suy nghĩ của học sinh đã hình thành một phơng pháp tìm tòi: công thức tính diện tích tam giác không phải duy nhất, ta có thể tìm ra các công thức khác bằng cách vận dụng linh hoạt các kỹ năng toán học cần thiết.Và đến đây các em cũng đã đợc trang bị khá đầy đủ các công thức tính diện tích tam giác mà với trình độ của học sinh bậc THCS có thể nắm đợc. 1.2.Một số kết luận quan trọng: Trong quá trình giải các bài tập có liên quan đến diện tích tam giác ta thờng sử dụng một số kết luận .Ngoài các kết luận đã đợc trình bày trong sách giáo khoa, xin phép không trình bày lại, sau đây là các kết luận khác đợc rút ra từ các bài tập sau đây: Bài tập1: Cho tam giác ABC và D là một điểm nằm trên cạnh BC. Chứng minh rằng: ADC ABD S S = DC BD Chứng minh: A B H D C Kẻ đờng cao AH BC, Ta có:S ABD = 2 1 AH.BD, S ACD = 2 1 AH.DC , suy ra: ADC ABD S S = DCAH BDAH . 2 1 . 2 1 = DC BD (đpcm). Từ bài toán trên ta có kết luận:Đờng thẳng đi qua một đỉnh của tam giác và một điểm bất kỳ trên cạnh đối diện chia tam giác đã cho thành hai tam giác có diện tích tỉ lệ với khoảng cách từ điểm đó đến các đỉnh còn lại. Trờng hợp đặc biệt 1: Đờng trung tuyến chia một tam giác thành hai tam giác có diện tích bằng nhau. Trờng hợp đặc biệt 2: Phân giác của một tam giác chia tam giác đã cho thành hai tam giác có diện tích tỷ lệ với hai cạnh của góc đó. /var/www/html/tailieu/data_temp/document/chuyen-de-hinh-9-vu-duc-canh-- 13776774036425/gzf1372512527.doc- Trang 4 /13 Vũ Đức Cảnh - Chuyên sâu hình học 9- Bài toán diện tích tam giác và ứng dụng Năm học 2006-2007 ================================================================================== Bài tập2:Cho tam giác ABC, O là một điểm bất kỳ trên mặt phẳng. Đờng thẳng AO cắt BC tại M. Chứng minh: OBC ABC S S = OM AM . Chứng minh: A Kẻ AH BC,OK BC, khi đó:S ABC = 2 1 AH.BC, S OBC = 2 1 OK.BC O OBC ABC S S = BCOK BCAH . 2 1 . 2 1 = OK AH B H K M C Mặt khác ta lại có:AH//OK OK AH = OM AM . Từ và ta suy ra: OBC ABC S S = OM AM (đpcm). Bài tập 3:Cho tam giác ABC có BC=a,CA=b,AB=cvà c b a .Gọi S là diện tích tam giác.Chứng minh:S 2 1 bc Chứng minh:Xét các trờng hợp xảy ra của góc A. +Nếu à A =90 0 S = 2 1 AB.AC = 2 1 b.c +Nếu à A <90 0 hoặc à A >90 0 Khi ấy ta hạ BH AC thì ta luôn có BH<AB(Quan hệ hình chiếu và đờng xiên) S = 2 1 AC.BH< 2 1 AB.AC = 2 1 bc. Tóm lại: S 2 1 bc,dấu = xảy ra khi và chỉ khi à A =90 0 Qua bài toán này ta rút ra kết luận:Diện tích tam giác không lớn hơn nửa tích hai cạnh bất kỳ của tam giác. 1.3.Một số bài tập ứng dụng các công thức tính diện tích tam giác: Ví dụ1: Một cách chứng minh khác về định lí Ta lét. Xét tam giác có DE//BC,(D AB,E AC) ta có: DB AD = BDE ADE S S ; EC AE = CDE ADE S S Mà DE//BC nên S BDE =S DCE , từ đó suy ra: DB AD = EC AE . /var/www/html/tailieu/data_temp/document/chuyen-de-hinh-9-vu-duc-canh-- 13776774036425/gzf1372512527.doc- Trang 5 /13 Vũ Đức Cảnh - Chuyên sâu hình học 9- Bài toán diện tích tam giác và ứng dụng Năm học 2006-2007 ================================================================================== Ví dụ 2: Một cách chứng minh khác về tính chất phân giác. Xét tam giác ABC, phân giác AD,ta có ACD ABD S S = DC BD . Hạ DH AB,DK AC ta có DH=DK, Mà S ABD = 2 1 DH.AB, S ADC = 2 1 DK.AC, Do đó: ACD ABD S S = AC AB . Từ đó suy ra: DC BD = AC AB (đpcm). Ví dụ3: Cho tam giác ABC, phân giác AD, trung tuyến AM. Kẻ MH vuông góc với AB, MK vuông