Đang tải... (xem toàn văn)
Trong chương trình toán học THPT các bài toán liên quan đến dãy số là một phần quan trọng. Học sinh thường gặp phải nhiều bài toán liên quan đến dãy số và gặp khó khăn trong vấn đề xác định công thức số hạng tổng quát của dãy số. Đặc biệt ở một số lớp bài toán khi đã xác định được công thức tổng quát của dãy số thì nội dung của bài toán gần như được giải quyết. Tuy vậy trong chương trình SGK được ban hành chưa cung cấp được một công cụ đủ mạnh để giúp học sinh giải quyết được vấn đề này. Các tài liệu của các tác giả khác khi đề cập đến vấn đề này đều sử dụng kiến thức về phương trình sai phân là kiến thức của toán học cao cấp, do đó học sinh rất khó lĩnh hội. Với mong muốn cung cấp một công cụ gần gũi hơn cho học sinh, đề tài “Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi và ứng dụng” sẽ cho ta một phương pháp để giải quyết được một phần nào đó vấn đề đặt ra đối với các dãy số cho bởi hệ thức truy hồi. Đây cũng là đề tài và bài giảng mà tác giả đã dạy cho học sinh đại trà cũng như bồi dưỡng học sinh giỏi trong quá trình giảng dạy phần dãy số và các ứng dụng của dãy số. Tư tưởng chung của phương pháp là từ nội dung bài toán ban đầu ta tìm cách đưa hệ thức truy hồi về một hệ thức mới bằng cách đặt dãy phụ. Sử dụng các kiến thức về cấp số cộng hoặc cấp số nhân để tìm số hạng tổng quát của dãy số mới từ đó suy ra số hạng tổng quát của dãy số đã cho. Giới hạn của đề tài chỉ dừng lại ở việc xác định công thức tổng quát của một số dãy số cho bởi hệ thức truy hồi, từ đó có áp dụng vào một số bài toán cụ thể. Qua đó, người đọc có thể trang bị thêm cho mình phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số và ứng dụng vào giải các bài toán liên quan. Ngoài ra qua đề tài này giáo viên cũng như học sinh có thể xây dựng các lớp bài toán về dãy số dưới dạng hệ thức truy hồi. Một số kết quả của đề tài này đã có trong các tài liệu cùng nội dung. Tuy nhiên do đối tượng học sinh của nhà trường chưa đủ khả năng để lĩnh hội, nên trong đề tài này tôi đã chọn lọc và sắp xếp lại theo thứ tự từ dễ đến khó theo logic, giúp học sinh tiếp cận một cách tự nhiên và dễ tiếp thu hơn. Qua đó giúp học sinh phát triển tư duy, hệ thống hóa các kiến thức một cách trình tự hợp lí.
SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT KỲ SƠN Đề tài: TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ CHO BỞI HỆ THỨC TRUY HỒI VÀ ỨNG DỤNG Giáo viên : Trần Thanh Vân Tổ Đt : Toán : 0979057900 Năm học 2014 – 2015 “Tìm số hạng tổng quát dãy số cho hệ thức truy hồi ứng dụng” MỤC LỤC MỤC LỤC Phần 1: ĐẶT VẤN ĐỀ Phần 2: NỘI DUNG A CƠ SỞ LÝ THUYẾT .3 I DÃY SỐ II CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN B NỘI DUNG CHÍNH I XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ CHO BỞI HỆ THỨC TRUY HỒI II ỨNG DỤNG BÀI TỐN TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT VÀO MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ 14 C BÀI TẬP ÁP DỤNG .25 Phần 3: KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ 28 TÀI LIỆU THAM KHẢO 31 Giáo viên: Trần Thanh Vân – THPT Kỳ Sơn “Tìm số hạng tổng quát dãy số cho hệ thức truy hồi ứng dụng” Phần ĐẶT VẤN ĐỀ Trong chương trình tốn học THPT tốn liên quan đến dãy số phần quan trọng Học sinh thường gặp phải nhiều toán liên quan đến dãy số gặp khó khăn vấn đề xác định công thức số hạng tổng quát dãy số Đặc biệt số lớp toán xác định cơng thức tổng qt dãy số nội dung toán gần giải Tuy chương trình SGK ban hành chưa cung cấp công cụ đủ mạnh để giúp học sinh giải vấn đề Các tài liệu tác giả khác đề cập đến vấn đề sử dụng kiến thức phương trình sai phân kiến thức tốn học cao cấp, học sinh khó lĩnh hội Với mong muốn cung cấp công cụ gần gũi cho học sinh, đề tài “Tìm số hạng tổng quát dãy số cho hệ thức truy hồi ứng dụng” cho ta phương pháp để giải phần vấn đề đặt dãy số cho hệ thức truy hồi Đây đề tài giảng mà tác giả dạy cho học sinh đại trà bồi dưỡng học sinh giỏi trình giảng dạy phần dãy số ứng dụng dãy số Tư tưởng chung phương pháp từ nội dung tốn ban đầu ta tìm cách đưa hệ thức truy hồi hệ thức cách đặt dãy phụ Sử dụng kiến thức cấp số cộng cấp số nhân để tìm số hạng tổng quát dãy số từ suy số hạng tổng quát dãy số cho Giới hạn đề tài dừng lại việc xác định công thức tổng quát số dãy số cho hệ thức truy hồi, từ có áp dụng vào số tốn cụ thể Qua đó, người đọc trang bị thêm cho phương pháp xác định công thức tổng quát dãy số ứng dụng vào giải toán liên quan Ngoài qua đề tài giáo viên học sinh xây dựng lớp tốn dãy số dạng hệ thức truy hồi Một số kết đề tài có tài liệu nội dung Tuy nhiên đối tượng học sinh nhà trường chưa đủ khả để lĩnh hội, nên đề tài chọn lọc xếp lại theo thứ tự từ dễ đến khó theo logic, giúp học sinh tiếp cận cách tự nhiên dễ tiếp thu Qua giúp học sinh phát triển tư duy, hệ thống hóa kiến thức cách trình tự hợp lí Giáo viên: Trần Thanh Vân – THPT Kỳ Sơn “Tìm số hạng tổng quát dãy số cho hệ thức truy hồi ứng dụng” Phần NỘI DUNG A CƠ SỞ LÍ THUYẾT I DÃY SỐ Định nghĩa a) Mỗi hàm số u xác định tập số tự nhiên gọi dãy số vô hạn (gọi tắt dãy số) u: n u(n) Đặt u(n) = un gọi số hạng tổng quát dãy số (un) b) Mỗi hàm số u xác định tập M = {1, 2, 3, …,m}, với m , gọi dãy số hữu hạn Cách cho dãy số a) Dãy số cho công thức số hạng tổng quát un Khi un = f(n), f hàm số xác định Ví dụ 1: Cho dãy số (un) xác định un = 2n + Khi viết dãy số dạng khai triển ta 3, 5, 7, 9, …, 2n + 1, … b) Dãy số cho phương