Đề thi tuyển sinh môn Toán vào lớp 10 chuyên THPT-HSG Su tầm Đề thi tuyển sinh *Trờng THPT Nguyễn Trãi ( Hải Dơng 2002- 2003, dành cho các lớp chuyên tự nhiên) Thời gian: 150 phút Bài 1. (3 điểm) Cho biểu thức. A = 1 44 242242 2 + ++++ x x xxxx 1) Rút gọn biểu thức A. 2) Tìm các số nguyên x để biểu thức A là một số nguyên Bài 2.( 3 điểm) 1) Gọi x 1 và x 2 là hai nghiệm của phơng trình. x 2 -(2m-3)x +1-m = 0 Tìm các giá trị của m để: x 1 2 + x 2 2 +3 x 1 .x 2 (x 1 + x 2 ) đạt giá trị lớn nhất 2) Cho a,b là các số hữu tỉ thoả mãn: a 2003 + b 2003 = 2.a 2003. b 2003 Chứng minh rằng phơng trình: x 2 +2x+ab = 0 có hai nghiệm hữu tỉ. Bài 3. ( 3 điểm) 1) Cho tam giác cân ABC, góc A = 180 0 . Tính tỉ số AB BC . 2) Cho hình quạt tròn giới hạn bởi cung tròn và hai bán kính OA,OB vuông góc với nhau. Gọi I là trung điểm của OB, phân giác góc AIO cắt OA tại D, qua D kẻ đờng thẳng song song với OB cắt cung trong ở C. Tính góc ACD. Bài 4. ( 1 điểm) Chứng minh bất đẳng thức: | 2222 caba ++ | | b-c| với a, b,c là các số thực bất kì. Nguyễn Đăng Liệu Trờng THCS Thị Trấn Hồ 1 Đề thi tuyển sinh môn Toán vào lớp 10 chuyên THPT-HSG Su tầm *Trờng năng khiếu Trần Phú, Hải Phòng.(150) Bài 1. ( 2 điểm) cho biểu thức: P(x) = 143 12 2 2 + xx xx 1) Tìm tất cả các giá trị của x để P(x) xác định. Rút gọn P(x) 2) Chứng minh rằng nếu x > 1 thì P(x).P(-x) < 0 Bài 2. ( 2 điểm) 1) cho phơng trình: 0 2 63)12(2 22 = +++ x mmxmx (1) a) Giải phơng trình trên khi m = 3 2 b) Tìm tất cả các giá trị của m để phơng trình (1) có hai nghiệm x 1 và x 2 thoả mãn x 1 +2 x 2 =16 2) Giải phơng trình: 2 2 1 2 1 1 2 =++ + xx x Bài 3 (2 điểm) 1) Cho x,y là hai số thực thoả mãn x 2 +4y 2 = 1 Chứng minh rằng: |x-y| 2 5 2) Cho phân số : A= 5 4 2 + + n n Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên thoả mãn 1 2004 n sao cho A là phân số cha tối giản Bài 4( 3 điểm) Cho hai đờng tròn (0 1 ) và (0 2 ) cắt nhau tại P và Q. Tiếp tuyến chung gần P hơn của hai đờng tròn tiếp xúc với (0 1 ) tại A, tiếp xúc với (0 2 ) tại B. Tiếp tuyến của (0 1 ) tại P cắt (0 2 ) tại điểm thứ hai D khác P, đờng thẳng AP cắt đờng thẳng BD tại R. Hãy chứng minh rằng: 1)Bốn điểm A, B, Q,R cùng thuộc một đờng tròn 2)Tam giác BPR cân 3)Đờng tròn ngoại tiếp tam giác PQR tiếp xúc với PB và RB. Bài 5. (1 điểm)Cho tam giác ABC có BC < CA< AB. Trên AB lấy D, Trên AC lấy điểm E sao cho DB = BC = CE. Chứng minh rằng khoảng cách giữa tâm đờng tròn nội tiếp và tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác ADE Nguyễn Đăng Liệu Trờng THCS Thị Trấn Hồ 2 Đề thi tuyển sinh môn Toán vào lớp 10 chuyên THPT-HSG Su tầm Trờng Trần Đại Nghĩa - TP HCM (năm học: 2004- 2005 thời gian: 150 phút ) Câu 1. Cho phơng trình x 2 +px +1 = 0 có hai nghiệm phân biệt a 1 , a 2 và phơng trình x 2 +qx +1 = 0 có hai nghiệm phân biệt b 1 ,b 2 . Chứng minh: (a 1 - b 1 )( a 2 - b 1 )( a 1 + b 1 . b 2 +b 2 ) = q 2 - p 2 Câu 2: cho các số a, b, c, x, y, z thoả mãn x = by +cz y = ax +cz z = ax +by ; với x + y+z 0 Chứng minh: 2 1 1 1 1 1 1 = + + + + + cba Câu 3: a) Tìm x; y thoả mãn 5x 2 +5y 2 +8xy+2x-2y+2= 0 b) Cho các số dơng x;y;z thoả mãn x3+y3+z3 =1 Chứng minh: 2 111 2 2 2 2 2 2 + + z z y y x x Câu 4. Chứng minh rằng không thể có các số nguyên x,y thoả mãn ph- ơng trình: x 3 -y 3 = 1993. Nguyễn Đăng Liệu Trờng THCS Thị Trấn Hồ 3 Đề thi tuyển sinh môn Toán vào lớp 10 chuyên THPT-HSG Su tầm Chuyên Lê Quý Đôn _ tỉnh Bình Định (năm học 2005-2006, môn chung, thời gian:150 ) Câu 1(1đ): tính giá trị biểu thức A= 1 1 1 1 + + + ba với a= 32 1 + và b= 32 1 + Câu 2(1.5đ): Giải pt: 844 2 =++ xxx Câu 3(3đ): Cho hàm số y=x 2 có đồ thị (P) và hai điểm A,B thuộc (P) có hoành độ lần lợt là -1 và 2. a) Viết phơng trình đờng thẳng AB. b) Vẽ đồ thị (P) và tìm toạ độ của điểm M thuộc cung AB của đồ thị (P) sao cho tam giác MAB có diện tích max. Câu4(3,5đ): Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) và có trực tâm H. Phân giác trong của góc A cắt đờng tròn (O) tại M. Kẻ đờng cao Ak của tam giác.Chứng minh: a) đờng thẳng OM đi qu trung điểm N của BC. b) các góc KAM và MAO bằng nhau. c) AH=2NO. Câu 5 (1đ): tính tổng: S= 1.2 +2.3 + 3.4 + +n(n+1). Nguyễn Đăng Liệu Trờng THCS Thị Trấn Hồ 4 Đề thi tuyển sinh môn Toán vào lớp 10 chuyên THPT-HSG Su tầm Đề thi học sinh giỏi quận tân phú TP.HCM năm học 2003-2004 Đề thi toán 6 (thời gian 90 phút) Bài 1. (5,5 điểm) 1) Cho biểu thức. A = 2 5 n a) Tìm các số nguyên n để biểu thức A là phân số b) Tìm các số nguyên n để biểu thức A là số nguyên 2) Tìm x biết: a) x chia hết cho 12; x chia hết cho 25; x chia hết cho 30; 5000 x b) (3x - 2 4 )7 3 =2.7 4 c)|x-5| =16+2(-3) 3) Bạn Đức đánh số trang sách bằng các số tự nhiên từ 1 đến 145. Hỏi bạn Đức đã sử dụng bao nhiêu chữ số? Trong những chữ số đã sử dụng thì có bao nhiêu chữ số 0? Bài 2. ( 2 điểm) Cho đoạn thẳng AB. Trên tia đối của tia AB lấy điểm M, trên tia đối của tia BA lấy điểm N sao cho AM = BN. So