Chuyên đề: Hình học không gian 11 G.V Phùng Đức Tiệp - THPT Lơng Tài 2 Đại c ơng hình học không gian . I- Bài tập về giao tuyến: Bài 1. Trong mặt phẳng () cho 2 đờng thẳng a và b: ab=O. Gọi c là một đờng thẳng cắt () tại I O. 1/. Xác định giao tuyến của mặt phẳng tạo bởi điểm O và đờng thẳng c với (). 2/. Gọi M là điểm di động trên đờng thẳng c (M I). Xác định giao tuyến của (M,a) và (M,b). CMR khi M di động trên c thì giao tuyến đó nằm trên một mặt phẳng cố định. Bài 2. Trong mặt phẳng () cho góc Oxy và A không nằm trêb (). M,N là 2 điểm di động trên 0x, 0y. 1/. Giả sử OM = ON . CMR trung tuyến AP của tam giác AMN luôn nằm trên một mặt phẳng cố định. 2/. Gọi d là một đờng thẳng cố định đi qua A và cắt () tại một điểm I không nằm trên 0x, 0y nhng luôn cắt MN tại một điểm. a/. CMR: M luôn đi qua một điểm cố định. b/. Gọi B là một điểm cố định trên d (B A, B không truộc ()). AM BN=Q. CMR: Q thuộc đồng thời 2 mặt phẳng cố định. Từ đó CMR: Q thuộc đờng thẳng cố định. Bài 3. Cho tứ diện ABCD. Gọi I,J lần lợt là trung điểm của AC và BC. K là một điểm trên BD: KD<KB. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (IJK) và các mặt phẳng (ABC) và (ABD). Bài 4. Cho tứ diện ABCD, I, J lần lợt là trung điểm của AD và BC. a/. Tìm giao tuyến của (IBC) và (JAD). b/. MAB, N AC. Tìm giao tuyến của (IBC) và (DMN). Bài 5. Cho tứ diệk ABCD. M là một điểm nằm trong tam giác ABD. N là một điểm nằm trong tam giác ACD. Tìm giao tuyến của các mặt phẳng :a/. (AMN) và (BCD).b/. (DMN) và (ABC). Bài 6. Cho tứ diện ABCD, O là ,ột điểm nằm bên trong tam giác BCD. M là một điểm trên AO. a/. Tìm giao tuyến của (MCD) với (ABC) và (ABD). b/. I,J là 2 điểm nằm trên BC và BD. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (IJM) với (ACD). Bài 7. Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N là trung điểm của SB, SD. P là một điểm trên SC (SP>PC). Tìm giao tuyến của (MNP) với các mặt phẳng (SAC), (SAB), (ABCD). Bài 8. Cho tứ diện ABCD. O là một điểm bên trong tam giác BCD, M là một điểm trên AB. a/. Dựng đờng thẳng qua M cắt AO, CD b/. N là một điểm trên BC và ON không song song với BD. Dựng đờng thẳng Chuyên đề: Hình học không gian 11 G.V Phùng Đức Tiệp - THPT Lơng Tài 2 qua N cắt AO và DM. II- Bài tập tìm giao điểm Bài 9. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lợt là trung điểm của AC và BC. K là một điểm trên BD và không trùng với trung điểm của BD. Xác định giao điểm của CD và AD với mặt phẳng (MNK). Bài 10. Cho tứ diện ABCD . M,N là trung điểm trên AC và AD. O là một điểm bên trong tam giác BCD. Tìm giáo điểm của MN với (ABO); AO với (BMN). Bài 11. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang. Cạnh AB//CD; AB>CD. I,J,K lần lợt là 3 điểm trên SA, AB, BC. a/. Tìm giao đỉêm của IK với (SBD).b/. Tìm giao điểm của (IJK) với SD, SC. Bài 12. Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm SC. a/. Tìm giáo điểm I của AM với (SBD). Chứng minh rằng:IA=2IM b/. Tìm giao điểm F của SD với (ABM). Chứng minh rằng F là trung điểm SD. c/. Gọi N là điểm tuỳ ý trên AB. Tìm giao điểm của MN với (SBD). Bài 13. Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M là trung điểm SB, G là trọng tâm tam giác SAD. a/. Tìm giao điểm I của GM với (ABCD). Chứng minh rằng: I CD: IC=2ID. b/. Tìm giao điểm J của (OMG) với AD. Tính tỷ số: JA/JD.c/. Tìm giao điểm K của SA với (OMG). Tính tỷ số: KA/KS. Bài 14. Cho 2 điểm I,J lần lợt là 2 điểm bên trong tam giác ABC và ABD của tứ diện ABCD. M là một điểm tuỳ ý trên CD. Tìm giao điểm của IJ và (ABM). Bài 15. Cho tứ diện ABCD. Trên AC và AD lần lợt lấy M,N sao cho MN không song song với CD. Gọi O là một điểm nằm bên trong