pháp mô tả Ví dụ 2: Cho dãy số (un) với un chữ số thứ n cách viết thập phân số , ta có dãy số: u1 = 3; u2 = 1; u3 = 4; u4 = 1; u5 = 5; … trường hợp ta khơng tìm cơng thức biểu thị số hạng un qua n c) Dãy số cho công thức truy hồi - Cho số hạng đầu u1(hoặc vài số hạng đầu) - Với n 2, cho công thức tính un biết un-1 (hoặc vài số hạng đứng trước nó) Các cơng thức là: Ví dụ 3: cho dãy số (Fn) xác định Dãy số gọi dãy số Phibônaxi Giáo viên: Trần Thanh Vân – THPT Kỳ Sơn “Tìm số hạng tổng quát dãy số cho hệ thức truy hồi ứng dụng” Tính chất dãy số - Dãy số (un) gọi dãy số tăng với n ta có un< un+1 Dãy số (un) gọi dãy số giảm với n ta có un> un+1 Dãy số (un) gọi dãy số bị chặn tồn số M cho: Dãy số (un) gọi dãy số bị chặn tồn số m cho: Dãy số (un) gọi dãy số bị chặn vừa bị chặn vừa bị chặn dưới, nghĩa tồn số M m cho : Chú ý : - Dãy số (un) tăng - Dãy số (un) giảm Giới hạn dãy số a Dãy số có giới hạn - Ta nói dãy số (un) có giới hạn với số dương nhỏ tùy ý cho trước, số hạng dãy số, kể từ số hạng trở đi, có giá trị tuyệt đối nhỏ số dương Khi ta viết : lim(un) = limun = limun = - Định lí 1: Cho hai dãy số (un) (vn) Nếu với n limvn = limun = - Định lí 2: Nếu limqn = b Dãy số có giới hạn hữu hạn - Ta nói dãy số (un) có giới hạn số thực L lim(un – L) = Khi ta viết : lim(un) = L limun = L Dãy số có giới hạn số thực gọi dãy số có giới hạn hữu hạn - Định lí 3: Giả sử limun = A, limvn = B c số Khi : lim(un + vn) = A + B ; lim(un.vn) = A.B; lim(un – vn) = A – B, lim(cun) = cA ; - Định lí 4:(Tổng cấp số nhân lùi vô hạn) Cấp số nhân vô hạn u1, u1q, u1q2, …, u1.qn, … có cơng bội q với gọi cấp số nhân lùi vô hạn S = u1 + u1q + u1q2 + … + u1.qn + … = Giáo viên: Trần Thanh Vân – THPT Kỳ Sơn “Tìm số hạng tổng quát dãy số cho hệ thức truy hồi ứng dụng” c Dãy số có giới hạn vơ cực - Ta nói dãy số (un) có giới hạn với số dương tùy ý cho trước, số hạng dãy số, kể từ số hạng trở đi, lớn số dương Khi ta viết : lim(un) = limun = - Ta nói dãy số (un) có giới hạn với số âm tùy ý cho trước, số hạng dãy số, kể từ số hạng trở đi, bé số âm Khi ta viết: lim(un) = limun = - Định lí 5: Nếu Các tổng đặc biệt II CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN Cấp số cộng a Định nghĩa: Dãy số (un) xác định (a, d hai số thực cho trước) gọi cấp số cộng - a số hạng - d công sai Đặc biệt d = (un) dãy số tất số hạng gọi dãy số khơng đổi b Các tính chất: Định lí 1: Ba số un, un+1, un+2 ba số hạng liên tiếp cấp số cộng (un) nếu: Định lí 2: Số hạng thứ n cấp số cộng (un) cho cơng thức: Định lí 3: Tổng n số hạng (kí hiệu Sn) cấp số cộng (un) cho công thức : Giáo viên: Trần Thanh Vân – THPT Kỳ Sơn “Tìm số hạng tổng quát dãy số cho hệ thức truy hồi ứng dụng” Cấp số nhân a Định