sánh độ dài các đoạn thẳng BM và AN. Bài 3( 2,5 điểm) Cho góc XOY = 100 0 . Vẽ tia phân giác Oz của góc XOY; Vẽ tia Ot nằm trong góc XOY sao cho YOT = 25 0 1) Chứng tỏ tia OT nằm giữa hai tia OZ và OY 2) Tính số đo góc ZOT 3) Chứng tỏ rằng OT là tia phân giác của góc ZOY Nguyễn Đăng Liệu Trờng THCS Thị Trấn Hồ 5 Đề thi tuyển sinh môn Toán vào lớp 10 chuyên THPT-HSG Su tầm Môn toán 7 (thời gian làm bài 90 phút) Bài 1. ( 3 điểm) a) Tính 2004 3 2003 3 2002 3 2004 2 2003 2 2002 2 2005 5 2004 5 2003 5 2005 1 2004 1 2003 1 + + + + b) Biết . 13+ 23+ +103 = 3025. Tính S = 23+43+63+ .+203 c) Cho A = yx xyxx + + 2 223 425,03 Tính giá trị của A biết x = 1/2, y là số nguyên âm lớn nhất Bài 2. (1 điểm) Tìm x biết : 3x+3x+1+3x+2 = 117 Bài 3. ( 1 điểm) Một con thỏ chạy trên một con đờng mà hai phần ba con đờng băng qua đồng cỏ và đoạn đờng còn lại đi qua đầm lầy. Thời gian thỏ đi trên đồng cỏ bằng nửa thời gian đi trên đầm lầy. Hỏi vận tốc của thỏ chạy trên đoạn đờng qua đầm lầy hay vận tốc của thỏ chạy trên đoạn đờng qua đồng cỏ lớn hơn và lớn hơn bao nhiêu lần? Bài 4.( 2 điểm) Cho tam giác nhọn ABC. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD và ACE. Gọi M là giao điểm của DC và BE. Chứng minh rằng: a) ADCABE = b) Góc BMC = 1200 Bài 5. ( 3 điểm) Cho ba điểm B, H, C thẳng hàng, BC = 13 cm, BH = 4 cm, HC = 9 cm. Từ H vẽ tia Hx vuông góc với đờng thẳng BC. Lấy A thuộc tia Hx sao cho HA = 6 cm . Nguyễn Đăng Liệu Trờng THCS Thị Trấn Hồ 6 Đề thi tuyển sinh môn Toán vào lớp 10 chuyên THPT-HSG Su tầm a) Tam giác ABC l tam giác gì? Chứng minh điều đó. b) Trên tia HC, lấy HD = HA. Từ D vẽ đờng thẳng song song với AH cắt AC tại E. Chứng minh rằng AE = AB Đề thi học sinh giỏi thĩ xã Hà Đông ( 2003-2004) Toán 7 (120) Bài 1( 4 điểm) Cho các đa thức: f(x) = 2x 5 - 4x 3 +x 2 -2x +2 g(x) = x 5 - 2x 4 +x 2 - 5x +3 h(x) = x 4 +4x 3 +3x 2 -8x + 4 16 3 a)Tính M(x) = f(x) -2 g(x) + h(x) b) Tính giá trị của M(x) khi x = 25,0 c) Có giá trị nào của x để M(x) = 0? Bài 2. (4 điểm) a) Tìm 3 số a,b,c biết: 3a=2b,5b=7c, và 3a +5c-7b=60 b) Tìm x biết |2x-3|-x=|2-x| Bài 3. (4) Tìm giá trị nguyên của m và n để biểu thức a)P = m 6 2 có giá trị lớn nhất b) Q 3 8 = n n có giá trị nguyên nhỏ nhất Bài 4.