Đang tải... (xem toàn văn)
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2010-2011 MÔN TOÁN THPT – SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÂM ĐỒNG
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LÂM ĐỒNG NĂM HỌC 2010 -2011 MƠN : TỐN- THPT ĐỀ CHÍNH THỨC Th i gian: 180 phútờ (Đề thi gồm có 01 trang) Ngày thi : 18 /02 /2011 Câu 1: ( 3,0 điểm ) Cho hàm số 3 2 3y x x mx= - + (1). Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số (1) đối xứng nhau qua đường thẳng ( ) : 2 9 0d x y+ − = . Câu 2: ( 3,0 điểm ) Tính tích phân 2 2 2 2 ( cos ) 4cos 3sin x x dx I x x π π − + = + ∫ Câu 3: ( 2,0 điểm ) Cho ( ) 10 2 ( ) 1 4 3P x x x= + + . Xác định hệ số 3 x trong khai triển ( )P x theo lũy thừa của x . Câu 4:( 3,0 điểm ) 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp là điểm (4;0)I và phương trình hai đường thẳng lần lượt chứa đường cao và đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của tam giác là 1 ( ) : 2 0d x y+ − = và 2 ( ): 2 3 0d x y+ − = . Viết phương trình các đường thẳng chứa cạnh của tam giác ABC . 2. Cho I là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC có , ,AB c BC a CA b= = = . Chứng minh rằng: 2 2 2 1 IA IB IC bc ca ab + + = . Câu 5: ( 3,0 điểm ) 1. Giải phương trình: ( ) 2sin 2 2 2 2 sin 2 .cos sin 2cosx cos x x x x x + + = + + 2. Cho , , [0;1]x y z Ỵ . Chứng minh rằng: ( ) ( ) 81 2 2 2 2 2 2 8 x y z x y z- - - + + + + £ Câu 6: ( 3,0 điểm ) Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCD mà khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( )SBC bằng b . Góc giữa mặt bên và mặt đáy hình chóp bẳng α . Tìm α để thể tích của khối chóp .S ABCD nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. Câu 7: ( 3,0 điểm ) Giải hệ : ( ) 2 2 2 2 3 2 3 2 0 x y y x x y y x − = − − − − ≥ -----------------------Hết----------------------- Họ và tên thí sinh:……………………………………………………………Số báo danh:………… Chữ kí giám thị 1:………………………………. Chữ kí giám thị 2:………………………………… SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LAÂM ÑOÀNG NĂM HỌC 2010 -2011 MÔN : TOÁN- THPT HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN Ngày thi : 18 /02 /2011 (Đáp án có 04 trang) Lưu ý: Đây chỉ là một trong những cách giải, nếu thí sinh làm cách khác đúng thì vẫn cho điểm tương ứng. CÂU NỘI DUNG ĐIỂM Câu 1 ( 3đ ) + Ta có 2 ' 3 6y x x m= − + + Hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ ' 0y = có hai nghiệm phân biệt ' 9 3 0 3m m⇔ ∆ = − > ⇔ < + Ta có 1 1 2 1 ( ) '( ) 2 3 3 3 3 y x y x x m x m = − + − + ÷ ÷ + Gọi 1 1 1 ( ; )M x y