nghĩa: Dãy số (un) xác định (a, q hai số thực khác cho trước) gọi cấp số nhân - a số hạng - q công bội Đặc biệt q = (un) dãy số tất số hạng gọi dãy số không đổi b Các tính chất: Định lí 1: Ba số un, un+1, un+2 ba số hạng liên tiếp cấp số nhân (un) nếu: Định lí 2: Số hạng thứ n cấp số nhân (un) cho công thức: Định lí 3: Tổng n số hạng (kí hiệu Sn) cấp số nhân (un) cho công thức : Giáo viên: Trần Thanh Vân – THPT Kỳ Sơn “Tìm số hạng tổng quát dãy số cho hệ thức truy hồi ứng dụng” B NỘI DUNG I XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ CHO BỞI HỆ THỨC TRUY HỒI Phần dãy số chương trình Đại số & Giải tích 11, đề cập đến tốn tìm số hạng tổng quát thường sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh Phương pháp khả thi biết trước công thức số hạng tổng quát, dự đốn Trong nhiều trường hợp chưa biết trước khơng dự đốn cơng thức số hạng tổng qt phương pháp khơng khả thi Vì vậy, phần xây dựng cách xác định công thức tổng quát số dãy số cho hệ thức truy hồi đặc biệt (các toán dãy số chủ yếu cho hệ thức truy hồi dạng này) dựa vào kiến thức biết cấp số cộng, cấp số nhân đặc biệt cách lựa chọn dãy số phụ thích hợp Các ví dụ đơn giản Ví dụ 1: Xác định số hạng tổng quát dãy số (un) cho bởi: Giải Ta thấy dãy số (un) cấp số cộng, với u1 = 3, công sai d = Áp dụng kết (2) ta có un = + (n-1)2 = 2n + Vậy un = 2n + Ví dụ 2: Xác định số hạng tổng quát dãy số (un) cho bởi: Giải Ta thấy dãy số (un) cấp số nhân, với u1 = -2, công bội q = Áp dụng kết (4) ta có un = -2.3n-1 Vậy un = -2.3n-1 Tìm số hạng tổng quát dãy số cho hệ thức truy hồi Ở phần ta thấy việc xác định số hạng tổng quát dãy số cho đơn giản áp dụng trực tiếp kết có cấp số cộng cấp số nhân Tuy nhiên thực tế toán gặp hầu hết không đơn giản thế, chẳng hạn dãy số : Giáo viên: Trần Thanh Vân – THPT Kỳ Sơn “Tìm số hạng tổng quát dãy số cho hệ thức truy hồi ứng dụng” Ở ta nhận thấy hệ thức truy hồi hệ số kèm u n-1 khác khơng phải cấp số cộng, đồng thời hệ số kèm khác nên khơng cấp số nhân ddơn Khi ta làm để xác định số hạng tổng quát dãy số cho? Sau ta nghiên cứu cách tìm số hạng tổng quát dãy số Ví dụ 3: Xác định số hạng tổng quát dãy số cho bởi: Giải Với toán cơng việc khơng đơn giản, dãy số cho cấp số cộng hay cấp số nhân, ta giải toán với tư tưởng cố gắng đưa dãy số cho dạng cấp số nhân Gọi (vn) dãy số cho un = – (1) Suy v1 = Và từ hệ thức truy hồi ta có : Như (vn) cấp số nhân với số hạng đầu v1 = công bội q = 3, nên ta có số hạng tổng quát vn=3.3n-1=3n Thay vào (1) ta có un = 3n – 1, Nhận xét: Mấu chốt cách làm ta đặt u n = – 1, thay vào hệ thức truy hồi (un) ta dễ dàng suy (vn) cấp số nhân Từ suy kết tốn Vậy câu hỏi đặt «tại lại đặt un=vn– 1?», « số -1 từ đâu mà có ? » Quay lại