(5) Cho tam giác ABC có AB<AC,AB=c,AC=b. Qua M là trung điểm của BC ngời ta kẻ đờng vuông góc với đờng phân giác trong của góc A đờng này cắt các đờng thẳng AB, AC lần lợt tại D,E a) Chứng minh BD=CE Nguyễn Đăng Liệu Trờng THCS Thị Trấn Hồ 7 Đề thi tuyển sinh môn Toán vào lớp 10 chuyên THPT-HSG Su tầm b) Tính AD và BD theo b,c Bài 5. (3) Cho tam giác ABC cân tại A, góc A= 100 0 .D là một điểm thuộc miền trong của tam giác ABC sao cho góc DBC =10 0 , góc DCB =20 0 . Tính góc ADB? Toán 8 (150) Bài 1(5) Cho + + + = 3 1 2 3 2 xx x A : x xx x x 3 13 1 42 2 + + a) Rút gọn A b) Tìm A để x= 6013 c) Tìm x để A <0 d) Tìm x để A nguyên Bài 2.(3) Cho A=(x+y+z) 3 -x 3 -y 3 -z 3 a) Rút gọn A b) Chứng minh A chia hết cho 6 với mọi x,y,z nguyên Bài 3.( 4) Sau một loạt bắn đạn thật của 3 chiến sĩ Hùng, Dũng, Cờng ( mỗi ngời bắn một viên), ngời báo bia cho biết có ba điểm khác nhau là 8,9,10 và thông báo: a) Hùng đạt điểm 10 b) Dũng không đạt điểm 10 c) Cờng không đạt điểm 9 Đồng thời cho biết trong 3 thông báo trên chỉ có một thông báo là đúng, hãy cho biết kết quả điểm bắn của mỗi ngời. Bài 4(5) Cho tam giác ABC vuông tại A, AB= c,AC=b. Lần lợt dựng trên AB, AC bên ngoài tam giác ABC các tam giác vuông cân ABD tại D, ACE tại E. Nguyễn Đăng Liệu Trờng THCS Thị Trấn Hồ 8 Đề thi tuyển sinh môn Toán vào lớp 10 chuyên THPT-HSG Su tầm a) Chứng minh rằng các điểm E, A, D thẳng hàng b) Gọi trung điểm của BC là I, chứng minh tam giác DIE vuông c) Tính diện tích tứ giác BDEC d) Đờng thẳng EDcắt đờng thẳng CB tại K. Tính các tỉ số sau theo b,c Bài 5(3) Cho tứ giác ABCD,M là một điểm trên CD( khác C, D) Chứng minh rằng MA + MB < Max {CA+CB; DA+DB}( Là giá trị lớn nhất trong 2 giá trị CA+CB;DA+DB) Đề thi học sinh giỏi quận hoàn kiếm (2003-2004) Toán 7 (120) Bài 1( 4) Giải phơng trình 04 107 309 105 311 103 313 101 315 =+ + + + xxxx Bài 2(4) Cho các số nguyên dơng x,y,z . Chứng minh rằng: 21 < + + + + + < xz z zy y yx x Bài 3(4) Tìm các nghiệm nguyên của phơng trình (2a+5b+1)(2 |a| +a 2 +a+b)=105 Bài 4(3) Ba bạn A,B,C chơi một cỗ bài gồm 3 quân. Trên mỗi quân bài có viết một số tự nhiên( các số khác nhau và khác 0). Mỗi ngời đợc phát một quân bài và đợc nhận số kẹo bằng đúng số đã viết trên quân bài ấy. Sau đó các quân bài đợc thu lại, xáo trộn và phát lại. Sau hơn 2 lần chơi, A nhận đợc 20 cái kẹo, B nhận đợc 10 cái kẹo, C nhận đợc 9 cái kẹo. Hỏi số đã ghi trên mỗi quân bài? Biết số lớn nhất đợc viết trên các quân bài lớn hơn 9. Bài 5(5) Cho tam giác ABC cân tại A, góc A= góc C= 80 0 . Từ B và C kẻ các đờng thẳng cắt các cạnh tơng ứng ở Dvà E sao cho góc CBD = 60 0 và góc BCE =50 0 Tính góc BDE Nguyễn Đăng Liệu Trờng THCS Thị Trấn Hồ 9 Đề