và 2 2 2 ( ; )M x y là hai điểm cực trị, suy ra 1 2 ,x x là hai nghiệm của phương trình ' 0y = , nên 1 2 1 2 2 3 x x m x x + = = + Đường thẳng qua 2 điểm cực trị M 1 , M 2 là 1 2 1 : 2 3 3 d y m x m = − + ÷ + I là trung điểm 1 2 M M , suy ra ( ) 1; 2I m − + Do 1 2 ,M M đối xứng qua ( )d nên 1 2 1 2 1 6 3 2 1 2( 2) 9 0 m d d m I d m − − = − ⊥ ÷ ÷ ⇔ ⇔ = ∈ + − − = 0,25 0,5 0,5 0,25 0,5 0,5 0,5 Câu 2 ( 3đ ) Tính 2 2 2 2 ( cos ) 4cos 3sin x x dx I x x π π − + = + ∫ + 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 ( cos ) cos 4 in 4 in 4 in x x dx xdx xdx I I I s x s x s x π π π π π π − − − + = = + = + − − − ∫ ∫ ∫ + Tính 0 2 2 1 2 2 2 0 2 2 4 in 4 in 4 in xdx xdx xdx I s x s x s x π π π π − − = = + − − − ∫ ∫ ∫ Trong 0 2 2 4 in xdx s x π − − ∫ , Đặt x t= − , đổi cận, CM 0 2 2 4 in xdx s x π − = − ∫ - 2 2 0 4 in xdx s x π − ∫ Suy ra 1 0I = + Tính 2 2 2 2 cos 4 in xdx I s x π π − = − ∫ , 0,5 0,25 1,0 0,25 Trang 1/4 Đặt sint x = , đổi cận ta có 1 1 2 1 2 1 1 2 1 ln ln 3 4 4 2 2 dt t I t t − − + = = = ÷ − − ∫ + 1 ln3 2 I = 0,75 0,25 Câu 3 ( 2đ ) + ( ) ( ) ( ) 10 10 2 ( ) 1 4 3 1 4 3P x x x x x= + + = + + + ( ) ( ) ( ) 2 10 0 1 2 2 10 10 10 10 10 10 ( ) 4 3 4 3 . 4 3P x C C x x C x x C x x= + + + + + + + + Hệ số của 3 x chỉ xuất hiện trong ( ) ( ) 2 3 2 2 3 3 10 10 4 3 4 3C x x C x x+ + + + Hệ số 3 x trong khai triển: 2 3 10 10 24 .64C C+ = 8760 0,5 0,5 0,5 0,5 Câu 4 ( 3đ ) + Tìm được (1;1)A + Gọi ∆ là đường thẳng qua I và song song với 1 d . Tìm được : 4 0x y∆ + − = + Gọi 2 M d= ∆ ∩ ⇒ (5; 1)M − , M là trung điểm BC ⇒ đường thẳng BC đi qua M và vuông góc với 1 d . Tìm được ( ) : 6 0BC x y− − = . + Nhận xét ,B C là giao điểm của đường thẳng BC và đường tròn tâm I , bán kính 10R IA= = có phương trình 2 2 ( 4) 10x y− + = . + Giải hệ tìm được tọa độ (3; 3), (7;1)B C− . + Phương trình ( ) : 2 3 0AB x y+ − = . Phương trình ( ) : 1 0AC y − = . 2. ( 1 điểm) + Ta có 2 sin .sin .sin 4 sin sin .sin 4 sin sin sin 2 2 2 ABC S abc R A B C A B C r R p Rp A B C ∆ = = = = + + + 2 4 .sin .sin tan .tan 2 2 2 2 sin 2 r B C IA B C IA R A bc = = ⇒ = + Tương tự : 2 tan .tan 2 2 IB C A ca = , 2 tan .tan 2 2 IC A B ab = 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 Trang 2/4 1. ( 2 điểm) + 2 2 2 tan .tan tan .tan tan .tan 1 2 2 2 2 2 2 IA IB IC B C C A A B bc ca ab + + = + + = 0,25 Câu 5 ( 3đ ) 1. (1,5 điểm) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 os2x = 2 sin 2x.cosx - sin2x 2 sin x - sin2x 2 2cosx - 2 2 os 1 sin 2x 2 osx -1 2 sinx 2 osx -1 2 2 osx -1 2 osx +1 2 osx -1 2 osx -1 sin 