ví dụ ta thấy khơng có số « » hệ thức truy hồi dãy số cho cấp số nhân, việc xác định số hạng tổng quát dãy số đơn giản Vì ta tìm cách « loại bỏ » số « » để đưa dãy số cho trở thành cấp số nhân cách đặt un = + c, thay vào hệ thức truy hồi (*) ta có = 3vn-1 + 2c + Ta chọn c cho 2c + = 0, suy c = -1 Do mà ta có cách đặt Tổng quát : Với cách làm ta xác định số hạng tổng quát dãy số (un) cho bởi: - Nếu a = (un) cấp số cộng với cơng sai d = b, nên ta có un= + (n-1)b Giáo viên: Trần Thanh Vân – THPT Kỳ Sơn “Tìm số hạng tổng quát dãy số cho hệ thức truy hồi ứng dụng” - Nếu , ta gọi (vn) dãy số có số hạng thỏa mãn un = + c, thay vào hệ thức truy hồi ta có = avn-1 + (a-1)c + b + Ta chọn c cho (a-1)c + b = hay + Khi (vn) cấp số nhân với công bội q = a, số hạng đầu v1=u1 - c, tức v1 = Do số hạng tổng quát Suy Vậy ta có kết sau: Dạng : Dãy số (un) cho (a, b số thực khác 0) có số hạng tổng quát sau: Như ta giải xong trường hợp b biểu thức truy hồi kèm số, sau ta xét dãy số mà b biểu thức f(n) Ví dụ 4: Xác định số hạng tổng quát dãy số (un) cho bởi: Giải Với tư tưởng ví dụ Để tìm số hạng tổng quát dãy số ta tìm cách làm « 3n-2 », đưa dãy số cho cấp số nhân Muốn ta gọi (vn) dãy số thỏa mãn un = + an + b Khi ta có: = 2[vn-1+a(n-1)+b]- an – b + 3n – = 2vn-1 + (a + 3)n - 2a + b – Ta chọn a, b cho (a + 3)n - 2a + b – = Như ta có un = - 3n – Giáo viên: Trần Thanh Vân – THPT Kỳ Sơn 10 “Tìm số hạng tổng quát dãy số cho hệ thức truy hồi ứng dụng” Việc tìm số hạng tổng quát dãy số lại không đơn giản ví dụ ta thấy tử số có hệ số tự Vì ta tìm cách làm hệ số tự tử cách, đặt , với t số Thay vào (*) ta có : Chọn t cho –t2 + = Do xác định Ta có: Đặt dãy số xác định Từ theo Dạng ta dễ dàng có Thay vào (2) ta có: Tiếp tục thay t = vào (1) ta có: Từ hai ví dụ ta có kết sau : Giáo viên: Trần Thanh Vân – THPT Kỳ Sơn 16 “Tìm số hạng tổng quát dãy số cho hệ thức truy hồi ứng dụng” Dạng 8: Để tìm số hạng tổng quát dãy số (un) cho bởi: Với , a, b, p q số, ta làm sau: - Đặt , ta có : - Ta chọn cho Khi ta có : - Từ đặt , tìm (xn) suy (vn) có (un) II ỨNG DỤNG BÀI TỐN TÌM SỐ HẠNG TỔNG QT VÀO MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ DÃY SỐ Trong phần xem xét số ứng dụng hiệu tốn tìm số hạng tổng qt dãy số như: Tính giới hạn dãy số, chứng minh tính bị chặn, tính đơn điệu dãy số, tính tổng dãy số, … Ví dụ 1: Cho dãy số (un) xác định : Tính limun Giải Đặt = un - dễ dàng chứng minh dãy số (vn) cấp số nhân xác định sau: Do ta có Suy Từ ta Giáo viên: Trần Thanh Vân – THPT Kỳ Sơn 17 “Tìm số hạng tổng quát dãy số cho hệ thức truy hồi ứng dụng” Ví dụ : Cho dãy số (un) thỏa mãn a Đặt , chứng minh (vn) cấp số cộng b Tìm số hạng tổng quát (un) (vn) Từ tính limun limvn Giải a