tam giác BCD.a/. Tìm giao tuyến của (OMN) và (BCD).b/. Giao điểm của BC, BD với (OMN). Bài 16. Cho hình chóp SABCD M thuộc SC.Tìm giao điểm của AM với (SBD).Gọi N BC. Tìm giao điểm của SD với (AMN). III- Bài tập về đồng quy - thẳng hàng Bài 17. Cho hình chóp SABCD. I,J là 2 điểm cố định trên SA và SC với SI>IA; SJ<JC. Một mặt phẳng quay quanh IJ cắt SB tại M, SD tại N. a/. Chứng minh rằng IJ, MN, SO đồng quy (O là giao điểm của AC với BD). Từ đó suy ra cách dựng N khi biết M. b/. AD cắt BC tại E, IN cắt MJ tại F. Chứng minh rằng S, E, F thẳng hàng. Bài 18. Cho tứ diện SABC. Qua C dựng mặt phặng (P) cắt AB, SB tại B 1 ,B'. Qua B dựng mặt phẳng (Q) cắt AC, SC tai C 1 , C'. BB' và CC' cắt nhau tại O'. BB 1 và CC 1 cắt nhau tại O 1 . Giả sử O'O 1 kéo dài cắt SA tại I. Chuyên đề: Hình học không gian 11 G.V Phùng Đức Tiệp - THPT Lơng Tài 2 a/. Chứng minh rằng AO 1 , SO', BC đồng quy. b/. CMR: I, B 1 , B' và I, C 1 , C' thẳng hàng. Bài 19. Bài tập về vuông góc Các kiến thức cơ bản: Đờng thẳng vuông góc với đờng thẳng: 1/ a // b b c a c 2/ a c a // b b c Đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng: ĐN: a (P) c (P) : a c ĐL1: = = a b M a d a (P) (a, b) b d ĐL2: a // b b (P) a (P) ĐL3: (P) //(Q) a (Q) a (P) ĐL4: (P) (Q) (P) a (P) //(Q) (Q) a ĐL5: a b a (P) a // b b (P) ĐL6: a b a //(P) (P) b a (P) ĐL7: (P) d Cho điểm A và đường thẳng d ! (P): A (P) ĐL8: d (P) Cho điểm A và mặt phẳng (P) ! d: A d Chuyên đề: Hình học không gian 11 G.V Phùng Đức Tiệp - THPT Lơng Tài 2 ĐL9: Cho mặt phẳng (P) và đờng thẳng d có hình chiếu vuông góc trên (P) là d. a là đ- ờng thẳng trong (P): a d a' Mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng: ĐL1: (P) (Q) a (P) : a (Q) ĐL2: (P)(Q), (P)(Q)=a, b(P),b a b(Q) ĐL3: (P) (R) (Q) (R) a (R) (P) (Q) a = Bài 1. Cho hình chóp SABC, đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA(ABC). Gọi H, K là hình chiếu vuông góc của A trên SB và SC. a/ CMR các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông. b/ CMR AH(SBC) từ đó suy ra AHSC. c/ CMR SC(AHK) Bài 2. Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA(ABCD), SA=b. Gọi H, I, K là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC, SD. a/ CMR các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông. b/ CMR BD(SAC) c/ CMR AH(SBC)AHSC d/ CMR A, H, I, K đồng phẳng e/ CMR HK//BD g/ Tính diện tích tứ giác AHIK theo a và b. Bài 3. Trong mặt phẳng () cho tam giác ABC đều cạnh a. Trên đờng thẳng d () tại A lấy điểm S bất kỳ. Gọi O là trọng tâm của tam giác ABC, H là trực tâm của tam giác SBC. a/ CMR: SC(BOH); SB(COH). b/ CMR: OH(SBC). c/ Gọi S' là giao điểm của OH với d. CMR: SA. S'A không đổi. d/ Xác định vị trí của A trên d để SS' ngắn nhất. Bài 4. Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình thoi tâm O. SA=SC; SB=SD. a/ CMR: SO(ABCD) b/ Gọi I, J là trung điểm của BA và BC. CMR: IJ(SBD) Bài 5. Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC và DBC là hai tam giác đều. Cạnh BC có trung điểm I. a/ CMR: BC(AID). b/ Vẽ đờng cao AH của tam giác AID. CMR: AH(BCD). Bài 6. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. H là trực Chuyên đề: Hình học không gian 11 G.V Phùng Đức Tiệp - THPT Lơng Tài 2 tâm của tam giác ABC. 1/ CMR: (BOH)AC, OH(ABC) 2/ CMR: 2 2 2 2 1 1 1 1 OH OA OB OC = + + 3/ CMR: Tam giác ABC là tam giác nhọn. Bài 7. Cho tứ diện đều ABCD. G là trọng tâm tam giác BCD, H là trung điểm AG. CMR: HB, HC, HD đôi một vuông góc với nhau. Bài 8. Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA(ABCD), SA= a 3 . Trên AC lấy điểm I sao cho AI=x ( ) x 0;a 2 . Một mặt phẳng (P) đi qua I và vuông góc với AC. 1/ Xác định thiết diện tạo bởi (P) với hình chóp. 2/ Tính diện tích của thiết diện đó. 3/. Xác định x để thiết diện có diện tích lớn nhất. Bài 9. Cho hình chóp SABC có đáy ABCD là nửa lục giác đều đáy lớn AD=2a. SA(ABCD), SA=2a. Một mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SD cắt SB, SC, SC tại B', C', D'. 1/ CMR: các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông. 2/ CMR: AC'SC; AB'SB. 3/ CMR: tứ giác AB'C'D' nội tiếp hình tròn. Bài 10. Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt bên (SAB) là tam giác đều, (SCD) là tam giác vuông cân đỉnh S. I, J lần lợt là trung điểm cạnh AB và CD. a/ Tính các cạnh của tam giác SIJ. CMR: SI (SCD); SJ(SAB) b/ H là hình chiếu vuông góc của S trên IJ. CMR: SHAC c/ Gọi M là một điểm trên CD sao cho BMSA: Tính AM theo a Bài 11. Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên (SAB) là tam giác đều và =SC a 2 . Gọi H, K lần lợt là trung điểm của các cạnh AB và AD. a/ CMR: SH(ABCD) b/ ACSK; CKSD Bài 12. Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình chữ nhật có AB=a, BC= a 3 . Mặt bên (SBC) vuông tại B, mặt bên (SDC) vuông tại D có AD= a 5 . a/. CMR: SA(ABCD). Tính SA theo a. b/. Đờng thẳng a đi qua A vuông góc với AC cắt CB và CD tại T và J. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SC. Xác định giao điểm K, L của SB, SD với (HIJ). Chuyên đề: Hình học không gian 11 G.V Phùng Đức Tiệp - THPT Lơng Tài 2 c/ Tính diện tích tứ giác AKHL Bài 13. Gọi I là một điểm bất kỳ trong đờngg tròn tâm O bán kính R. CD là một dây cung của đờng tròn đi qua I. Trên đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đờng tròn tại I lấy điểm S: SO=R. Gọi E là điểm đối xứng tâm O của D trên đờng tròn. CMR: 1/ Tam giác SDE vuông tại S. 2/ SDCE. 3/ Tam giác SCD vuông. Bài 14. Trong mặt phẳng (P) cho tam giác MAB vuông tại M. Trên đờng thẳng vuông góc với (P) tại A lấy hai điểm C và D nằm ở hai phía của A. Gọi C' là hình chiếu vuông góc của C trên MD. H là giáo điểm của AM với CC'. 1/ CMR: CC'(MBD) 2/ Gọi K là hình chiếu của H trên AB. CMR: K là trực tâm của tam giác BCD. Bài 15. Trong mặt phẳng (P) cho đờng tròn tâm O bán kính R. Dựng AS=2R: AS(P). T là một điểm di động trên tiếp tuyến của (O) tại A. Đặt ã 0 ABI (0,90 ) = . Đờng thẳng BT gặp đờng tròn tại M. Gọi N là hình chiếu của A trên SM. 1/ CMR tứ diện SAMB có các mặt là các tam giác vuông. 2/ CMR khi T di động thì đờng thẳng TN luôn đi qua một điểm cố định. 3/ Tìm để tam giác AHN cân Bài 16. Cho hình chóp SABCD có SA(ABCD), SA=2a. Tứ giác ABCD là hình thang vuông tại A và D: AB=BC=a, AD=2a. M là một điểm trên AB: AM=x, 0<x<a. (P) là mặt phẳng đi qua M và vuông góc với AB. 1/ CMR tam giác CSD vuông. 2/ Xác định thiết diện tạo bởi (P) với hình chóp. 3/ Tính diện tích thiết diện. (2a.(a-x)) Bài 17. Cho tứ diện SABC có tam giác ABC đều cạnh a, SA(ABC), SA=2a. (P) là một mặt phẳng đi qua B và vuông góc với SC. Xác định thiết diện tạo bởi (P) với hình chóp và tính diện tích thiết diện Bài 18. Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB=a. SA(ABC), SA= a 3 . M là một điểm tuỳ ý trên AB: AM=x, (0<x<a). Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M và vuông góc với AB. a/ Tìm thiết diện tạo bởi (P) với hình chóp. b/ Tính diện tích thiết diện. Tìm x để thiết diện lớn nhất. Bài 19. Chuyên đề: Hình học không gian 11 G.V Phùng Đức Tiệp - THPT Lơng Tài 2 . là 2 điểm cố định trên SA và SC với SI>IA; SJ<JC. Một mặt phẳng quay quanh IJ cắt SB tại M, SD tại N. a/. Chứng minh rằng IJ, MN, SO đồng quy (O. d/ CMR A, H, I, K đồng phẳng e/ CMR HK//BD g/ Tính diện tích tứ giác AHIK theo a và b. Bài 3. Trong mặt phẳng () cho tam giác ABC đều cạnh a. Trên đờng