Trờng THPT Lý Thái Tổ Phần 1: Thể tích khối ®a diƯn A/ Lý thut 1.Kh¸i niƯm thĨ tÝch cđa khối đa diện (SGK Hình học 12 trang 23) 2.Các công thức tính thể tích khối đa diện a) thĨ tÝch khèi hép ch÷ nhËt V = abc víi a, b, c lµ kÝch thíc cđa khèi lợng chữ nhật b) Thể tích khối chóp V= Sđáy h , h: Chiều cao khối chóp c) Thể tích khối lăng trụ V= Sđáy h , h: Chiều cao khối lăng trụ Thể tích B/ Các dạng tập Dạng 1: Tính thể tích khối đa diện *Phơng pháp: Để tÝnh thĨ tÝch cđa khèi ®a diƯn ta cã thĨ: +áp dụng trực tiếp công thức tính thể tích +Chia khối đa diện thành khối nhỏ mà thể tích khối tính đợc +Bổ sung thêm bên khối đa diện để đợc khối đa diện tính thể tích công thức phần bù vào tính đợc thể tích *Các tập 1)Về thể tích khối chóp +Nếu khối chóp đà có chiều cao đáy ta tính toán chiều cao, diện tích đáy áp dụng công thức: Bài 1: Tính thể tích hình chóp tam giác SABC trờng hợp sau: a) Cạnh ®¸y b»ng a, gãc ABC = 60o b) AB = a, SA = l c) SA = l, gãc gi÷a mặt bên mặt đáy giải: a) Gọi O tâm ABC S SO (ABC) SABC = a a =a ∆ABC cã SA = SB; ABC = 60o ⇒ SA = AB = SB = a C A O a B SO ⊥ OA ( v× SO ⊥ (ABC) ) Tam giác vuông SOA có: SO2 = SA2 - OA2 = a2 - ( a 3 )2 = a2  a2 2  a 3 Trêng THPT Lý Th¸i Tỉ ThĨ tÝch ⇒ SO = a VËy VSABC = S∆ABC SO = b) Tơng tự câu a đáp số: VSABC = a2 l2  a a l2  a2 a2 c) Gäi O tâm ABC Gọi A trung điểm BC Dễ thÊy ((SBC), (ABC)) = gãc SA’O = α Tam gi¸c vu«ng SOA cã: SO2 = l2 - OA2 = l2 - 94 AA2 Tam giác vuông SOA có: A sin   1SOAA'  SO  13 AA'.sin  (2) C Tõ (1) (2) ta cã: AA' sin   AA'.sin  l a O A' B ↔ AA’2(sin2 α + 4) =9lα α + 4) =9l+ α + 4) =9l4) α + 4) =9l=9l2 3l ↔ AA'  sin  4 SO  13 AA'.BC  12 S∆ABC = 3l sin   ⇒VSABC = sin   3l sin  4 3l sin  4  2(sin3 23l 4) l sin  sin   S∆ABC SO = 3 l sin  (sin   ) sin Bài Cho lăng trụ ABCABC có độ dài cạnh bên = 2a, ABC vuông A, AB = a, AC = a H×nh chiếu vuông góc A (ABC) trung điểm BC tính VAABC theo a? Giải -Gọi H trung ®iÓm BC C' ⇒A’H ⊥ (ABC) (gt) -Ta cã S∆ABC = 12 AB AC  12 a A' 2a -V× A’H ⊥ (ABC) ⇒ A’H ⊥ AH Tam giác vuông AHA có: AH2 = AA2 - AH2 = (2a)2 - 14 (a2 + 3a2) B C H hay A’H2 = 4a2 - a2 = 3a2 ⇒ A’H = a a3 a Trêng THPT Lý Th¸i Tỉ ⇒VA’ABC = ThÓ tÝch S∆ABC A’H = 13 12 a 3.a  a2 Bµi H×nh chãp SABCD cã SA ⊥ (ABC), SA = a ABC vuông cân có AB = BC =a B trung điểm SB C chân đờng cao hạ từ A cña ∆SAC a) tÝnh VSABC b) Chøng minh r»ng AB ⊥ (AB’C’) TÝnh VSAB’C’ Gi¶i a) S∆ABC = 12 BA.BC  12 a ; SA =a ⇒ VSABC = S∆ABC