Ta có Mặt khác Vậy (vn) cấp số cộng với d = -1 b (vn) cấp số cộng số hạng tổng quát (vn) là: Vậy Ví dụ 3: Cho dãy số (un) xác định : Tính Giải Ta có: Đặt , ta có (vn) dãy số xác định : Sử dụng cách giải tốn Dạng ta tìm Giáo viên: Trần Thanh Vân – THPT Kỳ Sơn 18 “Tìm số hạng tổng quát dãy số cho hệ thức truy hồi ứng dụng” Vậy Ví dụ 4: Cho dãy số (un) xác định bởi: Số 16385 có nằm dãy (un) khơng? Nếu có dó số hạng thứ mấy? Giải Ta có Đặt , dãy số xác định , tức cấp số nhân số hạng tổng quát cảu Khi dãy số xác định bởi: Từ tìm số hạng tổng qt là: Xét Vậy 16385 số hạng thứ 15 dãy số Ví dụ 5: Cho dãy số (un) xác định bởi: a) Tìm số hạng tổng quát un b) Tính tổng n số hạng Sn Giải a) Từ hệ thức truy hồi ta có Đặt , ta có dãy số (vn) cấp số cộng xác định : Do số hạng tổng quát Như dãy số (un) xác định bởi: Suy , với Sao cho Giáo viên: Trần Thanh Vân – THPT Kỳ Sơn 19 “Tìm số hạng tổng quát dãy số cho hệ thức truy hồi ứng dụng” Vậy số hạng tổng quát dãy số là: b Sn = u1 + u2 + … + un Vậy Ví dụ 6: Cho dãy số (un) xác định bởi: a) Xác định số hạng tổng quát dãy số (un) b) Tính tổng (HSG Long An 2011) Giải a) Từ hệ thức truy hồi ta có Đặt , dãy số xác định : Từ dễ dàng tìm Vậy ta có b) Ta có: Ví dụ 7: Cho dãy số (un) xác định bởi: Tính limun (HSG - TP HCM 2012-2013) Giải Đặt , ta có Giáo viên: Trần Thanh Vân – THPT Kỳ Sơn 20 “Tìm số hạng tổng quát dãy số cho hệ thức truy hồi ứng dụng” Chọn t cho Khi ( dãy số xác định : Từ (*) ta có : Đặt , dãy số xác định : Từ dễ dàng tìm số hạng tổng qt dãy số là: Vậy Ví dụ 8: Cho dãy số (xn) xác định bởi: Tính (Olympic 30/04/2006 – Chuyên Lý Tự Trọng Cần Thơ) Giải Ta có Đặt , dãy số xác định bởi: Từ dễ dàng suy cấp số cộng xác định Do ta có Suy ra: Vậy Giáo viên: Trần Thanh Vân – THPT Kỳ Sơn 21 “Tìm số hạng tổng quát dãy số cho hệ thức truy hồi ứng dụng” Ví dụ 9: Cho dãy số ( un ) xác định u1 = un+1 = un + + + 2un ( Tìm cơng thức số hạng tổng quát un ) ∀n ∈ N * dãy số (HSG Thái Nguyên 2011 – 2012) Giải Đặt xn = + 2un ∀n ∈ N * Ta có xn ≥ xn2 = + 2un , ∀n ∈ N * hay xn2 − un = Thay vào giả thiết, ta được: xn2+1 − 1 xn2 − = + + xn ÷ 9 ⇔ xn2+1 − = xn2 − + + xn ⇔ ( 3xn +1 ) = ( xn + ) Suy ra: Hay Đặt ( Do xn ≥ , ∀n ∈ N * ) 3n+1 xn +1 = 3n xn + 4.3n , ∀n ∈ N * yn = 3n xn , ∀n ∈ N * Từ Hay 3xn+1 = xn + ∀n ∈ N * Ta có: yn +1 = yn + 4.3n , ∀n ∈ N * yn+1 = y1 + ( 3n + 3n−1 + + 3) , ∀n ∈ N * yn +1 = y1 − + 2.3n+1 , ∀n ∈ N * Theo cách đặt ta có: x1 = ⇒ y1 = ⇒ yn = + 2.3n Giáo viên: Trần Thanh Vân – THPT Kỳ Sơn 22 “Tìm số hạng tổng quát dãy số cho hệ thức truy hồi ứng dụng” xn = + Suy ra: Do , ∀n ∈ N * n −1 1 un = + n −1 + n −2 ÷ , ∀n ∈ N * 2 3 Giáo viên: Trần Thanh Vân – THPT Kỳ Sơn 23 “Tìm số hạng tổng quát dãy số cho