Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu trong cuốn "Phương pháp giải toán hàm số"
Bn quyn thuc Nhúm C Mụn ca Lờ Hng c T hc em li hiu qu t duy cao, iu cỏc em hc sinh cn l: 1. Ti liu d hiu Nhúm C Mụn luụn c gng thc hin iu ny. 2. Mt im ta tr li cỏc thc mc ng kớ Hc tp t xa. BI GING QUA MNG CUN SCH Phng phỏp gii toỏn Hm s PHN IV: O HM Hc Toỏn theo nhúm (t 1 n 6 hc sinh) cỏc lp 9, 10, 11, 12 Giỏo viờn dy: Lấ HNG C a ch: S nh 20 Ngừ 86 ng Tụ Ngc Võn H Ni Email: nhomcumon68@gmail.com Ph huynh ng kớ hc cho con liờn h 0936546689 Các Em học sinh hãy tham gia học tập theo phơng pháp " Lấy học trò làm trung tâm " Dới sự hỗ trợ của Nhóm Cự Môn do Ths. Lê Hồng Đức và Nhà giáo u tú Đào Thiện Khải phụ trách. 1 Phần IV: Đạo hàm Phần IV đạo hàm mở đầu 1. Số gia đối số và số gia hàm số Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b). Giả sử x O và x(x x O ) là hai phần tử của (a; b). Hiệu x - x O , thờng kí hiệu là x (đọc là đenta x), đợc gọi là số gia của đối số tại điểm x O . Ta có: x = x - x O . Từ đó x = x O + x. Hiệu y - y O = f(x) - f(x O ), kí hiệu là y, đợc gọi là số gia tơng ứng của hàm số tại điểm x O . Ta có: y = y - y O - f(x) - f(x O ) = f(x O + x) - f(x O ). 2. Đạo hàm tại một điểm Định nghĩa 1. Cho hàm số y = f(x), xác định trên (a ; b) và x O (a ; b). Nếu tồn tại giới hạn x y lim 0x (hoặc 0 0 xx xx )x(f)x(f lim 0 ) ta nói hàm số có đạo hàm tại điểm x O và giới hạn đó gọi là đạo hàm của hàm số tại x 0 , kí hiệu là f'(x O ) hay 0 x 'y . Vậy ta có định nghĩa: f'(x O )= x y lim 0x = x )x(f)xx(f lim 00 0x + hoặc f'(x O )= 0 0 xx xx )x(f)x(f lim 0 3. Đạo hàm một phía a. Đạo hàm bên trái của hàm số y=f(x) tại điểm x 0 , kí hiệu là f'( 0 x ), đợc định nghĩa: f'( 0 x )= x y lim 0x = 0 0 xx xx )x(f)x(f lim 0 . b. Đạo hàm bên phải của hàm số y=f(x) tại điểm x 0 , kí hiệu là f'( + 0 x ), đợc định nghĩa: f'( + 0 x )= x y lim 0x + = 0 0 xx xx )x(f)x(f lim 0 + . 2 Mở đầu c. Vậy hàm số y=f(x) có đạo hàm tại điểm x 0 thuộc tập xác định của nó, nếu và chỉ nếu f'( 0 x ) và f'( + 0 x ) tồn tại và bằng nhau. Khi đó ta có f'(x 0 )=f'( 0 x )=f'( + 0 x ). 4. Đạo hàm trên một khoảng Định nghĩa 2. Hàm số y = f(x) đợc gọi là có đạo hàm trên khoảng (a ; b) , nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trên khoảng đó. Ký hiệu là f'(x) hay y'. Ta gọi f'(x) là đạo hàm của f(x) trong khoảng (a,b) . Định nghĩa 3. Hàm số y = f(x) đợc gọi là có đạo hàm trên đoạn [a; b], nếu nó có đạo hàm trên khoảng (a; b), và có đạo hàm bên phải tại a, bên trái tại b. Chú ý. Về sau này khi ta nói hàm số y =f(x) có đạo hàm, mà không nói rõ trên khoảng nào, thì điều đó có nghĩa là đạo hàm tồn tại với mọi giá trị thuộc tập xác định của hàm số đã cho. 5. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số Dùng khái niệm số gia, ta có thể đặc trng tính liên tục của hàm số y = f(x) tại điểm x O nh sau: Định lí 1 : Một hàm số y = f(x), xác định trên khoảng (a; b), là liên tục tại điểm x O (a; b) nếu và chỉ nếu: ylim 0x =0. " Chứng minh Thật vậy, ta có: )x(flim 0 xx = f(x O ) 0 xx lim (f(x) - f(x O )) =0 ylim 0x = 0. Định lí 2 : Nếu hàm số y= f(x) có đạo hàm tại điểm x 0 thì nó liên tục tại x 0 . Chứng minh. Theo giả thiết, ta có: x y lim 0x =f'(x 0 ) Do đó ylim 0x = )x. x y (lim 0x = xlim. x y lim 0x0x =f'(x 0 ).0=0. Vậy hàm số y=f(x) liên tục tại điểm x 0 . Chú ý. 1 Mệnh đề đảo của định lý 2 không đúng, nghĩa là một hàm số liên tục tại một điểm x 0 có thể không có đạo hàm tại điểm đó. Chẳng hạn xét hàm số y = f(x) =x tại điểm x 0 = 0.Ta có: f(0)=0 và )x(flim 0x = 0x lim |x|=0. Vậy hàm số đã cho liên tục tại điểm x 0 = 0. Mặt khác, ta có: 3 Phần IV: Đạo hàm y =f(0+x)-f(0)=|x| x y = x |x| = < > 0xkhi1 0xkhi1 . Do đó x y lim 0x + =1 và x y lim 0x =-1 x y lim 0x không tồn tại hàm số y=|x| không có đạo hàm tại x 0 =0. Bài tập đề nghị: Cho hàm số y= x1 |x| + . CMR hàm số liên tục tại x=0 những không có đạo hàm tại điểm này. 2 Hệ quả. Hàm số không liên tục tại x 0 thì không có đạo hàm tại điểm đó. 6. ý nghĩa hình học của đạo hàm 6.1. ý nghĩa hình học của đạo hàm Định lí 3: Nếu hàm số y=f(x) có đạo hàm tại x 0 và đồ thị (C) của hàm số có tiếp tuyến tại điểm M 0 (x 0 , f(x 0 )) thì hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại M 0 bằng f'(x 0 ). 6.2. Phơng trình của tiếp tuyến tại điểm M 0 Định lí 4: Phơng trình của tiếp tuyến tại điểm M 0 (x 0 , y 0 ) của đờng cong y=f(x) là: y-y 0 = f'(x 0 )(x- x 0 ) Ví dụ: Cho Hypebol (H): y= x 1 . Viết phơng trình tiếp tuyến của (H) trong các trờng hợp: a. Tại điểm có hoành độ x 0 =1. b. Song song với đờng thẳng (d): x+4y=0. Giải: a. Ta lần lợt có: 4 x T M 0 M (C) x 0 x 0 +x f(x 0 +x) f(x 0 ) y x O y Mở đầu == == 1)1('f x 1 )x('f 1 x 1 y 2 0 0 0 0 Do đó phơng trình của tiếp tuyến cần tìm là: y-1=-1(x-1) hay y = -x+2. b. Giả sử tiếp điểm là M(x 0 , 0 x 1 ). Khi đó phơng trình tiếp tuyến có dạng: y- 0 x 1 =- 2 0 x 1 (x-x 0 ) y- 0 x 1 =- 2 0 x 1 x + 0 x 2 . (1) Tiếp tuyến song song với đờng thẳng (d) - 2 0 x 1 =- 4 1 = = 2x 2x 0 0 . Với x 0 =2, thay vào (1), đợc tiếp tuyến thứ nhất có dạng: (d 1 ): y=- 4 1 x+1. Với x 0 =-2, thay vào (1), đợc tiếp tuyến thứ hai có dạng: (d 2 ): y=- 4 1 x-1. Vậy, tồn tại hai tiếp tuyến của (H) song song với đờng thẳng y=- 4 1 x. 5 . tú Đào Thiện Khải phụ trách. 1 Phần IV: Đạo hàm Phần IV đạo hàm mở đầu 1. Số gia đối số và số gia hàm số Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;. quả. Hàm số không liên tục tại x 0 thì không có đạo hàm tại điểm đó. 6. ý nghĩa hình học của đạo hàm 6.1. ý nghĩa hình học của đạo hàm Định lí 3: Nếu hàm