SA = a3 C' a B' A C a a B b) ∆SAB cã AB = SA = a SAB cân A AB’ ⊥ SB B’S = B’B BC⊥ AB ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ AB’ BC⊥ SA ⇒ AB’ ⊥ (SAC) ⇒ AB’ ⊥ SA ⇒SC ⊥ (AB’C’) AC’ ⊥ SC C¸ch 2a  AB'  12 SB  12 a V× AB’ ⊥ (SBC) ⇒AB’ ⊥ B’C’ SC = SA  AC  3a SC '  SASC  a3 B’C’2 = SB’2 - SC’2 = ⇒V∆AB’C’ = C¸ch a2 a 24 a '  SA SA a a  4a 3 a  36 '  12 SC SC  a VSAB 'C ' VSABC  B' C '  a6 AB'.B' C '  12 ⇒S∆AB’C’ = SB ' SB a2 3  13 SB ' SC ' SB SC a a 3  16  VSA' B 'C '  16 16 a  a36 Trêng THPT Lý Th¸i Tỉ Thể tích Bài Hình chóp SABC có SA (ABC), ABC cân A, D trung điểm BC, AD = a, (SB, (ABC)) = α; α + 4) =9l(SB, (SAD)) = β TÝnh VSABC Gi¶i DƠ thÊy S (SB, (ABC)) = α α + 4) =9l= α + 4) =9l SBA (SB, (SAD)) = β = BSD ∆ABC c©n ⇒ AD ⊥ BC DB = DC ∆SAB cã cos α + 4) =9lα α + 4) =9l= AB SB (1) BC ⊥ AD BC ⊥ SA (v× SA⊥ (ABC) ⇒ BC ⊥ (SAD) ⇒ BC ⊥ SD A C a D B BD SB Tam giác vuông SB có sinβ = Tõ (1) (2) ⇒ ⇒ AB cos  AB  a sin   sinBD  AB cos   ABsina (2) 2 ⇒ AB2(sin2 α + 4) =9lβ α + 4) =9l– α + 4) =9lcos2 α + 4) =9lα) α + 4) =9l= -a2cos2 α + 4) =9lα ⇒ AB = cos  1 sin  a cos  2 Sin cos  S∆SAB =BD.AD = SA = AB tan α + 4) =9lα α + 4) =9l= ⇒ VSABC = SA.S∆ABC = sin  AD AB  cos  2 cos   sin   a sin  cos   sin  a sin  cos   sin  a sin  a sin  a cos  cos   sin  2 cos   sin  = a sin  cos  cos  sin Bài Cho hình vuông ABCD cạnh a nửa đờng thẳng Ax, Cy (ABCD) phía với mặt phẳng Điểm M không trùng với với A Ax, điểm N không trùng với C Cy Đặt AM = m, CN = n TÝnh thĨ tÝch cđa h×nh chãp BAMNC Giải Trờng THPT Lý Thái Tổ Gọi I giao ®iĨm cđa AC vµ BD Ta cã BD ⊥ AC (vì ABCD hình vuông) (Ax, Cy) (ABCD) BD ⊥ (AMNC) ⇒ BI ⊥ (AMNC) BI = BD2  a 2 ThÓ tÝch x N M m n D C A Diện tích hình thang AMNC S = ( AM 2CN ) AC  ( mn2) a B VAMNC = 13 S AMNC BI  13 ( mn2) a a 2  a62 (m  n) *NÕu khèi chãp cÇn tÝnh thể tích cha bíết chiều cao ta phải xác định đựơc vị trí chân đờng cao đáy Ta cã mét sè nhËn xÐt sau: -NÕu h×nh chãp cã cạnh bên nghiêng đáy cạnh bên chân đờng cao tâm đờng tròn ngoại tiếp đáy -Nếu hình chóp có mặt bên nghiêng dáy có đờng cao mặt bên xuất phát từ đỉnh chân đờng cao tâm đờng tròn nội tiếp đáy -Hình chóp có mặt bên mặt mặt chéo vuông góc với đáy đờng cao hình chóp đờng cao mặt bên mặt chéo -Nếu có đờng thẳng vuông góc với mặt đáy khối chóp đờng cao khối chóp song song với đờng thẳng -Nếu đờng thẳng nằm đáy khối chóp vuông góc vuông góc với mặt phẳng chứa đỉnh khối chóp đờng cao khối