hệ thức truy hồi ứng dụng” C BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Tìm số hạng tổng quát dãy số (un) cho bởi: a) c) e) g) i) u1 = * un +1 = 3un + 2(n ∈ N ) u1 = * un +1 = un + 2n + 1( n ∈ N ) u1 = 12 * un +1 = 5un − 2n + 9(n ∈ N ) u1 = n * un +1 = 4un + (n ∈ N ) j) b) d) f) h) u1 = 1 * u = u + n +1 n (n ∈ N ) u1 = * un +1 = un + n (n ∈ N ) u1 = n +1 * un +1 = 3un + ( n ∈ N ) u1 = 1; u2 = * un + = 5un +1 − 6un (n ∈ N ) u1 = u2 = un − 2un −1 + un− = 2; ∀n ≥ Bài 2: Cho dãy số (un) xác định bởi: a) Hãy xác định số hạng tổng quát dãy (un) b) Chứng minh biểu diễn thành tổng ba số tự nhiên liên tiếp với Bài 3:Cho dãy số (un) xác định bởi: a) Hãy xác định số hạng tổng quát dãy (un) b) Tìm giá trị n để Bài 4: (Đề thi OLYPIC 30 - Toán 11 Lần thứ VIII - 2002) Cho dãy số (un) xác định bởi: Giáo viên: Trần Thanh Vân – THPT Kỳ Sơn 24 “Tìm số hạng tổng quát dãy số cho hệ thức truy hồi ứng dụng” Tìm cơng thức số hạng tổng quát (x ) un n Bài 5: Cho dãy số xác định sau xn + − xn +1 + xn = x0 = 1, x1 = Xác định số tự nhiên n cho (x ) n∈ N xn +1 + xn = 22685 n Bài 6: Cho dãy số xác định sau xn+ + 8.xn +1 + 9.xn = x0 = 2, x1 = −8 Tính giá trị biểu thức Bài 7: Cho dãy số (u ) n A = x2006 − 5.x2007 + thoả mãn điều kiện un+ − 2.un +1 + un = n∈ N u0 = 1, u1 = Chứng minh un n∈ N ( n ≥ 2) số phương Bài 8:(Đề thi HSG Đồng Tháp 2011) Cho dãy số (un) xác định bởi: Hãy xác định công thức số hạng tổng quát un Bài 9: (Đề thi HSG Hà Nam 2011 – 2012) Cho dãy số (un) xác định bởi: a) Chứng minh dãy số có giới hạn, tìm giới hạn b) Tìm số hạng tổng quát dãy số Giáo viên: Trần Thanh Vân – THPT Kỳ Sơn 25 “Tìm số hạng tổng quát dãy số cho hệ thức truy hồi ứng dụng” Bài 10: (HSG cụm Lạng Giang 2012 – 2013) Cho dãy số (un) xác định bởi: Tìm Giáo viên: Trần Thanh Vân – THPT Kỳ Sơn 26 “Tìm số hạng tổng quát dãy số cho hệ thức truy hồi ứng dụng” Phần KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ Kết việc ứng dụng SKKN a Một số kết thực tế Trong trình giảng dạy tơi cố gắng đưa phần nội dung đề tài (Dạng Dạng 2) vào giảng dạy lớp 11A, 11E hai tiết tự chọn chương Dãy số Sau thực giảng dạy đại trà cho hai lớp tiến hành cho làm kiểm tra 15 phút với nội dung sau: “Tìm số hạng tổng quát dãy số cho Kết thu sau: Lớp Giải 11A 80% 11E 70% u1 = 1 * u = u + n +1 n (n ∈ N ) Có đường lối giải 12% 20% ” Không giải 8% 10% Các phần khó nội dung đề tài tơi dùng để ôn thi cho đội tuyển HSG cấp trường cấp tỉnh Qua kết hai kỳ thi, gặp toán dãy số em vận dụng thành thạo hoàn thành tốt nội dung toán Đặc biệt kỳ thi chọn HSG cấp tỉnh hai học sinh đội tuyển trường làm tốt tốn tìm số hạng tổng qt dãy số đề thi mơn tốn bảng B b Một số kết luận Trải qua thực tiễn giảng dạy, nội dung