2x - 2 sinx +2 1 osx = 1 2 2 sinx + cosx 2sinx.cosx - 1 = 0 2 c c x c c c c c c c ⇔ + + ⇔ − = − + ⇔ = ⇔ − + (1) 2 4 x k π π ⇔ = ± + + (2) 2 4 4 x k x k π π π π ⇔ = − + ∨ = + , Kết luận. 2. (1,5 điểm) + Đặt 2 , 2 , 2 x y z a b c= = = , BĐT cần CM ( ) 1 1 1 81 8 a b c a b c ⇔ + + + + ≤ ÷ , với , , [1;2]a b c∈ + Xét tam thức bậc hai 2 ( ) 3 2f x x x= − + có hai nghiệm x = 1, x = 2 ( ) 0, [1, 2]f x x⇒ ≤ ∀ ∈ + Mà 2 2 2 2 3 3 2 0 ( ) 0 2 , , [1;2] ( ) 0 3 2 0 3 ( ) 0 3 2 0 2 3 a a a a f a a b c f b b b b b f c c c c c + ≤ − + ≤ ≤ ∈ ⇒ ≤ ⇒ − + ≤ ⇒ + ≤ ≤ − + ≤ + ≤ + Từ đó : ( ) 2 2 2 9a b c a b c + + + + + ≤ ÷ + Áp dụng Côsi ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 9 2 .a b c a b c a b c a b c ≥ + + + + + ≥ + + + + ÷ ÷ 0,75 0,25 0,5 0,25 0,25 0,5 0,5 Câu 6 ( 3đ ) + Gọi ,I J lần lượt là trung điểm của ,BC AD , ta có SIJ α ∠ = 0,25 Trang 3/4 + Ta có / / / / ( ) ( ,( )) ( ,( ))AD BC AD SBC d A SBC d J SBC⇒ ⇒ = . + Trong tam giác SIJ vẽ đường cao JH . Chứng minh được ( )JH SBC⊥ Suy ra ( ,( ))d J SBC JH b= = . + Trong tam giác vuông IHJ , ta có 2 2 2 2 sin sin sin ABCD JH b b IJ S AB IJ α α α = = ⇒ = = = + Gọi O là tâm của đáy, thì .tan .tan 2sin 2cos b b SO IO α α α α = = = + 3 . 2 1 . 3 6sin .cos S ABCD ABCD b V S SO α α = = + 2 . 2 1 min min (sin .cos ) max sin .cos S ABCD V α α α α ⇔ ⇔ ( do 0 0 0 90 α < < ) 2 (cos (1 sin ))max α α ⇔ − + Xét hàm 2 ( ) .(1 ),( cos (0;1))f x x x x α = − = ∈ + Lập bảng biến thiên, tìm được (0;1) 2 3 ax ( ) 9 x M f x ∈ = khi 3 3 x = + Kết luận 3 . 3 3 ( ) cos 4 3 S ABCD b Min V α = ⇔ = ; 0 0 0 90 α < < 0,25 0,5 0, 5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu 7 ( 3đ ) Giải hệ ( ) 2 2 2 2 (1) 3 2 3 2 0 (2) x y y x x y y x − = − − − − ≥ + Xét phương trình (1) 2 2 x y x y⇔ + = + Ta có ( ) 2 '( ) 2 ln 2 1 0, t t f t t f t t R= + ⇒ = + > ∀ ∈ Vậy ( )f t là hàm đơn điệu tăng trên R , mà ( ) ( )f x f y= nên x y= . + Thay y x= vào bất phương trình (2), ta có ( ) 2 2 2 2 2 3 2 0 3 3 2 0 3 2 0 3 0 1 2 2 1 2 2 0 3 x x x x x x x x x x x x x x x x − − = − − − ≥ ⇔ − − > − ≥ = ∨ = − ⇔ < − ∨ > ≤ ∨ ≥ 1 2 3 2 x x x⇔ ≤ − ∨ = ∨ ≥ 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 ------------ HẾT------------- Trang 4/4 Trang 4/4 . SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LÂM ĐỒNG NĂM HỌC 2010 -2011 MƠN : TỐN- THPT ĐỀ CHÍNH THỨC Th i gian: 180 phútờ (Đề thi gồm. ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LAÂM ÑOÀNG NĂM HỌC 2010 -2011 MÔN : TOÁN- THPT HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN Ngày thi : 18 /02 /2011