góc với AC. Chứng minh: MH.BD = MK.DC. Cách 1: (Không dùng kết quả của bài toán diện tích): Trên tia đối của tia AB lấy điểm E sao cho AB=AE Ta có tứ giác AHMK là tứ giác nội tiếp ( ã AHM + ã AKM =180 0 ), do đó ã HMK = ã EAC và ã MHK = ã MAK (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MK), mà AM//CE(AM là đờng trung bình của tam giácBCE) /var/www/html/tailieu/data_temp/document/chuyen-de-hinh-9-vu-duc-canh-- 13776774036425/gzf1372512527.doc- Trang 6 /13 Vũ Đức Cảnh - Chuyên sâu hình học 9- Bài toán diện tích tam giác và ứng dụng Năm học 2006-2007 ================================================================================== nên ã MAK = ã ACE . Từ đó suy ra ã MHK = ã ACE Từ và ta suy ra HMK~ CAE (g-g) AB KM AE KM CA HM == AB CA KM HM = (*) Mặt khác theo tính chất phân giác ta có: BD DC AB AC = (**) Từ (*) và (**) ta có KM HM = BD CD MH.BD =MK.CD(đpcm). Cách 2: Theo tính chất phân giác, với AD là phân giác của ã BAC ta có: BD DC AB AC = (*) Vì AM là trung tuyến ứng với cạnh BC nên S ABM = S ACM , do đó ta có: HM.AB =KM.AC AB CA KM HM = (**) Từ (*) và (**) ta suy ra: KM HM = BD CD MH.BD =MK.CD(đpcm). Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có ba cạnh là BC=a,CA=b,Ab=c. G là trọng tâm của tam giác. Gọi x,y,z lần luợt là khoảng cách từ G đến các cạnh a,b,c. Chứng minh: bc x = ac y = ab z .(*) Giải: -Gọi M,N,P lần lợt là trung điểm của BC, CA và AB thì theo tính chất trọng tâm của tam giác ta có: AM GM = 3 1 ; BN GN = 3 1 ; CP GP = 3 1 . /var/www/html/tailieu/data_temp/document/chuyen-de-hinh-9-vu-duc-canh-- 13776774036425/gzf1372512527.doc- Trang 7 /13 Vũ Đức Cảnh - Chuyên sâu hình học 9- Bài toán diện tích tam giác và ứng dụng Năm học 2006-2007 ================================================================================== Nh vậy ta có AM GM = BN GN = CP GP . Theo kết quả bài tập 2: GBC GCA GAB ABC ABC ABC S S S S S S = = S GBC = S GCA = S GAB , từ đây ta lại có:a.x =b.y = c.z. => ax by cz abc abc abc = = => x y z bc ac ab = = Sau khi giải đợc bài toán nay thì cũng suy ra ngay cách giải của bài toán sau: Cho tam giác ABC có ba cạnh là BC=a,CA=b,Ab=c. G là một điểm nằm trong tam giác. Gọi x,y,z lần luợt là khoảng cách từ G đến các cạnh a,b,c thoả mãn hệ thức: bc x = ac y = ab z . Chứng minh G là trọng tâm của tam giác.(bài toán ngợc của bài toán trên). Ví dụ5: Cho tam giác ABC vuông tại A,phân giác trong AD và phân giác ngoài AE.Cho biết AB < AC. Chứng minh các hệ thức: ADACAB 211 =+ AEACAB 211 = Phân tích: Đây cũng là một bài toán khó đối với đa số học sinh. Khi vẽ hình và phân tích yêu cầu của bài toán này các em học sinh có một số phát hiện ban đầu : ã DAE = 90 0 , ã EAB = ã BAD = ã DAC =45 0 . Khi quan sát đề bài ở đây có 2 gần gũi với Sin45 0 ( = 2 2 ). Nếu sử dụng công thức(2) ta có thể tính diện tích của các tam giác EAB,BAD và DAC theo góc 45 0 .Điều này sẽ làm nảy sinh hệ số 2 . Giải: Ta có:S ABC =S ABD +S ACD 2 1 AB.AC = 2 1 AB.AD.Sin45 0 + 2 1 AC.AD.Sin45 0 AB.AC = 2 1 (AB+AC).AD ADACAB 211 =+ (chia cả hai vế cho 2 1 AB.AC.AD) Phần chứng minh tơng tự. /var/www/html/tailieu/data_temp/document/chuyen-de-hinh-9-vu-duc-canh-- 13776774036425/gzf1372512527.doc- Trang 8 /13 Vũ Đức Cảnh - Chuyên sâu hình học 9- Bài toán diện tích tam giác và ứng dụng Năm học 2006-2007 ================================================================================== Lời bàn: Chúng ta thử hình dung, nếu học sinh cha đợc trang bị công thức (2) cùng với phơng pháp tiếp cận bài toán trên cơ sở khai thác hiệu quả công thức tính diện tích thì liệu rằng có bao nhiêu học sinh đủ khả năng vợt qua đợc bài toán này! Ví dụ 6: Cho tam giác ABC và O là một điểm bất kỳ nằm trong tam giác. Các tia AO,BO,CO cắt BC,CA,AB lần lợt tại P,Q,R. Chứng minh rằng: 1 =++ CR OR BQ OQ AP OP . 