Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu trong cuốn "Phương pháp giải toán hàm số"
Bn quyn thuc Nhúm C Mụn ca Lờ Hng c T hc em li hiu qu t duy cao, iu cỏc em hc sinh cn l: 1. Ti liu d hiu Nhúm C Mụn luụn c gng thc hin iu ny. 2. Mt im ta tr li cỏc thc mc ng kớ Hc tp t xa. BI GING QUA MNG CUN SCH Phng phỏp gii toỏn Hm s PHN II: GII HN CA HM S Hc Toỏn theo nhúm (t 1 n 6 hc sinh) cỏc lp 9, 10, 11, 12 Giỏo viờn dy: Lấ HNG C a ch: S nh 20 Ngừ 86 ng Tụ Ngc Võn H Ni Email: nhomcumon68@gmail.com Ph huynh ng kớ hc cho con liờn h 0936546689 Các Em học sinh hãy tham gia học tập theo phơng pháp " Lấy học trò làm trung tâm " Dới sự hỗ trợ của Nhóm Cự Môn do Ths. Lê Hồng Đức và Nhà giáo u tú Đào Thiện Khải phụ trách. 1 Phần II: Giới hạn của hàm số Phần II giới hạn của hàm số mở đầu 1. giới hạn của hàm số Định nghĩa 1( Lân cận ): lân cận >0 của điểm x 0 là khoảng (x 0 -, x 0 +), hay tập các x thoả mãn |x-x 0 |<. Định nghĩa 2: )x(flim 0 xx =a >0, >0 : |x-x 0 |< ta có |f(x)-a|<. Hệ quả 1 1. Nếu f(x)0 trong một lân cận nào đó của điểm x 0 và nếu )x(flim 0 xx =a thì: 0 xx lim )x(f = a . 2. Tổng quát hơn ta có: - Nếu )x(flim 0 xx =a thì m xx )]x(f[lim 0 =a m . - Nếu )x(flim 0 xx =a thì m xx )x(flim 0 = m a . Hệ quả 2 : Nếu 0 xx lim f(x)=0 thì 0 xx lim |f(x)|=0. Định nghĩa 3. (Định nghĩa giới hạn của hàm số bằng giới hạn của dãy số ) 0 xx lim f(x)=a {x n }x 0 ta có f(x n ) n a. Định nghĩa 4. Giới hạn trái )x(flim 0 xx =a >0, >0 : -<x-x 0 <0 ta có |f(x)-a|<. Giới hạn phải )x(flim 0 xx + =a >0, >0 : 0<x-x 0 < ta có |f(x)-a|<. Định lý: Điều kiện cần và đủ để )x(flim 0 xx =a là )x(flim 0 xx = )x(flim 0 xx + =a. 2. Giới hạn ở vô cực Định nghĩa 5. )x(flim x =a >0, A>0 : |x|>A ta có |f(x)-a|<. Định nghĩa 6. Giới hạn trái x lim f(x)=a >0, M<0 : x<M ta có |f(x)-a|<. Giới hạn phải + x lim f(x)=a >0, M>0 : x>M ta có |f(x)-a|<. Định lý: Điều kiện cần và đủ để x lim f(x)=a là x lim f(x)= + x lim f(x)=a. 2 Chủ đề 1: Tìm giới hạn của hàm số bằng định nghĩa 3. Giới hạn vô cực Định nghĩa 7: 0 xx )x(flim = c>0, >0 : |x-x 0 |< ta có |f(x)|>c. 4. Nguyên lý kẹp giữa Dạng 1 : Cho ba hàm số f(x), g(x), h(x) đợc xác định tại mọi lân cận của điểm x 0 (có thể trừ ra điểm x 0 ). Nếu: 1. Với mọi xx 0 thuộc lân cận đó f(x) g(x) h(x). 2. 