thi tuyển sinh môn Toán vào lớp 10 chuyên THPT-HSG Su tầm Toán 8( 120 phút) Bài 1(4) Giải phơng trình: 110.100 1 12.2 1 11.1 1 110.10 1 102.2 1 101.1 1 +++= +++ x Bài 2(4) Tìm x để hàm số y= x/(x+2004) 2 có giá trị lớn nhất Bài 3( 4) Cho phơng trình 2 3 2 35 1 3 2 + = + + xx ax x a x a Với giá trị nào của a thì phơng trình có nghiệm không nhỏ hơn 1? Bài 4(4) Từ điểm O thuộc miền trong của hình thang cân ABCD( AB=CD) nối các đỉnh của hình thang đợc 4 đoạn thẳng OA,OB,OC,OD. Chứng minh rằng từ 4 đoạn thẳng nhận đợc, có thể dựng đợc một tứ giác nội tiếp hình thang này( mỗi đỉnh của tứ giác nằm trên một cạnh của hình thang cân) Bài 5(4) Nguyễn Đăng Liệu Trờng THCS Thị Trấn Hồ 10 [...]...Su tầm Đề thi tuyển sinh môn Toán vào lớp 10 chuyên THPT-HSG Cho tam giác ABC có AB= c, BC=a,CA=b Gọi I b ,I c theo thứ tự là độ dài cảu các đờng phân giác của góc B và góc C Chứng minh rằng nếu b>c thì I b c; a3+b3=c3+1... với mọi số nguyên n Bài 5(2,5) Cho đờng tròn tâm O và dây AB( AB không đi qua O) M là điểm trên đờng tròn sao cho tam giác AMB là tam giác nhọn, đờng phân giác Nguyễn Đăng Liệu 11 Trờng THCS Thị Trấn Hồ Su tầm Đề thi tuyển sinh môn Toán vào lớp 10 chuyên THPT-HSG của góc MAB và góc MBA cắt đờng tròn tâm O lần lợt tại P và Q Gọi I là giao điểm của AP và BQ 1) Chứng minh rằng MI vuông góc với PQ 2) Chứng... đờng thẳng trên có ít nhất 502 đờng thẳng đồng quy Đề thi HS giỏi TP Hải Phòng (2004-2005) (toán 9 bảng B thời gian: 150) Bài 1 a) Rút gọn biểu thức: P= x 2y 2 + xy ( x y) 2 xy x2 x b)Giải phơng trình: ((5 2 Nguyễn Đăng Liệu y2 y 6 ) x + ((5 + 2 6 ) 16 x = 10 Trờng THCS Thị Trấn Hồ Su tầm Đề thi tuyển sinh môn Toán vào lớp 10 chuyên THPT-HSG Bài 2 a) Số đo hai cạnh góc vuông của một tam... giác đó cắt nhau tại I Chứng minh ID = IE Thi học sinh giỏi TP Hải Phòng (2004-2005) (Toán 9 bảng A- thời gian:150) Bài 1: Nguyễn Đăng Liệu 19 Trờng THCS Thị Trấn Hồ Su tầm Đề thi tuyển sinh môn Toán vào lớp 10 chuyên THPT-HSG a Rút gọn biểu thức: P = b Giải phơng trình: 2 x y xy 2+ x 2 + 2+ x 2 + + ( x y) xy 2 x2 x 2 x 2 2 x y y 2 = 2 Bài 2: a ( đề nh ở bảng B) b Vẽ các đờng thẳng x=6,... x5 + y5 =11 Nguyễn Đăng Liệu 21 Trờng THCS Thị Trấn Hồ Su tầm Đề thi tuyển sinh môn Toán vào lớp 10 chuyên THPT-HSG Thi học sinh giỏi toán 6 (thời gian 90) Bài 1(4đ): Tính giá trị biểu thức: a A= 1 + (-2) + 3 + (-4) + .