giảng liên quan đến đề tài có tham gia góp ý đồng nghiệp, vận dụng đề tài vào giảng dạy thu số kết tích cực sau: 1) Học sinh trung bình trở lên nắm vững số phương pháp biết vận dụng tốn xác định cơng thức số hạng tổng quát dãy số 2) Một số đề thi học sinh giỏi, học sinh lớp chọn sử dụng phương pháp trình bày đề tài để giải toán 3) Là phương pháp tham khảo cho học sinh thầy cô giáo 4) Qua nội dung đề tài, đồng nghiệp xây dựng thêm toán dãy số theo dạng có 5) Khi sử dụng đề tài giảng dạy tạo hứng thú học tập cho em học sinh Giáo viên: Trần Thanh Vân – THPT Kỳ Sơn 27 “Tìm số hạng tổng quát dãy số cho hệ thức truy hồi ứng dụng” Tuy vậy, thời gian thực gấp rút, chuẩn bị thời gian chưa thật đầy đủ nên đề tài bộc lộ số hạn chế định 1) Đề tài dừng lại dãy số cho dạng truy hồi đơn giản 2) Đề tài chưa áp dụng phương pháp liên quan đến toán cao cấp 3) Các toán ứng dụng đề tài chưa đa dạng phong phú Vì vậy, tơi mong bạn đồng nghiệp, em học sinh góp ý để đề tài hồn thiện Kiến nghị, đề xuất Kính mong hội đồng xét duyệt đề tài có góp ý thiết thực để đề tài hồn thiện phổ biến rộng rãi cho bạn bè đồng nghiệp, em học sinh Qua góp phần thúc đẩy chất lượng dạy học nhà trường nói riêng nghành giáo dục nói chung Kỳ Sơn, tháng năm 2015 Người viết đề tài Trần Thanh Vân Giáo viên: Trần Thanh Vân – THPT Kỳ Sơn 28 “Tìm số hạng tổng quát dãy số cho hệ thức truy hồi ứng dụng” NHẬN XÉT VÀ ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG THẨM DUYỆT TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đại số & Giải tích 11 Cơ – NXB Giáo dục Giáo viên: Trần Thanh Vân – THPT Kỳ Sơn 29 “Tìm số hạng tổng quát dãy số cho hệ thức truy hồi ứng dụng” [2] Bài tập Đại số & Giải tích 11 Cơ – NXB Giáo dục [3] Bài giảng trọng tâm chương trình chuẩn tốn 11 – Nhóm Cự mơn – NXB ĐHQG Hà Nội [4] Bồi dưỡng học sinh giỏi Đại số Giải tích 11 – Lê Hồnh Phò – NXB ĐHQG Hà Nội [5] 500 tốn chọn lọc Đại số Giải tích 11 – Lê Hồnh Phò – NXB ĐHQG Hà Nội [6] Tuyển tập đề thi Olympic 30 tháng khối 11 – NXB Giáo dục [7] Các Website Mathvn.com, Violet.vn …… Giáo viên: Trần Thanh Vân – THPT Kỳ Sơn 30 ... 11 Tìm số hạng tổng quát dãy số cho hệ thức truy hồi ứng dụng Ta vận dụng kết để tìm số hạng tổng quát dãy số sau Ví dụ 5: Xác định số hạng tổng quát dãy số (un) cho bởi: Giải Ta có hệ số a... THPT Kỳ Sơn Tìm số hạng tổng quát dãy số cho hệ thức truy hồi ứng dụng B NỘI DUNG I XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ CHO BỞI HỆ THỨC TRUY HỒI Phần dãy số chương trình Đại số & Giải tích... Tìm số hạng tổng quát dãy số cho hệ thức truy hồi ứng dụng Vậy số hạng tổng quát dãy số là: b Sn = u1 + u2 + … + un Vậy Ví dụ 6: Cho dãy số (un) xác định bởi: a) Xác định số hạng tổng quát dãy