0 xx lim f(x)= 0 xx lim h(x)=L. thì 0 xx lim g(x)=L. Dạng 2: Cho ba hàm số f(x), g(x), h(x) đợc xác định tại mọi. Nếu: 1. Với mọi x có f(x) g(x) h(x). 2. x lim f(x)= x lim h(x)=L. thì x lim g(x)=L. 5. Quy tắc Lôpitan Nếu f(x), g(x) khả vi ở lân cận x 0 , f(x 0 )=g(x 0 )=0 và g'(x)0 ở lân cận x 0 , đồng thời )x('g )x('f lim 0 xx =A thì )x(g )x(f lim 0 xx =A. 3 Phần II: Giới hạn của hàm số chủ đề 1 tìm giới hạn của hàm số bằng định nghĩa II. Kiến thức cơ bản 1. sử dụng định nghĩa tìm giới hạn của hàm số Bài toán 1. Chứng minh )x(flim 0 xx = a bằng định nghĩa. phơng pháp chung Ta thực hiện theo các bớc sau: Bớc 1 : Với >0 xét |f(x) a|<, từ đây suy ra đợc |x x 0 |<g(). Bớc 2 : Đặt = g(). Bớc 3 : Vậy >0, = g()>0 : |x x 0 |< ta có: |f(x) a|< )x(flim 0 xx = a. Ví dụ 1: Cho hàm số f(x) = 2x + 1. Chứng minh rằng 1x lim f(x) = 3. Giải. Với >0 xét |f(x) 3|< |2x + 1 3|< 2|x 1|< |x 1|< 2 . Đặt = 2 . Vậy >0, = 2 >0 : |x 1|< ta có: |f(x) 3|< 1x lim f(x) = 3. (đpcm) Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi x 0 >0, ta luôn có xlim 0 xx = 0 x . Giải. Ta có : x 0 x = 0 0 xx xx + | x 0 x | = 0 0 xx |xx| + < 0 0 x |xx| . Nh vậy, với số >0 đã định trớc, để có | x 0 x |<, ta chọn x sao cho: 0 0 x |xx| < |x x 0 | < 0 x Vậy >0, = 0 x : |x x 0 |<, ta có : | x 0 x |< xlim 0 xx = 0 x . Ví dụ 3: Chứng minh rằng nếu 0 xx lim f(x) = a thì 0 xx lim |f(x)| = |a|. Giải. 4 Chủ đề 1: Tìm giới hạn của hàm số bằng định nghĩa Ta có : 0 xx lim f(x) = a >0, >0 : |x x 0 |< ta có |f(x) a|< Mặt khác: ||f(x)| |a|| |f(x) a|<. Nh vậy, >0, >0 : |x x 0 |< ta có : ||f(x)| |a||< 0 xx lim |f(x)| = |a|. (đpcm) Bài toán 2. Chứng minh )x(flim x = a bằng định nghĩa. phơng pháp chung Ta thực hiện theo các bớc sau: Bớc 1 : Với >0 xét |f(x) a|<, từ đây suy ra đợc |x|>g(). Bớc 2 : Đặt A = g(). Bớc 3 : Vậy >0, A = g()>0: |x|>A ta có |f(x) a|< )x(flim x = a Ví dụ 4: Cho f(x) = x 1 . Chứng minh rằng x lim f(x) = 0. Giải. Với >0 xét |f(x) 0|< | x 1 0|< | x 1 |< |x|> 1 . Đặt A = 1 . Vậy >0, A = 1 >0 : |x|>A ta có : |f(x) 0|< x lim x 1 = 0. (đpcm) Bài toán 3. Chứng minh 0 xx )x(flim = bằng định nghĩa. phơng pháp chung Ta thực hiện theo các bớc sau: Bớc 1 : Với c>0 xét |f(x) |>c, từ đây suy ra đợc |x x 0 |<g(c). Bớc 2 : Đặt = g(). Bớc 3 : Vậy c>0, >0 : |x x 0 |< ta có |f(x)|>c 