9 ++ OR CR OQ BQ OP AP . Phân tích: Đây là một bài toán điển hình về việc sử dụng diện tích tam giác. Khi xem xét bài tập này thì đồng thời ta cũng giải đợc các trờng hợp riêng khi O là các điểm đặc biệt của tam giác. Phơng pháp giải bài tập đã đợc gợi mở thông qua ví dụ 4. Để chứng minh hệ thức học sinh có thể sẽ nghĩ đến việc biểu diễn các tỉ số giữa hai đoạn thẳng thông qua tỉ số diện tích của hai tam giác sau đó có thể thực hiện đợc phép tính cộng các tỉ số có cùng mẫu. Nh vậy nếu đặt bài toán này vào thời điêm phù hợp thì chắc chắn các em sẽ giải đợc phần một cách nhẹ nhàng. Hệ thức có một đặc điểm dễ phát hiện: mỗi tỉ số trong đều là nghịch đảo của các tỉ số trong .Để chứng minh đợc hệ thức chỉ cần học sinh đã đợc tiếp cận bất đẳng thức quen thuộc: (a + b+c). ++ cba 111 9. Từ đây ta có lời giải nh sau: /var/www/html/tailieu/data_temp/document/chuyen-de-hinh-9-vu-duc-canh-- 13776774036425/gzf1372512527.doc- Trang 9 /13 Vũ Đức Cảnh - Chuyên sâu hình học 9- Bài toán diện tích tam giác và ứng dụng Năm học 2006-2007 ================================================================================== Giải: Ta có: ABC OBC S S = AP OP ; ABC OAC S S = BQ OQ ; ABC OAB S S = CR OR CR OR BQ OQ AP OP ++ = ABC OBC S S + ABC OBC S S + ABC OAB S S = ABC OABOACOBC S SSS ++ = ABC ABC S S =1 1 =++ CR OR BQ OQ AP OP (đpcm) áp dụng bất đẳng thức(a + b+c). ++ cba 111 9 ta có: ++ CR OR BQ OQ AP OP . ++ OR CR OQ BQ OP AP 9 mà 1 =++ CR OR BQ OQ AP OP , do đó 9 ++ OR CR OQ BQ OP AP ,dấu = xảy ra khi và chỉ khi AP OP = BQ OQ = CR OR = 3 1 O là trọng tâm của tam giác (đpcm). (Việc chứng minh bất đẳng thức: (a + b+c). ++ cba 111 9 xin không trình bày ở đây). Ví dụ 7:Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, gọi r là bán kính đờng tròn nội tiếp; h a ,h b , h c lần lợt là các đờng cao của tam giác. Chứng minh:h a +h b +h c 9r. Giải: Ta có :a.h a =2S =r(a+ b+c) h a = (1+ a b + a c )r. Tơng tự ta cũng có :h b = (1+ b a + b c )r ; h b = (1+ c b + c a )r. Từ đó ta có: h a +h b +h c =(1+ a b + a c )r +(1+ b a + b c )r +(1+ c b + c a )r = (1+ a b + a c +1+ b a + b c +1+ c b + c a )r =(3 + a b + a c + b a + b c + c b + c a )r 9r . ( vì a b + a c + b a + b c + c b + c a =( a b + b a )+( a c + c a )+( b c + c b ) 2+2+2 =6). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c Tam giác ABC là tam giác đều 1.4. Các bài tập tự giải: /var/www/html/tailieu/data_temp/document/chuyen-de-hinh-9-vu-duc-canh-- 13776774036425/gzf1372512527.doc- Trang 10 /13 [...]