chóp đờng thẳng kẻ từ đỉnh vuông góc với giao tuyến mặt đáy mặt phẳng chứa đỉnh đà nói *Nếu khối chóp khối tứ diện ta cần khéo chọn mặt đáy thích hợp Bài 6: SABCD có đáy tâm giác cân A, BC =a, ABC = , + 4) =9lcác cạnh bên nghiêng đáy góc Tính VSABC Giải Trờng THPT Lý Thái Tổ ThÓ tÝch S C B a H A -Gäi H hình chiếu S lên (ABC) -Vì cạnh bên nghiêng đáy H tâm đờng tròn ngoại tiếp ABC -Ta có: ABC = 12 AB AC sin  mµ BC2 = 2AB2 - 2AB2cos α α α = 2AB2(1-cos α α) = a2 ⇒ AB = a ⇒ S∆ABC = 12 AB sin  HA = R = BC sin   12 a2  a4 cos 2  sina Tan giác vuông có tan = ⇒VSABC = sin  1 cos  1 cos  SH AH a2 ⇒ SH = sina  tan   cosa  S ABC SH  cot  a 2 cos  a cot 2  24 cos Bài 7: SABC có đáy ABCD hình bình hành S ABCD = góc đờng chéo = 60o cạnh bên nghiêng đáy góc 45o Tính VSABCD Giải D C O A B -Hạ SO (ABCD) -Vì khối chóp có bên nghiêng đáy O tâm ®êng trßn ®i qua ®Ønh A, B, C, D tứ giác ABCD hình chữ nhật O = AC BD -Đặt AC = BD =x Ta cã ShcnABCD = 12 AC.BD.sin60o = 12 x 23  43 x  ⇒ x=3 Trêng THPT Lý Th¸i Tỉ ThĨ tÝch - (SA, (ABCD)) = (SA, AO) = SAO = 45o = SCO = (SC, (ABCD)) ASC vuông cân S SO = 12 AC 1 ⇒ VSABCD = 13 3.1  33 Bµi 8: SABC cã SA = SB = SC = a ASB = 60o, BSC = 90o, CSA = 120o a) Chứng minh ABC vuông b) Tính VSABC Giải a) S a A C H B ⇒ AB = a -Tam giác vuông SBC có BC2 = SB2 + SC2 = 2a2 -∆SAC cã AC2 = a2 + a2 -2a2cos120o = 2a2 - 2a2(- 12 ) =3a2 -∆ABC cã AC2 = AB2 + BC2 ABC vuông B b) Hạ SH (ABC) Vì SA = SB = SL HA = HB = HC H trung điểm AC ABC vuông B SA SB o ASB 60 Tam giác vuông SHB có SB = a BH = AC ⇒ SH2 = SB2 - BH2 = a2  SH  a2  a 23 (Hoặc SAC nửa tam giác ⇒ SH = SA  a2 ) ⇒VSABC = 13 S ABC SH  13 12 AB.BC.SH  16 a.a a  a12 Bµi 9: SABCD có đáy ABCD hình thang với đáy lín AB = 2, ACB = 90 o ∆SAC vµ SBD tam giác có cạnh = Tính thể tích khối chóp SABCD Đáp số: VSABCD = 46 Bài 10: SABCD có đáy hình thang vuông A D, SAD cạnh = 2a, BC = 3a Các mặt bên lập với đáy góc Tính VSABCD Giải Trờng THPT Lý Thái Tỉ ThĨ tÝch D C K 2a 3a H -H¹ SH (ABCD), H (ABCD) -Vì mặt bên lập với đáy góc nên dễ dàng chứng minh đợc H tâm đờng tròn nội tiếp đáy -Gọi K hình chiếu H lên AD -Ta có HK = AD2 a -Tam giác vuông SHK cã HK = a SK = 2a 23 a (vì SAD đều) SH = 3a a a Vì ABCD ngoại tiếp nên: AB + CD = AD + BC = 5a ( AB CD ) AD  a2.2 a 5a ⇒SABCD = ⇒VSABCD = 13 S ABCD SH  13 5a a  a3 Bµi 11: Cho hình chóp SABCD có ABCD hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = a , (SAB) b (ABCD) M, N - Trung ®iĨm AB, BC TÝnh VSBMDN Gi¶i S D A H M B N C ∆SAB h¹ SH b AB (SAB) b (ABCD) ⇒SH b (ABCD) ⇒ SH b (BMDN) S∆CDN = S∆MDA = 14 S⋄ABCD ⇒ S⋄BMDN = 12 S⋄ABCD = 12 2a.2a = 2a2 ∆SAB cã AB2 = SA2 + SB2 = 4a2 ⇒ SAB vuông S SH SA1  SB1  a12  31a  3a42 ⇒ SH = a Trêng THPT Lý Th¸i Tỉ ⇒VSBMDN = ThĨ tÝch S⋄BMDN.SH = 13 2a a  a Bài 12: SABCD có ABCD hình thang víi AB = BC = CD = 12 AD ∆SBD vuông S nằm mặt phẳng vuông góc với đáy SB = 8a, SD = 15a Tính VSABCD Gi¶i S 15a 8a A D H C B -Trong SBD kẻ SH b BD Vì (SBD) b (ABCD) SH b (ABCD) -Tam giác vuông SBD có hay SH SH  SH1  SD1  641a2  2251a2 hay SH  14400 a  120 a 289 17 -V× h×nh thang cã AB = BC = CD = 12 AD ⇒ Aˆ  Dˆ = 60o, B = C = 120o -∆SBD cã BD2 = SB2 +SD2 =289a2 ⇒ BD = 17a 17 ∆CBD cã BD2 =2BC2(1+ 12 ) = 3BC2 = 289a2 ⇒ BC = a S∆BCD = 12 BC sin 120 o  12 289 a S⋄ABCD = 3S∆BCD =  289123a 289 3a 12 ⇒VSABCD = 13 S⋄ABCD.SH = 289 3a 120 a 12 17 = 170 a3 Bài 13: hình chóp SACD có đáy ABCD hình chữ nhật, SCD cân S nằm mặt phẳng b (ABCD) SAB có SA = a, ASB = α + 4) =9lα α + 4) =9lvà nằm mặt phẳng lập với (SCD) góc α TÝnh thĨ tÝch khèi chãp SABCD Gi¶i Trêng THPT Lý Th¸i Tỉ ThĨ tÝch S A D K H B C Trong SCD hạ SH b CD Vì SCD cân S H trung điểm CD SH b CD (SCD) b (ABCD ⇒ SH b (ABCD) Gäi K trung điểm AB Ta có HK b AB AB b SH (v× SH b (ABD)) ⇒AB b (SKH) AB b SK SAB cân S Dễ thÊy ((SAB), (SCD)) = KSH = α ∆SAB cã SK = acos α α , AB = 2AK = 2asin + 4) =9l SHK vuông H có SH =SK.cosα = acos2 α + 4) =9lα KH = SKsinα = asinαcosα SABCD =AB.BC = 2asinα.asinαcosα = 2a2sin2αcosα ⇒VSABCD = 3SH1 S ABCD  23 a sin Bài 14: Hình chóp SABCD có ABC vuông B, SA b (ABC) ACB =60o, BC = a, SA = a , M trung điểm SB Tính thĨ tÝch MABC Gi¶i M A C H a B Cách SA b (ABC) Từ M kẻ MH // AS cắt AB H MH b (ABC) Vì M trung ®iĨm SB H- trung ®iĨm MH= 12 SA  a S∆ABC = 12 AB.BC  12 a tan 60 o.a  12 a ... AB2(sin2 α + 4) =9lβ α + 4) =9l– α + 4) =9lcos2 α + 4) =9lα) α + 4) =9l= -a2cos2 α + 4) =9lα ⇒ AB = cos  1 sin  a cos  2 Sin cos  S∆SAB =BD.AD = SA = AB tan α + 4) =9lα α + 4) =9l= ⇒ VSABC =... l2 - 94 AA2 Tam giác vuông SOA có: A sin  1SOAA''  SO  13 AA''.sin  (2) C Tõ (1) (2) ta cã: AA'' sin   AA''.sin  l a O A'' B ↔ AA’2(sin2 α + 4) =9lα α + 4) =9l+ α + 4) =9l4) α + 4) =9l=9l2... SB2 +SD2 =289a2 ⇒ BD = 17a 17 ∆CBD cã BD2 =2BC2(1+ 12 ) = 3BC2 = 289a2 ⇒ BC = a S∆BCD = 12 BC sin 120 o  12 2 89 a S⋄ABCD = 3S∆BCD =  2 891 23a 2 89 3a 12 ⇒VSABCD = 13 S⋄ABCD.SH = 2 89 3a 120 a