0 xx )x(flim = (đpcm) Ví dụ 5: Cho hàm số f(x) = 1x 1 . Chứng minh rằng 1x lim f(x) = . Giải. Với mọi c>0 tuỳ ý, xét : 5 Phần II: Giới hạn của hàm số |f(x) |>c | 1x 1 |>c |x 1|< c 1 . Đặt = c 1 . Vậy c>0, = c 1 >0 : |x x 0 |< ta có: |f(x)|>c 1x lim f(x) = (đpcm) 2. chứng minh hàm số không có giới hạn Bài toán 4. Chứng minh rằng 0 xx lim f(x) không tồn tại. phơng pháp chung Ta thực hiện theo các bớc sau: Bớc 1 : Chọn hai dãy số {x n } và {y n } với x n x 0 khi n , khi đó đánh giá f(x n ) n L 1 . y n x 0 khi n , khi đó đánh giá f(y n ) n L 2 . Bớc 2 : Nhận xét rằng L 1 L 2 . Bớc 3 : Vậy, 0 xx lim f(x) không tồn tại. (đpcm) Ví dụ 6: Chứng minh rằng 0x lim sin x 1 không tồn tại. Giải. Đặt f(x) = sin x 1 . Chọn hai dãy số {x n } và {y n } với x n = n 1 x n 0 khi n và f(x n ) = sin n x 1 = sin(n) n 0. y n = + n2 2 1 y n 0 khi n và f(y n ) = sin n y 1 = sin( 2 + 2n) n 1 Vậy, 0x lim sin x 1 không tồn tại. (đpcm) 3. sử dụng nguyên lý kẹp giữa tìm giới hạn của hàm số Bài toán 5 Sử dụng nguyên lý kẹp giữa tìm giới hạn của hàm số )x(flim 0 xx (hoặc )x(flim x ). 6 Chủ đề 1: Tìm giới hạn của hàm số bằng định nghĩa phơng pháp chung Ta thực hiện theo các bớc sau: Bớc 1 : Chọn hai hàm số g(x), h(x) thoả mãn: g(x) f(x) h(x). Bớc 2 : Khẳng định 0 xx lim g(x) = 0 xx lim h(x) = L (hoặc x lim g(x) = x lim h(x) = L.). Bớc 3 : Kết luận: 0 xx lim g(x) = L (hoặc )x(flim x = L). Ví dụ 7: Tính giới hạn 0x lim xsin x 1 . Giải. Với mọi x0 thuộc lân cận của điểm 0 luôn có: |xsin x 1 | |x| |x| xsin x 1 |x| và 0x lim ( |x|) = 0x lim |x| = 0. Vậy, 0x lim xsin x 1 = 0. Ví dụ 8 (HVCNBCVT 99): Tính giới hạn x lim xsinx xsinx + . Giải. Ta có: với mọi x0 thuộc lân cận của điểm 0 luôn có: | x xsin | |x| 1 |x| 1 x xsin |x| 1 , x0 x lim ( |x| 1 ) = x lim |x| 1 = 0. Vậy, x lim xsinx xsinx + = x lim x xsin 1 x xsin 1 + = 1. 4. Giới hạn một phía của hàm số Bài toán 6. Cho hàm số f(x) = < 02 01 xxkhi)x(f xxkhi)x(f . Tính giới hạn hoặc xác định giá trị của tham số để hàm số có giới hạn khi xx 0 , phơng pháp chung Ta thực hiện theo các bớc sau: 7 Phần II: Giới hạn của hàm số Bớc 1 : Tính )x(flim 0 xx = )x(flim 1 xx 0 = L 1 . Bớc 2 : Tính )x(flim 0 xx + = )x(flim 2 xx 0 + = L 2 . Bớc 3 : Đánh giá hoặc giải phơng trình L 1 = L 2 , từ đó đa ra lời kết luận. Ví