+2003 +(-2004) + 2005 b B = 1 -7 + 13 19 + 25 31 + (B có 2005 số hạng) Bài 2 (4đ): a chứng minh: C = (2004+2004 2+20 043 ++200410) chia hết cho 2005 Bài 3(4đ): Tìm số tự nhiên nhỏ nhất... 100 và góc MBA = 300 Tính góc BMC Bài 5 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn (O) AC cắt BD tại I (O 1 ),(O 2 ) theo thứ tự là các đờng tròn ngoại tiếp của các tam giác ABI, CDI Một đờng thẳng bất kì đi qua I cắt (O) tại X và Y và cắt(O 1 ),(O 2 ) theo thứ tự tại Z, T ( Z và T khác I) Chứng minh rằng XZ = YT Nguyễn Đăng Liệu 28 Trờng THCS Thị Trấn Hồ Su tầm Đề thi tuyển sinh môn Toán vào lớp 10 chuyên. .. Bài 5: Cho tam giác ABC Điểm O nằm trong tam giác BO cắt AC taị M, CO cắt AB tại N Dựng các hình bình hành OMEN và OBFC Chứng minh: A,E,F thẳng hàng và AE AM AN OM ON = = AE AB AC OB.OC Nguyễn Đăng Liệu 33 Trờng THCS Thị Trấn Hồ Su tầm Đề thi tuyển sinh môn Toán vào lớp 10 chuyên THPT-HSG Đề số 8 Bài 1: Cho số 155*701*4*16 có 12 chữ số Chứng minh rằng nếu thay đổi các dấu sao (*) bởi các chữ số khác... AD (L thuộc BC) Chứng minh: BH.CH/(BL.CL)=HD 2/LD2 Bài 5: Cho tam giác đều ABC nội tiếp (O;1) Một đờng thẳng đi qua O cắt hai cạnh AB và AC lần lợt tại M&N Ký hiệu SAMN là diện tích tam giác AMN Chứng minh rằng: Nguyễn Đăng Liệu 3 3 3 S AMN 3 8 35 Trờng THCS Thị Trấn Hồ Su tầm Đề thi tuyển sinh môn Toán vào lớp 10 chuyên THPT-HSG Đề số 10 Bài 1: Cho p là số nguyên tố >3 Chứng minh rằng pt: x2 + y2... C Qua A kẻ đờng thẳng song song với CD căt (O 1) tại M và (O2) tại N Chứng minh rằng: 1 Năm điểm B,C,D,O 1,O2 nằm trên một đờng tròn 2 BC+BD = MN Bài 4(2đ) Tìm các số thực x, y thoả mãn x2 +y2 = 3 và x+y là số nguyên Tỉnh Bình Thuận (150 phút) Nguyễn Đăng Liệu 24 Trờng THCS Thị Trấn Hồ Su tầm Đề thi tuyển sinh môn Toán vào lớp 10 chuyên THPT-HSG Bài 1(6đ): 1 Chứng minh rằng: A = 2 3 + 5 13 + 48 6+... *** ì ***2 **** *** ******* Nguyễn Đăng Liệu 27 Trờng THCS Thị Trấn Hồ Su tầm Đề thi tuyển sinh môn Toán vào lớp 10 chuyên THPT-HSG Đề số 2: Bài 1 Giải hệ phơng trình xy + 2 x + y = 0 yz + 2 z + 3 y = 0 xz + 3x + z = 0 Bài 2 Tìm tất cả các số nguyên dơng a,b sao cho ab = 3(b-a) Bài 3 Cho x2 +y2 =1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức : S = (2-x)(2-y) Bài 4 Cho tam giác cân ABC( . Đề thi tuyển sinh môn Toán vào lớp 10 chuyên THPT-HSG Su tầm Đề thi tuyển sinh *Trờng THPT Nguyễn Trãi ( Hải Dơng 2002- 2003, dành cho các lớp chuyên. Đề thi tuyển sinh môn Toán vào lớp 10 chuyên THPT-HSG Su tầm Đề thi học sinh giỏi quận tân phú TP.HCM năm học 2003-2004 Đề thi toán 6 (thời gian 90 phút)