... biến đề tài trong thực tế: Chúng tôi đã triển khai đề tài này từ năm học 2002- 2003, dới hình thức dạy lồng ghép vào chơng trình ôn tập và bồi dỡng học sinh giỏi Từ năm học 20052006, khi có chơng trình giảng dạy môn học tự chọn, chúng tôi đã đa chuyên đề /var/www/html/tailieu/data_temp/document/chuyen-de-hinh-9-vu-duc-canh-13776774036425/gzf1372512527.doc- Trang 11 /13 Vũ Đức Cảnh- Chuyên sâu hình. .. quá trình giảng dạy chúng tôi thấy: Hầu hết học sinh khi đợc tiếp cận với chuyên đề này đều tỏ ra rất phấn khởi và ngạc nhiên nhận thấy rằng chính các em cũng có thể tự tìm ra những kết luận mới, những phơng pháp giải quyết vấn đề mới Các thầy cô giáo khi đợc sử dụng chuyên đề này đều thừa nhận giá trị thực tiễn cao của chuyên đề và từ đó đã dấy lên một phong trào nghiên cứu tìm tòi những trục kiến... /var/www/html/tailieu/data_temp/document/chuyen-de-hinh-9-vu-duc-canh-13776774036425/gzf1372512527.doc- Trang 12 /13 Vũ Đức Cảnh- Chuyên sâu hình học 9- Bài toán diện tích tam giác và ứng dụng Năm học 2006-2007 ================================================================================== chuyên đề khác nữa mà cũng đảm bảo đợc những yêu cầu chung thì hiệu quả giảng dạy sẽ ngày càng tốt hơn Chuyên đề này đợc xây dựng mang tính chủ quan của một tập thể giáo... những thành công ban đầu chúng tôi sẽ tiếp tục hoàn chỉnh hơn các chuyên đề có tính chất bao quát hơn để việc giảng dạy môn toán ngày càng có hiệu quả cao ý tởng xây dựng chuyên đề này hoàn toàn xuất phát từ thực tiễn dạy và học toán ở trờng THCS Vinh Quang trong những năm qua Đối với tập thể giáo viên của trờng thì việc ứng dụng chuyên đề này là việc làm thiết thực và có tính thực tiễn rất cao Trong... MTBT cấp thành phố Trong những năm qua học sinh dự thi vào lớp 10 hằng năm đều có học sinh đạt điểm giỏi về môn toán và khi học lên các em đều đã phát huy tốt những hiểu biết đã đợc tiếp cận và đó là điều kiện cần giúp cho việc chiếm lĩnh kiến thức của các em có nhiều thuận lợi C-Kết luận: Việc thực hiện chuyên đề chuyên sâu hình học 9 đã đem lại những thành công ban đầu rất đáng khích lệ.Nó đã khẳng... này vào giảng dạy chủ đề nâng cao ở học kỳ II lớp 9 Việc triển khai đã có nhứng kết quả ban đầu rất đáng khích lệ 3.Một số kết quả đã đạt đ ợc: Từ năm học 2002-2003 chúng tôi đã triển khai chuyên đề này trong toàn trờng một cách hoàn chỉnh ngay từ đầu năm học đến toàn thể giáo viên toán trong nhà trờng Qua quá trình giảng dạy chúng tôi đã thu đợc ý nghĩa thực tiễn cao của chuyên đề Trong quá trình giảng... không tránh khỏi những nhợc điểm do tầm nhìn còn hạn chế, hơn nữa đây cũng là một vấn đề mang tính mở do vậy trong quá trình trao đổi cùng các thầy cô giáo chúng tôi rất mong nhận đợc ý kiến đóng góp để chuyên đề này ngày càng hoàn thiện hơn Xin chân thành cảm ơn! Vinh Quang, ngày 20 tháng 3năm 2007 Ngời viết Vũ Đức Cảnh /var/www/html/tailieu/data_temp/document/chuyen-de-hinh-9-vu-duc-canh-13776774036425/gzf1372512527.doc-...Vũ Đức Cảnh- Chuyên sâu hình học 9- Bài toán diện tích tam giác và ứng dụng Năm học 2006-2007 ================================================================================== Bài tập 1: Cho (O;R),vẽ hai dây cung... cứu tìm tòi những trục kiến thức tiềm ẩn trong chơng trình mà cha đợc sách giáo khoa xây dựng hoàn chỉnh Một kết quả rất rõ ràng là bằng phơng pháp nghiên cứu tìm ra những trục kiến thức tơng tự nh chuyên đề này mà trong những năm qua học sinh của trờng đã đạt đợc những kết quả cụ thể: - Năm học 2003-2004: Có một em đoạt giả khuyến khích môn Toán cấp thành phố lớp 7 - Năm học 2004-2005: Có 1 em đoạt . phơng pháp giải quyết vấn đề mới. Các thầy cô giáo khi đợc sử dụng chuyên đề này đều thừa nhận giá trị thực tiễn cao của chuyên đề và từ đó đã dấy lên một. đa chuyên đề /var/www/html/tailieu/data_temp/document/chuyen-de-hinh-9-vu-duc-canh-- 13776774036425/gzf1372512527.doc- Trang 11 /13 Vũ Đức Cảnh - Chuyên