dụ 9: Cho hàm số: f(x) = + <+ 0xkhi1x 0xkhi1x 2 . Tính giới hạn )x(flim 0x và )x(flim 0x + . Giải. Ta có: )x(flim 0x = 0x lim ( x + 1) = 1 & )x(flim 0x + = + 0x lim (x 2 + 1) = 1. Vậy )x(flim 0x = )x(flim 0x + = 1 )x(flim 0x = 1. Ví dụ 10: Cho hàm số: f(x) = + <+ 0xkhi1x 0xkhiax 2 . Tìm a để hàm số có giới hạn khi x0. Giải. Ta có: )x(flim 0x = 0x lim (x + a) = a & )x(flim 0x + = + 0x lim (x 2 + 1) = 1. Hàm số có giới hạn khi x0 )x(flim 0x = )x(flim 0x + a = 1. Vậy với a = 1 ta có )x(flim 0x = 1. Ví dụ 11: Cho f(x) = xx x 2 + . Tìm x lim f(x) và + x lim f(x). Giải. Tìm + x lim f(x). Ta có : 8 Chủ đề 1: Tìm giới hạn của hàm số bằng định nghĩa + x lim f(x) = + x lim xx x 2 + = + x lim x 1 1|x| x + = + x lim x 1 1x x + = 1. Tìm x lim f(x). Ta có : )x(flim x = x lim xx x 2 + = x lim x 1 1|x| x + = x lim x 1 1x x + = 1. Vậy, + x lim f(x) x lim f(x), suy ra x lim f(x) không tồn tại. III.Bài tập đề nghị Bài tập 1 Chứng minh rằng a. 1x lim (3x + 1) = 4. b. 3x lim 1x + = 2. c. 2x lim 2x 4x 2 = 4. Bài tập 2 Chứng minh rằng với mọi x 0 , ta luôn có a. 0 xx lim kx = kx 0 . . b. 0 xx lim sinx = sinx 0 . c. 0 xx lim (ax + b) = ax 0 + b d. 0 xx lim cosx = cosx 0 . Bài tập 3 Chứng minh rằng 0x lim cos x 1 không tồn tại. Bài tập 4 Tính giới hạn 1x lim (x 1) 2 sin 1x 1 . Bài tập 5 (ĐHGTVT 97): Tính giới hạn 0x lim x x 1 cos . 9 PhÇn II: Giíi h¹n cña hµm sè Bµi tËp 6 Cho f(x) = ≥ <+ 0xkhix 0xkhi1x 2 . TÝnh giíi h¹n )x(flim 0x − → vµ )x(flim 0x + → . Bµi tËp 7 Cho f(x) = x |x| . TÝnh giíi h¹n )x(flim 0x − → vµ )x(flim 0x + → . Bµi tËp 8 Cho hµm sè f(x) = ≥++ <+ 0xkhi2ax 0xkhia3x 2 . T×m a ®Ó hµm sè cã giíi h¹n khi x→0. Bµi tËp 9 Cho hµm sè f(x) = −≥+++ −<+ 1xkhi3axx 1xkhia3x 2 . T×m a ®Ó hµm sè cã giíi h¹n khi x→ − 1. Bµi tËp 10 Chøng minh r»ng: a. ∞→ x lim 1x 1 − = 0 b. ∞→ x lim 2 x 1 = 0 Bµi tËp 11 Cho f(x) = 2xx 1x 2 ++ + . T×m −∞→ x lim f(x) vµ +∞→ x lim f(x). Bµi tËp 12 Cho f(x) = x 1 . Chøng minh r»ng 0x lim → f(x) = ∞. 10 . Phần II: Giới hạn của hàm số chủ đề 1 tìm giới hạn của hàm số bằng định nghĩa II. Kiến thức cơ bản 1. sử dụng định nghĩa tìm giới hạn của hàm số Bài toán. |f(x)|=0. Định nghĩa 3. (Định nghĩa giới hạn của hàm số bằng giới hạn của dãy số ) 0 xx lim f(x)=a {x n }x 0 ta có f(x n ) n a. Định nghĩa 4. Giới hạn