Đang tải... (xem toàn văn)
Gồm Đề, đáp án HSG chi tiết lớp 7 môn Toán thi ở thời điểm chương trình giữa tháng 4. Rất phù hợp cho các nhà trường, thầy cô, các em học sinh thi thử cho các đội tuyển, qua đó nắm bắt chất lượng. Cảm ơn mọi người đã quan tâm.
TRƯỜNG THCS THIỆU ĐÔ ĐỀ THI ……………HỌC SINH GIỎI MÔN TỐN Năm học 2018-2019 (Thời gian 120 phút khơng kể thời gian giao đề) Câu ( điểm) a) Thực phép tính: A= 212.35 − 46.92 510.73 − 255.492 − (22.3)6 + 84.35 (125.7)3 + 59.143 b) Cho hàm số: y = f ( x) = ax + bx + c f (1) = 2011; Cho biết: f (0) = 2010; f (−1) = 2012 Tính f (−2) ? Câu ( điểm) Tìm x , y , biết : a) 5x − = 7y − b) x + + ( y − ) = 2010 5x + y − 4x =0 Câu ( điểm) a) Cho số x ,y , z khác thỏa mãn điều kiện : y+z−x z+x− y x+ y−z = = x y z x y z Hãy tính giá trị biểu thức : B = 1 + ÷1 + ÷1 + ÷ y z x 2010 b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = x − 2010 + ( y + 2011) + 2011 giá trị x, y tương ứng Câu ( điểm ) Cho tam giác ABC có góc B góc C hai góc nhọn Trên tia đối tia AB lấy điểm D cho AD = AB , tia đối tia AC lấy điểm E cho AE = AC a) Chứng minh : BE = CD b) Gọi M trung điểm BE , N trung điểm CD Chứng minh M,A,N thẳng hàng c) Ax tia nằm hai tia AB AC Gọi H,K hình chiếu B C tia Ax Chứng minh BH + CK ≤ BC d) Xác định vị trí tia Ax để tổng BH + CK có giá trị lớn Câu 5: ( ®iĨm) Tìm số tự nhiên x y lớn thỏa mãn hai điều kiện sau: x + chia hết cho y y + chia hết cho x .Hết ĐÁP ÁN Câu Ý Đáp án câu Biểu điểm 10 (4đ) 212.35 − 212.34 510.73 − A = 12 12 − 9 3 + + 12 ( − 1) 510.7 ( − ) = 12 − ( + 1) 59.73 ( + 23 ) a 0,5 0,5 212.34.2 ( −6 ) = 12 − 59.73.9 −10 = − = 10 0,5 0,5 Theo giả thiết ta có: f (0) = 2010 ⇒ c = 2010 f (1) = 2011 ⇒ a + b + c = 2011 ⇒ a + b + 2010 = 2011 ⇒ a + b = f (−1) = 2012 ⇒ a − b + c = 2012 ⇒ a − b + 2010 = 2012 ⇒ a − b = (1) (2) Cộng vế với vế (1) (2) ta có: 2a = => a = 3/2 b Thay vào (2) ta được: b = - ½ 2 Do đó: Hàm số cho có dạng: y = f ( x) = x − x + 2010 2 5x − y − 5x + y − = = 4x Vậy: f (−2) = (−2) − (−2) + 2010 = + + 2010 = 2017 0,5 0,5 0,5 0,5 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: 5x − (4đ) = 7y −6 Do đó: a = 5x + y − 5x + y − 8 = = 5x + y − 5x + y − 4x - Nếu x + y − ≠ = 4x => x = 2, thay vào tính y = - Nếu x + y − = => 5x – = 7y – =0 ⇒ y = ; x = (thỏa mãn) Ta có x + ≥ với x b Vậy x + + ( y − ) a 2010 Do : 1 (3 y − 4) 2010 ≥ với y = ⇔ x+5 =0 3y - = y+z−x z+x− y x+ y−z = = Từ x y z y+z z+x x+ y −1 = −1 = −1 ⇒ x y z y+z z+x x+ y = = ⇒ x y z TH1: với x + y + z ≠ 0Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có : y + z z + x x + y 2( x + y + z ) = = = =2 x y z x+ y+z ⇔ x = -5 y = (4đ) 4x 1 0,5 0,5 0,5 0,5 x y z y + z z + x x + y B = 1 + ÷1 + ÷1 + ÷= x y z = 2 = y z x −x − y −z TH2: với x + y + z = B = x y z = −1 Vậy B = -1 hặc B = Ta thấy: x − 2010 ≥ với x (y + 2011)2010 ≥ với y 2010 b Do đó: A = x − 2010 + ( y + 2011) + 2011 ≥ 2011 với x, y Vậy: AMin = 2011 Khi đó: x = 2010 y = -2011 0,5 0,5 D E M N A k K I B C H x c/m ∆ ABE = ∆ ADC (c.g.c) ( 6đ) a b ⇒ BE = DC ( cạnh tương ứng) c/m ∆ ABM = ∆ ADN (c.g.c) ⇒ AM = AN ∠MAB = ∠NAD ⇒ Mà ∠BAN + ∠NAD = 180 ∠BAN + ∠BAM = 1800 Vậy M,A,N thẳng hàng c Gọi I giao điểm BC Ax, ta có BH ≤ BI ; CK ≤ CI ⇒ BH + CK ≤ BI + CI = BC Theo câu c) BH + CK ≤ BC nên giá trị lớn BH+ CK BC BH = BI CK = CI d ⇒ H ≡ I; K ≡ I Do Ax ⊥ BC 2đ Giả sử < x ≤ y Từ x + My ⇒ x + = k.y (k ∈ N*) Ta có: ky = x + ≤ y + < y + y = 2y ⇒ ky < 2y nên k < 2, mà k ∈ N* nên k = Thay k = vào x + = ky, ta x + = y Theo y + Mx nên (x + 1) + Mx ⇒ Mx ⇒ x=2 (do x ∈ N x > 1) Với x = y = Vậy (x; y) = { ( 2;3) ; ( 3; ) } 1,0 0,5 0,5 0,5 0,5 0,75 0,75 1,5 Lưu ý: Học sinh làm cách khác mà cho điểm tối đa ... điểm 10 (4 ) 212.35 − 212. 34 510 .73 − A = 12 12 − 9 3 + + 12 ( − 1) 510 .7 ( − ) = 12 − ( + 1) 59 .73 ( + 23 ) a 0,5 0,5 212. 34. 2 ( −6 ) = 12 − 59 .73 .9 −10 = − = 10 0,5 0,5 Theo giả thi t ta... y − = = 4x Vậy: f (−2) = (−2) − (−2) + 2010 = + + 2010 = 20 17 0,5 0,5 0,5 0,5 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: 5x − (4 ) = 7y −6 Do đó: a = 5x + y − 5x + y − 8 = = 5x + y − 5x + y − 4x - Nếu... − 4x - Nếu x + y − ≠ = 4x => x = 2, thay vào tính y = - Nếu x + y − = => 5x – = 7y – =0 ⇒ y = ; x = (thỏa mãn) Ta có x + ≥ với x b Vậy x + + ( y − ) a 2010 Do : 1 (3 y − 4) 2010 ≥ với y = ⇔ x+5